ch金精算現(xiàn)值PPT課件

1、第五章 年金精算現(xiàn)值本章內(nèi)容：生存年金概念和種類 連續(xù)給付型生存年金離散給付型生存年金每年給付數(shù)次的年金利用換算函數(shù)計算年金精算現(xiàn)值第1頁/共57頁5.1 生存年金的概念和種類1. 生存年金的概念： 以某人生存為條件，按約定金額多次給付的保險形式。2. 種類： 按繳費方式，躉繳與年繳 被保險人數(shù)，個人年金與聯(lián)合年金 給付額度，定額年金與變額年金 開始日期，即付與延期付年金 有效期，終身與定期第2頁/共57頁3. 生存年金精算現(xiàn)值的概念：1:nnxx nAvp注意：精算現(xiàn)值因子與躉繳純保費精算積累因子11nnxnxEvp定義精算現(xiàn)值因子：nnxnxEvp第3頁/共57頁例3.1 某人遺囑中記錄，

2、其兒子年滿21歲時可獲得其5萬元遺產(chǎn)。若其子現(xiàn)年12歲，利用附錄中生命表計算其兒子所得遺產(chǎn)的精算現(xiàn)值（i=6%）。解：9921912912129500005000050000(1 0.06)98322650000(1 0.06)98842729439.20()lEvpl元第4頁/共57頁例3.2 使用生命表確定在i=6%下30歲人繳納的5000元在65歲的精算積累值。解：353035306535150005000 1.069766115000 1.0681833545863.35()lEl元第5頁/共57頁5.2 連續(xù)給付型生存年金連續(xù)型生存年金：在保障期間，以被保險人存活為條件，連續(xù)支付年金

3、的保險形式。類型：終身年金定期年金延期年金第6頁/共57頁n 幾種年金形式的精算現(xiàn)值模型假設：(x)購買終身生存年金，連續(xù)給付，年支付額1元總額支付法考慮其精算現(xiàn)值： 設余命 T , 未來給付的現(xiàn)值隨機變量 Y，則1TTvYa00( )xTtxx tTttaEYEaa ft dtapdtxa1. 終身生存年金第7頁/共57頁(x)生存至t的概率為考慮到計算時間t,t+dt)所支付的當期年金的現(xiàn)值按可能支付的時間積分，得到期望年金現(xiàn)值tv dt0txtxavp dt現(xiàn)時支付法考慮其精算現(xiàn)值：txp第8頁/共57頁2. n年定期生存年金:0nttxx navp dt: xna0 ,0 ,( )Tn

4、ntxx tnxx ntnaTnYaTnaE Yapdtap：第9頁/共57頁3. 延期年金延期h年終身生存年金延期h年n年定期年金|:thxtxxhxx hx hhavp dtaaEa|:h nthtxhxx nx h nx hx h nhavp dtaaEa第10頁/共57頁例3.3 設隨機變量T的概率密度函數(shù)為利力為，求（1）（2） 基金足夠用于實際支付年金的概率。xaxa0.015( )0.015,(0),tf tet0.0150.0150.0150.050.0150.065000(1)( )0.015()|15.38461515.38sstxTttttttttxtxpft dteds

5、eeavp dteedtedt 解：0.0529.310.01501(2) Pr()Pr(15.38)Pr(29.31)0.050.0150.3557TxTteaaTedt注：只有一張保單時，以期望值建立基金，保證支付概率偏低。第11頁/共57頁n 年金精算現(xiàn)值與壽險躉繳純保費的關系1. 關系（以終身生存年金為例）1xxaA類似地，有:|:1x nxhxxxhxx nx h naAAaAAaA： n： h： h111()()()(1)TxxTvZaE aEEA第12頁/共57頁222:2111( )()( )1()() xxTZYZVar YVarVar ZVar aAA2. 方差終身年金：2

6、222:11( )()( )1( )() x nx nZVar YVarVar ZVar YAAn年期生存年金：第13頁/共57頁延期h年終身生存年金：|0,hT hThYaTh22220()()hhtxx thxsx hx h st hshEYv apdtvpapds 2222022()()hsshhxsx hhxx hx hvpvvpdsvp aa22222|2( )()()()hhxx hx hhxVar YEYEYvp aaa第14頁/共57頁n 年金的精算積累值:nnx nx nasas:0nx ntxx nnxnxaEsdtEE:(1)nx nxx nx nlsi l a第15頁/

7、共57頁5.3 離散型年金n 期初付年金及其精算現(xiàn)值1 終身生存年金模型假定：(x)購買了期初付終身生存年金，年金金額為1元，每個保單年度初給付年金給付現(xiàn)值隨機變量：21|1.KKYavvv 總額支付法中對上式求期望即得精算現(xiàn)值xa 11Kvd第16頁/共57頁現(xiàn)時支付法：總額支付法:0kxkxkavp111001( )()kxxkxx kkKkkkvaE YE aaqp qd兩種方法下的精算現(xiàn)值：第17頁/共57頁模型假定：(x)購買了期初付n 年定期生存年金，每個保單年度初給付年金1元年金給付的現(xiàn)值隨機變量： 11|1,0,1,2,.,11,1,.KKnnvaKndYvaKn nd2 n年

8、定期生存年金第18頁/共57頁: |x na n年定期生存年金的精算現(xiàn)值11:00nnkkxkxx nkkavpE3 延期付期初付生存年金1|:n hkhkxhxx nx h nx hx h nk havpaaEa |:khxkxxhxx hx hk havpaaEa第19頁/共57頁111KKvYad1111( )( )()1KxxxxAvE ZaE YEdddAdan 年金精算現(xiàn)值與壽險躉繳純保費的關系1 終身年金：說明：x歲的生存者，在年利率為i時，繳納1元保費可享受每年初給付d元的終身生存年金，并且死亡時還有1元的死亡給付。第20頁/共57頁2212211 KxxAAvVar YVar

9、Var Zddd給付現(xiàn)值隨機變量的方差：第21頁/共57頁:( )x nE ZA2 其他年金形式：n年定期生存年金：:111( )( )()1x nx nx nx nAZE ZaE YEdddAda22: |: |22()11 x nx nAAZVar YVarVar Zddd第22頁/共57頁延期付生存年金：:1()xxmx maAAd:1()xm nx mx m naAAd第23頁/共57頁n 期末付年金的精算現(xiàn)值1 期末付終身生存年金在每個保單年度末給付1元，直至終身死亡。xa1011kkxkxkxxkkavpvpa ( )()KxKYaaE YE a現(xiàn)時支付法：總額支付法：第24頁/共

10、57頁精算現(xiàn)值與躉繳純保費的關系： 111111 (1)xxxxxxAAdaaddivAi Aivi 1 (1)xxiai A xxxAvaa第25頁/共57頁2 其他期末付年金形式: |: |11nknkxnxx nx nkavpavp :1:11x nx nx nx nx naaAvaa 第26頁/共57頁險種延期m年期末付終身生存年金延期m年期末付n年定期生存年金精算現(xiàn)值:1:1:1:11()xm nx m nx mmxx m nx m nx mx mx m naaaEaaaAAd :1:11()xxmx mmxx mxx mxx maaaEaaaAAd第27頁/共57頁n 年金的精算積

11、累值:x nx nas:x nx nnxasE:(1)nx nxx nx nlsi l a11:001100111(1)nnkxkxx nx nkknxnxnxnnn kx kkkn kx kx nEsaEEEEliEl第28頁/共57頁5.4 每年給付數(shù)次的年金1 終身生存年金模型：（x）,終身生存年金，每年支付m次，期初支付，每次支付1/m.精算現(xiàn)值：給付現(xiàn)值隨機變量：視1/m段為一年，L表示活過的整1/m段數(shù)，實際利率為 ，實際貼現(xiàn)率為 ，于是考慮每次付款額為1/m的年金()01kmmxkxkmavpm()mim()mdm()11miLmYam第29頁/共57頁()()(1)(1)()(

12、)()()1 (1)1(1)1mmLLmxmmmiiEAmmEYEddd()()mxxmiAAi其中，()()()1mmmxxdaA()()(1)()11 (1)11mmLmiLmimYadmmm第30頁/共57頁兩類年金精算現(xiàn)值關系()mxxaa與()()()()()1mxxmmmmxxxxiAAidaAdaA由上兩式，可得()()()()()()()( )( )( )( )mmxxmmmmmxxidiiaaididmmam am第31頁/共57頁()( )( )mxxam am精確公式：i很小時 ，因此有近似公式1( )1,( )2mmmm()12mxxmaam對上述近似公式的說明：根據(jù)下

13、面提示得到()0|121|1()1,(1,2,)mxxxxmxmmmkxxmaaaaamkmaakmm第32頁/共57頁2 定期生存年金模型：(x)期初付、n年期、每年給付m次，每次給付1/m.精算現(xiàn)值：( )( ) ( )( )xnxx nm amEm am()()():mmmxnxx nx naaEa():1(1)2mnxx nx nmaaEm:( )( )(1)nxx nm amE第33頁/共57頁3 延期終身生存年金模型：(x)期初付、延期h年、終身年金、每年給付m次，每次給付1/m.精算現(xiàn)值：()|()| ( )( )( )( )12mhxhxx hhxhxmhxhxhxaEm am

14、mamEmaaEm第34頁/共57頁4 期末付終身生存年金模型：(x)每期期末付、終身年金、每年給付m次，每次給付1/m.精算現(xiàn)值：()()1mmxxaam112xmamm1211212xxxmammammam 第35頁/共57頁例3.5 (35)欲購買如下生存年金，已知下列年金均于每月初給付，每次給付1000元，設年利率6%。求下列年金的精算現(xiàn)值：(1)終身年金；(2)延期15年終身年金；(3)15年定期生存年金。35351535:15(15.695458,10.198933,0.4038336)aaE設解：()()()()()(12)1.00028095(12)0.46811888mmmm

15、mididiiid第36頁/共57頁(12)35351000 1212000 (12)(12)12000 1.00028095 15.6954580.46811888182780.98aa(1) (2)(3)(12)15|3515|3515353535:151200012000 (12)(12)12000 1.00028095 ()0.46811888 0.403833663708.32aaEaa(12)153535:1535:151200012000 (12)(12) (1)12000 1.00028095 10.1989330.46811888 (1 0.4038336)119072.66

16、aaE第37頁/共57頁1000000 N (1)S =(1) xxxxxxxx kxx kkkxx kx kkkxx kx kkkDv lCvdMCDRMkCNkD5.5 利用換算函數(shù)計算年金精算現(xiàn)值第38頁/共57頁0kxkxkavp1 每年給付一次的生存年金終身生存年金00 x kkx kx kxkkxxlvlvlv l0 x kkxxxDNDD第39頁/共57頁注：期末付終身生存年金111xxxxxxxxxNNDNaaDDD 第40頁/共57頁|: |: |1|11:11|:x hhxxxx nx nxx hx h nhx nxx hhxxxx nx nxx hx h nhx nxNa

17、DNNaDNNaDNaDNNaDNNaD 其他：第41頁/共57頁險種期初付期末付終身生存年金定期生存年金延期終身生存年金延期定期生存年金xxxDNa1xnxxnxDNNa: xnxxnxDNNa11:xxxDNa x hxhxNaD1x hxhxNaD :x hx h nhx nxNNaD 11:x hx h nhx nxNNaD 第42頁/共57頁例設對(60)每年年末給付養(yǎng)老金10000元，直到死亡，求該年金的精算現(xiàn)值（i=6%）。616060279104.3510000100001000026606.02104902.71(NaD元）解：第43頁/共57頁253525:10|25100

18、00100003762125 19856921000022838577782.39NNaD例3.7 (25)，欲購買一份10年期每年年初給付10，000元的生存年金，求該年金的精算現(xiàn)值（i=6%）。解：精算現(xiàn)值為第44頁/共57頁2 每年給付m次的生存年金計算方法：（一）將a(m)與 a建立聯(lián)系，即年付多次的用年付一次的表示。()():()|( )( )( )( )(1) ( )( )mxxmnxx nx nmhxhxx ham amam amEaEm am第45頁/共57頁（二） N(m)與N建立聯(lián)系，引入一個新的換算函數(shù)符號。()01kmmxkxkmavpm()01mxkxkmNDm記()

19、()1( )( )2mxxmxxxxxaamNm Nm DNDm由與關系，可知()()mmxxxNaD則0011kxmkxmkxxkkxxmvlDmv lmD第46頁/共57頁結論：()()()()1/()()()()()()1/1/:()()()()1/|mmmmxxmxxxxmmmmmmxx nxmx nmx nx nxxmmmmx hx hmhxxhxxNNaaDDNNNNaaDDNNaaDD ()()()11001( )( )21111mxxxxxmmkkxxxxxxkkmmmmmNm Nm DNDmNDDDNDmmmm第47頁/共57頁例3.8 (30)每月初可領取生存年金240元，

20、求下列年金精算現(xiàn)值（UDD, i =6%）：（1）終身生存年金；（2）延期10年終身生存年金；（3）10年定期生存年金。解：(12)(12)(12)(12)(12)(12)1.00028095,(12)0.46811888ididiiid第48頁/共57頁(12)(12)303030303030(12)(12)(1) 240 1228802880(12)2743767(12)170037.8288045137.18()170037.8NNDaDD元(12)(12)4040403010|3030(2)(12)(12)240 1228802880(12)1422017(12)93942.94288

21、023347.20()170037.8NNDaDD元(12)(12)(12)304030:10303030404030(3)240 122880 (12)(12) (12)(12)288045137.1823347.2021789.98()NNaDNDNDD元第49頁/共57頁例3.9 求(30)每年支付1200元的下列期末付終身生存年金的精算現(xiàn)值（6%）。若給付方法為：（1）按年；（2）按半年；（3）按季；（4）按月。解：313030(1)257373012001200120018163.46()170037.8NaD按年：元(2)30 1/2303030303030(2)(2)1.0002

22、12175,(2)0.257390798(2)(2)1/2120048001200(2)2743767( (2) 1/2)170037.8120018458.65()170037.8NNDDaDD(2)按半年：元第50頁/共57頁(4)30 1/4303030303030(3)(4)1.000265495,(4)0.384238622(4)(4)1/4120012001200(4)2743767( (4) 1/4)170037.8120018607.52()170037.8NNDDaDD(4)按季：元(12)30 1/12303030303030(4)(12)1.00028095,(12)0.46811888(12)(12)1/12120012001200(12