數(shù)學分析之函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)(共37頁)

1、數(shù)學分析教案第十三章 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù) 教學目的：1.使學生理解怎樣用函數(shù)列（或函數(shù)項級數(shù)）來定義一個函數(shù)；2.掌握如何利用函數(shù)列（或函數(shù)項級數(shù)）來研究被它表示的函數(shù)的性質(zhì)。 教學重點難點：本章的重點是函數(shù)列一致收斂的概念、性質(zhì)；難點是一致收斂的概念、判別及應用。 教學時數(shù)：20學時 § 1 一致收斂性 一       函數(shù)列及極限函數(shù)：對定義在區(qū)間I上的函數(shù)列 ，介紹概念： 收斂點，收斂域（ 注意定義域與收斂域的區(qū)別 ），極限函數(shù)等概念.  逐點收斂 ( 或稱為“點態(tài)收斂” )的“ ”定義.   例1

2、 對定義在 內(nèi)的等比函數(shù)列 , 用“ ”定義驗證其收斂域為 , 且 例2 .用“”定義驗證在內(nèi).   例3 考查以下函數(shù)列的收斂域與極限函數(shù): .  . . . . 設(shè) 為區(qū)間 上的全體有理數(shù)所成數(shù)列. 令   , . . , . 有 , , . （ 注意 .） 二. 函數(shù)列的一致收斂性: 問題: 若在數(shù)集D上 , . 試問: 通項 的解析性質(zhì)是否必遺傳給極限函數(shù) ? 答案是否定的. 上述例1、例3說明連續(xù)性未能遺傳,而例3說明可積性未能遺傳. 例3說明雖然可積性得到遺傳, 但 . 用函數(shù)列的極限表示函數(shù)是函數(shù)表達的一種重要手段. 特別是表達非初等函數(shù)的一種手段.

3、 對這種函數(shù), 就是其表達式.于是,由通項函數(shù)的解析性質(zhì)研究極限函數(shù)的解析性質(zhì)就顯得十分重要. 那末, 在什么條件下通項函數(shù)的解析性質(zhì)能遺傳給極限函數(shù)呢? 一個充分條件就是所謂“一致收斂”. 一致收斂是把逐點收斂加強為所謂“整體收斂”的結(jié)果.   定義 ( 一致收斂 )   一致收斂的幾何意義. Th1 (一致收斂的Cauchy準則 ) 函數(shù)列 在數(shù)集D上一致收斂, , . ( 介紹另一種形式 .) 證 ( 利用式 ) 易見逐點收斂. 設(shè) ,有 . 令 , 對 D成立, 即 , ， D. 推論1 在D上 , ， . 推論2 設(shè)在數(shù)集D上 , . 若存在數(shù)列 D , 使 ,

4、則函數(shù)列 在數(shù)集D上非一致收斂 . 應用系2 判斷函數(shù)列 在數(shù)集D上非一致收斂時, 常選 為函數(shù) 在數(shù)集D上的最值點.   驗證函數(shù)一致收斂性: 例4 . 證明函數(shù)列 在R內(nèi)一致收斂. 例5 . 證明在R內(nèi) , 但不一致收斂. 證 顯然有 , 在點 處取得極大值 , . 由系2 , 不一致收斂. 例6 . 證明在 內(nèi) , . 證 易見 而 在 內(nèi)成立. 由系1 , 例7 對定義在區(qū)間 上的函數(shù)列 證明: , 但在 上不一致收斂. P3839 例3, 參圖13-4. 證 時, 只要 , 就有 . 因此, 在 上有 . , .于是, 在 上有 . 但由于 , , 因此 , 該函數(shù)列在 上

5、不一致收斂. 例8 . 考查函數(shù)列 在下列區(qū)間上的一致收斂性: ; .   三. 函數(shù)項級數(shù)及其一致收斂性: 1 函數(shù)項級數(shù)及其和函數(shù)：， , 前 項部分和函數(shù)列 ，收斂點，收斂域, 和函數(shù), 余項.   例9 定義在 內(nèi)的函數(shù)項級數(shù)( 稱為幾何級數(shù) ) 的部分和函數(shù)列為 , 收斂域為 .   2.       一致收斂性: 定義一致收斂性.   Th2 ( Cauchy準則 ) 級數(shù) 在區(qū)間D上一致收斂, , 對 D成立. 推論 級數(shù) 在區(qū)間D上一致收斂, , . Th3 級數(shù) 在區(qū)間D上一致

6、收斂, . 例10 證明級數(shù) 在R內(nèi)一致收斂 . 證 令 = , 則 時 對 R成立. 例11 幾何級數(shù) 在區(qū)間 上一致收斂；但在 內(nèi)非一致收斂.   證 在區(qū)間 上 , 有 , . 一致收斂 ; 而在區(qū)間 內(nèi) , 取 , 有 , . 非一致收斂. ( 亦可由通項 在區(qū)間 內(nèi)非一致收斂于零, 非一致收斂.) 幾何級數(shù) 雖然在區(qū)間 內(nèi)非一致收斂 , 但在包含于 內(nèi)的任何閉區(qū)間上卻一致收斂 . 我們稱這種情況為“閉一致收斂”. 因此 , 我們說幾何級數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)閉一致收斂 . 四.       函數(shù)項級數(shù)一致收斂判別法: 1.

7、         M - 判別法: Th 4 ( Weierstrass判別法 ) 設(shè)級數(shù) 定義在區(qū)間D上, 是收斂的正項級數(shù).若當 充分大時, 對 D有| , 則 在D上一致收斂 . 證 然后用Cauchy準則. 亦稱此判別法為優(yōu)級數(shù)判別法. 稱滿足該定理條件的正項級數(shù) 是級數(shù) 的一個優(yōu)級數(shù). 于是Th 4 可以敘述為: 若級數(shù) 在區(qū)間D上存在優(yōu)級數(shù) , 則級數(shù) 在區(qū)間D上一致收斂 . 應用時, ?？稍嚾?.但應注意, 級數(shù) 在區(qū)間D上不存在優(yōu)級數(shù) , 級數(shù) 在區(qū)間D上非一致收斂.   注意區(qū)分用這種控

8、制方法判別函數(shù)列和函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的區(qū)別所在.   例12 判斷函數(shù)項級數(shù) 和 在R內(nèi)的一致收斂性 . 例13 設(shè) 是區(qū)間 上的單調(diào)函數(shù). 試證明 : 若級數(shù)與 都絕對收斂, 則級數(shù) 在區(qū)間 上絕對并一致收斂 . 簡證 , 留為作業(yè). .   2. Abel判別法: Th 5 設(shè) > 級數(shù) 在區(qū)間 上收斂; > 對每個 , 數(shù)列 單調(diào) ; > 函數(shù)列 在 上一致有界, 即 , 使對 和 , 有. 則級數(shù) 在區(qū)間 上一致收斂 . ( 1P43 ) 2.      Dirichlet判別法: Th 6 設(shè)&

9、gt; 級數(shù) 的部分和函數(shù)列 在區(qū)間 上一致有界; > 對于每一個 , 數(shù)列 單調(diào); > 在區(qū)間 上函數(shù)列 一致收斂于零. 則級數(shù) 在區(qū)間 上一致收斂 . 例14 判斷函數(shù)項級數(shù) 在區(qū)間 上的一致收斂性. 解 記 . 則有> 級數(shù) 收斂; > 對每個 , ；> 對 和 成立. 由Abel判別法, 在區(qū)間 上一致收斂. 例15 設(shè)數(shù)列 單調(diào)收斂于零 . 試證明 : 級數(shù) 在區(qū)間 上一致收斂. 證 在 上有 . 可見級數(shù) 的部分和函數(shù)列在區(qū)間 上一致有界 . 取 , . 就有級數(shù) 的部分和函數(shù)列在區(qū)間 上一致有界, 而函數(shù)列 對每一個 單調(diào)且一致收斂于零.由Diric

10、hlet判別法,級數(shù) 在區(qū)間 上一致收斂. 其實 , 在數(shù)列 單調(diào)收斂于零的條件下, 級數(shù) 在不包含 的任何區(qū)間上都一致收斂. 習 題 課 例1 設(shè) , , . 且 , . 若對每個自然數(shù) 有| | 對 成立, 則函數(shù)列 在 上一致收斂于函數(shù) . 例2 證明函數(shù)列 在區(qū)間 上非一致收斂. 例3 , . 討論函數(shù)列 的一致收斂性. 解 0, . | 0| . 可求得 . 函數(shù)列 在區(qū)間 上非一致收斂. 例4 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù) . 定義 . 試證明函數(shù)列 在區(qū)間 上一致收斂于零. 證法一 由 有界 . 設(shè)在區(qū)間 上| | . | | ; | | ; | | .注意到對 , . 0, , .

11、證法二 . 有界. 設(shè)在區(qū)間 上| | . 把函數(shù) 在點展開成具Lagrange型余項的 階Taylor公式 , 注意到  , 就有 , , , . 所以 , 0, , . 例5 設(shè) . 且 , . 令   , ,  . .試證明: 若對 和 , 有 , 則函數(shù)列 在區(qū)間 上一致收斂 . 證 對 取 , 使 時, 有 . 于是對任何自然數(shù) 和, 有 . 由Cauchy收斂準則 , 函數(shù)列 在區(qū)間 上一致收斂 . 例6 設(shè)在數(shù)集 上函數(shù)列 一致收斂于函數(shù) . 若每個 在數(shù)集 上有界 , 則函數(shù)列 在數(shù)集 上一致有界 . 證 ( 先證函數(shù) 在數(shù)集 上有界 ) 設(shè)在 上

12、有| | . 對 ,由函數(shù)列 在數(shù)集 上一致收斂, ,當 時 , 對 ,有 | | | , | |< . 即函數(shù) 在數(shù)集 上有界. ( 次證函數(shù)列 在數(shù)集 上一致有界 ) 時, 對 ,有 | | | | |< , | | . 取 易見對 和 有| | . 即函數(shù)列 在數(shù)集 上一致有界 . 例7 設(shè) 為定義在區(qū)間 上的函數(shù)列, 且對每個 , 函數(shù) 在點 右連續(xù) , 但數(shù)列 發(fā)散. 試證明: 對 ), 函數(shù)列 在區(qū)間 內(nèi)都不一致收斂. 證 反設(shè) , 使 在區(qū)間 內(nèi)一致收斂. 則對 , 有 對 成立. . 為Cauchy列,即 收斂. 與已知條件矛盾.   § 2 一

13、致收斂函數(shù)列和函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì) 一. 一致收斂函數(shù)列極限函數(shù)的解析性質(zhì): 1.             連續(xù)性: Th 1 設(shè)在 上 ,且對 ,函數(shù) 在 上連續(xù) , 在 上連續(xù). 證 ( 要證 : 對 , 在點 連續(xù) . 即證: 對 , , 當| 時, . ) . 估計上式右端三項. 由一致收斂 , 第一、三兩項可以任意小; 而由函數(shù) 在點 連續(xù), 第二項 也可以任意小 . 推論 設(shè)在 上 . 若 在 上間斷 ，則函數(shù)列 在 上一致收斂和所有 在 上連續(xù)不能同時成立. 註 T

14、h1表明: 對于各項都連續(xù)且一致收斂的函數(shù)列 , 有 . 即極限次序可換 . 2. 可積性: Th 2 若在區(qū)間 上函數(shù)列 一致收斂 , 且每個 在 上連續(xù). 則有 . 證 設(shè)在 上 , 由Th1, 函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù),因此可積. 我們要證 . 注意到 , 可見只要 在 上成立. Th2的條件可減弱為: 用條件“ 在 上( R )可積”代替條件“ 在 上連續(xù)”.  關(guān)于函數(shù)列逐項積分條件的減弱有一系列的工作. 其中之一是: Th 設(shè) 是定義在區(qū)間 上的函數(shù)列. 若 在 上收斂且一致可積 , 則其極限函數(shù) 在 上( R)可積 , 且有 .   3. 可微性: Th 3 設(shè)函

15、數(shù)列 定義在區(qū)間 上, 在某個點 收斂. 對 , 在 上連續(xù)可導, 且由導函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)列 在 上一致收斂, 則函數(shù)列 在區(qū)間 上收斂, 且有 . 證 設(shè) ， . , . 對 , 注意到函數(shù) 連續(xù)和 + , 就有 + （ 對第二項交換極限與積分次序） + + . 估計 | + | | + | ,可證得 . . 即 . 亦即求導運算與極限運算次序可換. 例1 P38 例1 ( 說明定理的條件是充分的, 但不必要. ) 例2 P39例2 ( 說明定理的條件是充分的, 但不必要. ) Ex P42 9，11 P43 4 . 二. 一致收斂函數(shù)項級數(shù)和函數(shù)的解析性質(zhì): 把上述Th13表為函數(shù)項級數(shù)的語

16、言，即得關(guān)于和函數(shù)解析性質(zhì)的相應結(jié)果.例3 P40例3 例4 證明函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)連續(xù).證 ( 先證 在區(qū)間 內(nèi)閉一致收斂.)對 ，有， ；又 ， 在 一致收斂. ( 次證對 , 在點 連續(xù) ) 對 , 由上段討論 , 在區(qū)間 上一致收斂; 又函數(shù) 連續(xù), 在區(qū)間 上連續(xù), 在點 連續(xù). 由點 的任意性, 在區(qū)間 內(nèi)連續(xù). 例5 , . 計算積分 . 第十四章 冪級數(shù) 教學目的：1.理解冪級數(shù)的有關(guān)概念，掌握其收斂性的有關(guān)問題；2.理解冪級數(shù)的運算，掌握函數(shù)的冪級數(shù)展開式并認識余項在確定函數(shù)能否展為冪級數(shù)時的重要性。 教學重點難點：本章的重點是冪級數(shù)的收斂區(qū)間、收斂半徑、展開式；難點是收斂區(qū)間

17、端點處斂散性的判別。 教學時數(shù)：12學時 § 1 冪級數(shù)（ 4 時 ） 冪級數(shù)的一般概念. 型如 和 的冪級數(shù) . 冪級數(shù)由系數(shù)數(shù)列 唯一確定. 冪級數(shù)至少有一個收斂點. 以下只討論型如 的冪級數(shù).冪級數(shù)是最簡單的函數(shù)項級數(shù)之一.  一.            冪級數(shù)的收斂域: 1.             收斂半徑 、收斂區(qū)間和收斂域： Th 1

18、 （ Abel ） 若冪級數(shù) 在點 收斂 ， 則對滿足不等式的任何 ，冪級數(shù) 收斂而且絕對收斂 ；若在點 發(fā)散 ，則對滿足不等式 的任何 ，冪級數(shù) 發(fā)散.證 收斂, 有界. 設(shè)| | , 有 | , 其中 . .定理的第二部分系第一部分的逆否命題.冪級數(shù) 和 的收斂域的結(jié)構(gòu). 定義冪級數(shù)的收斂半徑 R.   收斂半徑 R的求法.   Th 2 對于冪級數(shù) , 若 , 則> 時,;> 時; > 時 .證 , ( 強調(diào)開方次數(shù)與 的次數(shù)是一致的). 由于 , 因此亦可用比值法求收斂半徑.冪級數(shù) 的收斂區(qū)間: . 冪級數(shù) 的收斂域: 一般來說 , 收斂區(qū)間 收斂

19、域. 冪級數(shù) 的收斂域是區(qū)間 、 、 或 之一. 例1 求冪級數(shù) 的收斂域 . 例2 求冪級數(shù) 的收斂域 . 例3 求下列冪級數(shù)的收斂域: ; . 2. 復合冪級數(shù) : 令 , 則化為冪級數(shù) .設(shè)該冪級數(shù)的收斂區(qū)間為 ，則級數(shù) 的收斂區(qū)間由不等式 確定.可相應考慮收斂域. 特稱冪級數(shù) 為正整數(shù))為缺項冪級數(shù) .其中 . 應注意 為第項的系數(shù) . 并應注意缺項冪級數(shù) 并不是復合冪級數(shù) , 該級數(shù)中,為第 項的系數(shù) . 例4 求冪級數(shù) 的收斂域 . 解 是缺項冪級數(shù) . . 收斂區(qū)間為 . 時,通項 . 因此 , 該冪級數(shù)的收斂域為 . 例5 求級數(shù) 的收斂域 . 解 令 , 所論級數(shù)成為冪級數(shù)

20、.由幾何級數(shù)的斂散性結(jié)果, 當且僅當 時級數(shù) 收斂. 因此當且僅當 , 即時級數(shù) 收斂. 所以所論級數(shù)的收斂域為 . 例6 求冪級數(shù) 的收斂半徑 . 解 .  二 冪級數(shù)的一致收斂性： Th 3 若冪級數(shù) 的收斂半徑為 ，則該冪級數(shù)在區(qū)間 內(nèi)閉一致收斂 .證 , 設(shè) , 則對 , 有, 級數(shù) 絕對收斂, 由優(yōu)級數(shù)判別法, 冪級數(shù) 在 上一致收斂. 因此 , 冪級數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)閉一致收斂.Th 4 設(shè)冪級數(shù) 的收斂半徑為 ,且在點 ( 或 )收斂,則冪級數(shù) 在區(qū)間 ( 或 )上一致收斂 .證 . 收斂 , 函數(shù)列 在區(qū)間 上遞減且一致有界,由Abel判別法,冪級數(shù)在區(qū)間上一致收斂 .易

21、見 , 當冪級數(shù) 的收斂域為 ( 時 , 該冪級數(shù)即在區(qū)間上一致收斂 . 三. 冪級數(shù)的性質(zhì): 1. 逐項求導和積分后的級數(shù): 設(shè) , *) 和 *)仍為冪級數(shù). 我們有 命題1 *) 和 *)與 有相同的收斂半徑 . ( 簡證 )值得注意的是，*) 和 *)與 雖有相同的收斂半徑（ 因而有相同的收斂區(qū)間），但未必有相同的收斂域 ， 例如級數(shù) . 2. 冪級數(shù)的運算性質(zhì):定義 兩個冪級數(shù) 和 在點 的某鄰域內(nèi)相等是指：它們在該鄰域內(nèi)收斂且有相同的和函數(shù). 命題2 ,.(由以下命題4系2) 命題3 設(shè)冪級數(shù) 和 的收斂半徑分別為 和 , , 則> , Const ， . > + ,

22、. > ( )( ) , , . 3. 和函數(shù)的性質(zhì): 命題4 設(shè)在 ( 內(nèi) . 則 > 在 內(nèi)連續(xù); > 若級數(shù) 或 收斂, 則 在點 ( 或 )是左( 或右 )連續(xù)的; > 對 , 在點 可微且有 ; > 對 , 在區(qū)間 上可積, 且 . 當級數(shù) 收斂時, 無論級數(shù) 在點 收斂與否,均有 . 這是因為: 由級數(shù) 收斂, 得函數(shù) 在點 左連續(xù), 因此有 . 推論1 和函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)任意次可導, 且有 , .由系1可見, 是冪級數(shù)的和函數(shù)的必要條件是 任意次可導.推論2 若 , 則有 例7 驗證函數(shù) 滿足微分方程 .驗證 所給冪級數(shù)的收斂域為 . . , 代入,

23、 .  § 2 函數(shù)的冪級數(shù)展開 一.            函數(shù)的冪級數(shù)展開: 1.       Taylor級數(shù): 設(shè)函數(shù) 在點 有任意階導數(shù).Taylor公式和Maclaurin公式 .Taylor公式： . 余項 的形式:Peano型余項: , （ 只要求在點 的某鄰域內(nèi)有 階導數(shù) ， 存在 ） Lagrange型余項: 在 與 之間. 或 . 積分型余項: 當函數(shù) 在點 的某鄰域內(nèi)有 階連續(xù)導數(shù)時

24、, 有 . Cauchy余項: 在上述積分型余項的條件下, 有Cauchy余項 . 特別地， 時，Cauchy余項為 在 與 之間.  Taylor級數(shù): Taylor公式僅有有限項, 是用多項式逼近函數(shù). 項數(shù)無限增多時, 得 , 稱此級數(shù)為函數(shù) 在點 的Taylor級數(shù). 只要函數(shù) 在點 無限次可導, 就可寫出其Taylor級數(shù). 稱 = 時的Taylor級數(shù)為Maclaurin級數(shù), 即級數(shù) .自然會有以下問題: 對于在點 無限次可導的函數(shù) , 在 的定義域內(nèi)或在點 的某鄰域內(nèi), 函數(shù) 和其Taylor級數(shù)是否相等呢 ?2 函數(shù)與其Taylor級數(shù)的關(guān)系： 例1 函數(shù) 在點 無

25、限次可微 . 求得 . 其Taylor級數(shù)為 . 該冪級數(shù)的收斂域為 . 僅在區(qū)間 內(nèi)有 = . 而在其他點并不相等, 因為級數(shù)發(fā)散. 那么, 在Taylor級數(shù)的收斂點, 是否必有 和其Taylor級數(shù)相等呢 ? 回答也是否定的 . 例2 函數(shù) 在點 無限次可導且有 因此其Taylor級數(shù) ，在 內(nèi)處處收斂 . 但除了點 外, 函數(shù) 和其Taylor級數(shù)并不相等.另一方面, 由本章§1命題4推論2（和函數(shù)的性質(zhì)）知：在點 的某鄰域內(nèi)倘有,則在點無限次可導且級數(shù) 必為函數(shù)在點 的Taylor級數(shù).綜上 , 我們有如下結(jié)論: 對于在點 無限次可導的函數(shù) , 其Taylor級數(shù)可能除點

26、外均發(fā)散, 即便在點 的某鄰域內(nèi)其Taylor級數(shù)收斂, 和函數(shù)也未必就是 . 由此可見, 不同的函數(shù)可能會有完全相同的Taylor 級數(shù). 若冪級數(shù) 在點 的某鄰域內(nèi)收斂于函數(shù) , 則該冪級數(shù)就是函數(shù) 在點 的Taylor級數(shù).于是 , 為把函數(shù) 在點 的某鄰域內(nèi)表示為關(guān)于 的冪級數(shù)，我們只能考慮其Taylor級數(shù).  3 函數(shù)的Taylor展開式： 若在點 的某鄰域內(nèi)函數(shù) 的Taylor級數(shù)收斂且和恰為 ，則稱函數(shù) 在點 可展開成Taylor級數(shù)(自然要附帶展開區(qū)間. 稱此時的Taylor級數(shù)為函數(shù) 在點 的Taylor展開式或冪級數(shù)展開式. 簡稱函數(shù) 在點 可展為冪級

27、數(shù). 當= 0 時, 稱Taylor展開式為Maclaurin展開式. 通常多考慮的是Maclaurin展開式.4.          可展條件: Th 1 ( 必要條件 ) 函數(shù) 在點 可展 , 在點 有任意階導數(shù) .Th 2 ( 充要條件 ) 設(shè)函數(shù)在點 有任意階導數(shù) . 則 在區(qū)間內(nèi)等于其Taylor級數(shù)( 即可展 )的充要條件是: 對 ,有 . 其中 是Taylor公式中的余項.證 把函數(shù) 展開為 階Taylor公式, 有 .Th 3 ( 充分條件 ) 設(shè)函數(shù) 在點 有任意階導數(shù) , 且導函數(shù)所成

28、函數(shù)列一致有界, 則函數(shù) 可展.證 利用Lagrange型余項 , 設(shè) , 則有.例3  展開函數(shù) > 按冪; > 按冪. 解 , , . 所以 , > . 可見 , 的多項式 的Maclaurin展開式就是其本身. > . 二.           初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式:   初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式才是其本質(zhì)上的解析表達式.   為得到初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式 , 或直接展開, 或間接展開.1. . ( 驗證對 R ， 在 區(qū)間 ( 或 )

29、上有界, 得一致有界. 因此可展 ). . 2. , . , . 可展是因為 在 內(nèi)一致有界. 3. 二項式 的展開式: 為正整數(shù)時, 為多項式, 展開式為其自身;為不是正整數(shù)時, 可在區(qū)間 內(nèi)展開為 對余項的討論可利用Cauchy余項. 具體討論參閱1P56.  時, 收斂域為 ; 時, 收斂域為 ; 時, 收斂域為 . 利用二項式 的展開式 , 可得到很多函數(shù)的展開式. 例如取 ,得 ， .時, , .  間接展開: 利用已知展開式 , 進行變量代換、四則運算以及微積運算, 可得到一些函數(shù)的展開式. 利用微積運算時, 要求一致收斂. 冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)閉一致收斂 ,總可保證這些運算暢通無阻. 4. . .事實上 , 利用上述 的展開式, 兩端積分 , 就有 , .驗證知展開式在點 收斂, 因此 , 在區(qū)間 上該展開式成立. 5. .由 . 兩端積分,有 驗證知上述展開式在點 收斂, 因此該展開式在區(qū)間 上成立.(這里應用了習題中第2題的結(jié)果,) 例4 展開函數(shù) . 解 . 例5 展開函數(shù) . 解 . 習 題 課  一. 求收斂區(qū)間或收