“直線的傾斜角和斜率”教學(xué)設(shè)計

1、直線的傾斜角和斜率 ”教學(xué)設(shè)計【課程分析 】 本課是人教版數(shù)學(xué)必修2第一節(jié)直線的傾斜角與斜率的第一課時， 是高中解析幾何內(nèi)容的開始直線傾斜角和斜率是解析幾何的重要概念之一， 是刻畫直線傾斜程度的幾何要素與代數(shù) 表示， 是用以坐標(biāo)法研究直線及其幾何性質(zhì)的基礎(chǔ) 本課不僅要理解兩個概念、 得到一個公 式，更要了解幾何問題代數(shù)化的過程， 初步滲透解析幾何的基本思想方法 本課有著開啟全 章，奠定基調(diào)，滲透方法的作用傾斜角是從幾何的角度描述了直線傾斜程度 課本結(jié)合具體圖形， 在探索確定直線位置 的幾何要素中給出直線傾斜角概念斜率是從代數(shù)角度描述了直線傾斜程度 課本借助 “坡度 ”引出直線斜率的概念 定義給

2、 出了直線的斜率與傾斜角的關(guān)系， 溝通了刻畫直線傾斜程度的幾何要素與代數(shù)表示的關(guān)系直線可由兩點來確定，就是說，任給直線上兩點P1（x1, y1）, P2（x2, y2）（其中x1孜2）,那么這條直線唯一確定，進而它的傾斜角與斜率也就確定了，這說明直線的斜率與這兩點的 坐標(biāo)有內(nèi)在聯(lián)系，因此直線的斜率就可以用直線上兩點的坐標(biāo)來表示， 這就是經(jīng)過兩點直線 的斜率公式“坐標(biāo)法 ”與數(shù)形結(jié)合思想是本課內(nèi)容蘊含的核心思想 【學(xué)情分析 】兩點確定一條直線是學(xué)生知道的， 如何認(rèn)識直角坐標(biāo)系這一 “參照系 ”下確定直線的幾何 要素，對學(xué)生來說有點困難 所以在教學(xué)過程中可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩點確定的其實是直線上 的一

3、點及其方向， 再通過對直線方向的正確描述的探討， 形成傾斜角的概念， 明確一點和一 角是確定直線的幾何要素引入斜率的概念時，教學(xué)中可充分利用學(xué)生已有的知識（坡度概念），引導(dǎo)學(xué)生把這個同樣用來刻畫傾斜程度的量與傾斜角聯(lián)系起來， 并通過坡度的計算方法， 引入斜率的概念 知 道傾斜角和斜率都可以刻畫直線的傾斜程度【學(xué)法設(shè)計 】根據(jù)誘思探究性學(xué)習(xí)方式的思想， 本著把課堂還給學(xué)生， 讓學(xué)生親身感受知識的的 推廣過程， 課堂上不再是教師的直接給予， 而是在教師導(dǎo)向性信息的引導(dǎo)下， 學(xué)生親生體會 知識的學(xué)習(xí)過程。學(xué)生探究已知兩點求直線的斜率公式,這既是這節(jié)課的一個重點，又是后繼內(nèi)容 （直線的方程）學(xué)習(xí)的一個

4、要點 事實上， 它揭示了同一直線上的點所具有的一般規(guī) 律：過任意兩點確定的傾斜角是相同的， 為學(xué)生學(xué)習(xí)直線方程做了鋪墊， 同時說明為什么有 了直線的傾斜角， 還需要引入斜率這個概念的必要性 這一點學(xué)生在后繼內(nèi)容學(xué)習(xí)的過程中 會慢慢地體會到由傾斜角到斜率， 再對斜率的坐標(biāo)化， 這正是解析法思想的所在要注意 的是要通過對在坐標(biāo)系下的直線的四種位置及P1、P2兩點位置順序的討論，滲透分類討論的思想 【學(xué)習(xí)目標(biāo) 】1理解傾斜角的概念，明確確定直線的幾何要素理解斜率的定義和公式，經(jīng)歷幾何問題 代數(shù)化的過程，了解坐標(biāo)法思想2體驗數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的意義和價值，發(fā)展對變量數(shù)學(xué)的認(rèn)識3初步了解坐標(biāo)平面內(nèi)的

5、圖形的幾何特征是如何進行量化和代數(shù)化的,了解“坐標(biāo)法 ”【教學(xué)流程 】、聯(lián)系生活引入課題1.【課件投影】如何在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出我們學(xué)校從校門口到食堂的路線?圖1線段AB的中垂線上的點M在運動的過程中什么量保持不變？（設(shè)計意圖：結(jié)合生活，讓學(xué)生體會坐標(biāo)法思想， 使學(xué)生切實體會到直角坐標(biāo)的用途與意義， 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣）（簡要實錄：通過對如何確定圖2和圖3中的幾何圖形的方法探討， 使學(xué)生明確，在平面直 角坐標(biāo)系中，如果給定了點的坐標(biāo)，多邊形的形狀和大小就唯一確定.就是說，如果有了點坐標(biāo)，可以通過坐標(biāo)的運算研究圖形的幾何性質(zhì)；如果能找到動點在運動過程中規(guī)律，也即一個不變的等量關(guān)系式， 就能尋找到用

6、以表示曲線的代數(shù)式，然后我們就可以通過這個代數(shù)表達式研究圖形的性質(zhì).）（2）提升小結(jié)教師拓展：這種以坐標(biāo)系為橋梁， 把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)運算研究幾何圖形性質(zhì)的方法，叫坐標(biāo)法用坐標(biāo)法研究幾何的學(xué)科稱為解析幾何，它是17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家笛卡兒和費馬創(chuàng)立的.解析幾何的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個里程碑，數(shù)學(xué)從此由常量數(shù)學(xué)進入變量數(shù)學(xué)時期課后請同學(xué)們閱讀課本P111笛卡兒與解析幾何，進一步了解解析幾何.二、課題引入形成概念（簡要實錄：教師：“今天我們先從直線開始研究.根據(jù)坐標(biāo)法思想，為了確定表示直線的 代數(shù)表達式，先必須探索坐標(biāo)系下直線的幾何特征，即確定直線位置的幾何要素，然后用代數(shù)的方法把幾

7、何要素表示出來. ”【設(shè)計意圖】使學(xué)生明確本課學(xué)習(xí)的內(nèi)容.3探究新知（1）傾斜角概念（簡要實錄：問題1：如圖4,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，你認(rèn)為直線I的位置由哪些條件確定？ 學(xué)生：兩點確定一條直線.學(xué)生分析：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：兩點確定一條直線， 而這兩點確定的其實是直線上的一點及其方向，明確過一點不能確定一條直線（如圖5）.Dt【設(shè)計意圖】弓|導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)學(xué)過的相關(guān)知識，尋找新內(nèi)容的生長點.（簡要實錄：問題2:在直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都有一個相對傾斜度，可以用一個什 么幾何量來表示這個傾斜程度呢？師生活動：引導(dǎo)學(xué)生把重點放在 如何描述直線傾斜程度”的問題上.啟發(fā)學(xué)生可以用角來區(qū) 別直線的位置.）【設(shè)計

8、意圖】探索描述直線的傾斜程度的幾何要素，由此引出傾斜角的概念.（簡要實錄：問題3:依傾斜角的定義，傾斜角的范圍是什么？ 學(xué)生：根據(jù)直線位置狀況，傾斜角的取值范圍是0wa80.問題4：任何一條直線都有傾斜角嗎？不同的直線其傾斜角一定不相同嗎？你認(rèn)為確定平面 直角坐標(biāo)系中一條直線位置的幾何要素是什么？【設(shè)計意圖】使學(xué)生理解確定一條直線位置的幾何要素是：直線上的一個定點以及它的傾斜角，兩者缺一不可.同時學(xué)生加深學(xué)生對傾斜角范圍的理解記憶（2）斜率概念（簡要實錄：到現(xiàn)在為止，我們尋找到確定直線的幾何要素是兩點或一點一傾斜角，由這些幾何要素還是不能確定一個等量關(guān)系，找到直線的代數(shù)表示， 所以我們繼續(xù)探索

9、直線上的點在變的過程中有什么量是不變的.問題5:確定了點P1和角a后，P2點位置的改變不會影響直線的位置，也即角a的大小不會改變，這種變化規(guī)律類似我們已學(xué)過的什么內(nèi)容？學(xué)生答：相似三角形.）【設(shè)計意圖】基于學(xué)生的客觀現(xiàn)實，結(jié)合已有的生活經(jīng)驗尋找?guī)缀我卮鷶?shù)化的方法.（簡要實錄：師生活動：引導(dǎo)學(xué)生回憶起坡度問題，如圖6、7、8所示，知道坡度（比）=.然后通過類比，把坡度這個同樣用來刻畫直線傾斜程度的量與傾斜角聯(lián)系起來，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)如果使用 傾斜角”的概念， 坡度”實際就是 傾斜角a的正切值”，由此引出斜率概念.問題6:是否每條直線都有斜率？傾斜角不同，斜率是否相同？可以用斜率表示直線的傾斜 程度

10、嗎?【設(shè)計意圖】 溝通數(shù)形關(guān)系，加深概念理解.明確斜率和傾斜角之間的關(guān)系，從而明確斜率 是直線的傾斜程度的代數(shù)表示.（3）斜率公式簡要實錄：師生互動：有了斜率的概念，我們得到等式是k=tan a,這還不能體現(xiàn)是直線上的點所滿足的等量關(guān)系，但我們可以嘗試探究tan舶勺值與直線上的點坐標(biāo)之間聯(lián)系.問題7:兩點確定一條直線，就是說，任給直線上兩點P1（x1, y1）, P2（x2, y2）（其中x1孜2）,那么這條直線唯一確定（如圖9、10所示），進而它的傾斜角與斜率也就確定了，這說明直線的斜率與這兩點的坐標(biāo)有內(nèi)在聯(lián)系.那么這種聯(lián)系是什么呢？【設(shè)計意圖】讓學(xué)生自己探索發(fā)現(xiàn)直線的斜率的坐標(biāo)表示公式.C

11、簡要實錄：師生活動：教師給出直線上兩點的坐標(biāo)，可以請兩位同學(xué)到黑板上板演, 學(xué)在下面完成；明確公式與P1問題&當(dāng)直線與坐標(biāo)軸平行或重合時(如圖11、圖12所示)，上述結(jié)論還成立嗎？【設(shè)計意圖】 通過自己的探索，完善兩點式斜率公式k=(x1孜2),檢驗得到公式與P1,P2兩點的順序無關(guān).三、小題練習(xí)能力提升【課件投影】例1如圖13,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直線AB,BC,CA的斜率，并判斷這 些直線的傾斜角是銳角還是鈍角.【設(shè)計意圖】 直接利用斜率定義式求解，熟悉斜率公式，并體驗斜率與傾斜角之間的關(guān)系.師生活動：學(xué)生動筆計算出答案，教師引導(dǎo)學(xué)生?？梢越Y(jié)合圖形，

12、直接分析得出傾斜角和斜率的關(guān)系.簡要實錄：變式(1)把題中的B點坐標(biāo)改為(-4,2)，此時直線AB的斜率和傾斜角分別什么？(2) 把B點坐標(biāo)改為(3,1),此時直線AB的斜率和傾斜角分別什么？例2在平面直角坐標(biāo)系中，畫出經(jīng)過原點且斜率分別為1,-1，和2的直線.【設(shè)計意圖】：要求學(xué)生畫圖，體驗數(shù)形結(jié)合的思想方法熟練應(yīng)用兩點式斜率公式.師生活動：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已知條件分析解決方法，可以利用一點一角確定直線，也可以用兩點確定直線.因為直線過原點， 所以只要再找出另外一點直線就可以確定了.在推導(dǎo)斜率公其余同 通過構(gòu)造直角三角形推算出斜率公式. 師生共同評析，學(xué)生根據(jù)斜率的定義, ,P2的順序無關(guān).式時，學(xué)生已經(jīng)知道，斜率k的值與直線上的兩點位置無關(guān)，因此，由已知直線的斜率畫直線時，可以再找一個特殊點，比如可以使其橫坐標(biāo)等于1，給計算帶來方便.四、課堂練習(xí)（1）課本P86練習(xí)1,2,3,4.（2） 當(dāng)m為何值時，經(jīng)過兩點A（-m,6） ,B（1,3m）的直線斜率是12?當(dāng)m為何值時，經(jīng)過兩點A（m，2），B（-m，2m-1）的直線的傾斜角是450？（3） 已知直線I上不同三點A（1，2），B（3，4），C（x，y），試求kAB和kAC.五、小結(jié)（1）在本節(jié)課中，你學(xué)到了哪些新的概念？它們有什么關(guān)系？（2）怎樣求出已知兩點的直線的斜率？（3）從傾斜角（形）能刻畫直線的傾斜程度，到斜率（數(shù)