反常積分的審斂法教學(xué)文稿

1、反常積分的審斂法一、無(wú)窮限的廣義積分的審斂法一、無(wú)窮限的廣義積分的審斂法收收斂斂上上有有界界，則則廣廣義義積積分分在在若若函函數(shù)數(shù)且且上上連連續(xù)續(xù)，在在區(qū)區(qū)間間定定理理設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) axadxxfadttfxFxfaxf)(),)()(0)(),)( 不通過(guò)被積函數(shù)的原函數(shù)判定廣義積分收不通過(guò)被積函數(shù)的原函數(shù)判定廣義積分收斂性的判定方法斂性的判定方法.由定理由定理1，對(duì)于非負(fù)函數(shù)的無(wú)窮限的廣義積，對(duì)于非負(fù)函數(shù)的無(wú)窮限的廣義積分有以下比較收斂原理分有以下比較收斂原理例例.1134的的收收斂斂性性判判別別廣廣義義積積分分 xdx解解,111103/43434xxx , 134 p根據(jù)比較審斂法，根

2、據(jù)比較審斂法，.1134收收斂斂廣廣義義積積分分 xdx發(fā)散發(fā)散則則或或如果如果收斂；收斂；存在，則存在，則使得使得，如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)極限審斂法極限審斂法定理定理 axxapxdxxfxxfdxxfdxxfxfxpxfaaxf)(),)(lim(0)(lim)()(lim1. 0)()0(),)()(4例例.112的的收收斂斂性性判判別別廣廣義義積積分分 xxdx解解, 111lim22 xxxx所給廣義積分收斂所給廣義積分收斂例例.1122/3的收斂性的收斂性判別廣義積分判別廣義積分dxxx 解解2222/31lim1limxxxxxxxx

3、 , 根據(jù)極限審斂法，所給廣義積分發(fā)散根據(jù)極限審斂法，所給廣義積分發(fā)散例例.arctan1的的收收斂斂性性判判別別廣廣義義積積分分dxxx 解解xxxxxxarctanlimarctanlim ,2 根據(jù)極限審斂法，所給廣義積分發(fā)散根據(jù)極限審斂法，所給廣義積分發(fā)散也收斂也收斂收斂；則收斂；則如果如果上連續(xù)，上連續(xù)，在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)定理定理 aadxxfdxxfaxf)()(),)(5證證).)()(21)(xfxfx 令令, )()(0)(xfxx ，且且,)(收斂收斂dxxfa .)(也也收收斂斂dxxa , )()(2)(xfxxf 但但,)()(2)( bababadxxfdxx

4、dxxf .)()(2)( aaadxxfdxxdxxf 即即收斂收斂.)(5稱(chēng)稱(chēng)為為絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂條條件件的的廣廣義義積積分分滿(mǎn)滿(mǎn)足足定定理理定定義義 adxxf必定收斂必定收斂絕對(duì)收斂的廣義積分絕對(duì)收斂的廣義積分 adxxf)(例例5.)0,(sin0的收斂性的收斂性常數(shù)常數(shù)都是都是判別廣義積分判別廣義積分 abadxbxeax解解.,sin0收收斂斂而而 dxeebxeaxaxax.sin0收斂收斂 dxbxeax所以所給廣義積分收斂所以所給廣義積分收斂.二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分的審斂法二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分的審斂法.)(),()()(10)(),()()(10.)(lim, 0)(,(

5、)()2(60發(fā)散發(fā)散則廣義積分則廣義積分，使得，使得及及收斂；如果存在常數(shù)收斂；如果存在常數(shù)則廣義積分則廣義積分，使得，使得及及常數(shù)常數(shù)如果存在如果存在上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)比較審斂法比較審斂法定理定理 baqbaqaxdxxfbxaaxNxfqNdxxfbxaaxMxfqMxfxfbaxf發(fā)散發(fā)散分分則廣義積則廣義積或或，使得，使得如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)收斂；收斂；則廣義積分則廣義積分存在存在，使得，使得如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)極限審斂法極限審斂法定理定理 baqaxqaxbaqaxaxdxxfxfaxdxfaxqdxxf

6、xfaxqxfxfbaxf)(),)()(lim(0)()(lim1)(,)()(lim10.)(lim, 0)(,()()2(0000例例6.ln31的的收收斂斂性性判判別別廣廣義義積積分分 xdx解解的的左左鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)無(wú)無(wú)界界被被積積函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)1 x由洛必達(dá)法則知由洛必達(dá)法則知xxxxx11limln1)1(lim0101 , 01 根據(jù)極限審斂法根據(jù)極限審斂法2,所給廣義積分發(fā)散所給廣義積分發(fā)散.例例7.1sin31的收斂性的收斂性判別廣義積分判別廣義積分dxxx 解解也也收收斂斂從從而而dxxx 101sin收斂，收斂，而而 1,11sinxdxxxx收斂，收斂，dxxx 10

7、1sin根據(jù)比較審斂原理根據(jù)比較審斂原理,例8. 判定橢圓積分判定橢圓積分) 1()1)(1 (d210222kxkxx散性 . 解解:,1為瑕點(diǎn)此處x由于 1limx的斂21) 1( x)1)(1 (1222xkx)1)(1 (1lim221xkxx)1 (212k根據(jù)極限審斂法 2 , 橢圓積分收斂 . 類(lèi)似定理類(lèi)似定理5, 有下列結(jié)論有下列結(jié)論:,)(d)(baaxxf收斂為瑕點(diǎn)若反常積分例例9. 判別反常積分xxxdln10的斂散性 .解解:,d)(baxxf收斂稱(chēng)為絕對(duì)收斂 . ,0為瑕點(diǎn)此處x,0lnlim410 xxx因, 1ln,41xxx 有的故對(duì)充分小從而 4141lnln

8、xxxxx411x據(jù)比較審斂法2, 所給積分絕對(duì)收斂 .則反常積分 )0()(01 sdxxessx定義定義特點(diǎn)特點(diǎn): 1.積分區(qū)間為無(wú)窮積分區(qū)間為無(wú)窮;.001. 2右右領(lǐng)領(lǐng)域域內(nèi)內(nèi)無(wú)無(wú)界界的的時(shí)時(shí)被被積積函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)當(dāng)當(dāng) xs,1121011 dxxeIdxxeIsxsx設(shè)設(shè);,1)1(1是常義積分是常義積分時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Is ,10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) s函函數(shù)數(shù)三三、 ,111111sxssxxexxe ., 2, 111收收斂斂根根據(jù)據(jù)比比較較審審斂斂法法而而Is , 0lim)(lim)2(112 xsxsxxexxex., 12也也收收斂斂根根據(jù)據(jù)極極限限審審斂斂法法I.0)2(),1(01均

9、均收收斂斂對(duì)對(duì)知知由由 sdxxesxs)(s o 函數(shù)的幾個(gè)重要性質(zhì)：函數(shù)的幾個(gè)重要性質(zhì)：).0()()1( ssss遞推公式遞推公式.)(0 ss時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)).10(sin)1()(3 ssss余余元元公公式式.2)()(0122012 duuesuxdxxessusx有有，中中，作作代代換換在在 四、小結(jié)四、小結(jié)比較審斂法極限審斂法無(wú)窮限的廣義積分審斂法比較審斂法極限審斂法無(wú)界函數(shù)的廣義積分審斂法廣廣義義積積分分審審斂斂法法絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂練練 習(xí)習(xí) 題題;23. 4;)(ln. 3;1sin. 2;1. 12132213120242 xxdxxdxdxxdxxxx的收斂性：的收斂性：一、判別下列廣義積分一、判別下列廣義積分.)1(ln. 2);0(. 1100 dxxndxepxn收斂范圍：收斂范圍：指出這些積分的指出這些積分的函數(shù)表