我的高考--橢圓知識點總結(共11頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上橢圓知識點一、橢圓的定義平面內一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù) ,這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.注意：若，則動點的軌跡為線段；若，則動點的軌跡無圖形.二、橢圓的標準方程1當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中2當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；注：1只有當橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸建立直角坐標系時，才能得到橢圓的標準方程；2在橢圓的兩種標準方程中，都有和；3橢圓的焦點總在長軸上.當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，；當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，三、橢圓的簡單幾何性質橢圓：的簡單幾何性質（1）對稱性：

2、對于橢圓標準方程說明：把換成、或把換成、或把、 同時換成、原方程都不變，所以橢圓是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，并且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。（2）范 圍：橢圓上所有的點都位于直線和所圍成的矩形內，所以橢圓上點的坐標滿足，。（3）頂 點： 橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。 橢圓與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為 ， 線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸，,。和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。（4）離心率： 橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作。 因為，所以的取值范圍是。越接近1，則就越接近，從而 越小，因此橢圓越扁；反之，

3、越接近于0，就越接近0，從而越接近于，這時橢圓就越接近于圓。 當且僅當時，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。注：橢圓的圖像中線段的幾何特征（如右圖）：（1）； （橢圓的第二定義）； （2）； ； ； （3）； ； ；四、橢圓 與 的區(qū)別和聯(lián)系標準方程 圖形性質焦點，焦距 范圍，對稱性關于軸、軸和原點對稱頂點，軸長長軸長=，短軸長= 離心率準線方程焦半徑，注：關于橢圓與的說明：相同點：形狀、大小都相同；參數(shù)間的關系都有和，；不同點：兩種橢圓的位置不同；它們的焦點坐標也不相同。規(guī)律方法： 1、如何確定橢圓的標準方程？ 任何橢圓都有一個對稱中心，兩條對稱軸。當且僅當橢圓的對稱中心在坐標原點，對稱

4、軸是坐標 軸，橢圓的方程才是標準方程形式。此時，橢圓焦點在坐標軸上。確定一個橢圓的標準方程需要三個條件：2、橢圓標準方程中的三個量的幾何意義橢圓標準方程中，三個量的大小與坐標系無關，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表示 橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關系為：，且。可借助右圖理解記憶： 顯然：恰構成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條 直角邊。3、如何由橢圓標準方程判斷焦點位置 橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看，的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標軸上。4、方程是表示橢圓的條件方程可化為，即，所以只有A、B、C

5、同號，且AB時，方程表示橢圓。當時，橢圓的焦點在軸上；當時，橢圓的焦點在軸上。5、求橢圓標準方程的常用方法： 待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點的位置，從而確定橢圓方程的類型，設出標準方程，再由條件確定方程中的參數(shù)的值。其主要步驟是“先定型，再定量”； 定義法：由已知條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6共焦點的橢圓標準方程形式上的差異共焦點，則c相同。與橢圓共焦點的橢圓方程可設為，此類問題常用待定系數(shù)法求解。7判斷曲線關于軸、軸、原點對稱的依據(jù)： 若把曲線方程中的換成，方程不變，則曲線關于軸對稱； 若把曲線方程中的換成，方程不變，則曲線關于軸對稱； 若把曲線方程中的、同時換成

6、、，方程不變，則曲線關于原點對稱。8如何求解與焦點三角形PF1F2（P為橢圓上的點）有關的計算問題？ 思路分析：與焦點三角形PF1F2有關的計算問題時，?？紤]到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結合的方法進行計算解題。將有關線段，有關角 ()結合起來，建立、之間的關系. 焦點三角形面積公式： (P為橢圓上任一一點)9如何計算橢圓的扁圓程度與離心率的關系？ 長軸與短軸的長短關系決定橢圓形狀的變化。離心率，因為，用表示為。顯然：當越小時，越大，橢圓形狀越扁；當越大，越小，橢圓形狀越趨近于圓。（一）橢圓及其性質1、橢圓的定義（1）平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于

7、|F1 F2|）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距。（2）一動點到定點的距離和它到一條定直線的距離的比是一個內常數(shù)，那么這個點的軌跡叫做橢圓 其中定點叫做焦點，定直線叫做準線，常數(shù)就是離心率2、橢圓的標準方程： 3、橢圓的參數(shù)方程4、離心率: 橢圓焦距與長軸長之比 5、橢圓的準線方程：左準線 右準線（二）、橢圓的焦半徑橢圓的焦半徑公式：焦點在x軸上的橢圓的焦半徑公式： （ 其中分別是橢圓的左右焦點）焦點在y軸上的橢圓的焦半徑公式： （ 其中分別是橢圓的下上焦點）（三）、直線與橢圓問題（韋達定理的運用）1、弦長公式：若直線與圓錐曲線相交與、兩點，則：弦長 例

8、1. 已知橢圓及直線yxm。（1）當直線和橢圓有公共點時，求實數(shù)m的取值范圍；（2）求被橢圓截得的最長弦所在的直線的方程。2、已知弦AB的中點，研究AB的斜率和方程AB是橢圓1(a>b>0)的一條弦，中點M坐標為(x0，y0)，則AB的斜率為.運用點差法求AB的斜率，設A(x1，y1)，B(x2，y2)A、 B都在橢圓上，兩式相減得： 0，0，即：.故：kAB.例2、過橢圓內一點引一條弦，使弦被點平分，求這條弦所在直線的方程。（四）、四種題型與三種方法四種題型1、已知橢圓C：內有一點A（2，1），F(xiàn)是橢圓C的左焦點，P為橢圓C上的動點.求：PA+PF的最小值。2、已知橢圓內有一點A

9、（2，1），F(xiàn)為橢圓的左焦點，P是橢圓上動點.求：PA+PF|的最大值與最小值。3、已知橢圓外一點A（5，6），l為橢圓的左準線，P為橢圓上動點，點P到l的距離為d，求：|PA|+的最小值。4、定長為d()的線段AB的兩個端點分別在橢圓上移動.求：AB的中點M到橢圓右準線的最短距離。三種方法1、橢圓的切線與兩坐標軸分別交于A,B兩點， 求：三角形OAB的最小面積 。2、已知橢圓 和直線 l:x-y+9=0 ，在l上取一點M ，經(jīng)過點M且以橢圓的焦 點為焦點作橢圓，求M在何處時所作橢圓的長軸最短，并求此橢圓方程 。3、過橢圓的焦點的直線交橢圓A,B兩點 ，求面積的最大值 。 課后同步練習1. 橢

10、圓的焦點坐標是 , 離心率是_，準線方程是_.2. 已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，過F1的直線與橢圓交于M、N兩點，則MNF2的周長為( ) A8 B16 C25 D323. 橢圓上一點P到一個焦點的距離為5，則P到另一個焦點的距離為（ ）A. 5 B. 6 C. 4 D. 104. 已知橢圓方程為,那么它的焦距是 （ ） A. 6 B. 3 C. 3 D. 5. 如果方程表示焦點在軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是 A.（0，+） B. (0,2) C. (1,+) D. (0,1) 6設為定點，|=6，動點M滿足，則動點M的軌跡是（ ）A. 橢圓 B. 直線 C. 圓 D. 線段 7.

11、已知方程+=1，表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍為 .8. 已知橢圓的兩個焦點坐標是F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），并且經(jīng)過點P（），則橢圓標準方程是_ _9. 過點A（-1，-2）且與橢圓的兩個焦點相同的橢圓標準方程是_ _ 10. 過點P（，-2），Q（-2，1）兩點的橢圓標準方程是_ _ _11. 若橢圓的離心率是，則k的值等于 .12. 已知ABC的頂點B、C在橢圓y21上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則ABC的周長是 .13. F1、F2分別為橢圓+=1的左、右焦點，點P在橢圓上，POF2是面積為的正三角形，則b2的值是 14. 設M是橢圓上一點，F(xiàn)1、F2為焦點，則 15. 在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應準線的距離為1，則該橢圓的離心率為(A) (B) (C) (D) 16. 設是右焦點為的橢圓上三個不同的點，則“成等差數(shù)列”是“”的（ ）（A）充要條件 （B）必要不充分條件 （C）充分不必要條件 （D）既非充分