數(shù)學(xué)選修4-7全套教案(共22頁(yè))

1、高三數(shù)學(xué)選修4-7第一講 優(yōu)選法一 什么叫優(yōu)選法二 單峰函數(shù)知識(shí)與技能： 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，初步了解優(yōu)選法的概念，幫助學(xué)生了解優(yōu)選問(wèn)題的廣泛存在，能正確的判斷出單峰函數(shù)，能建立實(shí)際優(yōu)選問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，并尋找模型的最佳點(diǎn)，從數(shù)學(xué)角度加深對(duì)解決優(yōu)選問(wèn)題的認(rèn)知.情感、態(tài)度與價(jià)值： 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)幫助學(xué)生思考和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.教學(xué)過(guò)程1. 有一種商品價(jià)格競(jìng)猜游戲，參與者在知道售價(jià)范圍的前提下，對(duì)一件商品的價(jià)格進(jìn)行競(jìng)猜.當(dāng)競(jìng)猜者給出的估價(jià)不正確時(shí)，主持人以“高了”“低了”作為提示語(yǔ)，再讓競(jìng)猜者繼續(xù)估價(jià)，在規(guī)定的時(shí)間或次數(shù)內(nèi)猜對(duì)的，即可獲得這件商品.如果參加類似的游戲，每次你將怎么給出估價(jià)呢？2

2、. 蒸饅頭是日常生活中常做的事情，為了使蒸出的饅頭好吃，就要放堿.如果堿放少了，蒸出的饅頭就發(fā)酸；堿放多了，蒸出的饅頭就發(fā)黃且有堿味.對(duì)于一定量的面粉來(lái)說(shuō)，放多少堿最合適呢？如果你沒(méi)有做饅頭的經(jīng)驗(yàn)，也沒(méi)有人可以請(qǐng)教，如何迅速地找出合適的堿量？3. 一個(gè)農(nóng)場(chǎng)希望知道某個(gè)玉米品種的高產(chǎn)栽培條件，如果可以掌握的因素是:種植密度、施化肥量、施化肥時(shí)間，如何迅速地找出高產(chǎn)栽培的條件？如何找出其中對(duì)玉米的產(chǎn)量影響比較大的因素呢？一、優(yōu)選法優(yōu)選法是根據(jù)生產(chǎn)和科學(xué)研究中的不同問(wèn)題，利用數(shù)學(xué)原理，合理安排試驗(yàn)，以最少的試驗(yàn)次數(shù)迅速找到最佳點(diǎn)的科學(xué)試驗(yàn)方法.二、單峰函數(shù) 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上只有唯一的

3、最大值點(diǎn)(或最小值點(diǎn))C，而在最大值點(diǎn)(或最小值點(diǎn))C的左側(cè)，函數(shù)單調(diào)增加(減少)；在點(diǎn)C的右側(cè)，函數(shù)單調(diào)減少(增加)，則稱這個(gè)函數(shù)為區(qū)間a, b上的單峰函數(shù).例如，圖中的兩個(gè)函數(shù)f(x)，g(x)就是單峰函數(shù).我們規(guī)定，區(qū)間a, b上的單調(diào)函數(shù)也是單峰函數(shù).在炮彈發(fā)射試驗(yàn)中，除發(fā)射角外，初速度、空氣阻力等也會(huì)影響炮彈的射程，我們把影響試驗(yàn)?zāi)繕?biāo)的初速度、發(fā)射角、空氣阻力等稱為因素.在一個(gè)試驗(yàn)過(guò)程中，只有（或主要有）一個(gè)因素在變化的問(wèn)題，稱為單因素問(wèn)題.射程（目標(biāo)）可以表示為發(fā)射角（因素）的函數(shù).像這樣表示目標(biāo)與因素之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，稱為目標(biāo)函數(shù).若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上是單峰函數(shù),C是最

4、佳點(diǎn)，如果在區(qū)間a, b上任取x1，x2，如果在試驗(yàn)中效果較好的點(diǎn)是x1，則必有C和x1在x2的同側(cè)，若以x2為分界點(diǎn),含x1點(diǎn)的區(qū)間范圍是函數(shù)的一個(gè)存優(yōu)范圍.練習(xí).判斷下列函數(shù)在區(qū)間1,5上哪些是單峰函數(shù)：(1) y3x25x2; (2) yx23x1;(3) ycosx; (4) yex;(5) yx3.課后作業(yè)1.閱讀教材P. 2-P.10； 2.學(xué)案P.32-P.34.教學(xué)后記第一講 優(yōu)選法三、黃金分割法0.618法知識(shí)與技能： 黃金分割法0.618法是非常著名的優(yōu)選法，在生產(chǎn)實(shí)踐中有廣泛應(yīng)用，通過(guò)學(xué)習(xí)這一內(nèi)容，不僅可以使學(xué)生學(xué)會(huì)一種用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的方法（數(shù)學(xué)建模），了解黃金分

5、割常數(shù)，而且還可以使學(xué)生感受數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.情感、態(tài)度與價(jià)值： 通過(guò)本課學(xué)習(xí)，增加學(xué)生的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的美.教學(xué)過(guò)程一、黃金分割常數(shù)對(duì)于一般的單峰函數(shù)，如何安排試點(diǎn)才能迅速找到最佳點(diǎn)？假設(shè)因素區(qū)間為0, 1，取兩個(gè)試點(diǎn)、 ，那么對(duì)峰值在中的單峰函數(shù)，兩次試驗(yàn)便去掉了長(zhǎng)度為的區(qū)間(圖1)；但對(duì)于峰值在的函數(shù)，只能去掉長(zhǎng)度為的區(qū)間(圖2)，試驗(yàn)效率就不理想了.怎樣選取各個(gè)試點(diǎn)，可以最快地達(dá)到或接近最佳點(diǎn)？在安排試點(diǎn)時(shí)，最好使兩個(gè)試點(diǎn)關(guān)于a,b的中心 對(duì)稱.為了使每次去掉的區(qū)間有一定的規(guī)律性，我們這樣來(lái)考慮：每次舍去的區(qū)間占舍去前的區(qū)間的比例數(shù)相同.黃金分割常數(shù)：，用w表

6、示.試驗(yàn)方法中，利用黃金分割常數(shù)w確定試點(diǎn)的方法叫做黃金分割法.由于是無(wú)理數(shù)，具體應(yīng)用時(shí)，我們往往取其近似值0.618.相應(yīng)地，也把黃金分割法叫做0.618法.二、黃金分割法0.618法例.煉鋼時(shí)通過(guò)加入含有特定化學(xué)元素的材料，使煉出的鋼滿足一定的指標(biāo)要求.假設(shè)為了煉出某種特定用途的鋼，每噸需要加入某元素的量在1000g到2000g之間，問(wèn)如何通過(guò)試驗(yàn)的方法找到它的最優(yōu)加入量？我們用存優(yōu)范圍與原始范圍的比值來(lái)衡量一種試驗(yàn)方法的效率，這個(gè)比值叫做精度，即n次試驗(yàn)后的精度為用0.618法確定試點(diǎn)時(shí)，從第2次試驗(yàn)開(kāi)始，每一次試驗(yàn)都把存優(yōu)范圍縮小為原來(lái)的0.618.因此，n次試驗(yàn)后的精度為一般地，給定

7、精度d，為了達(dá)到這個(gè)精度，所要做的試驗(yàn)次數(shù)n滿足即所以黃金分割法適用目標(biāo)函數(shù)為單峰的情形，第1個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)確定在因素范圍的0.618處，后續(xù)試點(diǎn)可以用“加兩頭，減中間”的方法來(lái)確定.課后作業(yè)1.閱讀教材P. 5-P.10；2.學(xué)案第一講第三課時(shí).教學(xué)后記第一講 優(yōu)選法四、分?jǐn)?shù)法知識(shí)與技能：本節(jié)結(jié)合具體問(wèn)題介紹分?jǐn)?shù)法，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)法最優(yōu)性的含義，并能初步了解它的推導(dǎo)原理，注意斐波那契數(shù)列的表示.情感、態(tài)度與價(jià)值：通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，豐富了數(shù)學(xué)內(nèi)容，傳播了數(shù)學(xué)文化.一、復(fù)習(xí)黃金分割法適用目標(biāo)函數(shù)為單峰的情形，第1個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)確定在因素范圍的0.618處，后續(xù)試點(diǎn)可以用“加兩頭，減中間”的方法來(lái)確定.用

8、0.618法確定試點(diǎn)時(shí)，從第2次試驗(yàn)開(kāi)始，每一次試驗(yàn)都把存優(yōu)范圍縮小為原來(lái)的0.618.因此，n次試驗(yàn)后的精度為二、新課案例1 在配置某種清洗液時(shí)，需要加入某種材料.經(jīng)驗(yàn)表明，加入量大于130 ml肯定不好.用150 ml的錐形量杯計(jì)量加入量，該量杯的量程分為15格，每格代表10 ml.用試驗(yàn)法找出這種材料的最優(yōu)加入量.斐波那契數(shù)列和黃金分割每個(gè)月兔子數(shù)構(gòu)成的數(shù)列：這個(gè)數(shù)列是意大利數(shù)學(xué)家斐波那契首先給出的，為了紀(jì)念他，此數(shù)列被稱為斐波那契數(shù)列.斐波那契數(shù)列有著廣泛的應(yīng)用，其中之一是由它可以構(gòu)造出黃金分割常數(shù)w的近似分?jǐn)?shù)列. 數(shù)列Fn為案例1中，加入量大于130ml時(shí)肯定不好，因此試驗(yàn)范圍就定為

9、0130ml.我們看到，10ml，20ml;，30ml，120ml把試驗(yàn)范圍分為13格，對(duì)照w的漸進(jìn)分?jǐn)?shù)列，如果用 來(lái)代替0.618，那么我們有用“加兩頭，減中間”的方法，在存優(yōu)范圍50130ml內(nèi)：繼續(xù)用“加兩頭，減中間”的方法確定試點(diǎn)，幾次試驗(yàn)后，就能找到滿意的結(jié)果.優(yōu)選法中，像這樣用漸進(jìn)分?jǐn)?shù)近似代替w確定試點(diǎn)的方法叫分?jǐn)?shù)法. 如果因素范圍由一些不連續(xù)的、間隔不等的點(diǎn)組成，試點(diǎn)只能取某些特定數(shù)，這是只能采用分?jǐn)?shù)法.案例2 在調(diào)試某設(shè)備的線路中，要選一個(gè)電阻，但調(diào)試者手里只有阻值為0.5KW，1KW，1.3KW，2KW，3KW，5KW，5.5KW等七種阻值不等的定值電阻.他應(yīng)當(dāng)如何優(yōu)選這個(gè)阻

10、值?如果用0.618法，則計(jì)算出來(lái)的電阻調(diào)試者手里可能沒(méi)有.這時(shí)，可以先把這些電阻由小到大的順序排列：阻值(KW)0.511.32355.5排列(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)為了便于分?jǐn)?shù)法，可在兩端增加虛點(diǎn)(0)，(8)，使因素范圍湊成為8格，用代替0.618.一般地，用分?jǐn)?shù)法安排試點(diǎn)時(shí)，可以分兩種情況考慮.(1) 可能的試點(diǎn)總數(shù)正好是某一個(gè)(Fn1). 這時(shí)，前兩個(gè)試點(diǎn)放在因素范圍的 位置上，即先在第Fn1和Fn2上做實(shí)驗(yàn).(2) 所有可能的試點(diǎn)總數(shù)大于某一(Fn1)，而小于(Fn+11).這時(shí)可以用如下方法解決.先分析能否減少試點(diǎn)數(shù)，把所有可能的試點(diǎn)減少為 (Fn1)個(gè)，從而轉(zhuǎn)

11、化為前一種情形.如果不能減少，則采取在試點(diǎn)范圍之外，虛設(shè)幾個(gè)試點(diǎn)，湊成Fn+11個(gè)試點(diǎn)，從而轉(zhuǎn)化成(1)的情形.對(duì)于這些虛設(shè)點(diǎn)，并不增加實(shí)際試驗(yàn)次數(shù).分?jǐn)?shù)法的最優(yōu)性在目標(biāo)函數(shù)為單峰的情形，通過(guò)n次試驗(yàn)，最多能從(Fn+11)個(gè)試點(diǎn)中保證找出最佳點(diǎn)，并且這個(gè)最佳點(diǎn)就是n次試驗(yàn)中的最優(yōu)試驗(yàn)點(diǎn). 在目標(biāo)函數(shù)為單峰的情形，只有按照分?jǐn)?shù)法安排試驗(yàn)，才能通過(guò)n次試驗(yàn)保證從(Fn+11)個(gè)試點(diǎn)中找出最佳點(diǎn).綜上所述，對(duì)于試點(diǎn)個(gè)數(shù)為某常數(shù)時(shí)，用分?jǐn)?shù)法找出其中最佳點(diǎn)的試驗(yàn)次數(shù)最少，這就是分?jǐn)?shù)的最優(yōu)性.分?jǐn)?shù)法在有有限個(gè)試點(diǎn)優(yōu)選問(wèn)題中被廣泛使用.課后作業(yè)1. 閱讀教材P. 11-P.17教學(xué)后記第一講 優(yōu)選法五、其

12、他幾種常用的優(yōu)選法知識(shí)與技能：通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，結(jié)合具體實(shí)例了解其他幾種常用的優(yōu)選法，對(duì)分法，盲人爬山法，分批試驗(yàn)法.情感、態(tài)度、價(jià)值：通過(guò)本部分的學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力，同時(shí)通過(guò)例題的分析與比較，提升思維的比較遷移能力.教學(xué)過(guò)程;復(fù)習(xí)1. 0.618法 適用目標(biāo)函數(shù)為單峰的情形，第1個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)確定在因素范圍的0.618處，后續(xù)試點(diǎn)可以用“加兩頭，減中間”的方法來(lái)確定. 用0.618法確定試點(diǎn)時(shí)，從第2次試驗(yàn)開(kāi)始，每一次試驗(yàn)都把存優(yōu)范圍縮小為原來(lái)的0.618.因此，n次試驗(yàn)后的精度為2. 斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34,3.黃金分割常數(shù)w的近似分?jǐn)?shù)列3. 分?jǐn)?shù)法 適

13、用目標(biāo)函數(shù)為單峰的情形，第1個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)確定在因素范圍的黃金分割近似分?jǐn)?shù)處，后續(xù)試點(diǎn)可以用“加兩頭，減中間”的方法來(lái)確定.4. 0.618法和分?jǐn)?shù)法的區(qū)別0.618法:適合a,b區(qū)間上的實(shí)數(shù)試點(diǎn)問(wèn)題分?jǐn)?shù)法:適合a,b區(qū)間上的有限試點(diǎn)問(wèn)題 5. 分?jǐn)?shù)法的最優(yōu)性2次試驗(yàn)可以最多處理2個(gè)試點(diǎn)問(wèn)題3次試驗(yàn)可以最多處理4個(gè)試點(diǎn)問(wèn)題4次試驗(yàn)可以最多處理7個(gè)試點(diǎn)問(wèn)題5次試驗(yàn)可以最多處理12個(gè)試點(diǎn)問(wèn)題6次試驗(yàn)可以最多處理20個(gè)試點(diǎn)問(wèn)題n次試驗(yàn)可以最多處理(Fn+11)個(gè)試點(diǎn)問(wèn)題新課一、對(duì)分法案例1 有一條10km長(zhǎng)的輸電線路出現(xiàn)了故障，在線路的一端A處有電，在另一端B處沒(méi)有電，要迅速查出故障所在位置.0.618法

14、和分?jǐn)?shù)法都是先做兩個(gè)試驗(yàn)，然后再通過(guò)比較，確定存優(yōu)范圍，不斷地將試驗(yàn)范圍縮小，最后找到最佳點(diǎn).現(xiàn)在找輸電線路故障所在位置，我們只需在AB之間的任意點(diǎn)C做檢查，就能根據(jù)點(diǎn)C是否有電，判斷出故障在哪一段，從而縮小故障范圍，而不需要做兩個(gè)試驗(yàn)進(jìn)行比較.那么，如何選取每次的檢查點(diǎn)才能迅速找出故障位置呢？ 第一個(gè)檢查點(diǎn)C安排在線路中間，如果有電，說(shuō)明故障不在AC而在CB段，接著在CB中點(diǎn)D檢查，如果沒(méi)有電，說(shuō)明故障在CD部分，再在CD中點(diǎn)E檢查，如此類推，很快就能找出故障的位置.這個(gè)方法的要點(diǎn)是每個(gè)試點(diǎn)都取在因素范圍的中點(diǎn)，將因素范圍對(duì)分為兩半，所以這種方法就稱為對(duì)分法.用這種方法做試驗(yàn)的效果較0.61

15、8法好，每次可以去掉一半.那么是不是所有的問(wèn)題都可以用對(duì)分法呢？不是的.如果每做一次試驗(yàn)，根據(jù)結(jié)果，可以決定下次試驗(yàn)的方向，就可以用對(duì)分法.例如案例1中，根據(jù)有沒(méi)有電就可以判斷是哪段線路有故障，下次就在有故障的一段檢查.決定下次試驗(yàn)方向，只要滿足以下兩個(gè)條件就可以：一是要有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)分法每次只有一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果，如果沒(méi)有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，就無(wú)法鑒別試驗(yàn)結(jié)果的好壞，案例1中的標(biāo)準(zhǔn)是有沒(méi)有電；二是要預(yù)知該因素對(duì)指標(biāo)的影響規(guī)律，也就是說(shuō)，能夠從一個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果直接分析出該因素的值是取大了還是取小了，案例1中，根據(jù)檢查點(diǎn)是否有電，知道下一個(gè)應(yīng)該離A點(diǎn)更近些還是更遠(yuǎn)些.如果沒(méi)有這一條件就不能確定下一次應(yīng)該在哪個(gè)因素

16、范圍進(jìn)行試驗(yàn).案例2 在商品價(jià)格競(jìng)猜游戲中,每一次試猜時(shí)，如何給出商品估價(jià)就可以最迅速地猜出真實(shí)價(jià)格？因?yàn)槊看谓o出估價(jià)都會(huì)得到“高了”或“低了”的提示語(yǔ)，于是，我們可以根據(jù)提示語(yǔ)確定下一次該往高還是往低估.這說(shuō)明可以用對(duì)分法給出商品估價(jià)，每次給出的估價(jià)都是存優(yōu)區(qū)間的中點(diǎn).每給一次估價(jià)，可以使價(jià)格范圍縮小 ，迅速猜中商品價(jià)格. 可以發(fā)現(xiàn)對(duì)分法和0.618法及分?jǐn)?shù)法，在確定下一個(gè)試點(diǎn)時(shí)，比較的對(duì)象是不同的.后兩種方法是兩個(gè)試點(diǎn)上的試驗(yàn)結(jié)果的比較，而對(duì)分法是一個(gè)試點(diǎn)上的試驗(yàn)結(jié)果與已知標(biāo)準(zhǔn)（或要求）的比較.所以在滿足目標(biāo)函數(shù)為單峰的假設(shè)下，使用對(duì)分法還需要滿足具有已知標(biāo)準(zhǔn)這個(gè)條件.從效果上看，對(duì)分法比

17、0.618法及分?jǐn)?shù)法好，每一次試驗(yàn)可以去掉一半的因素范圍.相對(duì)于0.618法及分?jǐn)?shù)法，對(duì)分法更簡(jiǎn)單，易操作.思考分別用0.618法和對(duì)分法安排試驗(yàn)，找出蒸饅頭時(shí)合適的放堿量，哪種方法會(huì)更有效呢？為什么？二、盲人爬山法在實(shí)際的生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)試驗(yàn)中，某些因素不允許大幅度調(diào)整.例如，設(shè)備正在運(yùn)行中，如果壞一次損失會(huì)很大；某些成分含量的多少對(duì)結(jié)果影響很大，甚至由于該成分的過(guò)量破壞了試驗(yàn)裝置的清潔度，而影響下一次試驗(yàn)結(jié)果的正確性.這些試驗(yàn)用0.618法、分?jǐn)?shù)法或?qū)Ψ址ň筒缓芎线m.這種限制要求我們?cè)谠猩a(chǎn)條件的基礎(chǔ)上逐步探索，逐步提高，就像盲人爬山一樣，在立足處，對(duì)前后兩個(gè)方向進(jìn)行試探，如果前面高了就向

18、前走一步，否則試探后面，如果前后都比某點(diǎn)低，就說(shuō)明達(dá)到山頂了.盲人爬山法的操作步驟是：先找一個(gè)起點(diǎn)A(可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或估計(jì))，在A點(diǎn)做試驗(yàn)后可以向該因素的減少方向找一點(diǎn)B'做試驗(yàn).如果好，就繼續(xù)減少；如果不好，就往增加方向找一點(diǎn)C做試驗(yàn).如果C點(diǎn)好就繼續(xù)增加，這樣一步一步地提高.如果增加到E點(diǎn)，再增加到F點(diǎn)時(shí)反而壞了，這時(shí)可以從E點(diǎn)減少增加的步長(zhǎng)，如果還是沒(méi)有E點(diǎn)好，則E就是該因素的最佳點(diǎn).這就是單因素問(wèn)題的盲人爬山法.盲人爬山法的效果快慢與起點(diǎn)關(guān)系很大，起點(diǎn)選得好可以省好多次試驗(yàn).所以對(duì)爬山來(lái)說(shuō)，試驗(yàn)范圍的正確與否很重要.另外，每步間隔的大小，對(duì)試驗(yàn)效果關(guān)系也很大.在實(shí)踐中往往采取“兩

19、頭小，中間大”的辦法.也就是說(shuō)，先在各個(gè)方向上用小步試探一下，找出有利于尋找目標(biāo)的方向，當(dāng)方向確定后，再根據(jù)具體情況跨大步，快接近最佳點(diǎn)時(shí)再改為小步.如果由于估計(jì)不正確，大步跨過(guò)最佳點(diǎn)，這時(shí)可退回一步，在這一步內(nèi)改用小步進(jìn)行.一般說(shuō)來(lái)，越接近最佳點(diǎn)的時(shí)候，效果隨因素的變化越緩慢.這個(gè)方法還可以應(yīng)用在某些可變因素要調(diào)到某點(diǎn)，必須經(jīng)過(guò)由小到大或由大到小的連續(xù)過(guò)程的問(wèn)題上.像改變氣體和液體的流速、溫度；儀器調(diào)試中的可變電容、可變電阻；等等，采用爬山法比較合適.試驗(yàn)中，可以邊調(diào)整邊檢查，調(diào)到最佳點(diǎn)時(shí)就固定下來(lái).一般在大生產(chǎn)中爬山法較常用.三、分批試驗(yàn)法(1)均分分批試驗(yàn)法(2)比例分割分批試驗(yàn)法從效果

20、上看，比例分割法比均勻法好.但是比例分割法每批中的試驗(yàn)點(diǎn)挨得太近，如果試驗(yàn)效果差別不顯著的話，就不好鑒別.因此，這種方法比較適用于小的因素變動(dòng)就能引起結(jié)果的顯著變化的情形.究竟一批安排幾個(gè)試驗(yàn)合適呢？這要根據(jù)具體的情況而定.如果做一次試驗(yàn)很方便，消耗很少，時(shí)間很短；或檢驗(yàn)很麻煩，時(shí)間又長(zhǎng)；或代價(jià)很大，而且每次檢驗(yàn)可以有好多樣品同時(shí)進(jìn)行，在這種情況下每批試驗(yàn)可多做幾個(gè)，即將試驗(yàn)范圍分得細(xì)一些；否則就少做幾個(gè).四、多峰的情形一般可以采用以下兩種方法.(1)先不管它是“單峰”還是“多峰”，用前面介紹的處理單峰的方法去做，找到一個(gè)“峰”后，如果達(dá)到預(yù)先要求，就先應(yīng)用于生產(chǎn)，以后再找其他更高的“峰”(即

21、分區(qū)尋找).(2)先做一批分布得比較均勻的試驗(yàn)，看它是否有“多峰”現(xiàn)象.如果有，則分區(qū)尋找，在每個(gè)可能出現(xiàn)“高峰”的范圍內(nèi)做試驗(yàn)，把這些“峰”找出來(lái).第一批分布均勻的試點(diǎn)最好以下述比例分：a：b0.618：0.382.(圖1)這樣有峰值的范圍總是成(a,b) 或(b, a)形式(圖2).課后作業(yè)1. 閱讀教材P. 18-P.22教學(xué)后記第一講 優(yōu)選法六、多因素方法知識(shí)與技能：通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，結(jié)合具體實(shí)例了解多因素方法.對(duì)于多因素問(wèn)題，應(yīng)抓住主要因素，略去次要因素，當(dāng)剩下的因素不能再略去時(shí)，就只能用多因素方法了，處理雙因素問(wèn)題的方法有縱橫對(duì)這法，從好點(diǎn)出發(fā)法，平行線法，平行線加速法、雙因素盲

22、人爬山法.情感、態(tài)度、價(jià)值：通過(guò)本部分的學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力，同時(shí)通過(guò)例題的分析與比較，提升思維的比較遷移能力.教學(xué)過(guò)程;一、縱橫對(duì)折法用x，y表示兩個(gè)因素的取值，z=f(x,y)表示目標(biāo)函數(shù)(并不需要z=f(x,y)的真正表達(dá)式).雙因素的優(yōu)選問(wèn)題，就是迅速地找到二元目標(biāo)函數(shù)z=f(x,y)的最大值(或最小值)及其對(duì)應(yīng)的(x,y)點(diǎn)的問(wèn)題.假設(shè)函數(shù)z=f(x, y)在某一區(qū)域內(nèi)單峰，其幾何意義是把曲面z=f(x,y)看作一座山，頂峰只有一個(gè).雙因素的優(yōu)選問(wèn)題就是找出曲面z=f(x,y)的最高峰.把試驗(yàn)范圍中z=f(x,y)取同一值的曲線叫作等高線，就如山上同一高度的點(diǎn)的連線在水平面上

23、的投影. 等高線一圈套一圈，越高越在里邊.所以雙因素問(wèn)題就是通過(guò)試驗(yàn)、比較的方法來(lái)尋找比較靠里邊的等高線，直到找到最里邊的一圈等高線(即最佳點(diǎn))為止. 以橫坐標(biāo)表示因素I，縱坐標(biāo)表示因素II.假設(shè)因素I的試驗(yàn)范圍為a1, b1，因素II的試驗(yàn)范圍為a2, b2.先將因素I固定在試驗(yàn)范圍的中點(diǎn)c1，即處，對(duì)因素II進(jìn)行單因素優(yōu)選，得到最佳點(diǎn)A1.同樣將因素II固定在中點(diǎn)c2，即處，對(duì)因素I進(jìn)行單因素優(yōu)選，得到最佳點(diǎn)B1.比較A1和B1的試驗(yàn)結(jié)果，如果B1比A1好，則沿壞點(diǎn)A1所在的線，丟棄不包括好點(diǎn)B1所在的半個(gè)平面區(qū)域，即丟棄平面區(qū)域：a1Ic1,a2IIb2.然后再在因素I的新范圍即(c1，

24、b1的中點(diǎn)d1，用單因素方法優(yōu)選因素II，如果最佳點(diǎn)為A2，而且A2比B1好，則沿壞點(diǎn)B1所在的線，丟棄不包括好點(diǎn)A2所在的半個(gè)平面區(qū)域，即丟棄平面區(qū)域：c1I£b1，a2IIc2.如此繼續(xù)下去，不斷地將試驗(yàn)范圍縮小，直到找到滿意的結(jié)果為止.這個(gè)方法稱為縱橫對(duì)折法.思 考是否每次都要固定在該因素試驗(yàn)的中點(diǎn)？還有沒(méi)有改進(jìn)的余地?不一定實(shí)踐證明，用以下的方法更好.二、從好點(diǎn)出發(fā)法先固定因素I于原生產(chǎn)點(diǎn)(或0.618點(diǎn))c1，用單因素方法優(yōu)選因素II，得到最佳點(diǎn)為A1 (c1,c2),然后把因素II固定在c2，用單因素法優(yōu)選因素I,得到最佳點(diǎn)B1(d1，c2)，則去掉A1右邊的平面區(qū)域，試

25、驗(yàn)范圍縮小到a1Ic11，a2IIb2.再將因素I固定在d1，優(yōu)選因素II，得到最佳點(diǎn)A2 (d1，d2)，則去掉B1以上部分，試驗(yàn)范圍縮小到：a1Ic1，a2IIc2再將因素II固定在d2，用單因素方法在a1,c1)范圍內(nèi)優(yōu)選因素I，這樣繼續(xù)下去，就能找到所需要的最佳點(diǎn).這個(gè)方法的要點(diǎn)是：對(duì)某一因素進(jìn)行優(yōu)選試驗(yàn)時(shí)，另一因素固定在上次試驗(yàn)結(jié)果的好點(diǎn)上(除第一次外)，所以稱為從好點(diǎn)出發(fā)法.案例1 阿托品是一種抗膽堿藥.為了提高產(chǎn)量、降低成本，利用優(yōu)選法選擇合適的脂化工藝條件.根據(jù)分析，主要因素為溫度與時(shí)間，定出其試驗(yàn)范圍為 溫度：5575， 時(shí)間：30min210min.用從好點(diǎn)出發(fā)法對(duì)工藝條件

26、進(jìn)行優(yōu)選: (1) 參照生產(chǎn)條件，先固定溫度為55,用單因素法優(yōu)選時(shí)間，得最優(yōu)時(shí)間為150min，其產(chǎn)率為41.6%. (2) 固定時(shí)間為150min，用單因素法優(yōu)選溫度，得最優(yōu)溫度為67，其產(chǎn)率為51.59%. (3) 固定溫度為67，用單因素法再優(yōu)選時(shí)間，得最優(yōu)時(shí)間為80min，其產(chǎn)率為56.9%.(4) 再固定時(shí)間為80min，又對(duì)溫度進(jìn)行優(yōu)選，結(jié)果還是67好.試驗(yàn)到此結(jié)束，可以認(rèn)為最好的工藝條件為溫度：67，時(shí)間：80min(圖).實(shí)際中采用這個(gè)工藝進(jìn)行生產(chǎn)，平均產(chǎn)率提高了15%.三、平行線法設(shè)影響某試驗(yàn)結(jié)果的因素有I、II兩個(gè)，而因素II難以調(diào)整.首先把難以調(diào)整的因素II固定在0.6

27、18處，用單因素方法對(duì)另一個(gè)因素I的進(jìn)行優(yōu)選，例如最佳點(diǎn)在A1處然后再把因素II固定在0.618的對(duì)稱點(diǎn)0.382處，再用單因素方法對(duì)因素I進(jìn)行優(yōu)選，例如最佳點(diǎn)在A2處.比較A2和A1兩點(diǎn)上的試驗(yàn)結(jié)果，如果A1比A2好，則去掉A2以下的部分(圖中陰影部分)，即好點(diǎn)不會(huì)在因素II的00.382之間(如果A2比A1好，則去掉A1以上的部分，即好點(diǎn)不會(huì)在因素II的0.6181之間).然后按0.618法找出因素II的第三點(diǎn)0.764.第三次試驗(yàn)時(shí)，將因素II固定在0.764，用單因素優(yōu)選方法對(duì)因素I進(jìn)行優(yōu)選，例如最佳點(diǎn)在A3處.比較A3和A1，如果仍然是A1好，則去掉0.764以上部分(圖).如此繼續(xù)

28、下去，直到找到滿意的結(jié)果為止.這個(gè)方法的特點(diǎn)是，每次試驗(yàn)都是在相互平行的直線上做，因此叫做平行線法.因素II上的取點(diǎn)方法是否一定要按0.618法？不一定，也可以用其他方法，例如可以固定在原有生產(chǎn)水平上，這樣可以少做試驗(yàn).在用平行線法處理兩因素問(wèn)題時(shí)，不能保證下一條平行線上的最佳點(diǎn)一定優(yōu)于以前各條平行線上的最佳點(diǎn)，因此,有時(shí)為了較快地得到滿意的結(jié)果，常常采用平行線加速法.所謂“平行線加速”是在求得兩條平行直線l1與l2上的最佳點(diǎn)A1與A2后，比較A1與A2兩點(diǎn)上的試驗(yàn)結(jié)果，若A1優(yōu)于A2，則去掉下面一塊.然后在剩下的范圍內(nèi)過(guò)A2，A1作直線L1，在L1上用單因素法找到最佳點(diǎn)，設(shè)為A3. 顯然A3

29、優(yōu)于A1.如果對(duì)A3的試驗(yàn)結(jié)果還不滿意，則再過(guò)A3作l1的平行線l3，在如l3上用單因素法求得最佳點(diǎn)A4.顯然A4優(yōu)于A3(若A4與A3重合，則可以認(rèn)為A4即為最佳點(diǎn))，因此可去掉圖的下邊一塊. 若A4的試驗(yàn)結(jié)果還不滿意，則在剩下的試驗(yàn)范圍內(nèi)過(guò)A1，A4作直線L2，在L2上用單因素法進(jìn)行優(yōu)選.依次進(jìn)行，直到結(jié)果滿意為止. 對(duì)于A2優(yōu)于A1的情況也可以類似地討論.案例2“除草醚”配方試驗(yàn)中，所用原料為硝基氯化苯，2.4一二氯苯酚和堿,試驗(yàn)?zāi)康氖菍ふ?.4一二氯苯酚和堿的最佳配比，使其質(zhì)量穩(wěn)定、產(chǎn)量高.堿的變化范圍：1.11.6(克分子比)； 酚的變化范圍：1.11.42(克分子比). 首先固定酚

30、的用量1.30(即0.618處)，對(duì)堿的用量進(jìn)行優(yōu)選，得最優(yōu)用量為1.30，即圖上的點(diǎn)A1. 再固定酚的用量1.22 (即0.382處)，對(duì)堿的用量進(jìn)行優(yōu)選，得堿的最優(yōu)用量為1.22，即圖上的點(diǎn)A2.過(guò)A1，A2作直線L(直線L上的點(diǎn)是酚:堿=1:1)，在直線L上用單因素法進(jìn)行優(yōu)選(因?yàn)锳2優(yōu)于A1,所以酚的用量低于1.22時(shí)就不必做了)，最佳點(diǎn)為A3，即酚與堿的用量均為1.27.四、雙因素盲人爬山法是否一定要找出第一個(gè)因素的最佳點(diǎn)，然后再找另一個(gè)因素的最佳點(diǎn)呢？不一定，在雙因素尋找最佳點(diǎn)的過(guò)程，就像盲人爬山可以朝前后左右四個(gè)方向前進(jìn)一樣.盲人在山上某點(diǎn)，想要爬到山頂，怎么辦？從立足處用明杖向

31、前一試，覺(jué)得高些，就往前一步；如果前面不高，向左一試，高就向左一步；不高再試后面，高就退后一步；不高再試右面，高就向右走一步；四面都不高，就原地不動(dòng).總之，某個(gè)方向高了就朝這個(gè)方向走一步，否則試其他方向，這樣一步一步地走，就一定能走上山頂.在尋找最佳點(diǎn)時(shí)也可以以起點(diǎn)為中心，向四周探索一下，找出有利于尋找目標(biāo)的方向，在這個(gè)方向上跨一步，然后再探索.這樣邊探索邊前進(jìn)，直到找到最佳點(diǎn)為止.這就是雙因素問(wèn)題的盲人爬山法.案例3 對(duì)某種物品鍍銀時(shí)，要選擇氯化銀和氰化鈉的用量，使得鍍銀速度快，質(zhì)量好.為此采用爬山法選擇最佳點(diǎn).起點(diǎn)：氰化鈉85g/ml，氯化銀55g/ml，步長(zhǎng)：氰化鈉10g/ml，氯化銀5

32、g/m1.試驗(yàn)過(guò)程如圖所示. 從起點(diǎn)1開(kāi)始，向右試探，結(jié)果2比1好，繼續(xù)向右試探，結(jié)果3比2好，再向右試探，結(jié)果4不如3好，回到3再向上試探，5比3好，繼續(xù)向上試探，6比5好，再繼續(xù)試探,直到其他三個(gè)方向不如6號(hào)，并且6的結(jié)果滿足生產(chǎn)條件，即可以停止試驗(yàn).課后作業(yè)1. 閱讀教材P. 23-P.28；教學(xué)后記第二講 試驗(yàn)設(shè)計(jì)初步一、正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法教學(xué)過(guò)程;為了方便起見(jiàn)，在試驗(yàn)中變化的因素用A，B，C，表示，因素在試驗(yàn)中所取的不同狀態(tài)稱為水平，因素A的r個(gè)不同的水平用A1，A2，Ar表示.案例1 某化工產(chǎn)品的產(chǎn)量受到溫度A、反應(yīng)時(shí)間B和催化劑濃度C三個(gè)因素的影響.在具體生產(chǎn)過(guò)程中，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，溫度、

33、反應(yīng)時(shí)間及催化劑濃度分別可以取兩個(gè)水平: 溫度：A1=80，A2=90； 反應(yīng)時(shí)間：B1=1h，B2=2h； 催化劑濃度：C1=5%，C2=6%. 現(xiàn)要在上述的情況下找出產(chǎn)量最佳的因素組合方案，并分析影響結(jié)果的主次因素.如果按它們所有可能組合的情況做試驗(yàn)，全面試驗(yàn)為：相互位置如圖所示，每個(gè)小黑圓點(diǎn)代表一個(gè)試驗(yàn)，共需做23=8次試驗(yàn).然后從所有的試驗(yàn)結(jié)果中選擇最佳方案.這樣做，原則上是可以的，但當(dāng)因素和水平個(gè)數(shù)較大時(shí)，試驗(yàn)的次數(shù)會(huì)相當(dāng)大(比如因素為4，水平為6時(shí)，需64=1296次試驗(yàn))，實(shí)際操作很困難.為了減少試驗(yàn)次數(shù)，人們通常會(huì)這樣進(jìn)行試驗(yàn)：先把兩個(gè)因素固定在某個(gè)水平上(如A1=80 ，B1

34、=1h)，然后將第三個(gè)因素的兩個(gè)水平C1，C2分別與之搭配進(jìn)行試驗(yàn)，若與C1的搭配結(jié)果好，則固定C1，并選擇A1，再與B2搭配試驗(yàn)，并比較與B1搭配的結(jié)果.若與B2搭配結(jié)果好，則規(guī)定C1和B2 ，再與A1和A2搭配試驗(yàn)，經(jīng)比較得到最后的結(jié)果，等等.這樣做的問(wèn)題在于最初選擇的因素C的水平C1是在兩個(gè)因素A，B分別固定在A1，B1的情況下得到的，但后來(lái)A，B又變化了，這時(shí)因素C選擇水平C1不能說(shuō)一定仍是最好的，所以所得結(jié)果未必是最好的.那么，是否有一種方法，只做少量一部分試驗(yàn)，就能對(duì)多個(gè)因素同時(shí)進(jìn)行考察，在各個(gè)因素都處于變動(dòng)的情況下，既能找出最優(yōu)的試驗(yàn)方案，又能分析出各因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響的大小呢？

35、人們?cè)陂L(zhǎng)期的科學(xué)試驗(yàn)和生產(chǎn)實(shí)踐中，總結(jié)出了一種解決這類安排多因素試驗(yàn)問(wèn)題的方法正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法.它借助預(yù)先設(shè)計(jì)好的“正交表”來(lái)安排試驗(yàn)和對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，幫助人們通過(guò)較少的試驗(yàn)次數(shù)得到較好的因素組合，形成較好的試驗(yàn)方案.1. 正交表先介紹記號(hào)L4(23)的含意.符號(hào)“L”表示正交表，L右下角的數(shù)字4表示這張正交表有4行，它意味著需要做4次試驗(yàn).括號(hào)里的指數(shù)3表示這張正交表有3列，每列中的數(shù)字代表試驗(yàn)因素，每列僅可放一個(gè)因素，它意味著最多可安排3個(gè)因素.括號(hào)內(nèi)的數(shù)字2表示表的主要部分只有兩種數(shù)字1和2，它們分別是因素的1水平和2水平的代號(hào)，因此L4(23)是一張2水平的正交表. 常用的正交表有二

36、水平正交表L4(23)，L8(27)，L12(211)，L16(215)；三水平正交表L9(34)，L27(213)；四水平正交表L16(45).2. 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)下面用正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法安排案例1中的試驗(yàn). 首先要確定試驗(yàn)的因素和水平，這里已知影響試驗(yàn)結(jié)果的有3個(gè)因素，每個(gè)因素有2個(gè)水平；然后根據(jù)確定的因素和水平，選用一張合適的正交表.從附錄二中找到二水平正交表有：L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231). 本試驗(yàn)考察3個(gè)因素，由于每個(gè)因素各需占用1列，故所選表的列數(shù)不得少于3列.查二水平正交表，從中找出列數(shù)不少于3列的最小正交表L4(23).下面用正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法安排案例1

37、中的試驗(yàn). 接著可以著手安排試驗(yàn)方案了.用L4(23)表安排試驗(yàn)就是先在表中任選3列，由于L4(23)中有且僅有3列，所以就不用選擇了.將溫度A，反應(yīng)時(shí)間B，催化劑濃度C三個(gè)試驗(yàn)因素分別填入1，2，3三列上.哪一個(gè)因素安排在哪一列，一般來(lái)說(shuō)是任意的.排定因素后，編排具體試驗(yàn)方案，就是“對(duì)號(hào)入座”.按照這個(gè)安排需要做4次試驗(yàn).第一個(gè)試驗(yàn)就是按照表的第1行排出的水平組合(A1, B1, C1)，在溫度為80 ，反應(yīng)時(shí)間為1h，催化劑濃度為5%的條件下完成；第二個(gè)試驗(yàn)就是按照表的第2行排出的水平組合(A1,B2,C2)，在溫度為80 ，反應(yīng)時(shí)間為2h，催化劑濃度為6%的條件下完成；等等.經(jīng)過(guò)試驗(yàn)，將試驗(yàn)的結(jié)果，即產(chǎn)量列在表2-2中.表2-23. 試驗(yàn)結(jié)果的分析(1) 直接對(duì)比法從表2-2的試驗(yàn)結(jié)果列中可以看到，第3號(hào)試驗(yàn)在4個(gè)試驗(yàn)中的產(chǎn)量最高.這種直接對(duì)比法的好處是，不必另作計(jì)算，只憑試驗(yàn)結(jié)果及實(shí)際經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析.顯然，直接對(duì)比的結(jié)論十分重要，因?yàn)檫@是拿到手的現(xiàn)實(shí)成果. 但是，由于每個(gè)試驗(yàn)號(hào)之間因素的水平有變化，究竟哪個(gè)因素的哪個(gè)水平引起試驗(yàn)結(jié)果的好壞，就難于分辨了.而且正交試驗(yàn)是從所有可能的因素組合中抽取其中一