2020年高考數(shù)學(xué)(文)二輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)專題07立體幾何

1、專題07 立體幾何立體幾何的知識是高中數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容之一，它主要研究簡單空間幾何體的位置和數(shù)量關(guān)系.本專題內(nèi)容分為三部分：一是點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系，二是簡單空間幾何體 的結(jié)構(gòu)，三是空間向量與立體幾何.在本專題中，我們將首先復(fù)習(xí)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系，特別是對特殊位置關(guān)系(平行與垂直)的研究 ；其后，我們復(fù)習(xí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)，主要是柱體、錐體、臺體和球等的性質(zhì)與運(yùn)算；最后，我們通過空間向量的工具證 明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些命題，并解決線線、線面、面面的夾角問題.§ 7-1點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系【知識要點(diǎn)】1 .空間直線和平面的位置關(guān)系：(1)空間兩條直線：有公

2、共點(diǎn)：相交，記作： a A b = A,其中特殊位置關(guān)系：兩直線垂直相交.無公共點(diǎn)：平行或異面.平行，記作：a/ b.異面中特殊位置關(guān)系：異面垂直.(2)空間直線與平面：有公共點(diǎn)：直線在平面內(nèi)或直線與平面相交.直線在平面內(nèi)，記作：a .直線與平面相交，記作：an =A,其中特殊位置關(guān)系：直線與平面垂直相交.無公共點(diǎn)：直線與平面平行，記作： a /.(3)空間兩個平面：有公共點(diǎn)：相交，記作： n =l,其中特殊位置關(guān)系：兩平面垂直相交.無公共點(diǎn)：平行，記作： /.2 .空間作為推理依據(jù)的公理和定理：(1)四個公理與等角定理：公理1 :如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此

3、平面內(nèi).公理2:過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面.公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.定理：空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ).(2)空間中線面平行、垂直的性質(zhì)與判定定理：判定定理：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面平行.如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.性質(zhì)定理：如果一條

4、直線與一個平面平行，那么經(jīng)過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線 平行.如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線相互平行.垂直于同一個平面的兩條直線平行.如果兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直.（3）我們把上述判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行整理，得到下面的位置關(guān)系圖：直坡"直線直線/平面 T' 平面/平面直線±直線.宜城±平面 平面X平面【復(fù)習(xí)要求】1 . 了解四個公理與等角定理；2 .理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；3 .能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題. 【例題分析】例1如

5、圖，在正方體 ABCD AiBiCiDi中，E, F分別是AB, AAi的中點(diǎn).求證：（I）E、C、Di、F四點(diǎn)共面；（n）CE、DA、DiF三線共點(diǎn).A E 8P【分析】對于（I）中證明" E、C、Di、F四點(diǎn)共面”，可由這四點(diǎn)連接成兩條直線，證 明它們平行或相交即可；對于 （II）中證明" CE、DA、DiF三線共點(diǎn)”，可證其中兩條相交直 線的交點(diǎn)位于第三條直線上.證明：（I ）連接 DiC、AiB、EF.- E, F分另是AB, AAi的中點(diǎn)，_ i EF/AiB, EF AB，2又 AiDi/ BC, AiDi = BC, AiDiCB是平行四邊形. - AiB/

6、DiC, EF / DiC, E、C、Di、F四點(diǎn)共面.i”（n ）由（I ）得 EF/CDi, EF -CDi,2 直線CE與直線 DiF必相交，記 CE A DiF = P, .PCDiF 平面 AiADDi, PCCE 平面 ABCD, 點(diǎn)P是平面AiADDi和平面 ABCD的一個公共點(diǎn).,平面 AiADDiA 平面 ABCD = AD,PC ad, .CE、DA、DiF三線共點(diǎn).【評述】i、證明多點(diǎn)共面、多點(diǎn)共線、多線共面的主要依據(jù)：（i）證明多點(diǎn)共面常用公理 2及其推論；(2)證明多點(diǎn)共線常用公理 3,即證明點(diǎn)在兩個平面內(nèi)，從而點(diǎn)在這兩個平面的交線上；(3)證明多線共面，首先由其中兩

7、直線確定平面，再證其余直線在此平面內(nèi).2、證明a, b, c三線交于一點(diǎn)的主要依據(jù)：(1)證明a與b相交，c與b相交，再證明兩交點(diǎn)重合；(2)先證明a與b相交于點(diǎn)P,再證明PCc.例2 在四錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，M, N分別是AB, PC的中 點(diǎn)，求證：MN /平面PAD.出現(xiàn)了中點(diǎn)的條件，因此可考慮構(gòu)造(添加)中位線輔助證明.證明：方法一，取PD中點(diǎn)E,連接AE, NE.底面ABCD是平行四邊形，M, N分別是AB, PC的中點(diǎn), 1 ”.MA/CD, MA -CD.2E是PD的中點(diǎn)，. 一 1” .NE/CD, NE -CD.2 .MA/ NE,且 MA = NE, .

8、AENM是平行四邊形，MN / AE.又AE 平面PAD, MN 平面PAD, .MN/平面 FAD.方法二取CD中點(diǎn)F,連接MF, NF. MF / AD, NF / PD, 平面 MNF /平面PAD, .MN/平面 PAD.【評述】關(guān)于直線和平面平行的問題，可歸納如下方法:證明線線平行：a"c, b“c,a / a, a 3a / 3a_L a, b_L aaCl 3= bn a= a,n 3= ba / ba / ba / ba/ b(2)證明線面平行:a A a=a / ba/ 3ba, a aa 3a /aa / aa /a(3)證明面面平行:aCl 3=a /3, b/

9、 3a± a, a± 3a/,3 Ha, ba, a Ab = Aa/ 3a/ 3a/ 3a /3例 3 在直三棱柱 ABC AiBiCi 中，AAi = AC, ABXAC,求證：AiC±BCi,【分析】要證明“線線垂直”，可通過“線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，因此設(shè)法證明AiC垂直于經(jīng)過BCi的平面即可.證明：連接ACi.''' ABC AiBiCi是直三棱柱，AAi,平面 ABC, ABXAAi.又 AB± AC, .AB,平面 AiACCi, AiCXAB.又 AAi = AC,，側(cè)面AiACCi是正方形， AiCXACi.由，得

10、AiC,平面ABCi, AiCXBCi.【評述】空間中直線和平面垂直關(guān)系的論證往往是以“線面垂直”為核心展開的.如本題已知條件中出現(xiàn)的“直三棱柱”及“ABLAC”都要將其向“線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化.例4 在三棱錐 P-ABC中，平面PABL平面 ABC, ABXBC, API PB,求證：平面PAC ，平面PBC.【分析】要證明“面面垂直”，可通過“線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，而“線面垂直”又 可 以通過“線線垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化.證明： 平面 PABL平面 ABC,平面 FABA平面 ABC = AB,且 ABXBC,BC，平面 PAB, APXBC.又 API PB, .APL平面 PBC,又AP 平面PA

11、C, 平面PAC，平面 PBC.【評述】 關(guān)于直線和平面垂直的問題，可歸納如下方法:證明線線垂直：a±c, b / c,a± ab aa± ba±b(1)證明線面垂直:a±m, a±na / b, b± aall 3, a，t3aX 3,aA 0= lm, n a, mCn=Aa3, alla± aa± aa± aa± a(1)證明面面垂直:例5 如圖，在余三棱柱 ABCAiBiCi中，側(cè)面AiABBi是菱形，且垂直于底面 ABC, ZAiAB = 60° , E, F 分別

12、是 ABi, BC 的中點(diǎn).(I)求證：直線EF/平面AiACCi;(II)在線段AB上確定一點(diǎn)G,使平面EFGL平面ABC,并給出證明.證明：(I )連接AiC, AiE.側(cè)面AiABBi是菱形，E是ABi的中點(diǎn)，.E也是AiB的中點(diǎn)，又F是BC的中點(diǎn)，EF / AiC. AiC 平面 AiACCi, EF 平面 AiACCi,直線 EF /平面 AiACCi.(2)解：當(dāng)"G 1時，平面EFGL平面ABC,證明如下：GA 3連接EG, FG.側(cè)面AiABBi是菱形，且/ AiAB=60° ,AiAB是等邊三角形.一 ，一BG iE 是 AiB 的中點(diǎn)， -,EGXAB.

13、GA 3平面 AiABBi，平面 ABC,且平面 AiABBi n平面 ABC = ABEG，平面 ABC.又EG 平面EFG, ,平面 EFG，平面ABC.練習(xí)71、選擇題:1.已知m, n是兩條不同直線,是三個不同平面，下列命題中正確的是()(B)若 m， , n±(D)若 m /, m /(A)若 m /, n / ，則 m / n(C)若 ± ,，則/2.已知直線m, n和平面(A)n±(C)n±,且 m± n, m±,，則(B) n /，或 n(D) n /，或 n3 .設(shè)a, b是兩條直線，、 是兩個平面，則ab的一個充分

14、條件是()(A)a± , b/ ,±(B)a± , b± ,/(C)a , b± ,/(D)a , b/,±4 .設(shè)直線m與平面 相交但不垂直，則下列說法中正確的是()(A)在平面 內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直(B)過直線m有且只有一個平面與平面垂直(C)與直線m垂直的直線不可能與平面平行(D)與直線m平行的平面不可能與平面垂直二、填空題：5 .在三棱錐 P ABC 中，PA PB J6 ,平面 PABL平面 ABC, PAX PB, ABXBC, /BAC=30° ,貝U PC =.6 .在直四棱柱 ABCD AiBiC

15、iDi中，當(dāng)?shù)酌?ABCD滿足條件 時，有AiC±BiDi.(只 要求寫出一種條件即可)7 .設(shè)， 是兩個不同的平面， m, n是平面 ， 之外的兩條不同直線，給出四個論斷：m,n ±n，m，以其中三個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出正確的一個命題 .8 .已知平面 ，平面 ， n =l,點(diǎn)AC , A l,直線 AB/ l,直線 AC±l,直線 m/,m/ ,給出下列四種位置： AB/ m；AC，m；AB/ ; AC± ,上述四種位置關(guān)系中，不一定成立的結(jié)論的序號是 .三、解答題：9 .如圖，三棱錐 PABC的三個側(cè)面均為邊長是 1的等邊三角

16、形，M, N分別為PA, BC 的中點(diǎn).(I )求MN的長；(II)求證：PAXBC.10 .如圖，在四面體 ABCD中，CB=CD, ADXBD,且E、F分別是 AB、BD的中點(diǎn).求 證：(I )直線EF /平面ACD ;(II)平面EFCL平面 BCD.11 .如圖，平面ABEFL平面ABCD,四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，/BAD = / FAB。_1 1 一=90 , BC/ AD, BC AD,BEAF,BE AF , G, H 分別為 FA, FD 的中點(diǎn).22(I)證明：四邊形 BCHG是平行四邊形；(n)C, D, F, E四點(diǎn)是否共面？為什么？(m)i AB=BE,證

17、明：平面 ADEL平面 CDE.§ 7 2空間幾何體的結(jié)構(gòu)【知識要點(diǎn)】1 .簡單空間幾何體的基本概念:韻堤與底面耳垂H 始3tH校拄-斜棱柱1晚與底血前貢底瓦是正者勸幫十3 戶<£雄柱*正棱柱.(2)特殊的四棱柱:人一底面是不行兇也夠工H j 健檢與底曲藤宜上底面是姐盛校柱- 平行六面體''直平打六面體-長方休正四棱柱正力體(3)其他空間幾何體的基本概念:幾何體基本概念正棱錐底向是止多面形，并且頂點(diǎn)在底向的射影是底向的中心正棱臺正棱錐被平行于底面的平面所截，截面與底面間的幾何體是正棱臺圓柱以矩形的一邊所在的直線為軸，將矩形旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體圓錐

18、以直角三角形的一邊所在的直線為軸，將直角三角形旋轉(zhuǎn)形成的曲面 圍成的幾何體圓臺以直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為軸，將直角梯形旋轉(zhuǎn)一周形成 的曲面圍成的幾何體球面半圓以它的直徑為軸旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)而成的曲面球球面所圍成的幾何體2.簡單空間幾何體的基本性質(zhì):幾何體性質(zhì)補(bǔ)充說明棱柱(i)側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形(2)兩個底向與平行于底向的故囿是全 等的多邊形(3)過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面(對角面) 是平行四邊形(i)直棱柱的側(cè)棱長與圖相等，側(cè)面 及對角面都是矩形(2)長方體一條對角線的平方等于一個頂點(diǎn)上三條棱長的平方和正棱錐(i)側(cè)棱都相等，側(cè)面是全等的等腰三角 形(2)棱錐的高、斜高和斜高在底

19、面上的射 影組成一個直角三角形；棱錐的高、側(cè) 棱和側(cè)棱在底面上的射影也組成一個 直角三角形球(i)球心和球的截面圓心的連線垂直于 截回(2)球心到截面的距離d,球的半徑R,面圓的半徑r滿足rJr2d2(i)過球心的截面叫球的大圓，不過 球心的截面叫球的小圓(2)在球面上，兩點(diǎn)之間的最短距 離，就是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度(兩點(diǎn)的球面距離)3 .簡單幾何體的三視圖與直觀圖：(1)平行投影：概念：如圖，已知圖形 F,直線l與平面 相交，過F上任意一點(diǎn) M作直線MMi平 行于1,交平面 于點(diǎn)Mi,則點(diǎn)Mi叫做點(diǎn)M在平面 內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影.如果圖形 F上的所有點(diǎn)在平面內(nèi)關(guān)于直線

20、l的平行投影構(gòu)成圖形 Fi,則Fi叫圖形F在 內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影.平面 叫投射面，直線l叫投射線.平行投影的性質(zhì)：性質(zhì)1.直線或線段的平行投影仍是直線或線段；性質(zhì)2.平行直線的平行投影是平行或重合的直線；性質(zhì)3.平行于投射面的線段，它的投影與這條線段平行且等長；性質(zhì)4.與投射面平行的平面圖形，它的投影與這個圖形全等；性質(zhì)5.在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比.(2)直觀圖：斜二側(cè)畫法畫簡單空間圖形的直觀圖.(3)三視圖：正視圖左視困僻視窗正投影：在平行投影中，如果投射線與投射面垂直，這樣的平行投影叫做正投影.三視圖：選取三個兩兩垂直的平面作為投射面.若投射面水平

21、放置，叫做水平投射面，投射到這個平面內(nèi)的圖形叫做俯視圖；若投射面放置在正前方， 叫做直立投射面，投射到這個平面內(nèi)的圖形叫做主視圖；和直立、水平兩個投射面都垂直的投射面叫做側(cè)立投射面，投射到這個平面內(nèi)的圖形叫做左視圖.將空間圖形向這三個平面做正投影，然后把三個投影按右圖所示的布局放在一個水平面內(nèi)，這樣構(gòu)成的圖形叫空間圖形的三視圖.畫三視圖的基本原則是“主左一樣高，主俯一樣長，俯左一樣寬”4 .簡單幾何體的表面積與體積：(1)柱體、錐體、臺體和球的表面積：S直棱柱側(cè)面積= ch,其中c為底面多邊形的周長，h為直棱柱的高.S正棱錐形面和1ch ,其中c為底面多邊形的周長，hz為正棱錐的斜高2 1 ,

22、 S正棱臺側(cè)面積 一(c c)h ,其中c , c分力1J是梭臺的上、下底面周長，hz為正梭臺2的斜高.S圓柱側(cè)面積=2 Rh,其中R是圓柱的底面半徑，h是圓柱的高.S圓錐側(cè)面積=Rl, 其中R是圓錐的底面半徑，l是圓錐的母線長.S球=4 R2,其中R是球的半徑.(2)柱體、錐體、臺體和球的體積：V柱體=Sh,其中S是柱體的底面積，h是柱體的高.1 -一 -V錐體 -Sh,其中S是錐體的底面積，h是錐體的局.V臺體 1h(S <SS S),其中S- S分別是臺體的上、下底面的面積，h為臺體的高.V球 4#3,其中R是球的半徑.3【復(fù)習(xí)要求】1. 了解柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征

23、；2 .會畫出簡單幾何體的三視圖，會用斜二側(cè)法畫簡單空間圖形的直觀圖;3 .理解球、棱柱、棱錐、臺的表面積與體積的計(jì)算公式.【例題分析】例1如圖，正三棱錐 PABC的底面邊長為a,側(cè)棱長為b.D(I)證明：PAXBC;的表面積;的體積.(n )求三棱錐 P ABC(出)求三棱錐 P-ABC【分析】對于(I)只要證明BC(PA)垂直于經(jīng)過PA(BC)的平面即可；對于(II)則要根據(jù)正 三棱錐的基本性質(zhì)進(jìn)行求解.證明：(I )取BC中點(diǎn)D ,連接AD , PD. P-ABC是正三棱錐， .ABC是正三角形，三個側(cè)面 PAB, PBC, PAC是全等的等腰三角形. D 是 BC 的中點(diǎn)，BCLAD,

24、且 BCLPD, BC，平面 PAD, PAXBC.(n)解:在RtA PBD 中，PD x PB2 BD2 174b2婀 pd 4 4b2 a2. 三個側(cè)面 PAB, PBC, PAC是全等的等腰三角形,，三棱錐P ABC的側(cè)面積是3a ,4b2 a2.4.ABC是邊長為a的正三角形，三棱錐 P-ABC的底面積是，三棱錐P-ABC3a的表面積為43a 4b243a /(a412b2 3a2)(出)解：過點(diǎn)P作PO,平面ABC于點(diǎn)O,則點(diǎn)O是正 ABC的中心,-1OD -AD3- 3a 、. 3a在 RtAPOD 中,PO PD2 OD233 3江 3，三棱錐 P ABC 的體積為-7pV3b

25、2a2 % '3。2 a .34312【評述】1、解決此問題要求同學(xué)們熟悉正棱錐中的幾個直角三角形，如本題中的Rt POD,其中含有棱錐的高 PO;如RtAPBD,其中含有側(cè)面三角形的高PD,即正棱錐的斜高；如果連接 OC,則在RtAPOC中含有側(cè)棱.熟練運(yùn)用這幾個直角三角形，對解決正 棱錐的有關(guān)問題很有幫助.2、正n(n= 3, 4, 6)邊形中的相關(guān)數(shù)據(jù):正三角形止方形正六邊形邊長aaa對角線長缶長：2a；短：J3a邊心距<3 Taa2巨T a面積心2 Taa23代22 a外接圓半徑百 方a后Taa例2 如圖，正三棱柱 ABC AiBiCi中，E是AC的中點(diǎn).(I)求證：平面

26、 BECd平面 ACC1A1; (II)求證：ABi/平面 BECi.【分析】本題給出的三棱柱不是直立形式的直觀圖，這種情況下對空間想象能力提出了更高的要求，可以根據(jù)幾何體自身的性質(zhì)，適當(dāng)添加輔助線幫助思考.證明：(I ).ABC AiBiCi 是正三棱柱，. AAi,平面 ABC, BEXAAi.ABC是正三角形，E是AC的中點(diǎn)，BEXAC,，BE，平面 ACCiAi,又BE 平 面 BECi,平面BEC平面ACCiAi.(II)證明：連接 BiC,設(shè) BCiA BiC = D.BCCiBi 是矩形，D 是 BiC 的中點(diǎn)，DE / ABi.又DE 平面BECi, ABi 平面BECi,.A

27、Bi/平面 BECi .例3 在四棱錐 P-ABCD中，平面 PAD，平面 ABCD, AB/DC, PAD是等邊三角形，已知 BD=2AD = 8, AB 2DC 4/5.(I )設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，證明：平面 MBD，平面PAD;(II)求四棱錐P ABCD的體積.【分析】本題中的數(shù)量關(guān)系較多，可考慮從“算”的角度入手分析，如從 M是PC上 的動點(diǎn)分析知，MB, MD隨點(diǎn)M的變動而運(yùn)動，因此可考慮平面MBD內(nèi)“不動”的直線BD是否垂直平面 PAD.證明：(I)在4ABD中，由于 AD=4, BD=8, AB 4、后，所以 AD2+BD2=AB2.故 ADBD.又平面PAD，平面 ABCD,

28、平面PAD n平面 ABCD = AD, BD 平面 ABCD,所以BD，平面PAD,又BD 平面MBD,故平面 MBD，平面 PAD.(II )解：過 P作POLAD交AD于O,由于平面 PAD，平面 ABCD,所以POL平面 ABCD.因此PO為四棱錐P-ABCD的高，3又 PAD是邊長為4的等邊三角形.因此 PO 寸 4 2d3.在底面四邊形 ABCD中，AB/DC, AB=2DC,_一 一 . . 一 . . . . . . 4 8 8 5 一.所以四邊形 ABCD是梯形，在RtAADB中，斜邊AB邊上的圖為 一 ,即為 4.55梯形ABCD的高，所以四邊形ABCD的面積為S 濡，5

29、85 24.故 251Vp abcd24 2 3 16 3.3例4如下的三個圖中，上面的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖.它的主視圖和左視圖在下面畫出 (單位：cm)(I )畫出該多面體的俯視圖；(n)按照給出的尺寸，求該多面體的體積；(出)在所給直觀圖中連結(jié) BCJ證明：BC/ /平面EFG.【分析】畫三視圖的基本原則是“主左一樣高，主俯一樣長，俯左一樣寬” ，根據(jù)此原 則及相關(guān)數(shù)據(jù)可以畫出三視圖.證明：（I）該幾何體三視圖如下圖:C主視圖）（左視圖）（俯視圖） 11284,2、(n)所求多面體體積 V V長方體 V正三棱錐 4 4 6 -(- 2 2) 2 (cm2).一323(出

30、)證明：在長方體 ABCD A'B'C'D'中，連結(jié) AD',則AD' / BC'.因?yàn)镋, G分別為AA', A'D'中點(diǎn)， 所以AD' / EG,從而EG / BC '.又BC' 平面EFG , 所以BC' /平面EFG .DfCB2,例5 有兩個相同的直二梭柱，底面二角形的二邊長分力1J是3a, 4a, 5a,圖為一，其a中a>0.用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面積最小的一個是四 棱柱，求a的取值范圍.個三棱柱的表面積均是 2 x 6a2+ 6+8+

31、10 = 12a2+ 24 .情形：將兩個直三棱柱的底面重合拼在一起，只能拼成三棱柱，其表面積為:2X (12a2+24)2X6a2= 12a2+48.情形：將兩個直三棱柱的側(cè)面ABBiAi重合拼在一起，結(jié)果可能拼成三棱柱，也可能拼成四棱柱，但表面積一定是：2X (12a2+24)2X 8=24a2+32.情形：將兩個直三棱柱的側(cè)面ACCiAi重合拼在一起，結(jié)果可能拼成三棱柱，也可能拼成四棱柱，但表面積一定是：2X(12a2+24)2X 6=24a2+36.情形：將兩個直三棱柱的側(cè)面BCCiBi重合拼在一起，只能拼成四棱柱，其表面積為：2X (i2a2+ 24)2X i0=24a2+ 28在以

32、上四種情形中， 、的結(jié)果都比大， 所以表面積最小的情形只能在、中產(chǎn)5依題意“表面積最小的一個是四棱柱”，得24a2+28<i2a2 + 48,解得a2 5,3所以a的取值范圍是(0,號5)例6 在棱長為a的正方體 ABCDAiBiCiDi中，E, F分別是BBi, CD的中點(diǎn)，求三 棱車B F-AiEDi的體積.AiEDi,G到平面AiEDi的距離.3 S A|EG A DiF到平面AiEDi的【分析】計(jì)算三棱錐FAiEDi的體積時，需要確定錐體的高，即點(diǎn) 距離，直接求解比較困難.利用等積的方法，調(diào)換頂點(diǎn)與底面的方式，如VF AED VA EFD1 ,也不易計(jì)算，因此可以考慮使用等價(jià)轉(zhuǎn)化

33、的方法求解.解法i:取AB中點(diǎn)G,連接FG, EG, AiG.- GF / AD /AiDi,GF /平面F到平面AiEDi的距離等于點(diǎn)VF AiEDiVG AiEDiVDi AiEG解法2:取CCi中點(diǎn)H,連接FAi, FDi, FH ,FCi, DiH,并記 FCiA DiH= K.AiDi / EH , AiDi= EH,.Ai, Di , H , E 四點(diǎn)共面.AiDd平面 CiCDDi,FC±AiDi.又由平面幾何知識可得FCiDiH,. FC,平面AiDiHE.FK的長度是點(diǎn) F到平面AiDiHE(AiEDi)的距離.容易求得 FK 305 a, Vf a1ed11Sa1

34、ed1 FK103練習(xí)72、選擇題：1.將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則這個球的表面積為2.(A)2如圖是(B)4(C)8個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是(A)9(B)103.有一種圓柱體形狀的筆筒，底面半徑為(D)16(D)124. cm,高為12 cm.現(xiàn)要為100個這種相同規(guī)格的筆筒涂色(筆筒內(nèi)外均要涂色，筆筒厚度忽略不計(jì)).如果所用涂料每0.5 kg可以涂1 m2, 那么為這批筆筒涂色約需涂料()(A)1.23 kg(B)1.76 kg(C)2.46 kg(D)3.52 kg4.某幾何體的一條棱長為 J7,在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為 1

35、用的線段,在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a+b的最大值為()(A) 2 2(B) 2 . 3(C)4(D) 2.5二、填空題：5 .如圖，正三棱柱 ABC A1B1C1的每條棱長均為 2, E、F分別是BC、A1C1的中點(diǎn)，則 EF 的長等于.6 .將邊長為1的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得BD=1,則三棱錐D ABC的體積 是.7 . 一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面.已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個球面上，且該六棱柱的高為 J3,底面周長為3,則這個球的體積為 .8 .平面內(nèi)的一個四邊形為平行四邊形的充要條件有多個，如兩組對邊分別平行，類似

36、地， 寫出空間中的一個四棱柱為平行六面體的兩個充要條件：充要條件：充要條件：(寫出你認(rèn)為正確的兩個充要條件 )三、解答題：9 .如圖，在正四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，E是DDi的中點(diǎn).(I)求證：BDi/平面 ACE;(II)求證：平面 ACE，平面 BiBDDi .10 .已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖(或稱主視圖)是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖(或稱左視圖)是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形.6(I)求該幾何體的體積 V;(n)求該幾何體的側(cè)面積S.11 .如圖，已知 ABCDAiBiCiDi是棱長為3的正方體，點(diǎn) E在AAi上，點(diǎn)F在CCi上, 且

37、 AE= FCi= i.G H(I )求證：E, B, F, Di四點(diǎn)共面;一 一 2,、 一(n)若點(diǎn) G 在 BC 上，BG ,點(diǎn) M 在 BB1 上，GMLBF,求證：EM，面 BCCiBi.3習(xí)題71.、選擇題：關(guān)于空間兩條直線(A)若 a / b, b(C)若 a /, b/a、b和平面,則 a /,則 a / b,下列命題正確的是(B)若 a II(D)若 a±)b b±a / ba/ b2.正四棱錐的側(cè)棱長為2 33 ,底面邊長為2,則該棱錐的體積為(A)88(B)-3(C)6(D)23.已知正三棱柱 ABCAiBiCi的側(cè)棱長與底面邊長相等，則直線 角的正弦

38、值等于()ABi與側(cè)面ACCiAi所成4.、6(A)7.i0丁已知某個幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸 體的體積是()(單位:,3(D)2-cm),可得這個幾何20 側(cè)視耳:博視5.40003(A) cm3(C)2000cm3若三棱柱的一個側(cè)面是邊長為2的正方形,的菱形，則該棱柱的體積等于 ()80003(B) cm3(D)4000cm 3另外兩個側(cè)面都是有一個內(nèi)角為60°(A) -2(B) 2 . 2(C) 3.2(D) 4 2二、填空題：6 .已知正方體的內(nèi)切球的體積是4W3冗，則這個正方體的體積是 .7 .若正四棱柱 ABCD AiBiCiDi的底面邊長為1, ABi與底

39、面ABCD成60°角，則直線ABi 和BCi所成角的余弦值是.8 .若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為<3 ,則其外接球的表面積是 .9.連結(jié)球面上兩點(diǎn)的線段稱為球的弦.半徑為4的球的兩條弦 AB、CD的長度分別等于2用、4V3,每條弦的兩端都在球面上運(yùn)動，則兩弦中點(diǎn)之間距離的最大值為 .10 .已知AABC是等腰直角三角形， AB=AC=a, AD是斜邊BC上的高，以AD為折痕使/BDC成直角.在折起后形成的三棱錐A- BCD中，有如下三個結(jié)論：直線AD，平面BCD;側(cè)面ABC是等邊三角形；三棱錐A-BCD的體積是 a3.24其中正確結(jié)論的序號是 三、解答題：.(寫出全

40、部正確結(jié)論的序號)AB=AAi.MCB11 .如圖，正三棱柱 ABCAiBiCi中，D是BC的中點(diǎn),(I)求證:ADXBiD;(n )求證：AiC /平面 AiBD;(出)求二面角B ABiD平面角的余弦值.i2,如圖，三棱錐 P-ABC 中，PAXAB , PAX AC, ABXAC, PA= AC=2, AB= i , M 為 PC的中點(diǎn).(I)求證：平面PCB，平面MAB;(n )求三棱錐P ABC的表面積.13 .如圖，在直三棱柱 ABC AiBiCi中，Z ABC = 90° , A1C1、BCi的中點(diǎn).(I )求證：BCi，平面 AiBiC;(n)求證：MN/平面 AiA

41、BBi；(出)求三棱錐 M BCiBi的體積.14 .在四棱錐 S ABCD中，底面 ABCD為矩形，SDL底面 ABCD, AD V2 , DC = SD =2.點(diǎn) M 在側(cè)棱 SC上，/ABM = 60° .(I )證明：M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)；(n )求二面角S-AM-B的平面角的余弦值.C專題07立體幾何參考答案練習(xí)7-1一、選擇題：1. B 2. D 3. C4. B二、填空題：5. 而 6. AC，BD(或能得出此結(jié)論的其他條件 )7.、三、解答題：；或、 8.9 . ( I )解：連接 MB, MC. 三棱錐P-ABC的三個側(cè)面均為邊長是 1的等邊三角形，、3MB MC %

42、 ,且底面 ABC也是邊長為1的等邊三角形.N 為 BC 的中點(diǎn)，MNXBC.一22. 2在 RtMNB 中，MN VMB2 BN22(n)證明：: M是pa的中點(diǎn)， RAXMB,同理 PAXMC. . MBnMC=M, . PAL平面 MBC,又 BC 平面 MBC, PAX BC.10 .證明：(I).E、F分別是AB、BD的中點(diǎn)，. EF 是 ABD 的中位線，EF/AD.又EF 平面ACD, AD 平面ACD,直線 EF/平面ACD .(n)v EF / AD, AD± BD, ，EF，BD.,. CB = CD, F 是 BD 的中點(diǎn)，CFXBD. CF AEF=F, .

43、.BD，平面 CEF.BD 平面 BCD,.平面 EFC，平面 BCD.B，口111. (I)由題意知，F(xiàn)G = GA, FH = HD, . . GH /AD, GH - AD,2一 ,“1 又 BC/AD, BC AD , GH / BC, GH = BC, 2，四邊形BCHG是平行四邊形.（n）C, D, F, E四點(diǎn)共面.理由如下：1 一由 BE/AF, BF -AF , G 是 FA 的中點(diǎn)，2得 BE / FG,且 BE= FG. . EF / BG .由（I ）知BG/ CH，.二EF / CH,故EC, FH共面，又點(diǎn) D在直線FH上, 所以C, D, F, E四點(diǎn)共面.（出）

44、連結(jié)EG,由 AB = BE, BE/AG, BE= AG 及/ BAG = 90 ° ,知 ABEG 是正方形，故 BGXEA.由題設(shè)知 FA, AD, AB兩兩垂直，故 AD,平面FABE,BGXAD. .BG,平面 EAD,BGXED.又 EDAEA=E,，BG，平面 ADF .由（I ）知 CH / BG, CHL平面 ADE.由（n ）知F C平面 CDE ,故CH 平面CDE,得平面 ADE，平面 CDE .練習(xí)7-2一、選擇題：1. B2, D 3. D4. C二、填空題：2J24 冗5. 456. 12-7.8 .答案不唯一，如“兩組相對側(cè)面分別平行”；“一組相對側(cè)面

45、平行且全等”；“對角線交于一點(diǎn)”；“底面是平行四邊形”等.三、解答題：9 .證明：（I）設(shè)ACnBD = O,連結(jié) OE.E是DDi的中點(diǎn)，。是BD的中點(diǎn)，OE/BD1.又 OE 平面 ACE, BD1 平面 ACE,BD1 /平面 ACE.（n ），ABCD A1B1C1D1是正四棱柱，底面 ABCD是正方形，AC± BD.又 DiDL平面 ABCD, ACXDiD, . AC,平面 BiBDDi, 1. AC 平面 ACE, 平面 ACE,平面 BiBDDi.10.解：由已知可得該幾何體是一個底面為矩形，高為 4,頂點(diǎn)在底面的射影是矩形中心的 四棱錐P-ABCD.11 _ _ 八

46、(I )V -Sh (8 6) 4 64.33(n)該四棱錐有兩個側(cè)面 PAD、PBC是全等的等腰三角形，且 BC邊上的高為：h1 =4也另兩個側(cè)面PAB、PCD也是全等的等腰三角形，AB邊上的高為h2 . 42 (-)25,22因此 S 2(- 6 4 2 - 8 5) 40 24 2.2211.(I)證明：在DD1上取一點(diǎn)N使得DN = 1,連接CN, EN,顯然四邊形 CFDN是平行四邊形，DF/CN .同理四邊形 DNEA是平行四邊形，EN/AD,且EN=AD.又 BC/AD,且 BC = AD, EN / BC,且 EN=BC,四邊形CNEB是平行四邊形， CN/BE,D1F/ BE, E, B, F, D1 四點(diǎn)共面.2MB BG n. MB 3(II ) GMXBF, BCFAMBG,，即-3, . MB = 1.BC CF 32. AE= 1,二.四邊形 ABME 是矩形，EMXBB1.又平面 ABB1A1,平面 BCC1B1,且 EM 平面 ABB1A1 ,EM，平面 BCC1B1.c G B習(xí)題7一、選擇題：1. D2. B