2020年文科數(shù)學(xué)(全國(guó)Ⅱ卷)

1、絕密啟用前2020 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)卷）文科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B 鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)框涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，在選涂其它答案標(biāo)號(hào)框?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12 小題，每小題5 分，共 60 分 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1 已知集合A=x| x|<3 ， x Z， B=x| x|>1 ， x Z，則AB=AB3， 2，2，3）C 2， 0，

2、 2D2，22（1 i） 4=A 4B4C 4iD4i3如圖，將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為a1， a2，a12.設(shè) 1 i<j<k 1若2kj=3且 j i=4，則稱ai，aj，ak為原位大三和弦；若kj=4且j i=3，則稱ai，aj，ak為原位小三和弦用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為A 5B 8C 10D 154在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05志愿

3、者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者A10名B18名C24名D32名5已知單位向量a， b的夾角為60°，則在下列向量中，與b垂直的是Aa+2bB2a+bCa 2bD2abSn6記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和若a5 a3=12， a6 a4=24，則anA 2n 1B 2 21 nC 2 2nD 21 n 17執(zhí)行右面的程序框圖，若輸入的k=0， a=0，則輸出的k 為8若過點(diǎn)A 2B 3C 4(2,1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線5 A525B5C2x-y-3=0 的距離為355D 5D455x2y29

4、設(shè)D，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=a 與雙曲線C：22 =l(a>0， b>0)的兩條漸近線分別交于a2b2E兩點(diǎn)若ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為A 4B 8110設(shè)函數(shù)f(x)=x33 ，則 f(x)xA是奇函數(shù)，且在(0,+ )單調(diào)遞增C是偶函數(shù)，且在(0,+ )單調(diào)遞增C 16D 32B是奇函數(shù)，且在(0,+ )單調(diào)遞減D是偶函數(shù)，且在(0,+ )單調(diào)遞減11已知ABC是面積為9 3 的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O 的球面上若球O 的表面積為16，則O 到平面ABC的距離為A3B3C1D312若2x 2y<3-x 3-y，則Aln（y-x+1）>0Bln（y-

5、x+1）<0Clnx-y>0 Dln x-y<0二、填空題：本題共4 小題，每小題5 分，共 20 分 。213若sin x ，則 cos2x 314記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和若a1= 2， a2+a6=2，則S10=x y1，15若x， y滿足約束條件x y1， 則 z x 2y 的最大值是2x y 1,16設(shè)有下列四個(gè)命題：p1：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)p2：過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行p4：若直線l 平面 ，直線m平面，則 m l則下述命題中所有真命題的序號(hào)是p1p4p2 p2p3 p3p4三、 解

6、答題：共 70 分。 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第 17 21 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。 第 22、 23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60 分。17（12分）25（ ABC的內(nèi)角A， B， C的對(duì)邊分別為a， b， c，已知cos2（A） cosA 24（ 1 ）求A；（ 2）若b c 3 a ，證明：ABC是直角三角形18 （12 分 ）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加為調(diào)查該地區(qū)20 個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200 個(gè)地塊， 從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（xi， yi） （i

7、=1， 2，20），其中xi和 yi分別表示第i 個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得20xi 60i120yi 1200 ，i120xi120x）2 80 ，（ yi y）2 9000 ，i120（ xi x（） yiy） 800i1（這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野1） 求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；2）求樣本（xi， yi） （i=1， 2，20）的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并

8、說明理由n（ xi x（ ） yiy）附：相關(guān)系數(shù)r= i 1，2 =1.414nn（ xi x）2 （ yi y）2i1i119 （12 分 ）22C1：2y21（a>b>0）的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1 的中心與C2ab的頂點(diǎn)重合過F 且與 x 軸重直的直線交C1 于 A， B 兩點(diǎn)，交C2 于 C， D 兩點(diǎn)，且| CD|= 4 | AB| 3（ 1）求C1 的離心率；（ 2）若C1的四個(gè)頂點(diǎn)到C2的準(zhǔn)線距離之和為12，求C1 與 C2的標(biāo)準(zhǔn)方程20 （ 12 分）如圖，已知三棱柱ABC A1B1C1 的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M， N 分別為BC，

9、 B1C1的中點(diǎn)，P為 AM 上一點(diǎn)過B1C1 和 P的平面交AB 于 E，交AC于 F1）證明：AA1 / MN，且平面A1AMN 平面EB1C1F；2）設(shè)O 為A1B1C1 的中心，若AO=AB=6， AO/平面EB1C1F，且MPN= ，求四棱3錐 B EB1C1F的體積21 （ 12 分）已知函數(shù)f（ x） =2lnx+1（ 1）若f（ x）2x+c，求c 的取值范圍；（ 2）設(shè) a>0時(shí)，討論函數(shù)g（ x） = f（x） f （a） 的單調(diào)性xa（二）選考題：共10 分 請(qǐng)考生在第22、 23 題中選定一題作答，并用2B 鉛筆在答題卡上將所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)方框涂黑按所涂題號(hào)進(jìn)行

10、評(píng)分，不涂、 多涂均按所答第一題評(píng)分；多答按所答第一題評(píng)分22 選修4 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（ 10 分）已知曲線C1， C2的參數(shù)方程分別為,t （ t 為參數(shù)） 12x 4cos ，C1：2 （ 為參數(shù)） ， C2：y 4sin（ 1）將C1， C2的參數(shù)方程化為普通方程；2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系設(shè)C1， C2 的交點(diǎn)為P，求P 的圓的極坐標(biāo)方程23 選修4 5：不等式選講（ 10 分）f（x）= |x-a2|+| x-2a+1| 1）當(dāng)a=2 時(shí)，求不等式f（x） 4 的解集；2）若f（x） 4，求a 的取值范圍2020 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)卷

11、）文科數(shù)學(xué)1 D2 A3 C4 B5 D6 B7 C8 B9 B 10 A11 C12 A13 114 2515 8169252117解( 1 )由已知得sin A cosA ，即 cos A cosA 0 4412 所以 (cos A 1 )2210 ， cosA 2 由于0 AA33sinA31即 sinB218解（ 1 ）由己知得樣本平均數(shù)y1 2020i 1yi60 ，從而該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)2）由正弦定理及已知條件可得sin B sin C1)知 B C 2 ，所以 sin B sin( 2 B) 3 sin 3333311cosB ，sin( B)22320 B ，故 B

12、從而 ABC 是直角三角形32值為60 × 200= 12 000( 2)樣本(xi,yi) (i 1,2, ,20) 的相關(guān)系數(shù)208080 9000220.943( xix( ) yiy)i12020( xi x)2 ( yiy)2i1i1（ 3） 分層抽樣根據(jù)植物覆蓋面積的大小對(duì)地塊分層，再對(duì) 200 個(gè)地塊進(jìn)行分層抽樣理由如下 由（ 2）知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動(dòng)物數(shù)量差異也很大，采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更

13、準(zhǔn)確的估計(jì)19解（ 1 ）由已知可設(shè)C2 的方程為y2 4cx，其中 ca2 b2 .b 所以四棱錐B-EB1C1F的體積為24 3 24 不妨設(shè) A, C 在第一象限，由題設(shè)得A, B 的縱坐標(biāo)分別為bab2b ； C, D 的縱坐標(biāo) a分別為2c，2c，故 |AB | 2b ， |CD | 4c.4|CD |AB |得 4c8b ，即 33ac2c2 2(c)2，解得caac12 （舍去） ，a2a1所以 C1 的離心率為.222（ 2）由（1）知a 2c ， b 3c ，故 C1 : x y 1 ，所以C1 的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分1 4c2 3c2別為 (2c,0) ， ( 2c,0) ， (

14、0, 3c)， (0,3c)， C2的準(zhǔn)線為x c.由已知得 3c c c c 12 ，即 c 2 .22所以C1 的標(biāo)準(zhǔn)方程為x y1 ， C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 8x .16 1220解：（1 ）因?yàn)?M， N 分別為BC， B1C1 的中點(diǎn)，所以MN CC1又由已知得AA1 CC1，故 AA1 MN因?yàn)锳1B1C1是正三角形，所以B1C1 A1N又B1C1 MN ，故B1C1平面A1AMN所以平面A1AMN平面EB1C1F（ 2） AO平面EB1C1F， AO 平面A1AMN，平面A1AMN 平面EB1C1F = PN，故 AO PN，又AP ON，故四邊形APNO是平行四邊形，121所以

15、PN=AO=6， AP = ON= AM = 3 ， PM= AM=2 3 ， EF= BC=2333因?yàn)锽C平面EB1C1F，所以四棱錐B-EB1C1F的頂點(diǎn)B到底面EB1C1F的距離等于點(diǎn)M到底面EB1C1F的距離作 MT PN，垂足為T，則由（1）知，MT平面EB1C1F，故MT =PM sin MPN=311底面EB1C1F的面積為（B1C1 EF ） PN （6 2） 6 24.2221 解：設(shè)h(x)=f(x)-2 x-c，則 h(x)=2lnx-2x+1- c，2其定義域?yàn)?0， +) ， h (x) 2 2 .x( 1)當(dāng)0<x<1 時(shí)，h'(x)>0

16、；當(dāng)x>1 時(shí)， h'(x)<0.所以 h(x)在區(qū)間(0， 1)單調(diào)遞增，在區(qū)間(1 ， +) 單調(diào)遞減.從而當(dāng)x=1 時(shí)，h(x)取得最大值，最大值為h(1)=-1- c.f(x)2 x+c.故當(dāng)且僅當(dāng)-1- c0 ，即c -1 時(shí)，所以 c 的取值范圍為-1 ，+).2)g(x) f(x) f(a) 2(lnxln a)， x (0， a) (a， + ).xaxaxa2( ln a ln x)g (x) x 2(x a)a 2(1xaln )(x a)取 c=-1 得 h(x)=2lnx-2x+2，h(1)=0，則由(1)知，當(dāng)x1 時(shí)，h(x)<0，即1- x+lnx<0.故當(dāng)x (0， a) (a， +) 時(shí)， 1a lnx0 ，從而g (x) 0 .4) 所以g(x)在區(qū)間(0， a)， (a， +) 單調(diào)遞減.22解：( 1 ) C1 的普通方程為x y 故C2 的普通方程為(0 xC2 的參數(shù)方程得t2122，y2t2t212t22 x2y244設(shè)所求圓的圓心的直角坐標(biāo)為x y 4,2)由22xy4得2 所以 P