數(shù)學(xué)建模期末試卷A及答案(1)4頁

1、1 （10分）敘述數(shù)學(xué)建模的基本步驟，并簡(jiǎn)要說明每一步的基本要求。(1)模型準(zhǔn)備：首先要了解問題的實(shí)際背景，明確題目的要求，收集各種必要的信息。(2)模型假設(shè)：為了利用數(shù)學(xué)方法，通常要對(duì)問題做出必要的、合理的假設(shè)，使問題的主要特征凸現(xiàn)出來，忽略問題的次要方面。(3)模型構(gòu)成：根據(jù)所做的假設(shè)以及事物之間的聯(lián)系，構(gòu)造各種量之間的關(guān)系，把問題化為數(shù)學(xué)問題，注意要盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具。4)模型求解：利用已知的數(shù)學(xué)方法來求解上一步所得到的數(shù)學(xué)問題，此時(shí)往往還要作出進(jìn)一步的簡(jiǎn)化或假設(shè)。(5)模型分析：對(duì)所得到的解答進(jìn)行分析，特別要注意當(dāng)數(shù)據(jù)變化時(shí)所得結(jié)果是否穩(wěn)定。(6)模型檢驗(yàn)：分析所得結(jié)果的實(shí)際意義，

2、與實(shí)際情況進(jìn)行比較，看是否符合實(shí)際，如果不夠理想，應(yīng)該修改、補(bǔ)充假設(shè)，或重新建模，不斷完善。(7)模型應(yīng)用：所建立的模型必須在實(shí)際應(yīng)用中才能產(chǎn)生效益，在應(yīng)用中不斷改進(jìn)和完善。2（10分）試建立不允許缺貨的生產(chǎn)銷售存貯模型。設(shè)生產(chǎn)速率為常數(shù)，銷售速率為常數(shù)，。在每個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)，開始一段時(shí)間（）邊生產(chǎn)邊銷售，后一段時(shí)間（）只銷售不生產(chǎn)，存貯量的變化如圖所示。設(shè)每次生產(chǎn)開工費(fèi)為，每件產(chǎn)品單位時(shí)間的存貯費(fèi)為，以總費(fèi)用最小為準(zhǔn)則確定最優(yōu)周期，并討論和的情況。單位時(shí)間總費(fèi)用，使達(dá)到最小的最優(yōu)周期。當(dāng)時(shí)，相當(dāng)于不考慮生產(chǎn)的情況；當(dāng)時(shí)，因?yàn)楫a(chǎn)量被售量抵消，無法形成貯存量。3（10分）設(shè)表示時(shí)刻的人口，試解釋阻

3、滯增長(zhǎng)（Logistic）模型中涉及的所有變量、參數(shù)，并用盡可能簡(jiǎn)潔的語言表述清楚該模型的建模思想。時(shí)刻；時(shí)刻的人口數(shù)量；人口的固有增長(zhǎng)率；自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)量；初始時(shí)刻的人口數(shù)量人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用。且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大，從而人口增長(zhǎng)率是人口數(shù)量的的減函數(shù)。假設(shè)為的線性函數(shù)：，其中，稱為人口的固有增長(zhǎng)率，表示人口很少時(shí)（理論上是）的增長(zhǎng)率。當(dāng)時(shí)人口不再增長(zhǎng)，即增長(zhǎng)率，代入有，從而有，根據(jù)Malthus人口模型，有4（25分）已知8個(gè)城市v0，v1，,v7之間有一個(gè)公路網(wǎng)（如圖所示），每條公路為圖中的邊，邊上

4、的權(quán)數(shù)表示通過該公路所需的時(shí)間（1）設(shè)你處在城市v0，那么從v0到其他各城市，應(yīng)選擇什么路徑使所需的時(shí)間最短？(1)到其它各點(diǎn)的最短路如下圖：各點(diǎn)的父點(diǎn)如下：v0 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v0 v0 v0 v2 v3 v0 v5 v3各點(diǎn)的最短路徑及最短路長(zhǎng)分別為：v0: 0v0v1: 1v0v2: 2v0v2v3: 3v0v2v3v4: 6v0v5: 4v0v5v6: 6v0v2v3v7: 9(2)最小生成樹如下圖：7（10分）有12個(gè)蘋果，其中有一個(gè)與其它的11個(gè)不同，或者比它們輕，或者比它們重，試用沒有砝碼的天平稱量三次，找出這個(gè)蘋果，并說明它的輕重情況。先把蘋果編號(hào)11

5、2,把14和58放在天平兩邊:（1）兩邊持平：就在912中,再把9和10放在天平兩邊,再平就在11或12中,若9和10不平，則在9或10中；（2）兩邊不平:假設(shè)1234重5678輕,則進(jìn)行第二次稱量125和349；若平了就在678中且是輕的,再稱6與7即可；若125重349輕則在12中且是重的, 再稱1與2即可；若125輕349重,則壞的是5。某家具廠生產(chǎn)桌子和椅子兩種家具，桌子售價(jià)50元/個(gè)，椅子銷售價(jià)格30元/個(gè)，生產(chǎn)桌子和椅子要求需要木工和油漆工兩種工種。生產(chǎn)一個(gè)桌子需要木工4小時(shí)，油漆工2小時(shí)。生產(chǎn)一個(gè)椅子需要木工3小時(shí)，油漆工1小時(shí)。該廠每個(gè)月可用木工工時(shí)為120小時(shí)，油漆工工時(shí)為50小時(shí)。問該廠如何組織生產(chǎn)才能使每月的銷售收入最大？（建立模型不計(jì)算）(10) 解：（1）確定決策變量：x1=生產(chǎn)桌子的數(shù)量  x2=生產(chǎn)椅子的數(shù)量  （2）確定目標(biāo)函數(shù)：家具廠的目標(biāo)是銷售收入最大 max z=50x1+30x2 （3）確定約束條件： 4x1+3x2<120（木工工時(shí)限制） 2x1+x2>50（油漆工工時(shí)限制） （4）建立的數(shù)學(xué)模型為： max S=50x1+30x2 s.t. 4x1