計算機控制技術第二章4

1、第第2 2章章 Z Z變換及變換及Z Z傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 前言 連續(xù)系統(tǒng)、離散系統(tǒng)的數(shù)學處理方法Z變換S變換方法相同地位相同離散系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)差分方程微分方程時間連續(xù)系統(tǒng)微分方程S域代數(shù)方程S域解時域解時間離散系統(tǒng)差分方程Z域代數(shù)方程Z域解LL-1直接求解ZZ-12.1 Z2.1 Z變換定義與常用函數(shù)變換定義與常用函數(shù)Z Z變換變換 一一 Z Z變換的定義變換的定義 已知連續(xù)信號f(t)經(jīng)過來樣周期為T的采樣開關后，變成離散的脈沖序列函數(shù)f *(t)即采樣信號。0*)()()(kkTtkTftf對上式進行拉氏變換，則根據(jù)廣義脈沖函數(shù)的性質(zhì)，可得： 00*)()()()()()()(ktTstTs

2、ktTsdekTtkTfdekTtkTfdetftfLsF0*)()(kkTsekTfsF 上式中，F(xiàn)*(s)是離散時間函數(shù)f *(t)的拉氏變換，因復變量s含在指數(shù)e-kTs中是超越函數(shù),不便于計算，故引一個新變量z=ez=eTsTs。 對S求解得： 設 并將F*(s)記為F(z)，則 式中F(z)就稱為離散函數(shù)f *(t)的Z變換。 0)()(kkzkTfzFzTsln1 在Z變換的過程中，由于僅僅考慮的是f(t)在采樣瞬間的狀態(tài)，所以上式只能表征連續(xù)時間函數(shù)上式只能表征連續(xù)時間函數(shù)f f( (t t) )在在采樣時刻上的特性，而不能反映兩個采樣時刻之間的采樣時刻上的特性，而不能反映兩個采

3、樣時刻之間的特性。特性。 從這個意義上來說，連續(xù)時間函數(shù)f(t)與相應的離散時間函數(shù)f *(t)具有相同的Z變換。 即 *0( )( )( )()kkF zf tftf kT zZ ZZ Z 將展開，可得到 )()()()()(0ln1*tfZkTfZzFzkTfsFkkzTs 采樣函數(shù)f*(t)的Z變換F(z)是變量z的冪級數(shù)。210)2()()0()(zTfzTfzfzF其一般項的物理含義是：f(kT)表示采樣信號的幅值；z的冪次表示采樣脈沖出現(xiàn)的時刻。2100)2()()0()()(zTfzTfzfzkTfzFkk)2()2()()()()0()()()(0*TtTfTtTftfkTtk

4、Tftfk采樣時刻信號的幅值采樣時刻kzkTf)( Z變換只考慮采樣瞬間的信號值，它不能反映非采樣時刻的信息。只有采樣函數(shù)才能定義采樣函數(shù)才能定義 Z Z 變換變換。 下面表達式的含義是相等的含義是相等的0)()()()()(kkzkTfzFkTfZtfZsFZ Zf(t)是為了書寫方便，并不意味著是連續(xù)信號f(t)的z變換。二 典型時間信號的 Z 變換1.單位階躍信號)()(tutf單位階躍信號為由 Z 變換的定義式，求得 Z 變換為) 1|(|1111)()()(1210zzzzzzzkTukTuZzFkk2.單位脈沖信號101)()()(00zzkTkTZzFkk0t , 10t ,0)

5、t (3.單位斜坡信號（速度信號）ttf)(20) 1()()()(zTzzkTkTfZzFkk4 4 指數(shù)信號指數(shù)信號 atetf)(01221( )111kaTkkaTaTaTatF zezezezezzze 5 5 正弦信號正弦信號 ttfsin)(221sin()21( )()2121212()1sin2cos1jtjtjtjtjtjtjTjTjTjTjTjTteejF zeejeejzzjzezeeejzeezzTzzTZ ZZ ZZ Z表 常用函數(shù)的z變換表表續(xù) 求取離散時間函數(shù)離散時間函數(shù)的Z變換有多種方法，常用的有兩種。 1 1 級數(shù)求和法（由定義）級數(shù)求和法（由定義） 將離散

6、時間函數(shù)寫成展開式的形式 對上式取拉氏變換，得 )()()2()2()()()() 0()()()(0*kTtkTfTtTfTtTftfkTtkTftfkkzkTfzTfzTffsFzF)()2()() 0 ()()(21*三 Z變換計算計算Z變換表達式的最基本公式特別適用于當離散序列不能用解析表達式給出解：f(kT)在t0時有意義，當tk時 0)( iTkTf0000()00()00()*()() ()() ()() ()() ()( ) ( )kkkikkik iikik iik iig kTf kTg iT f kTiT zg iT f kTiT zfki T zg iT zfki T

7、zg iT zF z G z Z Z7 7 求和定理求和定理 設連續(xù)時間函數(shù)f(t)和g(t)的Z變換分別為F(z)及G(z)，若有 則 kiiTfkTg0)()(11)()(zzFzG證明： 111001)()()()()()()()()()()()(zzFzGzFzGzzGkTfTkTgkTgjTfTkTgiTfkTgkjki8 8 位移定理位移定理 設a為任意常數(shù)，連續(xù)時間函數(shù)f(t)的Z變換為F(z)，則有 證明： ( )()ataTf t eF z e Z Z00( )()()()()atakTkkaTkkaTf t ef kT ezf kTezF ze Z Z9 9 微分定理微分定

8、理設連續(xù)時間函數(shù)f(t)的Z變換為F(z)，則有 證明： ( )( )zd F ztf tTzd Z Z00100( )()()1()()()()1( )kkkkzzzkkkkd F zddf kT zf kTzdddf kTk zf kTkT zTztf tTz Z Z2.3 Z2.3 Z反變換反變換 所謂Z反變換，是已知Z變換表達式F(z)，求相應離散序列f(kT)或f*(t)的過程，表示為 Z反變換主要有三種方法，即: 長除法長除法、部分分式法部分分式法 和 留數(shù)計算法 1()( )f kTF z Z Z1 1 長除法長除法（冪級數(shù)展開法）設 用長除法展開得：由Z變換定義得：比較兩式得：

9、則： nnnmmmazazabzbzbzF110110)(kkzczcczF110)(kzkTfzTffzF)()()0()(1,)(,)(,)0(10kckTfcTfcf)()2()()(210*kTtcTtcTtcctfk解：將F(z)的分子和分母寫成 z-1 的升冪排列，即5 . 0)(zzzF應用綜合除法，用分子多項式除以分母多項式，得15 . 011)(zzF函數(shù)的Z變換為 ，確定f(kT)的前5個值。4321432110625.0125.025.05.01000015.01zzzzzzzzz15.01z43430625.0125.00125.0zzzz212125.05.005.0

10、zzzz3232125.025.0025.0zzzz 40625.0z43210625. 0125. 025. 05 . 01)(zzzzzF0625. 0)4(,125. 0)3(,25. 0)2(, 5 . 0)(, 1)0(TfTfTfTff0625. 0 ,125. 0 ,25. 0 , 5 . 0 , 1)(kTf應用綜合除法，用分子多項式除以分母多項式，得前5個值為也可寫成)4(0625. 0)3(125. 0)2(25. 0)(5 . 0)(1)(*TtTtTtTtttf采樣信號：優(yōu)點：在只求取f(kT)的前幾項時，非常有效。缺點：求取f(nT)的閉合表達式困難。長除法的特點2

11、2 部分分式法部分分式法 又稱查表法 ，設已知的Z變換函數(shù)F(z)無重無重極點極點，先求出F(z)的極點，再將F(z)展開成如下分式之和 然后逐項查Z變換表，得到 則：niiizzzazF1)(1()1, 2,iiia zfkTinzzZ Z01*)()()(kniikTtkTftf 與拉氏反變換或 Z 變換中的部分分式法相似。 由于基本信號的基本信號的Z Z變換都帶有因子變換都帶有因子Z Z ，所以應用部分分式法進行Z反變換時應首先將 F(z)/zF(z)/z 展開成部分分式，然后將所得結果的每一項再乘以Z ，求得F(z)的展開式。已知 ， 求 。例解： 將 F(z)/z 部分分式展開，則)

12、2)(1(10)(zzzzF)(kTf所以210110)2)(1(10)(zzzzzzF210110)(zzzzzF查 Z 變換表有, 111zzZkzzZ221所以, 2 , 1 , 0,21010)(kkTfk)3(70)2(30)(100)3()3 ()2()2 ()()()() 0 ()(*TtTtTtTtTfTtTfTtTftftf,70,30,10, 0)(kTf已知 ，求 。例 解：由已知條件可得：z=2為特征方程的單根，z=1為特征方程的重根。將上式按部分分式展開， 22) 1)(2(32)(zzzzzF)(kTf23212) 1(12) 1)(2(32)(zCzCzCzzzz

13、zF1) 1)(2(32) 1(1) 1)(2(32)2(1223221zzzzzzCzzzzC式中C1、C2、C3為待定系數(shù)利用展開式兩邊在相同的分母下，分子必相等，得到將C1=1，C3=1代入上式，等系數(shù)法得到)2()2)(1() 1(323221zCzzCzCz) 12() 13()1 (322222CCzCzz12C22) 1(12)() 1(11121)(zzzzzzzFzzzzzF0,12)()2(, 1)1(,2)2(2111kkkTfkzzZzzZzzZkk則查表得各分式的Z反變換為3 3 留數(shù)法留數(shù)法 設已知Z變換函數(shù)F(z)，則可證明，F(xiàn)(z)的Z反變換f(kT)值，可由下

14、式計算 根據(jù)柯西留數(shù)定理，上式可以表示為 n表示極點個數(shù)，pi表示第i個極點。即f(kT)等于F(z)zk-1的全部極點的留數(shù)之和。 11()( )1( )2kzcf kTF zF z zdjZ Z11()Res( )inkzpif kTF z z即：1111Res( )lim() ( )()lim() ( )iiikkizpzpnkizpiF z zzp F z zf kTzp F z z2.5 線性定常離散系統(tǒng)的差分方線性定常離散系統(tǒng)的差分方程及其解程及其解 對于單輸入、單輸出的計算機控制系統(tǒng)，設在某一采樣時刻的輸出為y(kT)， 輸入為u(kT)，為了書寫方便，用y(k)表示y(kT)，

15、用u(k)表示u(kT)。 D(z)G(z)F(z)r(kT) +e(kT)u(kT)y(kT)-1 1 差分方程的概念差分方程的概念 在某一采樣時刻的輸出值y(k)不但與該時刻輸入該時刻輸入u u( (k k) )及該時刻以前輸入值以前輸入值u u( (k-k-1),1),u u( (k-k-2)2)，u u( (k-mk-m) )有關，且與該時刻以前輸出值y y( (k-k-1),1),y y( (k-k-2)2)，y y( (k-nk-n) )有關，即： 或1201( )( 1 )( 2)()( )( 1 )()nmyk aykaykayk n buk bukbuk m 0112( )

16、( )( 1 )() ( 1 )( 2)()mnykbuk bukbuk m aykaykayk n 差分方程是用于差分方程是用于描述未知序列未知序列 y(k)，及移位序列y(k+1)、y(k+2)、或 y(k-1)、y(k-2)、，以及激勵激勵u(k)u(k)及其移位序列u(k+1)、u(k+2)、或 u(k-1)、u(k-2)、等之間關系的數(shù)學方程式。)()() 3(2kukyky)()() 1(2)2(2kukykyky)() 3(12)2(10) 1(6)(kukykykyky例如： 差分方程的階數(shù)階數(shù)定義為未知序列自變量序號中最最高值和最低值之差高值和最低值之差。 差分方程中ai、b

17、i由系統(tǒng)結構參數(shù)決定，它是描述計算機控制系統(tǒng)的數(shù)學模型的一般表達式計算機控制系統(tǒng)的數(shù)學模型的一般表達式。 對于實際的應用系統(tǒng)，根據(jù)物理可實現(xiàn)條件物理可實現(xiàn)條件，應有：k0，即當，即當k0時，時，y(k)=u(k)=0。)()()3(2kukyky)()3(12)2(10)1(6)(kukykykyky1201( )(1)(2)()( )(1)()nmy ka y ka y ka y knb u kbu kb u km 前向差分方程前向差分方程：在差分方程中由未知序列是遞增序列遞增序列，即由 y(k)、 y(k+1)、y(k+2)、組成的差分方程 后向差分方程后向差分方程：在差分方程中由未知序列

18、是遞減序列遞減序列，即y(k)、 y(k-1)、y(k-2)、 組成的差分方程 對完全離散的系統(tǒng)，輸入輸出信號都為離散信號，只能用差分方程、Z傳遞函數(shù)等離散模型來表示。2 2 差分方程的求解差分方程的求解（1）基于計算機求解的迭代法（2）基于解析方法的 z 變換法（1）迭代法例：已知差分方程 y(k)+y(k-1)=r(k)+2r(k-2) 輸入序列為 時，初始條件為y(0)=2，試用迭代法求解差分方程。0k ,00k ,k)k( r解：逐步以k=1，2，3，代入差分方程，則有 y(0)=2，y(1)=-1，y(2)=3，y(3)=2，y(4)=6， 可以得到任意 r(kT) 時刻的輸出序列

19、y(kT)。迭代法的特點迭代法可以求出輸出序列 y(kT)，但不是數(shù)學解析式。迭代法的優(yōu)點是便于用計算機求解。（2）Z 變換法 與拉氏變換求解微分方程的過程類似。 若當k k0 0時，時，f f( (k k)=0)=0，設f(k)Z變換為F(z)，則根據(jù)滯后定理關系滯后定理關系可推導出 12( )( )(1)( )(2)( )()( )nf kF zf kz F zf kz F zf knzF zZ ZZ ZZ ZZ Z用 Z 變換法求解差分方程的步驟步驟為： 1 對差分方程進行 Z 變換； 2 用 Z 變換的平移定理將時域差分方程時域差分方程轉化為 Z Z 域代數(shù)方程域代數(shù)方程，代入初始條件

20、并求解； 3 將 Z 變換式寫成有理多項式的形式，再求 Z 反變換，得到差分方程的解。例2.8 若某二階離散系統(tǒng)的差分方程為：設輸入為單位階躍序列。 解：對差分方程求Z變換得 ( )5 (1)6 (2)( )y ky ky ku k1212( )5( )6( )( )11( )115691421223zY zz Y zz Y zU zzzY zzzzzzzzzz取Z反變換得 )23(21329242122kkkkky用Z變換求解差分方程初始條件為 。例2.8-2 解：方程兩邊作Z變換得0)(2) 1(3)2(kykyky1) 1 (, 0)0(yy代入初始條件 0)(2)0()( 3)1 ()

21、0()(22zYzyzzYzyyzzYzzzYzz)()23(223)(2zzzzY作 Z 反變換，由于2111231)(2zzzzzzY則查 Z 變換表可得21)(zzzzzY, 2 , 1 , 0,)2() 1()()(1kzYZkTykk2.6 Z2.6 Z傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 一一 Z Z傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)的定義 設n n階線性定常階線性定常離散系統(tǒng)的差分方程為：在零初始條件零初始條件下，取Z變換 G G( (z z) ) 稱為線性定常線性定常離散系統(tǒng)的Z Z傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)（脈沖傳遞函數(shù)）。)() 1()()() 1()(101mkubkubkubnkyakyakymn)()()()

22、1 (11011zUzbzbbzYzazammnnnnmmzazazbzbbzUzYzG111101)()()(Z Z傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)輸出的采樣信號的Z變換Y(z)與輸入的采樣信號的Z變換X(z)之比。)()()(zXzYzG二二 Z Z傳遞函數(shù)的求取方法傳遞函數(shù)的求取方法1 從差分方程獲取2 從S傳遞函數(shù)進行轉換3 從方框圖獲取1 從差分方程獲取設 n 階離散系統(tǒng)的差分方程為)() 1()()() 1()(101mkxbkxbkxbnkyakyakynn在零初始條件下，對方程兩邊進行Z變換，可得到該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) 或其等效的形式nmazazbzb

23、zbzXzYzGnnnmmm,)()()(11110nmzazazbzbbzXzYzGnnmm,1)()()(11110反之若已知離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)，同樣也可得到相應的差分方程。交叉相乘得nmzazazbzbbzXzYzGnnmm,1)()()(11110設)()()()1 (11011zXzbzbbzYzazammnn對函數(shù)Y(z)和X(z)進行Z反變換，可得到相應的n階差分方程模型。)() 1()()() 1()(101mkxbkxbkxbnkyakyakynn2. 由傳遞函數(shù)G(s) 計算獲取 在實際系統(tǒng)中，許多采樣系統(tǒng)的輸出信號是連續(xù)信號輸出信號是連續(xù)信號y(t)，而不

24、是離散信號離散信號y*(t)，在此情況下，為了應用脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)的概念的概念，可在輸出端虛設一采樣開關輸出端虛設一采樣開關，如圖中的虛線所示。 虛設采樣開關的采樣周期與輸入端采樣開關的采樣周期虛設采樣開關的采樣周期與輸入端采樣開關的采樣周期T相同。相同。 （1 1） 由由S S傳遞函數(shù)到傳遞函數(shù)到Z Z傳遞函數(shù)的求法傳遞函數(shù)的求法 1用拉氏反變換求脈沖過渡函數(shù)2將g(t)按采樣周期T離散化，得g(kT)3應用定義求出Z傳遞函數(shù)，即 G(z)(z)不能由不能由G(s)G(s)簡單地令簡單地令s=zs=z代換得到。代換得到。G(s)G(s)是是g(t)g(t)的的拉氏變換，拉氏變換，G(

25、z)G(z)是是g g* *(t)(t)的的Z Z變換。變換。 G(s)只與連續(xù)環(huán)節(jié)本身有關，G(z)除與連續(xù)環(huán)節(jié)本身有關外，還要包括采樣開關的作用。 將上述過程簡記為: )()(1sGLtg0)()(kkzkTgzG)()(sGZzG已知采樣系統(tǒng)的連續(xù)傳遞函數(shù) 求 。例 解：由已知條件可得：)10(10)(sssG)(zGtetsssLssLtg1011)( 1)10(11)10(10)(則：TkkkTkkkkTezzzzzezkTtgZzGekTtg1001000101)( 1)(*()()( 1 )(* (2) 脈沖傳遞函數(shù)也可由G(s)經(jīng)部分分式法，直接直接查查Z Z變換和拉普拉斯變換

26、對應表求得變換和拉普拉斯變換對應表求得。 1）典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)比例環(huán)節(jié) 慣性環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié) 微分環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié) 延遲環(huán)節(jié)a 比例環(huán)節(jié)KRRsG12)(KzG)(放大系數(shù)(增益)b 慣性環(huán)節(jié)11)(TssGTtesTsLtc1111)(1慣性時間常數(shù)11)(1TsKsCRRRsGfffc 積分環(huán)節(jié) Ti =RC為積分時間常數(shù)，它是輸出量以零增長到等于輸入量所需的時間。 積分環(huán)節(jié)的另一特點是輸入量降至零時，輸出將保持當時數(shù)值不變，即具有保持功能或記憶功能。 控制系統(tǒng)中常用積分環(huán)節(jié)來改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。sTsGi1)(iiTtssTLtc11)(1d 微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的特點是輸出量中含有輸入量的微分，

27、輸出量的大小和輸入量的變化率有關。理想微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 G(s)=Tds一階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 G(s)=Tds+1由于實際元件具有慣性，因此實際微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 微分時間常數(shù)1)(sTsTKsGddd放大系數(shù)11;RRKCRTfdde 振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的特點是具有兩個儲能元件，而當輸入量發(fā)生階躍變化時，兩個儲能元件的能量能夠互相轉換，因而其輸出量具有振蕩的形式。振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為2222)(nnnsssG無阻尼自然振蕩角頻率阻尼比11)(2RCsLCssGf 延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)又稱為純滯后環(huán)節(jié)，其特點是輸入量在某一時刻變化后，輸出量仍然維持原值不變，經(jīng)過一段時間之后，輸出量才復現(xiàn)輸

28、入量。延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為sesG)(純滯后時間，由信號傳輸引起 系統(tǒng)中含有延遲環(huán)節(jié)，將給系統(tǒng)帶來不利的影響，要盡可能縮短純滯后時間。 TzzG)(例2.9 已知 解 式中式中e e-Ts-Ts相當于將采樣延遲了相當于將采樣延遲了T T時間時間。 根據(jù)Z變換的線性定理和滯后定理線性定理和滯后定理，再通過查表，可得上式對應的脈沖傳遞函數(shù)為 11ssKsesGTs21(1)1T sGsKesss 1121111111(1)111()()(1)(1)TTTTTTzG zKzzzezKzTeeTezzez 3. 從方框圖獲取三三 開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) Z傳遞函數(shù)和傳遞函數(shù)的定義在形式上完全

29、相似，在進行結構圖簡化時，兩者之間有比較多的相似之處。 從輸入和輸出的性質(zhì)來看，傳遞函數(shù)所對應的輸入和輸出是模擬量，Z傳遞函數(shù)對應的輸入和輸出是脈沖序列。 因此，在離散系統(tǒng)分析中，同步采樣開關在系統(tǒng)組成環(huán)節(jié)之間的位置不同，將使系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)也不同。1 1 串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù) 在連續(xù)系統(tǒng)中，串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之積。 但對離散系統(tǒng)而言，串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖響應函數(shù)不一定如此，同各環(huán)節(jié)之間有無同步采樣開關有關。（1） 離散環(huán)節(jié)串聯(lián))()()()()(21zGzGzUzYzG（2） 連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)之間有采樣開關 兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)之間由同兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)之間由同步采樣開關

30、分隔。步采樣開關分隔。 每個環(huán)節(jié)的輸入變量每個環(huán)節(jié)的輸入變量與輸出變量的與輸出變量的離散關系離散關系獨獨立存在，有：立存在，有： 故該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)故該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為：為： )()()()()()()()()(2121zUzGzGzDzGzYzUzGzD)()()()()(21zGzGzUzYzG 結論：串聯(lián)環(huán)節(jié)有同結論：串聯(lián)環(huán)節(jié)有同步采樣開關時，系統(tǒng)的脈步采樣開關時，系統(tǒng)的脈沖函數(shù)等于兩個環(huán)節(jié)自身沖函數(shù)等于兩個環(huán)節(jié)自身脈沖傳遞函數(shù)的乘積。脈沖傳遞函數(shù)的乘積。 )()()()()(2121zGzGsGZsGZzG（3 3） 連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)之間無采樣開關連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)之間無采樣開關 串聯(lián)環(huán)

31、節(jié)之間的信號是連續(xù)時間信號，如圖2.3所示。 Y(s)圖2.3串聯(lián)環(huán)節(jié)間無采樣開關G1 (s)T U(z)U(s)Y1(s)Y(z)G2 (s)G(z) 輸出Y(z)與輸入U(z)之間總的Z傳遞函數(shù)并不等于兩個環(huán)節(jié)Z傳遞函數(shù)之積 兩個環(huán)節(jié)之間的信號傳遞是一個連續(xù)時間函數(shù)，即 上式對應的Z傳遞函數(shù)為 上式中符號 是 的縮寫，它表示先將串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)G1(s)與G2(s)相乘后，再求Z變換的過程。 )()()()()()(21sUsGsUsGsGsY1212( )( )( )( )G zG sGsG GzZ Z)(21zGG12( )( )G sGsZ Z 兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無同兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無

32、同步采樣開關分隔。步采樣開關分隔。 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)G（z）為為G(s)的的Z變換，該系統(tǒng)的變換，該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為：脈沖傳遞函數(shù)為： )()()()()(2121zGGsGsGZsGZzG 結論：串聯(lián)環(huán)節(jié)有無同步采樣開關時，系統(tǒng)的脈沖函結論：串聯(lián)環(huán)節(jié)有無同步采樣開關時，系統(tǒng)的脈沖函數(shù)等于兩個環(huán)節(jié)自身脈沖傳遞函數(shù)乘積采樣后的數(shù)等于兩個環(huán)節(jié)自身脈沖傳遞函數(shù)乘積采樣后的Z變換。變換。 )()()()(2121zGGsGsGZzG例例 兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)分別為：兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)分別為： a 同步采樣開關分隔。同步采樣開關分隔。 系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)傳遞函數(shù)為： b 無同步采樣開關分隔。無同步采樣開

33、關分隔。 系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)傳遞函數(shù)為： bssGassG1)(,1)(21btatezzezzzGzGzG)()()(21)()(1)()()(21btatbtatezezeezabzGzGZzG結論： n個環(huán)節(jié)串聯(lián)構成的系統(tǒng)，若各串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有有同步采樣開關同步采樣開關，總的Z傳遞函數(shù)等于各個串聯(lián)環(huán)節(jié)Z傳遞函數(shù)之積，即 如果在串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒有采樣開關沒有采樣開關，需要將這些串聯(lián)環(huán)節(jié)看成一個整體，求出其傳遞函數(shù) 然后再根據(jù)G(s)求G(z)。一般表示成 )()()()(21zGzGzGzGn)()()()(21sGsGsGsGn1212( )( )( )( )( )nnG zG s GsG

34、sG GGzZ Z 由討論可知，兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有同步采樣開關隔開的Z傳遞函數(shù)，等于每個環(huán)節(jié)Z傳遞函數(shù)的乘積。 在一般情況下，很容易證明： 在進行計算時，應引起注意。 )()()(2121zGzGzGG 對于兩個環(huán)節(jié)并聯(lián)的離散系統(tǒng)，輸入采樣開關設在總的輸入端，其效果相當于在每一個環(huán)節(jié)的輸入端分別設置一個采樣開關，如圖所示。 )()()(21zGzGzG)()()()()(2121zGzGsGsGZzG2 2 并聯(lián)環(huán)節(jié)的并聯(lián)環(huán)節(jié)的Z Z傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 根據(jù)圖可知，總的Z傳遞函數(shù)等于兩個環(huán)節(jié)Z傳遞函數(shù)之和，即 上述關系可以推廣到n個環(huán)節(jié)并聯(lián)時、在總總的輸出端與輸入端分別設有采樣開關時的輸出端與輸

35、入端分別設有采樣開關時的情況?？偟腪傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)Z傳遞函數(shù)之和，即 1212( )( )( )( )( )( )( )Y zG zU zGsGsGzGzZ Z)()()()(21zGzGzGzGn3 有零階保持器的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù))(1)()()(sGseZsGsGZzGTsh)(1)(1)(TsesGsZsGsZzG由線性定理由線性定理由滯后定理由滯后定理)(1)(11sGsZzesGsZTs)(1)(1)1 ()(1)(1)(11ssGZzzsGsZzsGsZzsGsZzG所以所以四四 閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 在連續(xù)系統(tǒng)中，閉環(huán)傳遞函數(shù)與相應的開環(huán)傳遞函數(shù)之間存在確定的關系

36、，故可用一個統(tǒng)一的方框圖來描述其閉環(huán)系統(tǒng)。 但在采樣系統(tǒng)中，由于采樣開關在系統(tǒng)中的位置有多種可能，因而對采樣系統(tǒng)而言，會有多種閉環(huán)結構形式。 因此閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)沒有統(tǒng)一的計算公式，只能根據(jù)系統(tǒng)的實際結構來求解。1 1 符號定義符號定義 設閉環(huán)系統(tǒng)輸出信號的Z變換為Y(z)，輸入信號的Z變換為R(z)，誤差信號的Z變換為E(z)，則有如下定義： 閉環(huán)Z傳遞函數(shù)： 閉環(huán)誤差Z傳遞函數(shù)： )()()(zRzYzW)()()(zRzEzWe誤差傳遞函數(shù)2 2 典型采樣控制系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)典型采樣控制系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)典型的采樣閉環(huán)控制系統(tǒng)等效結構變換圖)()()(zBzRzE)()()(zEzGzY)()()(zEzGFzB)(1)()()()(zGFzGzRzYzW)(1)()(zGFzRzE)(11)()()(zGFzRzEzWe閉環(huán)傳遞函數(shù)例例 采樣控制系統(tǒng)如圖，采樣控制系統(tǒng)如圖， 計算系統(tǒng)的閉計算系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。TTTezezzeassZzG)1()1(10)(10)(2系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：)(10)(asssG系統(tǒng)反饋環(huán)節(jié)為單位1，系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：TTTzGFezezzezGzGzGFzGzRzYzW)119()1(10)(1)(|)(1)()()()(