chapter偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用PPT課件

1、第1頁/共20頁教學(xué)要求：1. 了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線 的概念, 會(huì)求它們的方程. 第2頁/共20頁 .面面空間曲線的切線和法平空間曲線的切線和法平一一 .曲面的切平面和法線曲面的切平面和法線二二第3頁/共20頁.:0點(diǎn)的割線的極限位置點(diǎn)的割線的極限位置曲線上過曲線上過切線切線M.:00處切線垂直的平面處切線垂直的平面且與且與曲線上過曲線上過法平面法平面MM.),( )()()(. 1求求其其切切線線和和法法平平面面方方程程為為參參數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)曲曲線線ttztytx Solution.如圖所示oxM0MzTy),(00000zyxMtt時(shí)有時(shí)有設(shè)設(shè) ),(0000zzyyxxM

2、ttt 時(shí)有時(shí)有第4頁/共20頁M0M所在直線方程為zzzyyyxxx 000tzzztyyytxxx 000從從而而 00 tMM時(shí)時(shí)由由 . 0)()()(000000 zztyytxxt 法平面方程為法平面方程為切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量. 第5頁/共20頁.),()()(. 1000處的切線與法平面處的切線與法平面在在求曲線求曲線zyxxzxyxxex Solution., 1,)()(00 xxTx 則則為為參參數(shù)數(shù)以以 , )(0)(0000 xxzzyyxx 切線方程為切線方程為. 0)()( 0)(0)(000 zzyyxxxx 法平面方程為法平面方程為第6頁/共2

3、0頁.),(,2. 200022切線及法平面方程切線及法平面方程處的處的在在求曲線求曲線zyxxmzmxyex Solution. xmzmxyxx222 zzymyx21121, 100zymT ,2/1/00000zzzymyyxx 故切線方程為故切線方程為. 0)(21)()(00000 zzzyyymxx法平面方程為法平面方程為第7頁/共20頁.,0),(0),(. 2求求其其切切線線和和法法平平面面方方程程設(shè)設(shè)曲曲線線為為 zyxGzyxFSolution.可選x為參數(shù), 得切向量為, 1),(),(000000zyxzyxdxdzdxdyT 可選y為參數(shù), 得切向量為, 1 ,),

4、(),(000000zyxzyxdydzdydxT 可選z為參數(shù), 得切向量為1 ,),(),(000000zyxzyxdzdydzdxT 第8頁/共20頁處處的的切切線線在在求求曲曲線線)1 , 2, 1(06. 3222 zyxzyxexSolution. 010222zyz zyyx代代入入得得將將)1 , 2, 1( 01021zyzy1, 0 zy從而從而1, 0 , 1 T,110211 zyx切切線線方方程程為為 .0 zx法法平平面面方方程程為為 及法平面方程.第9頁/共20頁 提示: 曲線的參數(shù)方程為： xx，y(x)，z(x) 切向量為討論： 1若曲線的方程為y(x)，z(

5、x)問其切線和法平面方程是什么形式?1，(x0)，(x0) 2若曲線的方程為F (x，y，z)0，G (x，y，z)0問其切線和法平面方程又是什么形式? 提示: 兩個(gè)方程確定了兩個(gè)隱函數(shù)：y(x)，z(x)，切向量為dxdydxdz1， ， TT第10頁/共20頁切平面的法向量與曲面上任一曲線的切向量垂直. 法線是與切平面垂直的直線.Solution. )()()(),(0tztytxM 設(shè)為設(shè)為在曲面上在曲面上任取一曲線任取一曲線過過第11頁/共20頁)(),(),(0000tttTM 的的切切向向量量為為該該曲曲線線在在, 0)(),(),( tttF 又又. 0)()()(000 tFt

6、FtFzyx 則則.,即為切平面的法向量即為切平面的法向量垂直垂直與切向量與切向量nTFFFnzyx ,0)(),(),(,000 tttFFFzyx 即即 Fx(x0，y0，z0)(xx0)Fy(x0，y0，z0)(yy0)Fz(x0，y0，z0)(zz0)0第12頁/共20頁面的法向量面的法向量切平面的法向量稱為曲切平面的法向量稱為曲),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFzyx Solution.,),(),(zyxfzyxF 設(shè)設(shè),)1,(),(00yxyxffn 則則, 0)()()(:000 zzyyfxxfyx切平面切平面.1),(),(:0000000 zz

7、yxfyyyxfxxyx法線法線第13頁/共20頁注意:)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面上點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量的全微分的全微分在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)),(),(00yxyxfz (1) 因?yàn)榍嬖贛0處的切平面方程為),(yxfz 在在),(00yx的全微分，表示的全微分，表示曲面曲面),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(000zyx處的處的切平面上的點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量切平面上的點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量.第14頁/共20頁(2) 若若 、 、 表示曲面的法向量的方向角，并假表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它與定法向量的方向是向上的，即使得它與 z 軸的正向軸的

8、正向所成的角所成的角 是銳角，則法向量的是銳角，則法向量的方向余弦方向余弦為為 ,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff 第15頁/共20頁ex4 求曲面求曲面32 xyezz在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 2 , 1(處的切處的切平面及法線方程平面及法線方程. Solution., 32),( xyezzyxFz令令, 42)0, 2, 1()0, 2, 1( yFx, 22)0, 2, 1()0, 2, 1( xFy, 01)0, 2, 1()0, 2, 1( zzeF切平面方程法線方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx第

9、16頁/共20頁ex5. 求求曲曲面面2132222 zyx上上平平行行于于平平面面064 zyx的的切切平平面面方方程程. Solution.,),(000為曲面上的切點(diǎn)為曲面上的切點(diǎn)設(shè)設(shè)zyx依題意，切平面平行于已知平面，得,664412000zyx (*) 2000zyx (*) 2132202020 zyx則則6 ,4 ,2 000zyxn 又切平面的法向量為又切平面的法向量為, 1 (*)(*)0 x解得解得由由, 200 zy第17頁/共20頁所求切點(diǎn)為),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx.2164 zyx切平面方程切平面方程第18頁/共20頁.)(. 6的的平平面面都都相相交交于于一一點(diǎn)點(diǎn)試試證證所所有有切切于于曲曲面面xyxfzex Solution.)(2xyfxfxz