第七章大位移變形彈性理論的變分原理基礎(chǔ)(16K)

1、第七章 大位移變形彈性理論的變分原理基礎(chǔ)§7.1 大位移變形彈性理論的Lagrange法大位移變形也稱為有限變形。一般研究彈性體的大位移變形時多采用Lagrange法。在Lagrange法中，利用變形前物體內(nèi)一點的坐標(biāo)，來決定該點在隨后變形中的位置。本節(jié)首先說明了大位移變形的應(yīng)變、位移、應(yīng)力之間的關(guān)系式以及相關(guān)方程式的簡要推導(dǎo)過程。將卡氏直角坐標(biāo)固定在空間，這個坐標(biāo)值在變形過程中不改變，但隨著各點在移動，坐標(biāo)架的形狀發(fā)生改變。研究彈性體的變形，就是研究坐標(biāo)架的變形。變形前彈性體任一點A0的位置可由坐標(biāo)系原點至該點的矢量表示，設(shè)卡氏直角坐標(biāo)系的基向量（單位矢量）為，則可表示為 （7-1

2、）現(xiàn)假定A0點變形后移至新的位置A點，并用表示A點的位置矢量，過A0點的微小正六面體的三個正交邊，也均發(fā)生相應(yīng)的變形，從而形成過A點的一個新的平行六面體（注意一般不再是正六面體），平行六面體的三個邊可分別由，（，稱為格向量）給出，如圖7-1所示。圖7-1 無限小平行六面體的幾何圖形及平衡設(shè)，是位移向量，可表示為 （7-2）而 （7-3）式中稱為Kronecker算子， （7-4）又因為，有 （7-5）而 （7-6）式中及本章中，記號表示對于的微分，即。將(7-3)、（7-6）式代入（7-5）式中，得 （7-7）式中 （7-8）且有 （7-9）在大位移條件下，應(yīng)變可定義為 （7-10）式中 （7

3、-11）將（7-8）、（7-9）式代入（7-10）式中，可得應(yīng)變與位移之間的關(guān)系式為了以后需要，將上式改寫為下面形式 （7-12）（7-12）式就是我們熟知的大位移應(yīng)變位移關(guān)系式，展為一般形式為下面六個方程 （7-13）下面導(dǎo)出平衡方程。作用在變形后六面體上的面力分別可寫出如下作用在變形六面體內(nèi)的體力為。則變形六面體的力的平衡平衡方程式為 （7-14）而沿三個格向量方向上的分量分別為 （7-15）于是可寫為 （7-16）而體力也可以用其分量表示為 （7-17）將（7-16）、（7-17）式代入（7-14）式中，得 （7-18）為了以后使用方便，將上式改寫為如下形式 （7-19）這里要注意的是，

4、面積和體積都是對未變形的狀態(tài)而言的。外力已知的表面邊界條件（在上）可寫為 （在上） （7-20）顯然，在式（7-19）和(7-20)中，如果略去中之，則化簡為小位移的平衡條件和力的邊界條件。位移已給的邊界條件（在上）可寫為 （在上） （7-21）§7.2 大位移變形彈性理論的最小位能原理小位移變形的最小位能原理同樣也適用于大位移變形。大位移變形的最小位能原理與小位移變形的最小位能原理相同，只是將平衡方程（7-19）和表面外力邊界條件（7-20）兩式分別替代原方程中的平衡方程和力的邊界條件即可。取最小位能泛函的一階變分為 （7-22）根據(jù)（7-12）式的應(yīng)變位移關(guān)系（7-23） 同時，

5、利用格林公式，可以證明 （7-24）注意到，且在上由于，所以，上述積分只有在上有值，于是有 （7-25）（7-22）式可以寫為（7-26）由泛函極值條件給出下面歐拉方程和邊界條件 （在V內(nèi)） （7-27） （在上） （7-28）將（7-27）式與（7-19）式、（7-28）式與（7-20）式相比較，顯然可知 (7-29)(7-29)式為應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，故由最小位能原理泛函的極值條件可以得到平衡方程（7-19）式和力的邊界條件（7-20）式。以下證明它是最小。將代入位能泛函中可得注意，這里的是滿足所有條件和方程的真解。根據(jù)（7-22）式，有而 (7-30)對于線性物理關(guān)系，則有將上式代入（7-30

6、）式，有 （7-31）由應(yīng)力與應(yīng)變所造成的應(yīng)變能密度，一定為正值。而對于非線性的物理關(guān)系，一般材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以使得 （7-32）所以也是正值，這就證明了在極值函數(shù)時 （7-33）于是，大位移彈性理論的最小位能原理得到證明。最小位能原理可敘述為：在滿足大位移應(yīng)變關(guān)系（7-12）式和邊界條件中位移已給定的條件（7-21）式的所有允許的和中，實際的和必使彈性體的總位能 （7-34）為最小值。這里的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)用（7-29）式。這一原理與線性的最小位能原理相似，其差別只是采用了非線性的應(yīng)變位移關(guān)系而已。§7.3 大位移變形彈性理論的余能駐值定理余能原理在大位移變形彈性體并不存在著極小

7、值原理，而存在有余能駐值定理。大位移變形彈性理論的余能原理可敘述為：在滿足大位移變形的平衡方程（7-19）式及邊界外力已給的邊界條件（7-20）式的所有允許的中，實際的應(yīng)力及位移必使彈性體的泛函 （7-35）為駐值。為余能密度，它滿足 （7-36）注意到該原理屬于兩變量變分原理，原因是應(yīng)力分量和位移是偶合的，不能再單純地用應(yīng)力分量表達了。下面我們將證明，使（7-35）式的泛函為駐值的和，必將滿足邊界位移（7-21）式。在證明中，我們引用了應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（7-36）式中的第二個式子，和應(yīng)變位移關(guān)系（7-21）式。對的變分式為（7-37）利用了（7-36）式中的第二式及（7-12）式以后（7-38）

8、而且，因為為一常數(shù)，所以（7-37）式第三項可化為 （7-39）所以，有（7-40）（7-40）式中等號右側(cè)第一項利用格林公式化簡后的形式如將上式代入（7-40）式后，可進一步化簡為 （7-41）因為自變函數(shù)滿足平衡方程（7-19）式，而且為不變的，故只有 （在V內(nèi)） （7-42）另外，因為在邊界上，滿足外力已知條件（7-20）式，所以只有 （在內(nèi)） （7-43）因為，將（7-42）、（7-43）式代入（7-41）式，（7-41）式可化為 （7-44）根據(jù)駐值條件，給出 （7-45）（7-45）式就是（7-21）式，也就是我們所需要證明的，于是以上余能駐值定理得到證明。十分明顯，當(dāng)是小位移時，

9、從（7-35）式中略去高級小量，即是第四章的小位移最小余能原理。以上證明可適用于線性與非線性彈性體。§7.4 大位移非線性彈性理論的廣義變分原理我們也可以仿照小位移線性彈性理論一樣，利用拉格朗日乘子法，導(dǎo)出大位移非線性彈性理論的有關(guān)的廣義變分原理。最小位能原理（見§7-2）泛函中的必須滿足應(yīng)變位移關(guān)系（7-12）式和邊界位移已知的條件（7-21）式。設(shè)和為拉格朗日乘子，于是，可導(dǎo)出無條件廣義變分泛函為（7-46）把當(dāng)作獨立變量進行變分，得（7-47）其中，利用應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（7-29）式，有 （7-48）其次，利用格林公式（7-49）其中為表面外向法線單位矢量。把（7-48）

10、、（7-49）式代入（7-47）式得（7-50）因為都是獨立變分，由上式可得 在V內(nèi) 在V內(nèi) 在V內(nèi) 在內(nèi) 在內(nèi) 在內(nèi) （7-51a,b,c,d,e,f）(7-51a，f)給出了待定的拉格朗日乘子及，即 （7-52）其余各式滿足應(yīng)變位移關(guān)系（7-51b），平衡方程（7-51c），位移已給定的邊界條件（7-51d）和外力已給定的邊界條件（7-51e），即滿足了（7-12）、（7-19）、（7-20）、（7-21）各式，推導(dǎo)過程中我們只引用了物理關(guān)系（7-29）式。將（7-52）式代入（7-46）式，即得到廣義變分原理的泛函。于是，可得變分原理（基于最小位能原理導(dǎo)出的大位移非線性彈性理論的完全廣義

11、變分原理）滿足（7-12）、（7-19）、（7-20）、（7-21）式的解必使下述泛函（7-53） 為駐值。變分原理（基于余能駐值原理導(dǎo)出的大位移非線性彈性理論的完全廣義變分原理）滿足（7-12）、（7-19）、（7-20）、（7-21）式的解必使下述泛函（7-54） 為駐值。（7-54）式的證明可以按以下步驟進行。上式的泛函是在（7-35）式的泛函基礎(chǔ)上增加由拉格朗日乘子組成的附加部分而形成下面的泛函（7-55） 對（7-55）式中的取變分（7-56）上式等號右邊第四個積分，利用分部積分可化為下式（7-57） （7-56）式等號右邊第一個積分中的第三項利用分部積分可化為（7-58） 將（7-

12、57）式和（7-58）兩式代入（7-56）式，經(jīng)過整理可得下式（7-59） 取，因為都是獨立函數(shù)，相應(yīng)的變分也是獨立，故由（7-59）是為零的條件，并且由式中的第1、6、4項，可得 （在V內(nèi)） （7-60a,b,c）由（7-59）式的第二項，第五項及第七項可知拉格朗日乘子為位移，即 （在上） （7-61） （在V內(nèi)和S上） （7-62）第三項給出了位移給定邊界條件，而（7-60a,b,c）分別得到應(yīng)變位移關(guān)系，平衡方程和力給定的邊界條件。顯然，以上為無條件的完全變分原理，問題證畢。將（7-61）、（7-62）式代入（7-55）式，即可求得泛函（7-54）式?，F(xiàn)在讓我們證明大位移問題兩個廣義變分

13、原理的等同性。從（7-53）、（7-54）式，有（7-63） 利用格林公式上式等號右邊第一個積分可化為所以0，這只是形式上的差別，實質(zhì)上是解決相同物理問題的兩個相同的泛函（只差一個符號）。所以，對完全的廣義變分原理來說，基于位能和基于余能的廣義變分原理，因為其滿足等同原理，兩者無本質(zhì)上的差別，這一概念是十分重要的，有時，對兩種形式的泛函統(tǒng)稱為廣義變分原理泛函，而在形式上可指明以“位能形式”和以“余能形式”表示而已。利用了（7-36）式第一式后，我們可以分別從導(dǎo)出，從導(dǎo)出，即（7-64） （7-65） 以上四個廣義泛函并沒有本質(zhì)上的差別，只是和是以位能形式（）表示，而和是以余能形式（）表示。前者

14、獨立變量為而后者獨立變量為。§7.5 大位移變形彈性理論的不完全的廣義變分原理對于大位移變形彈性理論也存在各種不同的不完全的廣義變分原理，它們的泛函都可以通過拉格朗日乘子法來完成，也可以從廣義位能原理和余能原理中追加變分條件來完成。1、大位移非線性彈性不完全廣義位能變分原理變分原理IA：在滿足給定位移的邊界條件（7-21）式的所有允許的中，實際的必使下列廣義泛函為駐值 （7-66）證明 泛函對自變量之一只要求滿足位移邊界，即（在Su上），顯然 （在Su上） （7-67）現(xiàn)在用拉格朗日乘子將應(yīng)變位移關(guān)系引入泛函，于是形成以下泛函（7-68） 的變分為引用了（7-29）式，上式可化為（7

15、-69） （7-69）式等號右邊末項利用格林公式又可以化為（7-70） （7-70）式等號右側(cè)第一個積分為周邊S積分。而，引用（7-67）式，顯然（7-70）式可寫為（7-71） 把（7-71）式代入（7-69）式中，經(jīng)過整理后可得下式（7-72） 根據(jù)的條件，且都是獨立變分，所以得 (a) ，即 （在V內(nèi)） (b) （在V內(nèi)） (c) （在內(nèi)）(d) （在V內(nèi)） （7-73a,b,c,d）上式（b）、（c）、（d）中均引用了（a）的結(jié)果。顯然（7-73）式中（a）表示，（b）為平衡方程，（c）為在給定力的邊界上力的邊界條件，（d）為應(yīng)變位移關(guān)系式。于是證明了IA的不完全變分原理。將（7-73

16、a）式得到的代入（7-68）式即得到（7-66）式。我們將不加證明地給出下面幾個不完全廣義變分原理。變分原理IB：在滿足大位移應(yīng)變關(guān)系（7-12）式的所有允許的中，實際的必使下列廣義泛函為駐值（7-74） 變分原理IC：在滿足位移邊界中的一個給定位移邊界如的所有允許的須使下列廣義泛函為駐值（7-75） 變分原理ID：在滿足一個應(yīng)變位移關(guān)系式如的所有允許的中，實際的必使下列廣義泛函為駐值（7-76） 還有的不完全廣義變分原理，滿足一部分應(yīng)變位移關(guān)系式或滿足一部分已知的位移邊界條件等等，這里不再一一列出。2、大位移非線性彈性不完全廣義余能變分原理變分原理A：在滿足邊界外力已知的條件（7-20）式的

17、所有允許的中，實際的j必使下列廣義泛函為駐值（7-77） 證明 因為滿足力的邊界（在上），所以有 （7-78）首先，利用拉格朗日乘子法，將平衡方程（7-19）式作為約束方程用拉格朗日乘子引入到原有的余能泛函（7-35）式中，組成如下的泛函（7-79） 該式編者作了修改，與原著有別（增加了項）。下面的（7-86）式類同。（7-79）式的變分為 （7-80）利用格林公式，上式等號右側(cè)第一個積分中的第三項和最后一個積分可化為（7-81） （7-82） 將（7-81）、（7-82）式代入（7-80）式，并利用（7-78）式和（7-36）式第二式，經(jīng)過整理并移項后，可得（7-83） 上式等號右側(cè)第一個積

18、分是由下式得到（7-84） 根據(jù)（7-83）式，取時，都是獨立變分，所以，得 （a） （在V內(nèi)） （b） （在上） （c） （在S上） （d） （在V內(nèi)） （e） （在V內(nèi)） （7-85a,b,c,d,e）上式（c）、（d）兩式給出了拉格朗日乘子代表位移，（a）式是應(yīng)變位移關(guān)系式，（e）式為平衡方程，（b）式為位移給定的邊界條件。將上式（c）、（d）代入（7-79）式，即得到（7-77）式。因此，的泛函得到證明。變分原理B：在滿足平衡方程（7-19）式的所有允許的中，實際的必使下列廣義泛函為駐值 （7-86）證明上式并不困難，我們可以取拉格朗日乘子，將給定力的邊界條件作為約束條件，組成新的泛函

19、如下： （7-87）對（7-87）式取變分 （7-88）（7-88）式等號右側(cè)最后一個積分可以化為下式 （7-89）（7-89）式等號右側(cè)第一個積分又可化為下式 （7-90）因為滿足平衡方程的條件，所以 （7-91）根據(jù)上式，則（7-90）式可化為 （7-92）而（7-88）式等號右側(cè)第一個積分中的末項，又可以化為 （7-93）把（7-92）式代入（7-89）式，再與（7-93）式一起代入（7-88）式，并引用（7-36）第二式，經(jīng)過整理后，可化為下式 （7-94）當(dāng)取時，因為都是獨立變分，故有（a） （在V內(nèi)）（b） （在上）（c） （在S上）（d） （在V內(nèi)）（e） （在上） （7-95a

20、,b,c,d,e）顯然，上式中（a）、（b）分別表示應(yīng)變位移關(guān)系和力給定的力的邊界條件，（c）、（d）表示乘子等于負的位移，（e）表示位移給定的位移邊界條件?，F(xiàn)在將（7-95）式（c）、(d)式代入（7-87）式中，即可得到（7-86）式。以上問題得到證明。變分原理C：在滿足一個外力已知的條件如的所有允許的中，實際的必使下列廣義泛函為駐值 （7-96）變分原理D：在滿足一個平衡方程如的所有允許的中，實際的必使下列泛函為駐值 （7-97）還有其它情形的不完全廣義余能泛函，此處就不一一列舉了。除了上述的變分泛函外，尚有大位移變形非線性彈性理論的分區(qū)完全或不完全（有的專著稱為無條件或部分條件）廣義變

21、分原理，其實質(zhì)上與小位移情形有些類似，同樣這里也是由于非線性應(yīng)變位移關(guān)系引起的某些物理量之變化。限于篇幅，這里不再介紹，讀者可參閱文獻1。§7.6 彈性動力學(xué)問題的變分原理對于彈性體動力學(xué)問題，所有位移，應(yīng)變和應(yīng)力，都是空間坐標(biāo)和時間坐標(biāo)的函數(shù)，即 （7-98）而體積力一般也可以是時間坐標(biāo)的函數(shù)，即 （7-99）物體的單元體積在運動時，除了受體積力作用外，還受到慣性力的作用，其中為物體的密度。對于彈性體的平衡方程（4-1）式或（7-19）式應(yīng)該改寫為動力方程 （小位移時） （7-100） （大位移時） （7-101）其它關(guān)系如舊，如（A）小位移問題（1）應(yīng)變位移關(guān)系為 （7-102）

22、（2）應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 （7-103） （各向異性） （7-104） （7-105）或用應(yīng)力表示應(yīng)變 （7-106） （7-107） （7-108）（3）邊界條件 （在上） （7-109） （在上） （7-110）（B）大位移問題（1）應(yīng)變位移關(guān)系式 （7-111）（2）應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系與小位移時相同。（3）邊界條件 （在上） （7-112） （在上） （7-113）在動力學(xué)問題中，還必須知道物體在某一時刻的位移和速度，才能使解唯一地確定，這個條件就是動力學(xué)問題的初始條件。一般的，把已知初始值的時間取為，則初始條件可表示為在時： （7-114）式中，是已知的的函數(shù)。如果把一個系統(tǒng)看作是能量守恒系統(tǒng)，位

23、能泛函可以寫為 （7-115）動能應(yīng)該是 （7-116）作用量為 （7-117）它也稱為拉格朗日函數(shù)。最小作用量定理要求， （7-118）這里的在和兩個積分限假定是已給定的，即 （7-119）所以，彈性動力學(xué)的哈密頓（Hamilton）原理為：在邊界上滿足給定邊界位移（7-110）式或（7-113）式，在內(nèi)滿足應(yīng)變位移關(guān)系（7-102）式和（7-111）式，在和時滿足限定條件（7-119）式的條件下，使泛函 （7-120）為極值的必導(dǎo)出問題的正確解。即必可導(dǎo)出滿足動力學(xué)方程的（7-100）式或（7-101）式和邊界外力已知的條件（7-109）式和（7-112）式的。的變分極值給出 （7-121

24、）上式也稱為彈性動力學(xué)的虛功原理。現(xiàn)在讓我們考慮問題的一個近似解。設(shè) （7-122）其中為時間函數(shù)，也稱為廣義坐標(biāo)。而且不論是多少，一定滿足上的位移已給定的邊界條件。從（7-122）式，我們得到 （7-123） （7-124）將（7-123）式和（7-124）式代入（7-116）式和中，我們就可以用和來表示拉格朗日函數(shù)為 （7-125）對取 （7-126）這里我們已經(jīng)使用了積分限定條件（7-119）式，即 （） （7-127）如果引進廣義力，并定義廣義力為 （7-128）由上式，可以得到 （7-129）因為都是獨立的，因此有 （7-130）將（7-126）式和（7-128）式代入（7-121）式，得 （7-131）根據(jù)變分預(yù)備定理，可以得到個獨立的彈性體拉格朗日運動學(xué)方程 （） （7-132）這個關(guān)系式適用于大位移理論和小位移理論，它是研究顫振的基本動力學(xué)方程式。（7-120）式的泛函是在已給定邊界位移和應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（7-102）式或（7-111）式條件下的變分原理。顯然，這是有條件的變分原理。如果利用了拉格朗日乘子后，通過變分，也可以化為彈性動力學(xué)廣義變分原理，該原理可以寫成：在和時，是已給的條件下，彈性體動力學(xué)的的