北大隨機過程課件：第2章第1講隨機游動

1、隨機游動1隨機游動棋型設(shè)有一個質(zhì)點在x軸上作隨機游動，在t=0時在x軸的原點，在t=l,2,3,.時沿x軸正 方向或反方向移動一個單位距離，沿正方向移動-個單位距離的概率為p，沿反方向移動一 個單位距離的槪率為q-1-poXXxZ、xxZ Xz/ z質(zhì)點隨機游動構(gòu)成一個離散時間、離散狀態(tài)的隨機過程。記質(zhì)點在第n步時的狀態(tài)為r)n,n = 0,1,2, , 樣本空間：-3,-2,-1,0,1,2,3 初始態(tài)：= 0 一步轉(zhuǎn)移概率：經(jīng)過一步從狀態(tài)1轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率P J=l+p. = q = -p J = 1-10otherwise2.他機游動棋型的"析經(jīng)過遜垢的位置特征經(jīng)過n步返回原

2、點的櫃率；經(jīng)過n步第一次返回原點的槪率； 第二回原點所需的里均時間遲早返回原點的樣率；多次返回原點的槪率；經(jīng)過n步達(dá)到+1的概率： 第1次通過最人值:2. 1經(jīng)過n步以后的位Jt特征：概車*布、銃計特征質(zhì)點在第D步時的狀態(tài)為= 0丄2,，?牡過時間m質(zhì)點距點的距離為mflWR率P%=mr)n是-個隨機變最，它的可能取值是：2-n,0,1,并-1,町若質(zhì)點移動n步后到達(dá)r)=m的位克，則所有的移動中，止方向移動竺巴步，反方 向移動匕巴步，因此：2維概率分布:m=aii+2,n+4,m <n均值:氐=土3;其中長為每一步的移動，Jt-1= 1= A L = -l= = 12 ,nEfeJ=

3、= !*!+= !*(-!) = p-q£訃 E f 訃 »臥 n(p - q),J E£7；)=£= E 竝詁Jt=l /=1Jt=l /=!k=l 1=1考慮到Z，卜 E訂 E 必卜(p-g)2;k = l，E朋卜 l'p +(-1)5*十g = l e2= ££ E為+ £ 4441= n(n-l)(-g)2 +11ir»l /»1i«ll#k方蔓EIh - EW )f = Ek + 因仏)2-勺 /W )=航)-=n(n -)(p-q)2 +n- n2(p - q)2= n-n(

4、p-q)1=4npq若 n<m.E【”W”，卜靈£弓L Elgn m=E工工躺Jk-1 /-In mk=l /=1n mn二工工低鼻)Jtl 21i-1l.kn m二工工9-g)5jt=i i=ilk=n(ml)(p-q)2 + n若 n>m, Erjn-r/m= m(n - l)(p - q)2 + m k-7m= minn,m|l - (p _ g)*+ nm(p-q)1概率分布:刃幾=0=2. 3第一次返原點的概車m-n<n+2<n+4,41-241：m <n均值：Eg = Hp-q)方差：可久-糾久)*4咖相關(guān)函數(shù):Er/n rjm = nnnn

5、.m -4pq + nm (p -q)22.2經(jīng)過n步返回原點的概卒根據(jù)-維分布的分析可丸I，第n步返回原點的槪率為:0, n為奇數(shù)Z 、n nn ppm只令經(jīng)過偶數(shù)步才能返冋原點，經(jīng)過奇數(shù)步返冋原點的概率為0?？紤]經(jīng)過2n步返回原點的概率，記作:(2n如”=P% = 0=pnqnW丿第2n步第-次返回原點的事件記作：鳳” =嚴(yán)0,7工° 2心工°皿廠0第2n步第一次返回原點的概率記作：V2n = PB邙=Pg 工 0, 工 0 工°，九=°第2n步返冋原點的概率與第2n步第一次返冋原點的概率的關(guān)系是:n% = V2n +冬“-02 + V申I =工冬0

6、"心利用矩生成函數(shù)求概事分布及數(shù)字特征對于均”與卩2注意到V。= 0山。=1可以得到F列的矩生成函數(shù).t/（z） = l + X "2匸"=1 + E £ 冬0卄#"n=l Jt=l=1+折 “E% 嚴(yán)=i+u（二）二）m=0k=0對J：經(jīng)過2 n步返冋原點的概率處“麗仙）（2n）（2n - 2）4 2（2n-l）（2n_3）3l（pg）”nn今込透（麗nJl/2、n（-4麗n匕，的矩牛成兩數(shù)為coco5二）=IX八工n=0時-1/2、n-1/2、n（-4皿）7=sn=0 n=O （-4pg，）”卜ApqF7）=1-7（二）=1-Jl - 4p

7、g 二'2. 4遲早返=（-1 廠（1/2）（一1/2）（一3/2）（1/2一（_1）nI丿（2n-3）（2n-5）-3125!（4 灼）”12/?-12（皿）”13原點的柢本第2n步第一次返冋原點的書件記作：耳” =5式0,仏工0, “一】工0，九=0第2n步第一次返冋原點的概率記作：V2n =卩坊" = Pg 工 °，三工 °，9“2>T 工 °，“5 = °隨機游動遲早返冋原點的概率，00com=0n=0=_ Jl_4pg= -p-q=fl-|p-g|<l p*q1 p = q隨機游動第一次返冋原點花費的平均時間,“

8、=士2"（坊）=乞2譏n=0n=0g）pqp = q隨機游動的也等式 考慮到（-）= I/（二）=1- Ji - 4pg 二 2小-4pqh可以得到1- 卩（二）=- 4pq二' =（1 - 4pqz2）/Jl-Apqz1 =（1-4加于）5 二）也就是說，- = um -伽% = 4p 如"對J：對稱的隨機游動J9 =（j = 1/2,就冇=V2n+2=V2h+2 +V2n-H + 冬”力 +2. 5多次返G)“在2n次試驗屮，第【次返回原點S相應(yīng)的概率記作，vo利用遞推公式仃 v<r> = V vVln 乙 Vlk vln-2ki=0相應(yīng)的生成函數(shù)是

9、800 00丹（二）=£卩瀘”二工必匕遲 <；夕n=0fc=0n=0=7（二）嚴(yán)）（二）=曠（二）考慮到卩（二） = l-Jl-4pq 丁經(jīng)過推導(dǎo)，可以得到恒等式廠"（二）=r（z）rlr_u （z） = （l-J1 - 4pqF）廠I （二）=妙7（二）_ Jl_4pq，曠勺（二）=（二）_ Jl _ 4pgY （1 - J1 - 4刖二'）（二）=（二）一 J1 一 4pg 二妙勺（z）+（ 1-4 pqF） V（r2）（二）=0LU （二）一卜 4pq 二"7）（二）+ 0r-2）（二）一 4 pq 二計 T）（二）=0r_1> （二）+

10、 Z（r'2）（二）（1- Jl-4pg 二 * - 4 pqT 廠 F （二）=yrl）（二）+ 妙 F （二）7（二）-4 如嚴(yán)（二）=2嚴(yán)，（二）-4 珂07 （二）山此得到遞推公式吧)=2當(dāng)-4pg監(jiān)?初值必？已經(jīng)可以計算出，由此得到“在2n次試驗中，第1次返冋原點”的概率為2(pg)”26 第n步第1次達(dá)到+1的"件以及相應(yīng)的概卒爭件g <0,/?2 SO,1 <0, = 1表示第1次達(dá)到+1,第1次穿過+1的事件。 相應(yīng)的概率記作：“ =Pg SO,久 SO,I SO,” = 1）其中初始條件是始=0, % = p。考慮“ n > 1第1次達(dá)到+

11、1 ”的事件，呦=-1 = 9存在一個整數(shù)k<n, k = ,2, n-2,使得 = 0,在以后的zk步，第1次達(dá)到+1。呦=-1,仏<0,也v 0,嚴(yán)0=Pg = 0皿<0,久=1=入第11步第1次達(dá)到+1的班件，町以分解為4斥的爭件，第D步第1次達(dá)到+1的槪率為 這些互斥事件的概率的和g = g （空血T + 嘰、+血） 斤> 1第n步第i次達(dá)到+i的概率的矩生成兩數(shù)是，cooon1=工如"="+工q工二”n=ln=2cocom=li=l= p= + g二&（二）1-Ji-4如迂勾二 e（二）=z（s）考慮到,因此有,v：= 12n-2n

12、 -11 n2(pg)”2n-l2q% = Q進(jìn)一步自4_(-1廠丫/22q "(4灼)”n»l2q'pg p<g lp>q工血# 1w-11計算第1次穿過+】的平均時間是n»ll/(p-g)p >qCOp = qp/g(g-p)q>p2. 7第1次通過瑕大值給定一個期里的最人值"嚴(yán)表示“在第n步第一次通過卍的概率。圧義第1次通過垠人値r的矩生成函數(shù)（二）=乞妒二、t） n=l進(jìn)一步町以得到內(nèi)（二） = （%）' ?。ǘ┯纱说玫絧lnHr”2glE”2如果p = g = l/2佔ng)/2.2"n附錄1:矩生成函數(shù)對于一個取整數(shù)值m，的隨機變最X,具柑應(yīng)的矩牛成甫數(shù)定義為:(二