高等數(shù)學(xué)各章知識結(jié)構(gòu)

1、高等數(shù)學(xué)各章知識結(jié)構(gòu)一總結(jié)構(gòu)函數(shù)（高等數(shù)學(xué)研究的主要對象）連續(xù)性可微性可積性一元函數(shù)一元微積分導(dǎo)數(shù)微分不定定積積分分空多元函數(shù)多元微積分偏導(dǎo)數(shù)全微分重間積解分析，幾曲何線數(shù)列無窮級數(shù)積分方程常微分方程數(shù)學(xué)中研究導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用的部分稱為微分學(xué) ，研究不定積分、定積分及其應(yīng)用的部分稱為積分學(xué) . 微分學(xué)與積分學(xué)統(tǒng)稱為微積分學(xué) .微積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)最基本、最重要的組成部分，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)許多分支的基礎(chǔ)，是人類認(rèn)識客觀世界、探索宇宙奧秘乃至人類自身的典型數(shù)學(xué)模型之一.恩格斯（ 1820-1895 ）曾指出：“在一切理論成就中，未必再有什么像17 世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了”.

2、微積分的發(fā)展歷史曲折跌宕，撼人心靈，是培養(yǎng)人們正確世界觀、科學(xué)方法論和對人們進行文化熏陶的極好素材（本部分內(nèi)容詳見光盤） .微積分是近代數(shù)學(xué)中最偉大的成就 ,對它的重要性無論做怎樣的估計都不會過分 .馮.諾伊曼注：馮 .諾依曼（ John von Neumann， 1903-1957 ，匈牙利人），20 世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)家之一，在純粹數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、計算數(shù)學(xué)等許多分支，從集合論、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)到量子理論與算子理論等作多方面，他都作出了重要貢獻 .他與經(jīng)濟學(xué)家合著的博弈論與經(jīng)濟行為奠定了對策論的基礎(chǔ)，他發(fā)明的“流程圖”溝通了數(shù)學(xué)語言與計算機語言，制造了第一臺計算機，被人稱為“計算機之父”.微積分中重要

3、的思想和方法：1“極限”方法，它是貫穿整個微積分始終。導(dǎo)數(shù)是一種特殊的函數(shù)極限；定積分是一種特殊和式的極限；級數(shù)歸結(jié)為數(shù)列的極限；廣義積分定義為常義積分的極限；重積分、曲線積分、曲面積分都分別是某種和式的極限。所以，極限理論是整個微積分的基礎(chǔ)。 盡管上述各種概念都是某種形式的極限，但是它們都有各自獨特和十分豐富深刻的內(nèi)容，這是微積分最有魅力的地方之一。2“逼近”思想，它在微積分處處體現(xiàn)。在近似計算中，用容易求的割線代替切線，用若干個小矩形面積之和代替所求曲邊梯形面積；用折線段的長代替所求曲線的長；多項式代替連續(xù)函數(shù)等。這種逼近思想在理論和實際中大量運用。3“求極限、求導(dǎo)數(shù)和求積分”是最基本的方

4、法。熟練掌握求極限、求導(dǎo)數(shù)和求積分各種用的方法，學(xué)習(xí)微積分就不會遇到太多困難，甚至能做到得心應(yīng)手。4“特色定理”是微積分的支柱。夾逼定理、中值定理、微積分基本定理等是微積分中最深刻、最基本、最能體現(xiàn)微積分特色的定理，支撐起微積分的大廈。5“綜合運用能力”是微積分學(xué)習(xí)的出發(fā)點和歸宿。充分注重綜合運用極限概念與方法的能力、 綜合運用導(dǎo)數(shù)與積分相結(jié)合的各種方法的能力、綜合運用定積分思想方法解決問題的能力、 綜合運用一元和多元相結(jié)合方法的能力、 綜合運用各種方法解決實際問題的能力。二函數(shù)、極限與連續(xù)函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念之一，是高等數(shù)學(xué)的主要研究對象. 極限概念是微積分的理論基礎(chǔ)，極限方法是微積分的

5、基本分析方法， 因此，掌握、運用好極限方法是學(xué)好微積分的關(guān)鍵 . 連續(xù)是函數(shù)的一個重要性態(tài) .研究函數(shù)的變化趨勢極限數(shù)列極限函數(shù)極限當(dāng) xa時，當(dāng) x時，f ( x)Af ( x)A左、右極限極限的性質(zhì)無窮小無窮大極限存在準(zhǔn)則無窮小的性質(zhì)兩個重要極限無窮小的比較極限的運算法則和求極限的常用方法:1.直接代入法；2.恒等變形法；3.準(zhǔn)則判別法；4.等價變換法；5.洛比達法則。極限思想是由于求某些實際問題的精確解答而產(chǎn)生的. 例如，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元 3 世紀(jì)）利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積的方法- 割圓術(shù)（參看光盤演示）, 就是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用. 又如，春秋戰(zhàn)國時期的哲學(xué)家莊子（公

6、元4 世紀(jì)） 在莊子 .天下篇一書中對 “截丈問題”（參看光盤演示） 有一段名言：“一尺之棰 , 日截其半 , 萬世不竭”，其中也隱含了深刻的極限思想 .極限是研究變量的變化趨勢的基本工具，高等數(shù)學(xué)中許多基本概念，例如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、無窮級數(shù)等都是建立在極限的基礎(chǔ)上. 極限方法又是研究函數(shù)的一種最基本的方法.連續(xù)性概念閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)初等函數(shù)的連續(xù)性點區(qū)間連間斷續(xù)連點（續(xù)3個等價定第第義）一二類類間間斷斷點點可去間斷點跳躍間斷點客觀世界的許多現(xiàn)象和事物不僅是運動變化的，而且其運動變化的過程往往是連綿不斷的，比如日月行空、歲月流逝、植物生長、物種變化等，這些連綿不斷發(fā)展變化的事物在量的

7、方面的反映就是函數(shù)的連續(xù)性. 連續(xù)函數(shù)就是刻畫變量連續(xù)變化的數(shù)學(xué)模型.16、17 世紀(jì)微積分的醞釀和產(chǎn)生，直接肇始于對物體的連續(xù)運動的研究. 例如伽利略所研究的自由落體運動等都是連續(xù)變化的量. 但直到19 世紀(jì)以前，數(shù)學(xué)家們對連續(xù)變量的研究仍停留在幾何直觀的層面上，即把能一筆畫成的曲線所對應(yīng)的函數(shù)稱為連續(xù)函數(shù). 19 世紀(jì)中葉，在柯西等數(shù)學(xué)家建立起嚴(yán)格的極限理論之后，才對連續(xù)函數(shù)作出了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表述.連續(xù)函數(shù)不僅是微積分的研究對象， 而且微積分中的主要概念、定理、 公式法則等，往往都要求函數(shù)具有連續(xù)性 .我們將以極限為基礎(chǔ)，介紹連續(xù)函數(shù)的概念、連續(xù)函數(shù)的運算及連續(xù)函數(shù)的一些性質(zhì).三微分學(xué)微分學(xué)

8、導(dǎo)數(shù)微分概念運算性質(zhì)應(yīng)用概念運算性質(zhì)應(yīng)用定幾1.按定義求導(dǎo)1.羅爾定理；定幾微近義何義何法；2. 拉格朗日中值dy f (x)dx 分似意意形計義2.直接求導(dǎo)法；定理；義式算不3.反函數(shù)求導(dǎo)3.泰勒中值定理；變法；4.洛比達法則。性4.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法；1.求切線、法線方5.對數(shù)求導(dǎo)法；程；6.隱函數(shù)求導(dǎo)2. 函數(shù)的一般性法；態(tài)研究；連續(xù)性7.高階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)3.證明不等式。法?？蓪?dǎo)性可微性函數(shù)的一般性態(tài)區(qū)間性態(tài)點性態(tài)增減性f ( x)極（最）值f (x)漸近線凹凸性拐點描繪函數(shù)圖象從 15 世紀(jì)初文藝復(fù)興時期起， 歐洲的工業(yè)、 農(nóng)業(yè)、航海事業(yè)與商貿(mào)得到大規(guī)模的發(fā)展，形成了一個新的經(jīng)濟時代。而16

9、世紀(jì)的的歐洲，正處在資本主義的萌芽時期，生產(chǎn)力得到了很大的發(fā)展， 生產(chǎn)實踐的發(fā)展對自然科學(xué)提出了新的課題， 迫切要求力學(xué)、 天文學(xué)等基礎(chǔ)科學(xué)的發(fā)展， 而這些學(xué)科都是深刻依賴于數(shù)學(xué)的， 因而也推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展。 在各類學(xué)科對數(shù)學(xué)提出的種種要求下，下列三類問題導(dǎo)致了微分學(xué)的產(chǎn)生：（ 1）求變速運動的 * 時速度；（ 2）求曲線上一點處的切線；（ 3）求最大值和最小值。這三類實際問題的現(xiàn)實原型在數(shù)學(xué)上都可歸納為函數(shù)相對于自變量變化而變化的快慢程度， 即所謂函數(shù)的變化率問題。牛頓從第一個問題出發(fā)，萊布尼茲從第二個問題出發(fā)，分別給出了導(dǎo)數(shù)的概念。在理論研究和實際應(yīng)用中，常常又會遇到這樣的問題：當(dāng)自變量

10、x 有微小變化時，求函數(shù) y f ( x) 的微小改變量y f ( x x) f ( x) .這個問題初看起來似乎只要做減法運算就可以了，然而，對于較復(fù)雜的函數(shù)f ( x) ，差值f ( x x) f (x) 卻是一個更復(fù)雜的表達式，不易求出其值。一個想法是：我們設(shè)法將y 表示成 x 的線性函數(shù)，即 線性化 ，從而把復(fù)雜問題化為簡單問題。微分就是實現(xiàn)這種線性化的一種數(shù)學(xué)模型。四積分學(xué)不定積分一幾查般種積積特分分殊表法函數(shù)的積分法直換分接元部積積積分分分法法法第第一二換換元元法法積分學(xué)定積分概性運應(yīng)念質(zhì)算用積廣在在分義幾物法積何理分中中法積被 為 平體曲分積面積線*區(qū)函圖長間數(shù)形為有的無無面限窮

11、型積間斷點牛頓萊布尼茲公式數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡爾的變數(shù).有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了，而它們也就立刻產(chǎn)生，并且是有由牛頓和萊布尼茨大體上完成的，但不是由他們發(fā)明的.- 恩格斯數(shù)學(xué)發(fā)展的動力主要來源于社會發(fā)展的環(huán)境力量. 17 世紀(jì)，微積分的創(chuàng)立首先是為了解決當(dāng)時數(shù)學(xué)面臨的四類核心問題中的第四類問題，即求曲線的長度、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心和引力等等. 此類問題的研究具有久遠的歷史，例如，古希臘人曾用窮竭法求出了某些圖形的面積和體積，我國南北朝時期的祖沖之、祖恒也曾推導(dǎo)出某些圖形的面積和體積，而在歐洲，對此類問題的研究興起于17 世紀(jì)，先是窮竭法被逐漸修改，后來由于微積分的創(chuàng)立徹底改變了解決這一大類問題的方法.由求運動速度、曲線的切線和極值等問題產(chǎn)生了導(dǎo)數(shù)和微分，構(gòu)成了微積分學(xué)的微分學(xué)部分； 同時由已知速度求路程、已知切線求曲線以及上述求面積與體積等問題，產(chǎn)生了不定積分和定積分，構(gòu)成了微積分學(xué)的積分學(xué)部分.五微分方程微分方程及其概念一階 (常 )微分方程可*一齊分階次離線方變性程量微的分微方分程方程齊非貝次齊努次力方程高階 (常 )微分方程（二階為主）可二降階階常的系高數(shù)階微微分分方方程程（三種）齊非次齊次六向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)空間解析幾何向向向平空量量量面間的