反常積分的審斂法教學文稿

1、反常積分的審斂法一、無窮限的廣義積分的審斂法一、無窮限的廣義積分的審斂法收收斂斂上上有有界界，則則廣廣義義積積分分在在若若函函數(shù)數(shù)且且上上連連續(xù)續(xù)，在在區(qū)區(qū)間間定定理理設設函函數(shù)數(shù) axadxxfadttfxFxfaxf)(),)()(0)(),)( 不通過被積函數(shù)的原函數(shù)判定廣義積分收不通過被積函數(shù)的原函數(shù)判定廣義積分收斂性的判定方法斂性的判定方法.由定理由定理1，對于非負函數(shù)的無窮限的廣義積，對于非負函數(shù)的無窮限的廣義積分有以下比較收斂原理分有以下比較收斂原理例例.1134的的收收斂斂性性判判別別廣廣義義積積分分 xdx解解,111103/43434xxx , 134 p根據(jù)比較審斂法，根

2、據(jù)比較審斂法，.1134收收斂斂廣廣義義積積分分 xdx發(fā)散發(fā)散則則或或如果如果收斂；收斂；存在，則存在，則使得使得，如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設函數(shù)設函數(shù)極限審斂法極限審斂法定理定理 axxapxdxxfxxfdxxfdxxfxfxpxfaaxf)(),)(lim(0)(lim)()(lim1. 0)()0(),)()(4例例.112的的收收斂斂性性判判別別廣廣義義積積分分 xxdx解解, 111lim22 xxxx所給廣義積分收斂所給廣義積分收斂例例.1122/3的收斂性的收斂性判別廣義積分判別廣義積分dxxx 解解2222/31lim1limxxxxxxxx

3、 , 根據(jù)極限審斂法，所給廣義積分發(fā)散根據(jù)極限審斂法，所給廣義積分發(fā)散例例.arctan1的的收收斂斂性性判判別別廣廣義義積積分分dxxx 解解xxxxxxarctanlimarctanlim ,2 根據(jù)極限審斂法，所給廣義積分發(fā)散根據(jù)極限審斂法，所給廣義積分發(fā)散也收斂也收斂收斂；則收斂；則如果如果上連續(xù)，上連續(xù)，在區(qū)間在區(qū)間設函數(shù)設函數(shù)定理定理 aadxxfdxxfaxf)()(),)(5證證).)()(21)(xfxfx 令令, )()(0)(xfxx ，且且,)(收斂收斂dxxfa .)(也也收收斂斂dxxa , )()(2)(xfxxf 但但,)()(2)( bababadxxfdxx

4、dxxf .)()(2)( aaadxxfdxxdxxf 即即收斂收斂.)(5稱稱為為絕絕對對收收斂斂條條件件的的廣廣義義積積分分滿滿足足定定理理定定義義 adxxf必定收斂必定收斂絕對收斂的廣義積分絕對收斂的廣義積分 adxxf)(例例5.)0,(sin0的收斂性的收斂性常數(shù)常數(shù)都是都是判別廣義積分判別廣義積分 abadxbxeax解解.,sin0收收斂斂而而 dxeebxeaxaxax.sin0收斂收斂 dxbxeax所以所給廣義積分收斂所以所給廣義積分收斂.二、無界函數(shù)的廣義積分的審斂法二、無界函數(shù)的廣義積分的審斂法.)(),()()(10)(),()()(10.)(lim, 0)(,(

5、)()2(60發(fā)散發(fā)散則廣義積分則廣義積分，使得，使得及及收斂；如果存在常數(shù)收斂；如果存在常數(shù)則廣義積分則廣義積分，使得，使得及及常數(shù)常數(shù)如果存在如果存在上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設函數(shù)設函數(shù)比較審斂法比較審斂法定理定理 baqbaqaxdxxfbxaaxNxfqNdxxfbxaaxMxfqMxfxfbaxf發(fā)散發(fā)散分分則廣義積則廣義積或或，使得，使得如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)收斂；收斂；則廣義積分則廣義積分存在存在，使得，使得如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設函數(shù)設函數(shù)極限審斂法極限審斂法定理定理 baqaxqaxbaqaxaxdxxfxfaxdxfaxqdxxf

6、xfaxqxfxfbaxf)(),)()(lim(0)()(lim1)(,)()(lim10.)(lim, 0)(,()()2(0000例例6.ln31的的收收斂斂性性判判別別廣廣義義積積分分 xdx解解的的左左鄰鄰域域內內無無界界被被積積函函數(shù)數(shù)在在點點1 x由洛必達法則知由洛必達法則知xxxxx11limln1)1(lim0101 , 01 根據(jù)極限審斂法根據(jù)極限審斂法2,所給廣義積分發(fā)散所給廣義積分發(fā)散.例例7.1sin31的收斂性的收斂性判別廣義積分判別廣義積分dxxx 解解也也收收斂斂從從而而dxxx 101sin收斂，收斂，而而 1,11sinxdxxxx收斂，收斂，dxxx 10

7、1sin根據(jù)比較審斂原理根據(jù)比較審斂原理,例8. 判定橢圓積分判定橢圓積分) 1()1)(1 (d210222kxkxx散性 . 解解:,1為瑕點此處x由于 1limx的斂21) 1( x)1)(1 (1222xkx)1)(1 (1lim221xkxx)1 (212k根據(jù)極限審斂法 2 , 橢圓積分收斂 . 類似定理類似定理5, 有下列結論有下列結論:,)(d)(baaxxf收斂為瑕點若反常積分例例9. 判別反常積分xxxdln10的斂散性 .解解:,d)(baxxf收斂稱為絕對收斂 . ,0為瑕點此處x,0lnlim410 xxx因, 1ln,41xxx 有的故對充分小從而 4141lnln

8、xxxxx411x據(jù)比較審斂法2, 所給積分絕對收斂 .則反常積分 )0()(01 sdxxessx定義定義特點特點: 1.積分區(qū)間為無窮積分區(qū)間為無窮;.001. 2右右領領域域內內無無界界的的時時被被積積函函數(shù)數(shù)在在點點當當 xs,1121011 dxxeIdxxeIsxsx設設;,1)1(1是常義積分是常義積分時時當當Is ,10時時當當 s函函數(shù)數(shù)三三、 ,111111sxssxxexxe ., 2, 111收收斂斂根根據(jù)據(jù)比比較較審審斂斂法法而而Is , 0lim)(lim)2(112 xsxsxxexxex., 12也也收收斂斂根根據(jù)據(jù)極極限限審審斂斂法法I.0)2(),1(01均

9、均收收斂斂對對知知由由 sdxxesxs)(s o 函數(shù)的幾個重要性質：函數(shù)的幾個重要性質：).0()()1( ssss遞推公式遞推公式.)(0 ss時時，當當).10(sin)1()(3 ssss余余元元公公式式.2)()(0122012 duuesuxdxxessusx有有，中中，作作代代換換在在 四、小結四、小結比較審斂法極限審斂法無窮限的廣義積分審斂法比較審斂法極限審斂法無界函數(shù)的廣義積分審斂法廣廣義義積積分分審審斂斂法法絕對收斂絕對收斂練練 習習 題題;23. 4;)(ln. 3;1sin. 2;1. 12132213120242 xxdxxdxdxxdxxxx的收斂性：的收斂性：一、判別下列廣義積分一、判別下列廣義積分.)1(ln. 2);0(. 1100 dxxndxepxn收斂范圍：收斂范圍：指出這些積分的指出這些積分的函數(shù)表