高等數(shù)學(xué)第八章

1、第八章向量代數(shù)與空間解析幾何（數(shù)學(xué)一）第一節(jié)向量代數(shù)中的若干運(yùn)算一、向量的概念1定義：既有大小又有方向的量稱為向量。2坐標(biāo)形式：a (ax , ay ,a z )3模與方向余弦：記a 與 x 軸、 y 軸、 z 軸正向的夾角分別為,，則cosax， cosay， cosa zax2a y2az2ax2a y2az2a x2a y2az2且方向余弦間滿足關(guān)系cos2cos2cos21 。, ,描述了向量 a 的方向， 常稱它們?yōu)橄蛄康姆较蚪牵ㄔ?與之間）。 a 的?？梢员硎緸?aax2a y2az2。向量 a 同方向上的單位向量常記為a 。二、向量的運(yùn)算設(shè)三個(gè)向量 aa1ia2j a3k(a1,

2、 a2 , a3 ) ， bb1i b2 jb3 k(b1, b2 ,b3 ) ，c c icjc k(c,c2, c ) ，常數(shù) 。123131和差：加法 a b (a1b1 , a2b2 , a3b3 )減法 a b (a1b1 ,a2b2 , a3b3 )2數(shù)乘：a( a1 , a2 , a3 )3數(shù)量積（ i）定義：數(shù)a ba bcos a,b，稱為 a, b 為數(shù)量積也稱點(diǎn)積，記為a b 。其中a, b為向量 a,b 間夾角（在0 與之間）。2b 0 表示向量 a 在向量 b 上的投影， a b 0Pr j b a ；（ ii ）性質(zhì)： aa a ； a大學(xué)數(shù)學(xué) a b b a 。（

3、 iii ）計(jì)算：aa12a22a32； a ba1b1 a2 b2a3b3 。例題 設(shè) a 和 b 為非零向量，且b1，axbaa,b4，求 limx。x022a xba( axba )( axba )a xblima解 limxlimx 0x0x( axba )x 0x( axba )lim2ab xb b2a b2axba2 a2x 0練習(xí) 設(shè) a,b ,c 為兩兩垂直的單位向量，求( a2b3c) 2。144向量積（ i ）定義：滿足條件 a ba b sin a,b； ab 的方向按右手法則垂直于a, b 所在平面的向量稱為a,b 的向量積也稱叉乘，記為ab 。（ ii ）性質(zhì)： a

4、bba ； ab 等于以a,b 為鄰邊的平行四邊形的面積； a b為向量，且同時(shí)垂直于a, b 。例題設(shè) Aa2b ， Bkab ，其中 a2, b2 ， ab試問：（ 1） k 為何值時(shí)，AB （ 2） k 為何值時(shí)，以向量A 、 B 為鄰邊的平行四邊形面積為12。解（1）由 A BAB 0，AB(a2 ) (kab)ka22b24k8bk2 。（ 2） A B (a2b ) (ka b)2kb a a b(2k 1)b aA B 2k 1 a b 4 2k 1k 2 或 k1 。大學(xué)數(shù)學(xué)ijk（ iii ）計(jì)算： aba1a2a3。b1b2b3例題 設(shè) a i2 j2k ， b2ij 2k

5、（ 1）求出所有滿足acb 的向量 c 的坐標(biāo)表達(dá)式；（ 2）求出模為最小的向量c 。ijk解（ 1）設(shè) cx, y, z，由 acb ，即 1222ij2k，xyzyz1xx得 2xz1y22xc( x, (22x),(2 x1) ，其中 x 可取任意實(shí)數(shù)。2xy2z2 x 1（ 2）2(22 )2(21)2(32)21，故當(dāng)即2時(shí)，cxxxx3x20x(2, 2,1)。3c 最小，此時(shí) c1c333練習(xí) 已知ABC 的頂點(diǎn)為 A(3,2,1) 、 B(5,4,7)和 C (1,1,2)，求 AB 上的高。 5 335混合積（ i ）定義：數(shù) abc 稱為向量 a, b, c 的混合積，記為

6、a, b, c 。（ ii ）性質(zhì)：a, b ,c等于以 a,b , c 為棱邊的平行六面體的體積。a1a2a3（ iii ）計(jì)算： a,b ,cb1b2b3。c1c2c3例題 求證： ( a b)(bc)(ca) 2(a b ) c 。解(ab)(bc ) (ca)(abacbc) (ca)(ab) c(bc) a2( ab) c大學(xué)數(shù)學(xué)練習(xí) 設(shè)三個(gè) a(1,2,1) ， b (,1,3) ， c(3,2,1) 共面，求。 132三、向量間的關(guān)系1夾角： cosa b或 cosa1 b1a2b2a3 b3。a ba12a22a32b12b22b322垂直： a b0或 a1 b1a2b2b3

7、 b30 。3平行（共線） ： ab0 或 ba 或 a1a2a3。b1b2b34共面： a,b , c0 。例題 （ 1）已知 ( a3b)( 7a 5b ) ， (a4b)(7a2b ) ，則a,b_22解 由 (a3b)( 7a5b ) 得 (a3b )(7a5b)016ab15 b0 ，即 7 a22(a4b )(7a2b ) 得 (a4b )(7a2b )0 ，即30ab8 b0 ，于是7 a12ab1ab ， a bb，則 cos，故a, b。22a b3（ 2）設(shè) a(2,1,2) ， b(1,1, z) ，問 z 為何值時(shí)，a,b最小。解 cos12z，令 f ( z)1 2z

8、，由 f( z)0 ，可得 z4 ，故 min。3 2z232z24（ 3）設(shè) a2,3,1 ,b1,2,3 , c2,1,2，向量 r 滿足 ra , rb ， Pr j c r14 ，求 r。解 由向量 r 滿足 ra , rb ，可令 r(ab)7, 5, 1 ，又 Pr jc r14 ，求得2 ，故 r (14,10,2) 。（ 4 ）已知三個(gè)非零向量a, b, c ，其中任意兩個(gè)向量都不平行，但(ab ) 與 c 平行，大學(xué)數(shù)學(xué)(bc) 與 a 平行，求證： abc0 。證由 (ab) 與 c 平行， (bc ) 與 a 平行，存在兩個(gè)數(shù),使得 (a b )c ，(bc)a ，兩式相

9、減得(1)a(1)b ，又三個(gè)非零向量a,b, c 中任意兩個(gè)向量都不平行，故1，從而 abc0 。練習(xí) （ 1）設(shè) a3,2,1 b2, 4 , k，若 ab ，則 k_ ；若 a / b ，則 k _3k26 ； k2 。33（ 2）設(shè) a3, b4 且 ab ，則 (ab)(a b )_24第二節(jié)平面與直線一、平面及其方程1三種形式（ i）點(diǎn)法線：已知平面過 Mx0 , y0 , z0點(diǎn)，其法向量n ( A, B, C ) ，則平面的方程為 A x x0B y y0C z z00 。（ ii ）一般式： AxByCzD0 ，其中 A, B, C 不全為零。 x, y, z前的系數(shù)表示的法

10、線方向數(shù)， n(A, B,C) 是的法向量。（ iii ）截距式：上的截距。xyz，其中 a, b, c 全不為零。 a,b, c 表示平面分別在x, y, z 軸ab1c例題 平行于平面 2x 6 y 3z 50 ，且與三個(gè)坐標(biāo)面所構(gòu)成的四面體體積為1個(gè)單位的平面方程為_解設(shè) 所 求 方 程 為 xyz1，則 (1, 1, 1)(2,6,3) ， 由 V1abc 1 ， 得abcabc612x6 y3z 60。，故平面方程為62平面間的位置關(guān)系大學(xué)數(shù)學(xué)設(shè)兩平面為1 : A1 xB1 yC1 zD10 ，2 : A2 xB2 yC 2 zD 20（ i ）夾角（ 0）： cosA1 A2B1B

11、2C1C2。2A12B12C12A22B22C 22（ ii ）垂直： A1 A2B1B2C1C2 0 。（ iii）平行： A1B1C1D1A2B2C2D2（ iv ）重合： A1B1C1D1A2B2C 2D 2例題 設(shè)平面過點(diǎn) M 1 (0,0,1), M 2 (1,1,1) 且與平面 x yz1成角，求的方程。3解 設(shè)平面方程為AxByCzD0 ，則由題意得CD0，ABCD 0 ，A BC1，求解得BA ，A2B 2C 232C6A，D6A，所求平面方程為x y6z6 0 或xy6z60。3點(diǎn)到平面的距離：設(shè)平面的方程為 AxByCzD0，而點(diǎn) Mx1 , y1 , z1為平面外的一點(diǎn)，

12、則 M 到平面的距離 dAx1 By1Cz1DA2B 2C 2。真題 點(diǎn) (2,1,1) 到平面 x2y 2 z 50 的距離為 d_解 直接利用公式，d113例題 已知平面方程1 ： x2 y2z1 0 ， 2 ： 3x4 y50 ，求平分1 與2 夾角的平面方程。解 設(shè) (x, y, z) 為所求平面上的任一點(diǎn)，依題意它到1 的距離應(yīng)等于它到2 的距離，即大學(xué)數(shù)學(xué)x 2 y 2z 13x 4y 57 x 11 y 5z 10 0 或，整理所求平面方程為12( 1)2(2) 232( 4)22xy 5z50 。二、直線及其方程1三種形式（ i ）點(diǎn)向式（標(biāo)準(zhǔn)式、對(duì)稱式）xx0yy0zz0，其

13、中 x0 , y0 , z0為直線上的點(diǎn)， m, n, p 為直線的方向數(shù)。mnpxx0mt（ ii ）參數(shù)式：yy0nt ， s(m,n, p), t 為參變量。zz0pt（ iii）一般式：（兩平面的交線）A1 x B1 y C1 z D10( A1 , B1, C1)(A2 ,B2,C2) 。A2 x B2 y C2 z D2，方向向量 s0例題 （1）過點(diǎn) ( 1,2,3) ，垂直于直線xyz7 x8 y9z100 的45且平行于平面直線方程為 _6解 取 s(4,5,6) ( 7,8,9)( 3,6,3)故所求直線為x 1y2z3 。121（ 2）求點(diǎn) ( 1,2,0) 在平面 x2

14、 yz10 上的投影。解 平面的法向量 n1,2, 1，于是過點(diǎn) (1,2,0) 的垂線方程為x1y 2z，121將 它 化 為 參 數(shù) 式 ， 得 x t 1, y2t 2, zt ， 代 入 平 面 方 程 ， 得(t1)2(2t2)( t)10，所以6t 40 ， t2，故所求投影為3522(,) 。3332直線間的位置關(guān)系設(shè)兩直線為L(zhǎng)1: xx1yy1zz1L2: xx2yy2zz2 。m1n1p1m2n2p2大學(xué)數(shù)學(xué)（ i ）夾角（ 0）： cosm1 m2n1 n2p1 p2。2m12n12p12m22n22p22（ ii ）垂直： m1 m2n1n2p1 p20 。（ iii）平

15、行： m1n1p1 。m2n2p2設(shè)有直線 L1： x1y5z 8與 L2xy6真題：z，則 L1 與 L2 的夾角為1212y3_解 s1 (1,2,1) ， s2 (1,1,0)(0,2,1)( 1, 1,2) ，利用公式 cos1，即 L1與 L22的夾角為。33直線、平面間的位置關(guān)系設(shè) 平 面的 方 程 為 ： AxBy Cz D 0 ， 直 線 L的方程為：x x0yy0zz0 。mnp（ i ）夾角（ 0）： sinAmBn Cp。A2B 2C 2m2n 2p 22（ ii ）垂直： mnpABC（ iii ）平行： AmBnCp0（ iv ）重合： AmBnCp0 且 L 上有一

16、點(diǎn)在上。x3y2z10： 4 x2yz2 0 ，則直線真題 （ 1）設(shè)有直線 L ：y10z3及平面2x0L（C）（ A ）平行于（ B）在上（ C）垂直于（D）與斜交解 s(1,3,2) (2, 1,10)( 28,14,7) ， n(4,2,1) ，故 s / n，選（ C）大學(xué)數(shù)學(xué)（ 2）已知直線xbyz1 在平面 3x4 yaz3a1上，則 a_ ，32ab_解s(3,2, a) ， n(3,4,a) ，由題意 sn ，且點(diǎn)(b,0,1)在平面上，于是a；1,5 。1,1b34點(diǎn)到直線的距離：設(shè)M 0 是直線 L 外一點(diǎn)， M 是直線 L 上任意一點(diǎn)，且直線的方向向量為 s ，則點(diǎn) M

17、 0 到直線 L 的距離 dM 0 Ms。s例題 點(diǎn) M (1,2,3) 到直線 x1y 4z3 的距離為 _122解 直接利用公式 d2 。三、平面束及其應(yīng)用1定義：設(shè)直線A1 x B1 y C1 z D10L 的一般式方程為，則通過 L 的所有平面A2 x B2 y C2 z D 20方程為 k1 A1xB1 yC1 zD1k2A2 xB2 yC 2 zD 20 ，其中 k1 , k2不全為零；或 A1 xB1 yC1 zD1A2 xB2 yC 2 zD20 。2應(yīng)用：當(dāng)問題中出現(xiàn)平面經(jīng)過一直線的條件時(shí)，可用上述假設(shè)處理。真題 求直線xyz10z0 上的投影直線方程。xyz1在平面 x y

18、0解 設(shè)直線xyz10的平面束的方程為( xyz1)( x yz 1)0 ，xyz10即 (1)x(1) y(1)0 ，這平面與平面xyz0 垂直的條件是(1)1(1)1(1)z )( 1)0 ，由此得1，得投影平面的方程為 yz10 ，所以投影直線方程為yz10。xyz0大學(xué)數(shù)學(xué)例題（1）求過直線 x5 yz0 ， xz40 且與平面 x4 y8z120 組成4角的平面。解 設(shè)平面方程為x5 yz(xz4)0 ，即 (1)x5 y(1)z40 ，由題設(shè)有 cos2927，3，故所求平面為x 20y7z12 0。292 22744（ 2）求異面直線L1 ： x1y11z2 與直線 L2： x1

19、yz1 之間的距離。03122解 利用點(diǎn)到平面的距離。過L1 作平行于 L2 的平面，則 L2上的點(diǎn) M 2 到平面的距離即為二異面直線間的距離。設(shè)平面的法矢為 n ，因?yàn)檫^ L1 ，故 ns ，又/L2，ijk故 ns2 ，取 ns1s20134,3,1 ，點(diǎn)M1(1,1,2) 在 L1 上，于是平面122的方程為4x3yz50，點(diǎn) M2(1,0,1) 到平面的距離為d413 01(1)58。4232126（ 3）求過點(diǎn)(3,1,2) 且通過直線 x4y3z 的平面方程。521解 記 A(3,1,2)B(4,3,0) 所求平面為， s5,2,1，設(shè) P( x, y, z) 是上任意一點(diǎn)，x3

20、y1 z2由三向量共面，得AP, AB, s0 ， 即142，整理得5218x9 y 22z590 ，此即為所求平面的方程。第三節(jié)空間曲面與曲線一、曲面及其方程1一般式：F x, y, z0 （常見形式）大學(xué)數(shù)學(xué)xx u.v2參數(shù)式：yy u,vu, vD （平面區(qū)域）zz u, v曲面的記號(hào)有兩個(gè)：或 S 。二、曲線及其方程1參數(shù)式：F1x, y, z0F2x, y, z0xx t2一般式：yy tt（常見形式）zz t曲線的記號(hào)有三個(gè)：L，C，。三、常見曲面1旋轉(zhuǎn)曲面： 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面，旋轉(zhuǎn)曲線和定直線依次叫做旋轉(zhuǎn)曲面的母線和軸。（ i ）

21、設(shè) L 是 xOz平面上一條曲線，其方程是fx, z0y0L 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)得到旋轉(zhuǎn)曲面為fx 2y2 , z0或由參數(shù)方程 xf t， yg t， zh tt,，得旋轉(zhuǎn)面的參數(shù)方程xf 2tg 2t cosyf 2tg 2t sint， 02zh t（ ii ）求空間曲線F1x, y, z0繞 z 軸一周得旋轉(zhuǎn)曲面的方程F2x, y, z0第一步：從上面聯(lián)立方程解出xfz ， yg z第二步：旋轉(zhuǎn)曲面方程為x2y2f 2zg 2z真題 求直線 L : x1yz1在平面: xy2 z10 上的投影直線 L0 的方程，111大學(xué)數(shù)學(xué)并求 L0 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周的曲面方程。xy2z10x 2 y

22、解 利用平面束求得投影直線L0 的方程， L0 ：或12 ，x3 y2z101)z( y1 ( y 1) 2 。2曲面 S ： x2z 24 y24例題 求頂點(diǎn)在 ( 0,1,0) ，母線和 z 軸夾角保持的錐面方程。6解 在錐面上任取一點(diǎn)M ( x, y, z) ，記 A(0,1,0)，則由題意 AM與 Oz 的夾角為，于6是zz2cos ，因此所求曲面為： z23x 2(3y1)2 。x2( y1) 262柱面：平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線形成的軌跡叫做柱面，定曲線叫做柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫做柱面的母線。一般來說，只含 x, y 而缺 z 的方程 F ( x, y)0 在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于z軸的柱面，其準(zhǔn)線是xoy 面上的曲線 F ( x, y)0 。例如圓柱面： x 2y 2R2 。3二次曲面曲面名稱方程曲面名稱方程橢球面x 2y 2z21旋轉(zhuǎn)拋物x2y 2z p 0a 2b 2c2面2 p 2 p橢圓拋物x2y2z p, q 0雙曲拋物x 2y22 p2q2 pz p, q 0面面2q單葉雙曲x 2y 2z21面a 2b 2c 2二次錐面x 2y 2z20a 2b 2c 2雙葉雙曲x 2y