高中數(shù)學(xué) 21合情推理與演繹推理測(cè)試1 新人教B版選修2－2

1、合情推理與演繹推理一、歸納推理例1（1）觀察圓周上n個(gè)點(diǎn)之間所連的弦，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)點(diǎn)可以連一條弦，3個(gè)點(diǎn)可以連3條弦，4個(gè)點(diǎn)可以連6條弦，5個(gè)點(diǎn)可以連10條弦，你由此可以歸納出什么規(guī)律？條直線，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn)若用表示這條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則=_；當(dāng)時(shí)， （用表示）變式2.在圓內(nèi)畫(huà)一條線段,將圓分成兩部分;畫(huà)兩條線段,彼此最多分割成4條線段,同時(shí)將圓分割成4部分;畫(huà)三條線段,彼此最多分割成9條線段,同時(shí)將圓分割成7部分.那么(1)在圓內(nèi)畫(huà)四條線段,彼此最多分割成 條線段?同時(shí)將圓分割成 部分?(2)猜想:圓內(nèi)兩兩相交的n(n2)條線段,彼此最多分割成 條線段?同時(shí)

2、將圓分割成 部分?強(qiáng)化訓(xùn)練1.某同學(xué)在電腦上打下了一串黑白圓，如圖所示，按這種規(guī)律往下排，那么第36個(gè)圓的顏色應(yīng)是 .2.由,若ab0,m0，則與之間的大小關(guān)系為 .3.下列推理是歸納推理的是 （填序號(hào)）.a，b為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p滿(mǎn)足|pa|+|pb|=2a|ab|，得p的軌跡為橢圓由a1=1，an=3n-1，求出s1，s2，s3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和sn的表達(dá)式由圓x2+y2=r2的面積r2，猜想出橢圓=1的面積s=ab科學(xué)家利用魚(yú)的沉浮原理制造潛艇4.已知整數(shù)的數(shù)對(duì)列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(

3、1,5),(2,4),則第60個(gè)數(shù)對(duì)是 .二、類(lèi)比推理（一）數(shù)列中的類(lèi)比中，若，則有等式成立，類(lèi)比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列中，若，則有等式 成立.強(qiáng)化練習(xí)1.定義“等和數(shù)列”，在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。已知數(shù)列a等和數(shù)列，且，公和為5。那么的值為_(kāi)，這個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和的計(jì)算公式為_(kāi)。2.若數(shù)列是等差數(shù)列，則有數(shù)列類(lèi)比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則有數(shù)列（二）幾何中的類(lèi)比例1.如圖1，若射線om，on上分別存在點(diǎn)m1，m2與點(diǎn)n1，n2，則=·；如圖2，若不在同一平面內(nèi)的射線op，oq和or上

4、分別存在點(diǎn)p1，p2，點(diǎn)q1，q2和點(diǎn)r1，r2，則類(lèi)似的結(jié)論是什么？ 例2 . 已知o是abc內(nèi)任意一點(diǎn)，連結(jié)ao、bo、co并延長(zhǎng)交對(duì)邊于a,b,c,則+=1,這是一道平面幾何題,其證明常采用“面積法”.+=+=1，請(qǐng)運(yùn)用類(lèi)比思想，對(duì)于空間中的四面體vbcd，存在什么類(lèi)似的結(jié)論？并用體積法證明.強(qiáng)化練習(xí)1.在平面幾何中，有勾股定理：“設(shè)abc的兩邊ab、ac互相垂直，則”拓展到空間，類(lèi)比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐a-bcd的三個(gè)側(cè)面abc、acd、adb兩兩相互垂直，則 .”2.在平面幾何中，abc的內(nèi)角平分線ce分ab所成

5、線段的比=，把這個(gè)結(jié)論類(lèi)比到空間：在三棱錐abcd中（如圖所示），而dec平分二面角acdb且與ab相交于e，則得到的類(lèi)比的結(jié)論是 . 3.現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題：如圖所示，同一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)都是a的正方形，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒為.類(lèi)比到空間，有兩個(gè)棱長(zhǎng)均為a的正方體，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為 . (三)解析幾何中的類(lèi)比例1.已知橢圓具有性質(zhì)：若m、n是橢圓c上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)p是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線pm、pn的斜率都存在，并記為、時(shí)，那么與寫(xiě)出具有類(lèi)似特性的性質(zhì)，并加以證明.強(qiáng)化訓(xùn)練1.已知兩

6、個(gè)圓：， 與 則由式減去式可得上述兩圓的對(duì)稱(chēng)軸方程，將上述命題在曲線仍為圓的情況下加以推廣，即要求得到一個(gè)更一般的命題，而已知命題要成為所推廣命題的一個(gè)特例，推廣的命題為 .oxabfy2如圖,橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),f為左焦點(diǎn),當(dāng)時(shí),其離心率為,此類(lèi)橢圓被稱(chēng)為“黃金橢圓”.類(lèi)比“黃金橢圓”,可推算出”黃金雙曲線”的離心率e等于 （ ） a. b. c. d. （四）定義、運(yùn)算中的類(lèi)比例1.電子計(jì)算機(jī)中使用二進(jìn)制，它與十進(jìn)制的換算關(guān)系如下表：十進(jìn)制123456.二進(jìn)制11011100101110.觀察二進(jìn)制1位數(shù)，2位數(shù)，3位數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制的數(shù)，當(dāng)二進(jìn)制為6位數(shù)能表示十進(jìn)制中最大的數(shù)是 強(qiáng)化訓(xùn)

7、練1.由代數(shù)式的乘法法則類(lèi)比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：“mn=nm”類(lèi)比得到“a·b=b·a”；“（m+n）t=mt+nt”類(lèi)比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”；“(m·n)t=m(n·t)”類(lèi)比得到“（a·b）·c=a·（b·c）”；“t0,mt=xtm=x”類(lèi)比得到“p0,a·p=x·pa=x”;“|m·n|=|m|·|n|”類(lèi)比得到“|a·b|=|a|·|b|”；“=”類(lèi)比得到“=”.以上的式子中，類(lèi)比得到的結(jié)論

8、正確的個(gè)數(shù)是 .2.下面使用類(lèi)比推理恰當(dāng)?shù)氖?.“若a·3=b·3,則a=b”類(lèi)推出“若a·0=b·0，則a=b”“(a+b)c=ac+bc”類(lèi)推出“=+”“(a+b）c=ac+bc”類(lèi)推出“=+(c0)”“（ab）n=anbn”類(lèi)推出“(a+b)n=an+bn”3.下面給出了關(guān)于復(fù)數(shù)的四種類(lèi)比推理：復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算可以類(lèi)比多項(xiàng)式的加減法運(yùn)算法則；由向量a的性質(zhì)|a|2=a2類(lèi)比得到復(fù)數(shù)z的性質(zhì)|z|2=z2；方程有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根的條件是可以類(lèi)比得到：方程有兩個(gè)不同復(fù)數(shù)根的條件是；由向量加法的幾何意義可以類(lèi)比得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義. 其中類(lèi)比錯(cuò)誤的是 (

9、 )a. b. c. d. 4.定義的運(yùn)算分別對(duì)應(yīng)下圖中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下圖中的（a）、（b）所對(duì)應(yīng)的運(yùn)算結(jié)果可能是 ( ) （1） （2） （3） （4） （a） （b）a. b. c. d.三、演繹推理例1.一切奇數(shù)都不能被2整除，2100+1是奇數(shù)，所以2100+1不能被2整除，其演繹推理的“三段論”的形式為 .例2有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線平面，直線平面，直線平面，則直線直線”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)?（ ）例3“ac,bd是菱形abcd的對(duì)角線，ac,bd互相垂直且平分。”補(bǔ)充以上推理的大前提是 。例4由正方形

10、的對(duì)角線相等；平行四邊形的對(duì)角線相等；正方形是平行四邊形，根據(jù) “三段論”推理出一個(gè)結(jié)論，則這個(gè)結(jié)論是 。合情推理與演繹推理（答案）一、歸納推理例1解析：（1）設(shè)為n個(gè)點(diǎn)可連的弦的條數(shù)，則變式1.圖b【答案】5，解：由圖b可得，由，可推得n每增加1，則交點(diǎn)增加個(gè)，變式2.（1）16，11（2）強(qiáng)化訓(xùn)練1.答案 白色2.答案 3.答案 4.答案 (5,7)二、類(lèi)比推理（一）數(shù)列中的類(lèi)比例1.分析 本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的類(lèi)比.一種較本質(zhì)的認(rèn)識(shí)是： 等差數(shù)列 用減法定義 性質(zhì)用加法表述（若且則）； 等比數(shù)列 用除法定義 性質(zhì)用乘法表述（若且則）. 由此，猜測(cè)本題的答案為：事實(shí)上，對(duì)等差數(shù)列，如

11、果，則. 所以有：）（）.從而對(duì)等比數(shù)列，如果，則有等式：成立.強(qiáng)化練習(xí)1.分析：此題類(lèi)比等差數(shù)列定義給出“等和數(shù)列”定義，解決此類(lèi)問(wèn)題要認(rèn)真理解所給出的定義，結(jié)合所學(xué)知識(shí)尋求正確解決方法。解：a是等和數(shù)列，公和為5，則，知，（nn*）。3，數(shù)列a形如：2，3，2，3，2，3，。2.解析：由已知“等差數(shù)列前n項(xiàng)的算術(shù)平均值是等差數(shù)列”可類(lèi)比聯(lián)想“等比數(shù)列前n項(xiàng)的幾何平均值也應(yīng)該是等比數(shù)列”不難得到（二）幾何中的類(lèi)比例1.解 類(lèi)似的結(jié)論為：=··.這個(gè)結(jié)論是正確的，證明如下：如圖，過(guò)r2作r2m2平面p2oq2于m2，連om2.過(guò)r1在平面or2m2作r1m1r2m2交om2

12、于m1，則r1m1平面p2oq2.由=·r1m1=·op1·oq1·sinp1oq1·r1m1=op1·oq1·r1m1·sinp1oq1，同理，=op2·oq2·r2m2·sinp2oq2.所以=.由平面幾何知識(shí)可得=.所以=.所以結(jié)論正確.例2 . 證明 在四面體vbcd中，任取一點(diǎn)o，連結(jié)vo、do、bo、co并延長(zhǎng)分別交四個(gè)面于e、f、g、h+=1.在四面體obcd與vbcd中：=.同理有：=；=；=，+=1. 強(qiáng)化練習(xí)1.分析 關(guān)于空間問(wèn)題與平面問(wèn)題的類(lèi)比，通?？勺プ缀我?/p>

13、的如下對(duì)應(yīng)關(guān)系作對(duì)比： 多面體 多邊形； 面 邊 體 積 面 積 ； 二面角 平面角 面 積 線段長(zhǎng)； 由此，可類(lèi)比猜測(cè)本題的答案： （證明略）.2.答案 =3.答案 (三)解析幾何中的類(lèi)比例1.分析 類(lèi)似的性質(zhì)為：若m、n是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)p是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線pm、pn的斜率都存在，并記為、時(shí)，那么與之積是與點(diǎn)p的位置無(wú)關(guān)的定值.證明：設(shè)點(diǎn)m、p的坐標(biāo)為（）、（），則n（）. 因?yàn)辄c(diǎn)m（）在已知雙曲線上，所以，同理.則（定值）.強(qiáng)化訓(xùn)練1.分析 將題設(shè)中所給出的特殊方程、推廣歸納到一般情況： 設(shè)圓的方程為， 與 其中或，則由式減去式可得兩圓的對(duì)稱(chēng)軸方程. 評(píng)注 本題通

14、過(guò)類(lèi)比推廣，可以由特殊型命題直接歸納概括出一般型命題。2 答案：a。解析： 猜想出“黃金雙曲線”的離心率等于.事實(shí)上對(duì)直角應(yīng)用勾股定理,得,即有,注意到,變形得.（四）定義、運(yùn)算中的類(lèi)比例1.解：通過(guò)閱讀，不難發(fā)現(xiàn)：于是知二進(jìn)制為6位數(shù)能表示十進(jìn)制中最大的數(shù)是。強(qiáng)化訓(xùn)練1.答案 2 2.答案 3.答案：d 。解析：由復(fù)數(shù)的性質(zhì)可知。4.答案：b。三、演繹推理例1.一切奇數(shù)都不能被2整除，2100+1是奇數(shù)，所以2100+1不能被2整除，其演繹推理的“三段論”的形式為 .答案 一切奇數(shù)都不能被2整除，大前提2100+1是奇數(shù)， 小前提所以2100+1不能被2整除.結(jié)論例2有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于