2020年春最新小升初數(shù)學(xué)專項(xiàng)訓(xùn)練+典型例題分析-找規(guī)律篇(教師版)

1、名校真題測(cè)試卷 找規(guī)律篇時(shí)間： 15 分鐘 滿分 5 分姓名 測(cè)試成績(jī)1 （ 12 年清華附中考題）如果將八個(gè)數(shù)14， 30， 33， 35， 39， 75， 143， 169 平均分成兩組，使得這兩組數(shù)的乘積相等，那么分組的情況是什么？2 （ 13 年三帆中學(xué)考題）16+9=25 ；25+11=36 這五道算式，找出觀察 1+3=4 ；4+5=9 ；9+7=16規(guī)律，然后填寫2001 4 （ 12 年?yáng)|城二中考題）在2、 3 兩數(shù)之間, 第一次寫上5, 第二次在2、 5 和5、 3 之間分別寫上7、 8（ 如下所示）, 每次都在已寫上的兩個(gè)相鄰數(shù)之間寫上這兩個(gè)相鄰數(shù)之和. 這樣的過程共重復(fù)了

2、六次, 問所有數(shù)之和是多少?275835（04 年人大附中考題）請(qǐng)你從01、 02、 03、98、 99 中選取一些數(shù)，使得對(duì)于任何由0 9 當(dāng)中的某些數(shù)字組成的無窮長(zhǎng)的一串?dāng)?shù)當(dāng)中，都有某兩個(gè)相鄰的數(shù)字，是你所選出的那些數(shù)中當(dāng)中的一個(gè)。為了達(dá)到這些目的。 請(qǐng)你說明：11 這個(gè)數(shù)必須選出來； 請(qǐng)你說明：37 和73 這兩個(gè)數(shù)當(dāng)中至少要選出一個(gè)； 你能選出55 個(gè)數(shù)滿足要求嗎？33、 35、 30、 169 和 14、 39、 75、 143。 （）2002 23 （ 12 年西城實(shí)驗(yàn)考題）1 21 234 1 234561 28 1 2一 串 分 數(shù) ：, , , , , , , , , , ,

3、 ,其 中 的 第 2000 個(gè) 分 數(shù)3 3,5 5 5 5 7 7 7 7 7 7 9 99 11 11是 .3、 5、 7、 9、 11所以下面括號(hào)中填的數(shù)字為奇數(shù)列中的第2001 個(gè)，即 4003。3【 解】 分母為 3 的有 2 個(gè)， 分母為 4 個(gè)， 分母為 7 的為 6 個(gè)， 這樣個(gè)數(shù)2+4+6+8 88=1980<2000，這樣 2000 個(gè)分?jǐn)?shù)的分母為89，所以分?jǐn)?shù)為20/89 。4【解】 ：第一次寫后和增加5，第二次寫后的和增加15，第三次寫后和增加45，第四次寫后和增加135，第五次寫后和增加405，它們的差依次為5、 15、 45、 135、 405為等比數(shù)列，公

4、比為3。它們的和為5+15+45+135+405+1215 1820，所以第六次后，和為1820+2+3 1825。5【解】(1) ， 11， 22， 33，99，這就9 個(gè)數(shù)都是必選的，因?yàn)槿绻M成這個(gè)無窮長(zhǎng)數(shù)的就是 19 某個(gè)單一的數(shù)比如111 11 ，只出現(xiàn)11，因此 11 必選，同理要求前述9 個(gè)數(shù)必選。(2) ，比如這個(gè)數(shù)3737 37，同時(shí)出現(xiàn)且只出現(xiàn)37 和 37，這就要求37 和 73 必須選出一個(gè)來。(3) ，同 37 的例子，01 和10 必選其一，02 和20 必選其一，09 和90必選其一，選出9個(gè)12 和21 必選其一，13 和31 必選其一，19 和91必選其一，選

5、出8個(gè)。23 和32 必選其一，24 和42 必選其一，29 和92必選其一，選出7個(gè)。89 和 98 必選其一，選出1 個(gè)。如果我們只選兩個(gè)中的小數(shù)這樣將會(huì)選出9+8+7+6+5+4+3+2+1=45 個(gè)。再加上1199 這 9個(gè)數(shù)就是54 個(gè)。小升初專項(xiàng)訓(xùn)練找規(guī)律篇找規(guī)律問題在小升初考試中幾乎每年必考，但考題的分值較低，多以填空題型是出現(xiàn)。在剛剛結(jié)束的 12 年小升初選拔考試中，人大附中，首師附中，十一學(xué)校，西城實(shí)驗(yàn)，三帆，西外，東城二 中和五中都涉及并考察了這一類題型。2007 年考點(diǎn)預(yù)測(cè)07 年的這一題型必然將繼續(xù)出現(xiàn)，題型的出題熱點(diǎn)在利用通項(xiàng)表達(dá)式（即字母表示）總結(jié)出已知 條件中等式

6、的內(nèi)在規(guī)律和聯(lián)系，這一類題型主要考察學(xué)生根據(jù)已有條件進(jìn)行歸納與猜想的能力，希望同學(xué)們多加練習(xí)。1 與周期相關(guān)的找規(guī)律問題【例 1 】 、 （）n 化小數(shù)后，小數(shù)點(diǎn)后若干位數(shù)字和為1992，求 n 為多少？7【解】 n 化小數(shù)后，循環(huán)數(shù)字和都為27，這樣1992÷ 27=73 21, 所以n=6。7【例2】、 （）有一數(shù)列1、2、4、7、11、16、22、29那么這個(gè)數(shù)列中第2006 個(gè)數(shù)除以5的余數(shù)為多少？【解】數(shù)列除以5 的余數(shù)為1、 2、 4、 2、 1、 1 、 2、 4、 2、 1 這樣就使5 個(gè)數(shù)一周期，所以2003÷ 5=400 3，所以余4。【例3】 、 （）

7、某人連續(xù)打工24天，賺得190 元 （ 日工資 10 元，星期六做半天工，發(fā)半工資，星期日休息，無工資 ）. 已知他打工是從1 月下旬的某一天開始的，這個(gè)月的1 號(hào)恰好是星期日. 問：這人打工結(jié)束的那一天是2 月幾日 ?【 來源 】 第五屆 “ 華杯賽 ” 初賽第 16 題【解】因?yàn)?× 7<24<4× 7， 所以 24 天中星期六和星期日的個(gè)數(shù)，都只能是3 或 4. 又， 190 是 10的整數(shù)倍。所以24 天中的星期六的天數(shù)是偶數(shù). 再由 240-190=50（ 元 ）， 便可知道，這24 天中恰有4 個(gè)星期六、3 個(gè)星期日. 星期日總是緊接在星期六之后的，

8、因此，這人打工結(jié)束的那一天必定是星期六 . 由此逆推回去，便可知道開始的那一天是星期四. 因?yàn)?1 月 1 日是星期日，所以1 月 22 日也是星期日，從而 1 月下旬唯一的一個(gè)星期四是1 月 26 日 . 從 1 月 26 日往后算，可知第 24 天是 2891，那么 B=月 18 日，這就是打工結(jié)束的日子.2 圖表中的找規(guī)律問題4】 、 （）圖中，任意_- 個(gè)連續(xù)的小圓圈內(nèi)三個(gè)數(shù)的連乘積郡是來源 】第十屆<小數(shù)報(bào)>數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽填空題第5 題根據(jù) “ 任意三個(gè)連續(xù)的小圓圈內(nèi)三個(gè)數(shù)的連乘積都是891” ， 可知任意一個(gè)小圓圈中的數(shù)和與它相隔2個(gè)小圓圈的小圓圈中的數(shù)是相同的. 于是，

9、B=891÷ （9 × 9）=11.例5】（）自然數(shù)如下表的規(guī)則排列：求：（1）上起第10 行，左起第13 列的數(shù)；（ 2）數(shù)127 應(yīng)排在上起第幾行，左起第幾列？【解】 ：本題考察學(xué)生“觀察歸納猜想”的能力此表排列特點(diǎn)：第一列的每一個(gè)數(shù)都是完全平方數(shù)，并且恰好等于所在行數(shù)的平方；第一行第n 個(gè)數(shù)是（n-1） 2+1，第n 行中，以第一個(gè)數(shù)至第 n 個(gè)數(shù)依次遞減1 ；從第2 列起該列中從第一個(gè)數(shù)至第n 個(gè)數(shù)依次遞增1 由此（ 1） （ 13-1） 2+1 +9=154； （ 2） 127=112+6= （ 12-1） 2+1 +5，即左起12 列，上起第6 行位置3 較復(fù)雜

10、的數(shù)列找規(guī)律【 例 6】 、 （）設(shè)1， 3， 9， 27， 81， 243 是 6個(gè)給定的數(shù)。從這六個(gè)數(shù)中每次或者取1 個(gè)，或者取幾個(gè)不同的數(shù)求和（每一個(gè)數(shù)只能取1 次） ，可以得到一個(gè)新數(shù)，這樣共得到63 個(gè)新數(shù)。把它們從小到大一次排列起來是1， 3， 4， 9， 10， 12，第60 個(gè)數(shù)是 ?！緛碓础?989 年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽第15 題【解】最大的（即第63 個(gè)數(shù)）是1+3+9+27+81+243=364第 60 個(gè)數(shù)（倒數(shù)第4 個(gè)數(shù)）是364 1 3 360?！?例 7】 、 （）在兩位數(shù)10， 11，98， 99 中，將每個(gè)被7 除余 2 的數(shù)的個(gè)位與十位之間添加- 個(gè)小數(shù)點(diǎn)

11、，其余的數(shù)不變. 問：經(jīng)過這樣改變之后，所有數(shù)的和是多少?【來源】第五屆“華杯賽”初賽第 15 題【解】原來的總和是10+11+ +98+99 = （10 929） 90 =4905，被7 除余 2 的兩位數(shù)是7× 2+2=16， 7× 3+2=23， ， 7× 13十 2=93.共 12 個(gè)數(shù) . 這些數(shù)按題中要求添加小數(shù)點(diǎn)以后，都變?yōu)樵瓟?shù)的110 ，因此這-手續(xù)使總和減少了（16+23+ +93） × （1- 110 ）= （16 923） 12 × 190 =588.6所以，經(jīng)過改變之后，所有數(shù)的和是4905 588.6=4316.4.【

12、 例 8】 、 （）小明每分鐘吹-次肥皂泡，每次恰好吹出100 個(gè) . 肥皂泡吹出之后，經(jīng)過1 分鐘有- 半破了，經(jīng)過2 分鐘還有210 沒有破，經(jīng)過2 分半鐘全部肥皂泡都破了·小明在第 20 次吹出100 個(gè)新的肥皂泡的時(shí)候，沒有破的肥皂泡共有個(gè) .【來源】1990 年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽第8 題【解】小明在第20 次吹出 100 個(gè)新的肥皂泡的時(shí)候，第17 次之前 （ 包括第 17 次 ） 吹出的肥皂泡全破了 . 此時(shí)沒有破的肥皂泡共有100+100× 210 +100× 12 =155（ 個(gè) ）.4 與斐波那契數(shù)列相關(guān)的找規(guī)律斐波那契數(shù)列非常有意思 ！【引言

13、】 ：有個(gè)人想知道，一年之內(nèi)一對(duì)兔子能繁殖多少對(duì)？于是就筑了一道圍墻把一對(duì)兔子關(guān)在里面。已知一對(duì)兔子每個(gè)月可以生一對(duì)小兔子，而一對(duì)兔子出生后在第二個(gè)月就開始生小兔子。假如一年內(nèi)沒有發(fā)生死亡現(xiàn)象，那么，一對(duì)兔子一年內(nèi)能繁殖成多少對(duì)？現(xiàn)在我們先來找出兔子的繁殖規(guī)律，在第一個(gè)月，有一對(duì)成年兔子，第二個(gè)月它們生下一對(duì)小兔，因此有二對(duì)兔子，一對(duì)成年，一對(duì)未成年；到第三個(gè)月，第一對(duì)兔子生下一對(duì)小兔，第二對(duì)已成年，因此有三對(duì)兔子，二對(duì)成年，一對(duì)未成年。月月如此。第 1 個(gè)月到第6 個(gè)月兔子的對(duì)數(shù)是：1， 2， 3， 5， 8， 13。我們不難發(fā)現(xiàn)，上面這組數(shù)有這樣一個(gè)規(guī)律：即從第3 個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都是前面

14、兩個(gè)數(shù)的和。若繼續(xù)按這規(guī)律寫下去，一直寫到第12 個(gè)數(shù)，就得：1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， 144， 233。顯然，第12 個(gè)數(shù)就是一年內(nèi)兔子的總對(duì)數(shù)。所以一年內(nèi)1 對(duì)兔子能繁殖成233 對(duì)。在解決這個(gè)有趣的代數(shù)問題過程中，斐波那契得到了一個(gè)數(shù)列。人們?yōu)榧o(jì)念他這一發(fā)現(xiàn)，在這個(gè)數(shù)列前面增加一項(xiàng)“1”后得到數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13， 21，34，55，89，叫做“斐波那契數(shù)列”，這個(gè)數(shù)列的任意一項(xiàng)都叫做“斐波那契數(shù)”?！纠?】 （）數(shù)學(xué)家澤林斯基在一次國(guó)際性的數(shù)學(xué)會(huì)議上提出樹生長(zhǎng)的問題：如果一棵樹苗在一年以后長(zhǎng)出一條新枝，然后休息一年。再在下一年又

15、長(zhǎng)出一條新枝，并且每一條樹枝都按照這個(gè)規(guī)律長(zhǎng)出新枝。那么，第1 年它只有主干，第2 年有兩枝，問15 年后這棵樹有多少分枝（假設(shè)沒有任何死亡）？【解】1 ， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， 144， 233， 377， 610， 987， 1597， 2584絕對(duì)是一棵大樹?！纠?10】 （）有一堆火柴共10 根，如果規(guī)定每次取1 3 根，那么取完這堆火柴共有多少種不同取法？ 【解】此題要注重思路，因?yàn)闆]辦法直接考慮，這樣我們發(fā)現(xiàn)這題同樣用找規(guī)律的方法，我們可以先看只有1 根的情況開始：1 根，有：1 種；2 根，有 1 、 1， 2，共兩種；3 根，可以有：1

16、 、 1 、 1， 1 、 2， 2、 1， 3，共 4種；4根，有：1 、 1、 1、 1， 1、 1、 2， 1、 2、 1， 2、 1、 1， 2、 2， 1、 3， 3、 1，共 7=4+2+1 種；5根，有：1、1、1、1、1，1、1、1、2，1、1、2、1， 1、 2、1、 1， 2、1、1、 1， 1、 2、 2，2、1、2，2、2、1，1、1、3，1、3、1，3、1、1，2、3，3、 2，共13=7+4+2種；6根，得到24=13+7+4 種；即： n 根，所有的取法種數(shù)是它的前三種取法的和。由此得到，10 根為 274 種。 拓展 爬樓梯問題?！纠?11】 （）對(duì)一個(gè)自然數(shù)作

17、如下操作：如果是偶數(shù)則除以2，如果是奇數(shù)則加，如此進(jìn)行直到得數(shù)為1 操作停止。問經(jīng)過9 次操作變?yōu)? 的數(shù)有多少個(gè)？【來源】仁華考題【解】這一題首先我們可以明確的是要采用逆推的方法，其次我們還得利用找規(guī)律來歸納出計(jì)算方法。在復(fù)雜的或者步子比較多的計(jì)數(shù)中，找規(guī)律是一種非常常用的方法。歸納總結(jié)上述規(guī)律，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)之和。5 有趣的貓捉耗子規(guī)律12】 、 （）50 只耗子排成一排，1 到 50 報(bào)號(hào)，奇數(shù)號(hào)的出列，剩下的偶數(shù)號(hào)再報(bào)號(hào)，再2、 4、 6、 8、 10、 1250 都是 2 的倍數(shù)；第二次剩下的是：4、 8、 12、 1648 都是 4=2 2的倍數(shù)；第三次剩下的是：8、

18、 16、 24都是8=2 3的倍數(shù)，這樣每次剩下的都是2n 的倍數(shù)，1 50 中 2 n 的最大數(shù)就是32 號(hào)。123 自然數(shù)列一直寫到100，然后按數(shù)碼編號(hào)，擦去奇數(shù)號(hào)，留下的數(shù)再編號(hào)，再擦去奇3 個(gè)數(shù)字是。36013】 、 （）50 枚棋子圍成圓圈，編上號(hào)碼1、 2、 3、 4、50，每隔一枚棋子取出一42 號(hào)，那么該從幾號(hào)棋子開始取呢？03 年圓明杯數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題： 方法一：通過歸納我們知道，如果開始有A人，A 2k+m（k 是保證m為自然數(shù)的最大值） 。1 號(hào)開始取，每個(gè)1 個(gè)取 1 個(gè)，則最后剩下的為2m號(hào)。50 枚棋子，如果從1 號(hào)開始取，有50 25+18，所以最后剩下的為18&#

19、215; 2 36 號(hào)。42 號(hào)，所以開始取的為1+（42 36） 7 號(hào)。方法二：找出規(guī)律，若開始從2 號(hào)開始取，則若有2 枚、 4 枚、 8 枚、 16 枚、 32 枚則1 號(hào)。9 枚，取掉1 號(hào)后即剩下8 枚剩下的將是8 枚的首位，即3 號(hào)，50 枚先取50 32 18 枚后，剩32 枚，取走了2、 4、 6、 8、36，則 37 為剩下的32枚重排1 號(hào)， 38 為 2 號(hào)。 故最后剩下的為37 號(hào)， 即若開始取2 號(hào)， 剩下 37 號(hào)， 現(xiàn)剩下的為42 號(hào)，7 號(hào)開始取的。14】 、 （）把1 1993 這 1993 個(gè)自然數(shù)，按順時(shí)針方向依次排列在一個(gè)圓圈上，如圖12 1，從1 開

20、始沿順時(shí)針方向，保留1，擦去 2；保留 3，擦去4；（每隔一個(gè)數(shù)，擦去一個(gè)【解】分析：如果依照題意進(jìn)行操作，直到剩下一個(gè)數(shù)為止，實(shí)在是很困難。我們先從簡(jiǎn)單情況研究，歸納出解決問題的規(guī)律，再應(yīng)用規(guī)律解題。如果是2 個(gè)數(shù) 1 、 2，最后剩下1 ；如果是3 個(gè)數(shù) 1、2、3，最后剩3；如果是4 個(gè)數(shù) 1、2、3、4，最后剩1；如果是5 個(gè)數(shù) 1、2、3、4、5，最后剩的是3；如果是6 個(gè)數(shù) 1 、2、3、4、5、6，最后剩的是5；如果是7 個(gè)數(shù)1、2、3、4、5、6、7，最后剩的是7；如果是8 個(gè)數(shù) 1 8，最后剩的是1。我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)是2， 4， 8 時(shí)，最后剩的都是1（操作的起始數(shù)）。這是

21、為什么呢？以8 個(gè)數(shù)為例，數(shù)一圈，擦掉2， 4， 6， 8，就相當(dāng)于從1 開始，還有4 個(gè)數(shù)的情況，4 個(gè)數(shù)時(shí)，從1 開始，數(shù)一圈，又擦掉2 個(gè)，還剩從1 開始的兩個(gè)數(shù)，擦掉1 以外的數(shù)，最后剩1。這樣，數(shù)的個(gè)數(shù)是16， 32， 64，2n 時(shí)，最后剩的都是起始數(shù)1。當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)是3 時(shí)，擦去2，就剩 2 個(gè)數(shù)，最后應(yīng)剩下一步的起始數(shù)3；數(shù)的個(gè)數(shù)是5 時(shí)，擦去2，剩 4 個(gè)數(shù)，最后也應(yīng)剩下一步的起始數(shù)3。根據(jù)以上規(guī)律，如果有18 個(gè)數(shù)，擦去2、 4，剩下16 個(gè)數(shù)，再擦下去，最后還應(yīng)剩下一步的起始數(shù) 5。就是說，擦去若干個(gè)數(shù)后，當(dāng)剩的數(shù)的個(gè)數(shù)是2n 時(shí)，下一步起始數(shù)就是最后剩下的數(shù)。解：因?yàn)?0

22、24=2 10， 2048=211，2110< 1993< 211， 1993-1024=969 ，就是說，要剩210個(gè)數(shù)，需要擦去969 個(gè)數(shù)，按題意，每?jī)蓚€(gè)數(shù)擦去一個(gè)數(shù)，當(dāng)擦第969 個(gè)數(shù)時(shí)，最后擦的是：969× 2=1938下一個(gè)起始數(shù)是1939，那么最后剩的就應(yīng)該是1939。練習(xí) 按照例 1 的操作規(guī)則（ 1）如果是1 900 這 900 個(gè)自然數(shù)，最后剩的是哪個(gè)數(shù)？（ 2）如果是1 1949 這 1949 個(gè)自然數(shù)，最后剩的是哪個(gè)數(shù)？說明：這道例題的解題思路是：特 殊 一 般 特 殊（較復(fù)雜情況）（簡(jiǎn)單情況）把 1 n 這 n 個(gè)自然數(shù)，按順時(shí)針方向依次排列在一

23、個(gè)圓圈上，從1 開始，順時(shí)針方向，隔過1，擦去2，隔過3，擦去4，（每隔一個(gè)數(shù)，擦去一個(gè)數(shù)）。最后剩下的數(shù)x 是哪個(gè)數(shù)？解： 設(shè)2k n 2k+1， k 是自然數(shù)。x=（ n-2 k）×2+1【拓展】：如果還是上面例題，但改為保留1，擦去 2；保留3，擦去4；（每隔一個(gè)數(shù)，擦去一個(gè)數(shù)），轉(zhuǎn)圈擦下去。求最后剩的是哪個(gè)數(shù)？【解】剩下的規(guī)律是剩下2n 時(shí)，都是最后一號(hào)留下，所以答案是1938?！?例15】 、（）100個(gè)小朋友圍成一圈，并依次標(biāo)號(hào)為1 至 100 號(hào)。從第1 號(hào)開始 1 至 2報(bào)數(shù)，凡是報(bào)到1 的小朋友退出圈子，這樣循環(huán)進(jìn)行到剩下一個(gè)小朋友為止。問這個(gè)小朋友是多少號(hào)？6【解

24、】與上題不同×小結(jié)本講主要接觸到以下幾種典型題型：1）與周期相關(guān)的找規(guī)律問題參見例1 ，2， 32）圖表中的找規(guī)律問題參見例4，53）較復(fù)雜的數(shù)列找規(guī)律參見例6，7， 84）與斐波那契數(shù)列相關(guān)的找規(guī)律參見例，9， 10， 115）有趣的貓捉耗子規(guī)律參見例12， 13， 14， 15【課外知識(shí)】珍妮是個(gè)總愛低著頭的小女孩，她一直覺得自己長(zhǎng)得不夠漂亮。有一天，她到飾物店去買了只綠色蝴蝶結(jié)，店主不斷贊美她戴上蝴蝶結(jié)挺漂亮，珍妮雖不信，但是挺高興，不由昂起了頭，急于讓大家看看，出門與人撞了一下都沒在意。珍妮走進(jìn)教室，迎面碰上了她的老師，“珍妮，你昂起頭來真美！”老師愛撫地拍拍她的肩說。那一天，她得到了許多人的贊美。她想一定是蝴蝶結(jié)的功勞，可往鏡前一照，頭上根本就沒有蝴蝶結(jié)，一定是出飾物店時(shí)與人一碰弄丟了。自信原本就是一種美麗，而很多人卻因?yàn)樘谝馔獗矶ズ芏嗫鞓?。溫馨提示：無論是貧窮還是富有，無論是貌若天仙，還是相貌平平，只要你昂起頭來，快樂會(huì)使你變得可愛 人人都喜歡的那種可愛。作業(yè)題（注：作業(yè)題- 例題類型對(duì)照表，供參考）題 1 類型3；題2，3，4類型5；題5，6，7類型2，、 （）已知一串有規(guī)律的數(shù)：1， 2/3 ， 5/8 ， 13/21 ， 34/55 ，。那么，在這串?dāng)?shù)中，從左往右數(shù)，第10 個(gè)數(shù)是 。第 10 個(gè)數(shù)