隨機(jī)數(shù)學(xué)于永光概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)JA分析實(shí)用教案

1、 nXX，的的點(diǎn)點(diǎn)估估計(jì)計(jì)數(shù)數(shù)在在統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)推推斷斷中中，未未知知參參1 僅僅僅僅是是未未知知參參數(shù)數(shù)，但但是是，點(diǎn)點(diǎn)估估計(jì)計(jì)值值nxx1 第七章 參數(shù)估計(jì)3 區(qū)間(q jin)估計(jì) 區(qū)間估計(jì)就是根據(jù)樣本給出未知參數(shù)的一個(gè)范圍，并希望知道這個(gè)(zh ge)范圍包含該參數(shù)的可信程度。 ，旦得到了樣本觀測(cè)值旦得到了樣本觀測(cè)值是一種有用的形式，一是一種有用的形式，一nxx1 的值有一個(gè)的值有一個(gè)能使我們對(duì)未知參數(shù)能使我們對(duì)未知參數(shù)，估計(jì)值估計(jì)值 nxx1明明確確的的數(shù)數(shù)量量概概念念范范圍圍，映映出出這這個(gè)個(gè)近近似似值值的的誤誤差差的的一一個(gè)個(gè)近近似似值值，沒(méi)沒(méi)有有反反 便便的的這這在在應(yīng)應(yīng)用用上上是是

2、非非常常不不方方第1頁(yè)/共34頁(yè)第一頁(yè)，共34頁(yè)。第七章 參數(shù)估計(jì)3 區(qū)間(q jin)估計(jì)一、 置信區(qū)間與置信度使使得得：找找出出統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量；對(duì)對(duì)于于樣樣本本含含一一待待估估參參數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)總總體體,),2 , 1)(,(,2111 iXXXXXniin)10(,121 P.1)(21置置信信區(qū)區(qū)間間的的的的置置信信度度為為為為，稱稱區(qū)區(qū)間間 是是一一個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)區(qū)區(qū)間間；，區(qū)區(qū)間間)(21 定義(dngy)：.1的可能性的可能性表示該區(qū)間不包含真值表示該區(qū)間不包含真值的可靠程度的可靠程度給出該區(qū)間含真值給出該區(qū)間含真值 第2頁(yè)/共34頁(yè)第二頁(yè)，共34頁(yè)。第七章 參數(shù)估計(jì)3 區(qū)間(q jin)

3、估計(jì).595100100%.951%5個(gè)個(gè)左左右右真真值值的的有有個(gè)個(gè)左左右右，不不包包含含真真值值的的有有個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間中中包包含含次次，則則在在得得到到的的這這時(shí)時(shí)重重復(fù)復(fù)抽抽樣樣，即即置置信信度度為為例例如如：若若 通常(tngchng)，采用95%的置信度，有時(shí)也取99%或90%.1,),(,20201的的置置信信區(qū)區(qū)間間的的置置信信度度為為已已知知。求求其其中中的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本為為總總體體設(shè)設(shè) NXXXn例1第3頁(yè)/共34頁(yè)第三頁(yè)，共34頁(yè)。第七章 參數(shù)估計(jì)解：解：3 區(qū)間(q jin)估計(jì)nXU/0 構(gòu)構(gòu)造造樣樣本本的的函函數(shù)數(shù)).1 , 0( N -1 /)-(-2/02/ z

4、nXzP則 1- 02/02/nzXnzXP即 nznz02/02/x,-x 則 的的置置信信區(qū)區(qū)間間。的的置置信信度度為為就就是是 1第4頁(yè)/共34頁(yè)第四頁(yè)，共34頁(yè)。第七章 參數(shù)估計(jì)3 區(qū)間(q jin)估計(jì)求置信區(qū)間的步驟(bzhu)：),;,()1(1 nXXZZ 找一個(gè)樣本的函數(shù)找一個(gè)樣本的函數(shù). 賴賴于于未未知知參參數(shù)數(shù)的的分分布布是是已已知知的的，不不依依且且數(shù)數(shù)，而而不不包包含含其其它它未未知知參參它它包包含含待待估估參參數(shù)數(shù)Z.1,1)2( bZaPba使使，確確定定常常數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)給給定定的的置置信信度度.,);,()3(122111211都是統(tǒng)計(jì)量都是統(tǒng)計(jì)量）（），），（其中

5、其中得到等價(jià)的不等式得到等價(jià)的不等式從不等式從不等式nnnXXXXbXXZa .1)()4(21的的置置信信區(qū)區(qū)間間是是置置信信度度為為，隨隨機(jī)機(jī)區(qū)區(qū)間間 第5頁(yè)/共34頁(yè)第五頁(yè)，共34頁(yè)。第七章 參數(shù)估計(jì)1） 均值(jn zh)的區(qū)間估計(jì)).(1,),(,2121 ，的置信區(qū)間的置信區(qū)間下，來(lái)確定下，來(lái)確定在置信度在置信度的一個(gè)樣本的一個(gè)樣本為總體為總體設(shè)設(shè) NXXXn(1)方差(fn ch)已知時(shí)，估計(jì)均值,202 設(shè)設(shè)已已知知方方差差第七章 參數(shù)估計(jì)3 區(qū)間(q jin)估計(jì)二、一個(gè)正態(tài)總體未知參數(shù)的置信區(qū)間nXU/0 構(gòu)構(gòu)造造樣樣本本的的函函數(shù)數(shù)).1 , 0( N第6頁(yè)/共34頁(yè)第六

6、頁(yè)，共34頁(yè)。第七章 參數(shù)估計(jì):121，使使得得，查查正正態(tài)態(tài)分分布布表表，找找出出對(duì)對(duì)于于給給定定的的置置信信度度 使：使：間間；通常我們?nèi)?duì)稱區(qū)；通常我們?nèi)?duì)稱區(qū)，由此可找出無(wú)窮多組由此可找出無(wú)窮多組),(21 即： -1- 0 nXP3 區(qū)間(q jin)估計(jì).1 21 UP -1| UP第7頁(yè)/共34頁(yè)第七頁(yè)，共34頁(yè)。第七章 參數(shù)估計(jì)得得：查查正正態(tài)態(tài)分分布布表表, 2/1)(2 z 2/02/)-(- znXz ，可可知知：由由正正態(tài)態(tài)分分布布表表的的構(gòu)構(gòu)造造， 1|UP推得，隨機(jī)(su j)區(qū)間：3 區(qū)間(q jin)估計(jì) nznz02/02/x,-x .1的置信區(qū)間的置信度為是

7、 第8頁(yè)/共34頁(yè)第八頁(yè)，共34頁(yè)。第七章 參數(shù)估計(jì)3 區(qū)間(q jin)估計(jì)說(shuō)明(shumng)：（1）置信區(qū)間不唯一，在置信度固定的條件(tiojin)下，置信區(qū)間越短，估計(jì)精度越高。（2）在置信度固定的條件下，n 越大，置信區(qū)間越短，估計(jì)精度越高。（3）在樣本量 n 固定時(shí)，置信度越大，置信區(qū)間越長(zhǎng)，估計(jì)精度越低。第9頁(yè)/共34頁(yè)第九頁(yè)，共34頁(yè)。第七章 參數(shù)估計(jì)3 區(qū)間(q jin)估計(jì)解：解：115)110120115(91 x，由由此此得得置置信信區(qū)區(qū)間間：查查正正態(tài)態(tài)分分布布表表得得臨臨界界值值96. 1025. 0 z)57.119,43.110()9/796. 1115,9/

8、796. 1115( 由由樣樣本本值值算算得得：已已知知.05. 0, 9, 70 n例1 已知幼兒身高服從(fcng)正態(tài)分布，現(xiàn)從56歲的幼兒中隨機(jī)地抽查了9人，其高度分別為： 115,120,131,115,109,115,115,105,110（cm）;；，置置信信度度為為假假設(shè)設(shè)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差%9570 .的的置置信信區(qū)區(qū)間間試試求求總總體體均均值值 nznz02/02/x,-x 第10頁(yè)/共34頁(yè)第十頁(yè)，共34頁(yè)。第七章 參數(shù)估計(jì)(2) 方差未知時(shí)，估計(jì)(gj)均值未未知知，由由于于方方差差2 nSXT/ 而而選選取取樣樣本本函函數(shù)數(shù)：，使使得得：與與分分布布表表，找找，查查對(duì)對(duì)于于

9、給給定定的的211 t ， 121TP使使得得：我我們們?nèi)匀匀蝗蝗∪〕沙蓪?duì)對(duì)稱稱區(qū)區(qū)間間),( 3 區(qū)間(q jin)估計(jì)).1( nt， 1| TP第11頁(yè)/共34頁(yè)第十一頁(yè)，共34頁(yè)。第七章 參數(shù)估計(jì)),1(2 nt )1(/-X)1(- 22 ntnSnt 由此得：，可可知知：分分布布表表的的構(gòu)構(gòu)造造及及由由 1|TPt，即即 1/ nSXP3 區(qū)間(q jin)估計(jì)第12頁(yè)/共34頁(yè)第十二頁(yè)，共34頁(yè)。第七章 參數(shù)估計(jì))1(,)1(-(22nSntXnSntX 推得，置信區(qū)間為：3 區(qū)間(q jin)估計(jì)例2 用儀器測(cè)量溫度，重復(fù)測(cè)量7次，測(cè)得溫度分別為：120,113.4,111.2

10、,114.5,112.0,112.9,113.6度; 設(shè)溫度。),(2 NX的的所所在在范范圍圍。時(shí)時(shí)，試試求求溫溫度度的的均均值值在在置置信信度度為為 %95解：解：由由樣樣本本值值算算得得：已已知知.05.0,7 n.29. 1, 8 .1122 sx)1(,)1(-(22nSntXnSntX 第13頁(yè)/共34頁(yè)第十三頁(yè)，共34頁(yè)。第七章 參數(shù)估計(jì)2）方差的區(qū)間(q jin)估計(jì).),(,21的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本為為總總體體設(shè)設(shè) NXXXn222)1( Sn 樣樣本本函函數(shù)數(shù)：3 區(qū)間(q jin)估計(jì)由由此此得得置置信信區(qū)區(qū)間間：查查表表得得.447.2)6(025.0 t)85.113

11、,75.111()729. 1447. 28 .112,729. 1447. 28 .112( )1(,)1(-(22nSntXnSntX ).1(2 n 第14頁(yè)/共34頁(yè)第十四頁(yè)，共34頁(yè)。第七章 參數(shù)估計(jì)使使得得：，與與分分布布表表，得得，查查對(duì)對(duì)于于給給定定的的2121 ， 1221P對(duì)對(duì)稱稱的的區(qū)區(qū)間間：，我我們們?nèi)匀圆刹捎糜檬故垢鸥怕事史址植疾济苊芏榷群瘮?shù)數(shù)無(wú)無(wú)對(duì)對(duì)稱稱性性雖雖然然2 3 區(qū)間(q jin)估計(jì)，2/ 2212 PP得得分分布布表表查查,)1(2 n ),1(222 n 。)1(2211 n 第15頁(yè)/共34頁(yè)第十五頁(yè)，共34頁(yè)。第七章 參數(shù)估計(jì)由此得：)1()1

12、()1(2222221 nSnn 3 區(qū)間(q jin)估計(jì))1()1()1()1(22122222 nSnnSn 推推得得：這就是說(shuō)，置信區(qū)間為： )1()1(,)1()1(2212222nSnnSn 第16頁(yè)/共34頁(yè)第十六頁(yè)，共34頁(yè)。第七章 參數(shù)估計(jì)例3 設(shè)某機(jī)床(jchung)加工的零件長(zhǎng)度，),(2 NX今抽查16個(gè)零件，測(cè)得長(zhǎng)度(chngd)（單位：mm）如下：12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.06,

13、在置信度為95%時(shí)，試求總體方差 的置信區(qū)間.2 解：解：.00244. 02 s由由此此得得置置信信區(qū)區(qū)間間：)0058. 0,0013. 0()26. 600244. 015,5 .2700244. 015( 得得分分布布表表查查,)1(2 n , 5 .27)15(2025. 0 .26. 6)15(2975. 0 )1()1(,)1()1(2212222nSnnSn 由由樣樣本本值值算算得得：已已知知.05. 0,16 n第17頁(yè)/共34頁(yè)第十七頁(yè)，共34頁(yè)。一個(gè)(y )正態(tài)總體未知參數(shù)的置信區(qū)間待估參數(shù)待估參數(shù)隨機(jī)變量隨機(jī)變量隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分布的分布雙側(cè)置信區(qū)間的上、下限雙側(cè)置信

14、區(qū)間的上、下限 2 已知已知2 未知未知2 已知已知 未知未知 nX/ nSX/ niiX1221 niiXX1221 10，N 1 nt n2 12 n nzX 2 nSntX 12 nXnXniinii211221222 11211221222 nXXnXXniinii 第18頁(yè)/共34頁(yè)第十八頁(yè)，共34頁(yè)。三、兩個(gè)正態(tài)總體(zngt)(zngt)中未知參數(shù)的置信區(qū)間 中抽取的樣本，中抽取的樣本，是從正態(tài)總體是從正態(tài)總體，設(shè)設(shè)2111 NXXXm 中中抽抽取取的的樣樣本本，是是從從正正態(tài)態(tài)總總體體，2221 NYYYn的的各各種種置置信信區(qū)區(qū)間間：下下表表給給出出了了置置信信度度為為 1第

15、七章 參數(shù)估計(jì)3 區(qū)間(q jin)估計(jì)第19頁(yè)/共34頁(yè)第十九頁(yè)，共34頁(yè)。兩個(gè)正態(tài)總體(zngt)未知參數(shù)的置信區(qū)間（一）待估參數(shù)待估參數(shù)隨機(jī)變量隨機(jī)變量隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分布的分布雙側(cè)置信區(qū)間的上、下限雙側(cè)置信區(qū)間的上、下限21 均已知均已知、222 但未知但未知2221 nmYX222121 nmSYXw1121 10，N 2 nmt nmzYX22212 nmSnmtYXw1122 21122212 nmSnSmSw其中其中第20頁(yè)/共34頁(yè)第二十頁(yè)，共34頁(yè)。兩個(gè)(lin )正態(tài)總體未知參數(shù)的置信區(qū)間（二）待估待估參數(shù)參數(shù)隨機(jī)變量隨機(jī)變量隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分布的分布 雙側(cè)置信區(qū)間的

16、上、下限雙側(cè)置信區(qū)間的上、下限2221 njjmiiYmXn1222212121/ nmF， ， njjmiiYmXnnmF12212121 均已知均已知、21 均未知均未知、21 njjmiiYmXnnmF122121121 ，22222121 SS），11( nmF ，22211112SSnmF 222111112SSnmF ， 第21頁(yè)/共34頁(yè)第二十一頁(yè)，共34頁(yè)。例4 4）：）：下（單位：下（單位：如如塊，分別測(cè)得其收獲量塊，分別測(cè)得其收獲量塊，乙類試驗(yàn)田塊，乙類試驗(yàn)田試驗(yàn)田試驗(yàn)田類類的收獲量，隨機(jī)抽取甲的收獲量，隨機(jī)抽取甲為比較甲乙兩類試驗(yàn)田為比較甲乙兩類試驗(yàn)田kg108的的置置信

17、信區(qū)區(qū)間間期期望望差差下下，求求兩兩個(gè)個(gè)總總體體差差相相同同試試在在置置信信度度方方量量都都服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布，且且假假設(shè)設(shè)兩兩類類試試驗(yàn)驗(yàn)田田的的收收獲獲2195. 01 解：解：樣樣本本的的函函數(shù)數(shù)，乙類：乙類：，甲類：甲類：5 . 81 .105 . 98 . 94 .112 .117 .103 . 99 . 76 . 82 .126 .105 .101 .113 .127 .112 .106 .12 )2(11211222121 nmtnmnmSnSmYXT 第七章 參數(shù)估計(jì)3 區(qū)間(q jin)估計(jì)第22頁(yè)/共34頁(yè)第二十二頁(yè)，共34頁(yè)。第七章 參數(shù)估計(jì)3 區(qū)間(q jin)估

18、計(jì) 1)2()2(22nmtTnmtP )2(11211)2(22221212 nmtnmnmSnSmYXnmt 由有 nmnmSnSmnmtYXnmnmSnSmnmtYX11211)2(11211)2(222122122212 第23頁(yè)/共34頁(yè)第二十三頁(yè)，共34頁(yè)。 21122212 nmSnSmSw由樣本觀測(cè)值由樣本觀測(cè)值，387. 17 . 910851. 04 .1182221 synsxm，得，得又由又由95. 01 12. 2162025. 02 tnmt 查表，得查表，得 6 . 010181508. 012. 27 . 94 .111122 nmsnmtyxw 間間端端點(diǎn)點(diǎn)得

19、得計(jì)計(jì)算算公公式式，得得將將上上面面各各數(shù)數(shù)代代入入置置信信區(qū)區(qū) 8 . 210181508. 012. 27 . 94 .111122 nmsnmtyxw ，所所求求置置信信區(qū)區(qū)間間為為8 . 26 . 0第七章 參數(shù)估計(jì)3 區(qū)間(q jin)估計(jì)025. 02 第24頁(yè)/共34頁(yè)第二十四頁(yè)，共34頁(yè)。例5 5）假假設(shè)設(shè)兩兩個(gè)個(gè)機(jī)機(jī)器器生生（測(cè)測(cè)得得其其樣樣本本方方差差為為只只，生生產(chǎn)產(chǎn)的的產(chǎn)產(chǎn)品品）；隨隨機(jī)機(jī)抽抽取取機(jī)機(jī)器器（只只，測(cè)測(cè)得得其其樣樣本本方方差差為為生生產(chǎn)產(chǎn)的的產(chǎn)產(chǎn)品品抽抽取取機(jī)機(jī)器器機(jī)機(jī)生生產(chǎn)產(chǎn)的的鋼鋼管管的的內(nèi)內(nèi)徑徑，隨隨與與機(jī)機(jī)器器研研究究由由機(jī)機(jī)器器222221mm2

20、9. 013mm34. 018 sBsABA解：解：),1, 1(22222121 nmFSSF 第七章 參數(shù)估計(jì)3 區(qū)間(q jin)估計(jì)的的置置信信區(qū)區(qū)間間下下求求兩兩總總體體方方差差比比信信度度樣樣本本相相互互獨(dú)獨(dú)立立試試在在置置方方差差均均未未知知又又設(shè)設(shè)兩兩個(gè)個(gè)與與總總體體正正態(tài)態(tài)分分布布，其其總總體體期期望望產(chǎn)產(chǎn)的的鋼鋼管管的的內(nèi)內(nèi)徑徑均均服服從從2221/90. 01 樣樣本本的的函函數(shù)數(shù)第25頁(yè)/共34頁(yè)第二十五頁(yè)，共34頁(yè)。由由 1/22222121bSSaP置置信信區(qū)區(qū)間間為為的的雙雙側(cè)側(cè)因因此此，得得 12221 ，1121 nmFa ，112 nmFb 22211222

21、111111122SSnmFSSnmF， 第七章 參數(shù)估計(jì)3 區(qū)間(q jin)估計(jì)取第26頁(yè)/共34頁(yè)第二十六頁(yè)，共34頁(yè)。，29. 01334. 0182221 snsm，得得又又由由90. 01 112 nmF，查查表表，得得 間間端端點(diǎn)點(diǎn)得得計(jì)計(jì)算算公公式式，得得將將上上面面各各數(shù)數(shù)代代入入置置信信區(qū)區(qū). )79. 245. 0(，所求置信區(qū)間為所求置信區(qū)間為由由樣樣本本觀觀測(cè)測(cè)值值 12171195. 012，F(xiàn)nmF ，45. 011122212 SSnmF ，79. 2111222112 SSnmF 第七章 參數(shù)估計(jì)3 區(qū)間(q jin)估計(jì)05. 0295. 021 ， 59.

22、 2121705. 0 ，F(xiàn) 38. 211712105. 0 ，F(xiàn)第27頁(yè)/共34頁(yè)第二十七頁(yè)，共34頁(yè)。四、（0-10-1）分布(fnb)(fnb)參數(shù)的置信區(qū)間第七章 參數(shù)估計(jì)3 區(qū)間(q jin)估計(jì)。是是樣樣本本，未未知知。設(shè)設(shè)總總體體50,), 1(1 nXXppbXn的的置置信信區(qū)區(qū)間間。的的置置信信度度為為求求 1p由中心(zhngxn)極限定理知)1()1(1pnpnpXnpnpnpXnii 近似服從)1 , 0(N于是有 1)1(2/2/zpnpnpXnzP第28頁(yè)/共34頁(yè)第二十八頁(yè)，共34頁(yè)。第七章 參數(shù)估計(jì)3 區(qū)間(q jin)估計(jì)而不等式等價(jià)(dngji)于22)1( zpnpnpXnz 0)2()(222/222/ XnpzXnpzn 記 acbbap42121 acbbap42122 第29頁(yè)/共34頁(yè)第二十九頁(yè)，共34頁(yè)。第七章 參數(shù)估計(jì)3 區(qū)間(q jin)估計(jì)222/22/),2(),(XnczXnbzna 此處的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為的的一一個(gè)個(gè)近近似似置置信信度度為為則則 1p),(21pp例2 設(shè)在一大批產(chǎn)品(chnpn)中抽取100個(gè)產(chǎn)品(chnpn)，得一級(jí)品60個(gè)，求這批產(chǎn)品(chnpn)一級(jí)品率p的置信度0.95的置信區(qū)間。解: