北師大版高中數(shù)學(xué)必修4第二章《平面向量》全部教案姚連省編制

1、北師大版高中數(shù)學(xué)必修 4第二章平面向量全部教案扶風(fēng)縣法門高中姚連省第一課時 2.1從位移、速度、力到向量一、教學(xué)目標(biāo)1. 知識與技能：（1 ）理解向量與數(shù)量、向量與力、速度、位移之間的區(qū)別；（2）理解向量的實際背景與基本概念，理解向量的幾何表示，并體會學(xué)科之間的聯(lián)系（ 3）通過教師指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)知識結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和邏輯思維能力。2. 過程與方法：通過力與力的分析等實例，引導(dǎo)學(xué)生了解向量的實際背景，幫助學(xué)生理解平面向 量與向量相等的含義以及向量的幾何表示；最后通過講解例題，指導(dǎo)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問 題，善于獨立思考，學(xué)會分析問題和創(chuàng)造地解決問題3情感態(tài)度價值觀：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們

2、對向量的實際背景、幾何表示有了一個基本的認(rèn) 識；激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，陶冶學(xué)生的情操，培養(yǎng)學(xué)生堅忍不拔的意志，實事求是 的科學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度和勇于創(chuàng)新的精神 二. 教學(xué)重、難點 ：重點：向量及向量的有關(guān)概念、表示方法難點：向量及向量的有關(guān)概念、 表示方法.三學(xué)法與教法學(xué)法：（1）自主性學(xué)習(xí)+探究式學(xué)習(xí)法：（2）反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗知識的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距.教法:探究交流法.四.教學(xué)過程（一）、創(chuàng)設(shè)情境實例：老鼠由A向西北逃竄，貓在 B處向東追去。問：貓能否追到老鼠？（畫圖）結(jié)論：貓的速度再快也沒用，因為方向錯了（二）、探究新知-1 學(xué)生閱讀教材思考如下問題AB展示

3、投影（學(xué)生先講，教師提示或適當(dāng)補充）（1）.舉例說明什么是向量？向量與數(shù)量有何區(qū)別？既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、沖量等。注意：數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運算、比較大小；向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小。從19世紀(jì)末到20世紀(jì)初，向量就成為一套優(yōu)良通性的數(shù)學(xué)體系，用以研究空間性質(zhì)。2. 向量的表示方法有哪些?幾何表示法：有向線段有向線段：具有方向的線段叫做有向線段。記作:AB'A（起點）字母表示法：也可用字母a、b、c （黑體字）來表示，即AB可表示為a （印刷時用黑體字）注意：起點一定寫在終點的前面。有向線段的長度：線段AB的

4、長度也叫做有向線段 AB的長度。有向線段的三要素：起點、方向、長度。3#3. 向量的模的概念是如何定義的?向量AB的大小 長度稱為向量的模。記作：| AB |模是可以比較大小的#4. 兩個特殊的向量:零向量一一長度（模）為0的向量，記作0。0的方向是任意的注意0與o的區(qū)別單位向量一一長度（模）為 i個單位長度的向量叫做單位向量。 思考：溫度有零上零下之分，“溫度”是否向量？答：不是。因為零上零下也只是大小之分。 AB與BA是否同一向量？答：不是同一向量。 有幾個單位向量？單位向量的大小是否相等？單位向量是否都相等?答：有無數(shù)個單位向量，單位向量大小相等，單位向量不一定相等。5. 向量間的關(guān)系：

5、（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。記作：a / b / c規(guī)定：0與任一向量平行（2）相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。記作：a =b#規(guī)定：0=0任兩相等的非零向量都可用一有向線段表示，與起點無關(guān)。（3 ）共線向量：任一組平行向量都可移到同一條直線上所以平行向量也叫共線向量。OA = aOB =bOC =c展示投影例題講評（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補充）例題：如圖，設(shè) 0是正六邊形ABCDEF勺中心，分別寫出圖中與向量OA、OB、0C相等的向量；分別寫出圖中與向量、 、0D、0E、0E共線的向量DE（三）、課堂小結(jié)：（學(xué)生總結(jié)，其它學(xué)生補充） 向量及

6、其表示方法向量的模零向量與單位向量（零向量的方向任意；單位向量不一定 相等）相等向量與平行向量 （四）、作業(yè)：P86習(xí)題2 1五、課后反思:4第二課時 2.2 從位移的合成到向量的加法（一）一、教學(xué)目標(biāo)1. 知識與技能：（1 ）掌握向量加法的概念；能熟練運用三角形法則和平行四邊形法則做幾個向量的和向量；能準(zhǔn)確表述向量加法的交換律和結(jié)合律，并能熟練運用它們進(jìn)行向量計算（ 2）通過實例，掌握向量加法的運算，并理解其幾何意義（ 3）初步體會數(shù)形結(jié)合在向量解題中的應(yīng)用2. 過程與方法：教材利用同學(xué)們熟悉的物理知識引出向量的加法，一方面啟發(fā)我們利用位移的合成去探索兩個向量的和，另一方面幫助我們利用物理背

7、景去理解向量的加法然后用“相反向量”定義向量的減法；最后通過講解例題，指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)知識結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和邏輯思維能 力.3情感態(tài)度價值觀：通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對向量加法的三角形法則和平行四邊形法則 有了一定的認(rèn)識，進(jìn)一步讓學(xué)生理解和領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想；同時以較熟悉的物理背景去理解向 量的加法，這樣有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，實事求是的科學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度和勇于創(chuàng)新 的精神二. 教學(xué)重難點：向量加法的概念和向量加法的法則及運算律三學(xué)法與教法學(xué)法：（1）自主性學(xué)習(xí)+探究式學(xué)習(xí)法：（2）反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗知識的應(yīng)用情況，找出未掌 握的內(nèi)容及其存在的差距教法：探究討論法 四.教學(xué)

8、設(shè)想（一）、創(chuàng)設(shè)情境ABC提出課題：向量是否能進(jìn)行運算？1、某人從A到B,再從B按原方向到C,則兩次的位移和:AB + BC = AC2、若上題改為從A到B,再從B按反方向到C,則兩次的位移和:AB + BC = AC3、某車從A到B,再從B改變方向到C，則兩次的位移和:AB + BC = AC4、船速為AB，水速為BC，則兩速度和:AB + BC = AC提出課題：向量的加法（二）、探究新知1 .定義：求兩個向量的和的運算，叫做向量的加法。注意：兩個向量的和仍舊是向量（簡稱和56向量）2 .三角形法則:強(qiáng)調(diào)：ACa+ ba+ ba=B向量平移”（自由向量）：使前一個向量的終點為后一個向量的起

9、點可以推廣到n#個向量連加 aO=Oa=a不共線向量都可以采用這種法則一一三角形法則展示投影例題講評（學(xué)生講，學(xué)生評，教師提示或適當(dāng)補充）例1、已知向量a、b，求作向量a + b作法：在平面內(nèi)取一點，、T、T 作 0A = a AB b則 OB = b【探究新知】3 加法的交換律和平行四邊形法則：思考：上題中 b + a的結(jié)果與a+b是否相同驗證結(jié)果相同（a+b） + c = a + （ b+c）從而，多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進(jìn)行。展示投影例題講評（學(xué)生講，學(xué)生評，教師提示或適當(dāng)補充）的方向例2如圖，一艘船從 A點出發(fā)以2 3km/h的速度向垂直于對岸行駛，同時水的流

10、速為 2km/h，求船實際航行的速度的大小與方向。解：設(shè)AD表示船垂直于對岸的速度，AB表示水流的速度，以AD,AB為鄰邊作平行四邊形 ABCD則aC就是船實際航行的速度AB在 Rt ABC 中，|AB|=2 , |BC|=2.3I所以 I AC | 二AB |2| BC |2 =4因為 tan . CAB 二 = . 3 - . CBA 二 6024、練習(xí)：P952,3（三）、課堂小結(jié)：（學(xué)生總結(jié)，其它學(xué)生補充）向量加法的三角形法則與平行四邊形法則向量加法運算律（四）、作業(yè)：習(xí)題2.2 A 組1,2.3，5補充題：1、一艘船從A點出發(fā)以2.3km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，船的實際航行

11、的速度的大小為 4km/h，求水流的速度.2、一艘船距對岸 4.3km，以2 3km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，到達(dá)對岸時，船的實際航程為8km,求河水的流速.3、 一艘船從A點出發(fā)以V1的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為v2，船的實際航行的速度的大小為 4km/h，方向與水流間的夾角是 60，求v1和v2.4、 一艘船以5km/h的速度在行駛，同時河水的流速為2km/h，則船的實際航行速度大小最大是km/h，最小是km/h5、已知兩個力 F1, F2的夾角是直角，且已知它們的合力F與R的夾角是60 , |F|=10N求F1和F2的大小.6、用向量加法證明：兩條對角線互相平分

12、的四邊形是平行四邊形五、課后反思：第三課時 2.2 從位移的合成到向量的加法（二）一、教學(xué)目標(biāo)1. 知識與技能：（1 ）了解相反向量的概念；掌握向量的減法，會作兩個向量的減向量；（2）通過實例，掌握向量減法的運算，并理解其幾何意義（ 3）初步體會數(shù)形結(jié)合在向量解題中的應(yīng)用2. 過程與方法：教材利用同學(xué)們熟悉的物理知識引出向量的加法，一方面啟發(fā)我們利用位移的合成去探索兩個向量的和， 另一方面幫助我們利用物理背景去理解向量的加法然后用“相反向量”定義向量的減法；最后通過講解例題，指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)知識結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和邏輯思維能力.3情感態(tài)度價值觀：通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對向量加法的三角形法

13、則和平行四邊形法則有了一定的認(rèn)識，進(jìn)一步讓學(xué)生理解和領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想；同時以較熟悉的物理背景去理解向量的加法，這樣有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，實事求是的科學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度和勇于創(chuàng)新的精神二. 教學(xué)重難點：向量的減法轉(zhuǎn)化為加法的運算 三學(xué)法與教法 學(xué)法與教法：（1）自主性學(xué)習(xí)+探究式學(xué)習(xí)法：（2）反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗知識的應(yīng)用情況, 出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距四. 教學(xué)設(shè)想例：在四邊形中，CB BA BA（一）、復(fù)習(xí)：向量加法的法則：三角形法則與平行四邊形法則；向量加法的運算定律:解: CB BA BA =CB BA AD = CD提出課題：向量的減法（二）、探究新知思考：已知a,

14、b，怎樣求作a - b ？這個問題涉及到兩個向量相減，到底如何運算呢？首先引入“相反向量”這個概念1. 用“相反向量”定義向量的減法 “相反向量”的定義：與 a長度相同、方向相反的向量；記作-a 規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量。-（-a） = a任一向量與它的相反向量的和是零向量。a + （ -a） = 0如果a、b互為相反向量，則 a = -b, b = -a, a + b = 0 向量減法的定義：向量 a加上的b相反向量，叫做a與b的差。即：a - b = a + ( -b) 求兩個向量差的運算叫做向量的減法。2. 用加法的逆運算定義向量的減法：向量的減法是向量加法的逆運算：若b + x

15、 =a，則x叫做a與b的差，記作a _ b3. 請同學(xué)們自己解決思考題：a - b的作法:0,作可以向量方法一、已知向量a、b，在平面內(nèi)任取一點 T勺 T ' T T-"0A = a, OB = b，貝U BA 二 a b。即 a 一 b 表示為從向量b的終點指向向量a的終點的方法二、在平面內(nèi)任取一點0,作0A二a,0B二b則 AB： a - b 。即a- b也可以表示為從向量a的起點指向向量b的起點的向量方法三、在平面內(nèi)任取一點 Q作0A = a, 0B = - b ,則由向量加法的平行四邊形法則可得0C =T T T T a ( _b)二 a _ b .展示投影思考與討論

16、思考：從向量a的終點指向向量b的終點的向量是什么？( b -a)討論：如右圖，a / b時，怎樣作出a - b呢?探究:如果從向量a的終點指向向量b的終點作向量，那么所得向量是 b - a.ab B'0 B Aaa-b”abb0A_bBBa - b ?0A2)若a / b, 如何作出展示投影例題講評（學(xué)生講，學(xué)生評，教師提示或適當(dāng)補充）例1.已知向量a、b、c、d,求作向量 a_b、c-d。則BA=a-b.例2.平行四邊形中,AB = a， AD =b，用 a、解：由平行四邊形法則得:b,DB =AB - ADa_bb表示向量AC，變式一：當(dāng)a, b滿足什么條件時，a+b與a_b垂直？

17、 （ | a| = | b|）變式二：當(dāng)a, b滿足什么條件時，| a+b| = | a-b| ？ （ a, b互相垂直）變式三：a+b與a-b可能是相當(dāng)向量嗎？（不可能，； 對角線方向不同）例3.試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。證：由向量加法法則:AB"由已知:AO + OB ,AO=OC,AB = DCDC =DO +OCOB =DO即AB與 CD平行且相等 ABC場平行四邊形練習(xí)：P 98中練習(xí)題（三八 課堂小結(jié)：（學(xué)生總結(jié)，其它學(xué)生補充）相反向量及向量減法的運算法則、作圖法。（四八1.作業(yè)：習(xí)題2.2 A組第4、5、6題.2.（備選題）： 證明：對于任意

18、給定的向量a.b都有a + b蘭a +R 證明： 同同邛士b|傘+|b| 并說明什么時候取等號？12提示：可用例5的圖當(dāng)a、b不共線時，由三角形兩邊之和大于第三邊，而兩邊之差小于第三邊得a +b = AC <AB + BC = a + b、 a + b-|aC - |ab| -1BC即 b |a a b1.在厶ABC中，BC =a, CA =b，則 AB 等于 iA. a+bB.- a+(- b!C. a-bl'j, b- a2.0為平行四邊形ABCD平面上的點，設(shè)0A =a,OB =b, OC =c,OD =A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-dja+b- c-d=0D.

19、a-b- c+d=0ABCD中，根據(jù)圖示填空:3 .如圖，在四邊形d,則a+b=, b+c=,c_d=,a+b+c_d=4、如圖所示，0是四邊形ABCD內(nèi)任一點，試根據(jù)圖中給出的向量，確定a、b、c、d的方向（用箭頭表示），使a+b= AB , c-d= DC，并畫出b- c 禾口 a+d.五、課后反思:13第四課時2.3從速度的倍數(shù)到數(shù)乘向量（一）一. 教學(xué)目標(biāo)：1.知識與技能：（1）要求學(xué)生掌握實數(shù)與向量積的定義及幾何意義（ 2） 了解數(shù)乘運算的運算律，理解向量共線的充要條件。（3）通過練習(xí)使學(xué)生對實數(shù)與積，兩個向量共線的充要條件有更深刻的理解，并能用來解決一些簡單的幾何問題。2. 過程與

20、方法：教材利用同學(xué)們熟悉的物理知識引出實數(shù)與向量的積（強(qiáng)調(diào)：1“?！迸c“方向”兩點）2三個運算定律（結(jié)合律，第一分配律，第二分配律）,在此基礎(chǔ)上得到數(shù)乘運算的幾何意義。為了幫助學(xué)生消化和鞏固相應(yīng)的知識，教材設(shè)置了幾個例題；通過講解例題，指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)知識結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和邏輯思維能力3. 情感態(tài)度價值觀：通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對實數(shù)與向量積有了較深的認(rèn)識，讓學(xué)生理 解和領(lǐng)悟知識將各學(xué)科有機(jī)的聯(lián)系起來了，這樣有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，有助 于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和勇于創(chuàng)新的精神 .二. 教學(xué)重、難點：重點：實數(shù)與向量積的定義及幾何意義難點：實數(shù)與向量積的幾何意義的理解三. 學(xué)

21、法與教法：（1）自主性學(xué)習(xí)+探究式學(xué)習(xí)法：（2）反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗知識的應(yīng)用情 況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距.四. 教學(xué)過程（一）、探究新知1.思考：（引入新課）已知非零向量 a作出 a + a+a禾口(_a)+( -a)+( -a)a a a>*>O A B(W - a V- a *- aN M Q P14OC = OA AB BC =a + a + a=3a#PN = PQ QM MN =( a)+( -a)+( -a)= fa討論：3 a與a方向相同且|3 a|=3| a|-3a與a方向相反且|-3a|=3| a|2從而提出課題：實數(shù)與向量的積；實數(shù)入與向量a的積

22、，記作：入a定義：實數(shù)入與向量a的積是一個向量，記作： 入a I入a |=|入II a |;入0時入a與a方向相同；入0時入a與a方向相反；入=0時入a = 0（請學(xué)生自己解釋其幾何意義）展示投影例題講評（學(xué)生先做，學(xué)生評，教師提示或適當(dāng)補充）例1.（見P96例1 ）略15展示投影思考：根據(jù)幾何意義，你能否驗證下列實數(shù)與向量的積的是否滿足下列運算定律（證明的過程可根據(jù)學(xué)生的實際水平?jīng)Q定）結(jié)合律：入（卩a ）=（入口 ） a第一分配律：（入+卩）a=入a +卩a第二分配律：入（a + b）=入a +入b結(jié)合律證明：如果 入=0,卩=0, a = 0至少有一個成立，則式成立如果入-0,卩=o, a

23、 =0 有：| 入（a）l=l 入 II 卩 a 1=1 入 II 卩 II al1（入 i） a I=I 入 i II aI=I 入 II i II aI ; I 入（i a）I=I（入 1） aI如果入、i同號，則式兩端向量的方向都與a同向；如果入、i異號，則式兩端向量的方向都與a反向。從而入（i a）=（入i） a第一分配律證明：如果入=0, i =0, a =0至少有一個成立，則式顯然成立如果入=0, i =0, a =0當(dāng)入、i同號時，貝U入a和i a同向， I（入+ i） aI=I入+ i II a I=（I入 I+I i I）I aI , I 入 a+1 a I=I 入 aI+I

24、 i a I=I 入 H aI+I i H a F（I 入 I+I i 川 a 丨入、i同號兩邊向量方向都與 a同向。 即：I（入+1） aI=I入a +1 a I當(dāng)入、i異號，當(dāng)入i時兩邊向量的方向都與入a同向當(dāng)入i時兩邊向量的方向都與i a同向。還可證：I（入+1） a I=I入a+ i a I 式成立第二分配律證明：如果 a = 0 , b =0中至少有一個成立，或 入=0,入=1則式顯然成立當(dāng)a ：-0 , b -0且入=0,入制 時1當(dāng)入0且入=1時在平面內(nèi)任取一點作 OA =aAB = bOA!=入 a則 OB =a + bO,OBiAB I=入 I Ai Bi I由作法知:AB

25、/ ABi 有 OAB= OABiIOAJJAiBi I OABA OABiAOB= AiOBIOAI I AB IIOB I因此，O, B, Bi在同一直線上,I OBi I=I 入 OB IOBi與入OB方向也相同入（a + b ）=入a+入b 當(dāng)入0時 可類似證明:式成立【探究新知】（師生共同分析向量共線的充要條件若有向量a （ a =0）、b，實數(shù)入，使b =入aBi-則由實數(shù)與向量積的定義知：a與b為共線向量若a與b共線（a嚴(yán)0）且|b| : | a|= ，則當(dāng)a與b同向時b = a ;當(dāng)a與b反向時b =一卩a從而得：向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)入，使b

26、 =入a.展示投影例題講評（師生共同分析，學(xué)生動手做）例 2.（見P97例2）略例3. （ P97例3改編）如圖:OA , OB不共線,P點在AB上，求證：存在實數(shù) M且 - 1使 OP、，oAOB（證明過程與P97例3完全類似；略）思考：由本例你想到了什么？（用向量證明三點共線）P（二）、鞏固深化，加強(qiáng)基礎(chǔ)1.見 P98 練習(xí) 1、2、3、4 題.2.如例 3 圖，OA , OB 不共線，AP=t AB (t R)用 OA , OB 表示 OP.CB =ei +3e23 設(shè)ei , e2是兩個不共線向量，已知AB =2 ei +k e2A, B, D共線，求k的值.CD =2-e2若三點解:

27、BD = CD - CB =(2 ei _e2) _( ei +3e2 )= G -4e2 A, B, D 共線AB, BD共線存在入使AB =入BDi17i# k=-8即 2ei +ke2 =入(e *2).向量b與非零向量（三八 課堂小結(jié)（學(xué)生總結(jié)，其它學(xué)生補充）數(shù)乘向量的幾何意義理解a共線的條件是：有且只有一個非零實數(shù)入，使b =入a.（五八作業(yè)：習(xí)題2.3 A組第4、5、6、7題.六、課后反思：i#第五課時2.3從速度的倍數(shù)到數(shù)乘向量（二）平面向量基本定理一、 教學(xué)目的：（1） 了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應(yīng)用向量解決實際

28、問題的重要思想方法；（3）能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達(dá)二、 教學(xué)重點：平面向量基本定理教學(xué)難點：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用三、授課類型：新授課四、教學(xué)過程：（一）、復(fù)習(xí)引入：1. 實數(shù)與向量的積：實數(shù) 入與向量a的積是一個向量，記作： 入a（1 ）|入a 1=1入II a I ; （2）入0時入a與a方向相同；入0時入a與a方向相反；入=0時入a = 02 .運算定律結(jié)合律：入（卩a ）=（入口 ） a ；分配律：（入+ 1） a =入a + 口 a , 入（a + b）=入a +入b3. 向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)入

29、，使b =入a.（二）、探究新知平面向量基本定理： 如果e, , e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù) 入1,入2使a" i e +入2e2.探究：（1）我們把不共線向量 ei、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；（2）基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；（3）由定理可將任一向量 a在給出基底ei、e 2的條件下進(jìn)行分解；（4）基 底給定時，分解形式惟一.入1,入2是被a , e , e2唯一確定的數(shù)量1思考：是不是每一個向量都可以分解成兩個不共線向量？且分解是唯一？對于平面上兩個不共線向量e1 , e2是不是平面上的所有向量都可以用它們來表

30、示?COA = e,OM =入 1e1OC =a =OM +ON =入 © + 入 2e2 OB =僉 丄ON =入 2 e2得平面向量基本定理：如果e, , e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù) 入1,入2使a= i e, +入2e2.注意幾個問題:ei、e2必須不共線，且它是這一平面內(nèi)所有向量的一組基底 這個定理也叫共面向量定理入1,入2是被a , e1 , e唯一確定的數(shù)量同一平面內(nèi)任一向量 都可以表示為兩個不共線向量的線性組合（三）、講解范例:例1已知向量q , e2求作向量-2.5e +3e2.例2如圖BCD勺兩條對角線交于點b

31、 表示 MA ,Fb , MC 和 MDM,且 AB =（2）設(shè)OA、0B不共線，點P在O A、B所在的平面內(nèi),且= (1t)0A tOB(t R).求證:A B、P三點共線.例5已知a=2e1-3 e2, b= 2e1+3e2，其中 8, e2不共線，向量 c=2e9e2,問是否存在這樣的實數(shù)、",使 d = ' a與 c 共線.（四）、課堂練習(xí)：1.設(shè)8、e2是同一平面內(nèi)的兩個向量，則有（）Ae、e2一定平行B.8、e?的模相等C.同一平面內(nèi)的任一向量a都有a =入e1+ e2（入、卩 R）D.若8、e2不共線，則同一平面內(nèi)的任一向量a都有a =入8+ue2（入、u R）

32、2. 已知矢量 a = ei-2 e2, b =2ei+e2,其中ei、e2不共線，則 a+b與c =6ei-2e2的關(guān)系A(chǔ).不共線B共線 C. 相等 D.無法確定3. 已知向量ei、e2不共線，實數(shù) x、y滿足（3 x-4y）ei+（2x-3y） e2=6ei+3e2，則x-y的值等于（）A. 3B-3C.0D.24. 已知a、b不共線，且 cd ia+入2b（入i,入R），若c與b共線，則 入i=.5. 已知入1>0, 入 2> 0,e1、e2是- 一組基底，且 a =入1&+入2e2,貝Ua與 8, a與e2（填共線或不共線）.（五）、小結(jié)：1、平面向量基本定理：如果

33、© , e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量 a，有且只有一對實數(shù) 入1,入2使a=入1 u +入2e2.2、注意幾個問題 e1、 er必須不共線，且它是這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.這個定理也叫共面向量定理.入1,都可以表示為兩個不共線向量的線性已知兩細(xì)繩與水平線分別成30 , 60入2是被a , e1 , e2唯一確定的數(shù)量.同一平面內(nèi)任一向量組合.（六）、課后作業(yè)：見P100練習(xí)1、2題.1、1kg的重物在兩根細(xì)繩的支持下，處于平衡狀態(tài)（如圖）角，問兩細(xì)繩各受到多大的力?22#解：將重力在兩根細(xì)繩方向上分解，兩細(xì)繩間夾角為90AaB233、 _ DB

34、= AB - AD =a -b- MA = AC =丄(a + b )=2 2MB = DB= (ab )=2 2a_- b2MC=-AC=-a+-b2 2 2MD =_MB=_-2DB=-2AB = a,BC =b ,AD為邊BC的中線，G為厶ABC的重心，求向量 AG如圖，在 ABC中,解法1：解法2 : AB = a,BC =b 則 BD =- BC =丄 b2 21 2 一r' AD = AB + BD =a + b 而 AG = AD2 3 AG =2 a + - b33過G作BC的平行線，交 AB AC于 E、FAE，ABa3EF =2 BC = 2b33EG =-2EF

35、=丄 b32AG = AE + EG =3a+1b3五、教課反思:25第六課時2.4平面向量的坐標(biāo)（一）、教學(xué)目標(biāo):1. 知識與技能：（1 ）掌握平面向量正交分解及其坐標(biāo)表示.（2）會用坐標(biāo)表示平面向量的加、減及數(shù)乘運算.（3）理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.2. 過程與方法：教材利用正交分解引出向量的坐標(biāo)，在此基礎(chǔ)上得到平面向量線性運算的坐標(biāo)表 示及向量平行的坐標(biāo)表示；最后通過講解例題，鞏固知識結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力3. 情感態(tài)度價值觀：通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對認(rèn)識到在全體有序?qū)崝?shù)對與坐標(biāo)平面內(nèi)的所有向量之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系（即點或向量都可以看作有序?qū)崝?shù)對的直觀形象）；讓學(xué)生領(lǐng)

36、悟到數(shù)形結(jié)合的思想；培養(yǎng)學(xué)生勇于創(chuàng)新的精神二. 教學(xué)重、難點重點：平面向量線性運算的坐標(biāo)表示及向量平行的坐標(biāo)表示難點：平面向量線性運算的坐標(biāo)表示及向量平行的坐標(biāo)表示三. 學(xué)法與教法：（1）自主性學(xué)習(xí)+探究式學(xué)習(xí)法：（2）反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗知識的應(yīng)用情 況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距.教學(xué)用具：電腦、投影機(jī).四. 教學(xué)過程【創(chuàng)設(shè)情境】（回憶）平面向量的基本定理（基底）a=9+入2e2其實質(zhì)：同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個不共線向量的線性組合【探究新知】（一）、平面向量的坐標(biāo)表示思考：在坐標(biāo)系下，向量是否可以用坐標(biāo)來表示呢?1 在坐標(biāo)系下，平面上任何一點都可用一對實數(shù)（坐標(biāo)）來表示取

37、x軸、y軸上兩個單位向量i, j作基底，則平面內(nèi)作一向量a二xi yj記作：a=(x, y) 稱作向量a的坐標(biāo)-、- -* - 、* 如：a = OA = 2i 2 j =(2,2) b = OB = 2i - j =(2,-1)27c = OC = i -5j'=(l,-5) i =(1,0) j =(0, 1)0=(0, 0)2、由以上例子讓學(xué)生討論： 向量的坐標(biāo)與什么點的坐標(biāo)有關(guān)？每一平面向量的坐標(biāo)表示是否唯一的？兩個向量相等的條件是？（兩個向量坐標(biāo)相等）（二）、平面向量的坐標(biāo)運算展示投影思考與交流:直接由學(xué)生討論回答:思考 1. (1)已知 a (x i, y 1) b (x

38、2, y已知a （X, y）和實數(shù)入,解: a + b =(x i i +yi j )+(x 2 i +y2 j )=(x同理： a b =(x 1 心2, y 1 _y2)入 a = (xi+yj)=入 x i + 入 yj入 a=(入 x,入 y)結(jié)論：兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用這個實數(shù)乘原來的向量相應(yīng)的坐標(biāo)。思考2.已知A（xi，yi）, B（X2, y2）你覺得AB的坐標(biāo)與A、B點的坐標(biāo)有什么關(guān)系?t AB = OB - OA =( x 2, y2) (x i ,y i)=(x 2x i, y 2 - y i)結(jié)論：一個向量的坐

39、標(biāo)等于表示此向量的有向線段終點的坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo)。x展示投影例題講評（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補充）例1.（教材Pl04例2）例2.（教材P104例3）例3.已知三個力 F1 （3, 4）,F2 (2,-5),liJI!F3 (x, y)的合力 FFq + FbuO求F3的坐標(biāo).x解：當(dāng)平行四邊形為 ABCD寸,仿例2得：D=(2, 2)當(dāng)平行四邊形為ACDB寸，仿例2得：D2=(4, 6);當(dāng)平行四邊形為 DACB寸，仿例2得：D3=( -6, 0)【鞏固深化，發(fā)展思維】1.若 M(3, -2) N(-5, -1)且MP = 1 MN ,求P點的坐標(biāo);2解：設(shè) P(x, y) 則(

40、x-3, y+2)=x -3 - -4y 2冷1(-8, 1)=(-4,2x- -13二P點坐標(biāo)為(-1,-2 若 A(0, 1), B(1,2), C(3, 4)則 AB -2 BC =(-3,-3)3 .已知：四點 A(5, 1), B(3, 4), C(1,3),D(5,-3)求證：四邊形ABCD是梯形。解：T AB =(-2, 3)DC =(-4, 6) AB =2 DC30#四邊形ABCD是梯形 AB / DC 且 | AB | -| DC |【學(xué)習(xí)小結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，其它學(xué)生補充)向量加法運算的坐標(biāo)表示向量減法運算的坐標(biāo) 表示.實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)表示五、評價設(shè)計作業(yè)：習(xí)題2-4 A

41、 組第1, 2, 3, 7, 8題.六、教后反思：第七課時 2.4平面向量的坐標(biāo)（二）平面向量共線的坐標(biāo)表示一、 教學(xué)目標(biāo)：（1 ）理解平面向量的坐標(biāo)的概念；（2）掌握平面向量的坐標(biāo)運算；（3）會根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線二、教學(xué)重點：平面向量的坐標(biāo)運算。 教學(xué)難點：向量的坐標(biāo)表示的理解及運算的準(zhǔn)確性三、授課類型：新授課 四、教學(xué)過程（一）、復(fù)習(xí)引入：1. 平面向量的坐標(biāo)表示分別取與X軸、y軸方向相同的兩個單位向量 i、j作為基底任作一個向量a，由平面向量特別基本定理知，有且只有一對實數(shù)x、y，使得a = xi yj把（x, y）叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作 a =（x, y） 其中x

42、叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)， 地，i = （1,0） , j =（0,1） , 0 =（0,0）.2平面向量的坐標(biāo)運算若 a =（治，力）,b =（X2”2）,則 a b = &X2, y1y2), a - b =(X1 -x?,y1-y?), = (' x, y).若 A(xyj , Bg, y2)，則 AB 二 x? -兀山 - y(二) 、探究新知二N fa b ( b -0)的充要條件是 X1y2-X2y1=0設(shè) a=(x1, y 1) , b =(X2, y 2) 其中 b=arnX=，咲2由 a = b 得，(x 1, y 1)=入(X2, y 2

43、) 二消去 入，X1y2-x 2y1=0J1=細(xì) 2探究：(1)消去入時不能兩式相除， y1, y 2有可能為0, b =0X2, y 2中至少有一個不為0; (2)充要條件不能寫成 乂二婕/ xi, X2有可能為0； 從而向量共線的充要條X! X2¥件有兩種形式：a / b ( b =0)：= a = bxm -x?yi =0(三) 、講解范例：例 1 已知 a=(4 , 2), b =(6 , y)，且 a / b，求 y.例2已知A(-1 , -1) , B(1 , 3) , C(2 , 5)，試判斷A, B, C三點之間的位置關(guān)系例3設(shè)點P是線段PP2上的一點，Pi、P2的坐

44、標(biāo)分別是(xi , yi) , (X2, y2).(1) 當(dāng)點P是線段PiF2的中點時，求點 P的坐標(biāo)；(2) 當(dāng)點P是線段PiP2的一個三等分點時，求點P的坐標(biāo)例4若向量a=(-i , x)與b =(-x , 2)共線且方向相同，求 x (-i) x 2- x?(- x)=0解：t a =(-i , x)與 b =(-x , 2)共線x= ± 2/ a與b方向相同例 5 已知 A(-i , -i),B(i , 3) , C(i , 5),D(2 , 7)，向量AB與CD平行嗎？直線AB與解：AB =(1-(-1),3-(-1)=(2,4),又/ 2X 2-4 X 1=0 AB /C

45、D又/ AC =(1-(-1),5-(-1)=(2,6),平行于直線CD嗎?CD =(2-1 , 7-5)=(1 , 2)平行AB =(2 , 4) , 2X4-2 x 60 AC 與 AB 不 A, B, C不共線 AB與CD不重合 AB/ CD(四) 、課堂練習(xí)：1. 若 a=(2 , 3), b=(4 , -1+y)，且 a/ b,則 y=()A.6B.5C.7D.82. 若 A(x , -1) , B(1 , 3) , C(2, 5)三點共線,貝U x 的值為()A.-3B.-1C.1D.33. 若AB =i +2j , DC =(3- x)i +(4- y)j (其中i、j的方向分別

46、與 x、y軸正方向相同且為單位向量）.AB與DC共線，貝U x、y的值可能分別為（A.1 , 2B.2 , 2C.3, 2D.2, 44. 已知 a=（4 , 2） , b=（6 , y），且 a / b,貝U y=.5. 已知a=（i , 2） , b=（x, 1），若a+2b與2a-b平行，則x的值為 .6. 已知口 ABCD9個頂點的坐標(biāo)為 A（5，7），B（3，x），C（2，3），D（4，x），則 x=.（五）、小結(jié)（學(xué)生總結(jié)，其它學(xué)生補充）向量加法運算的坐標(biāo)表示.向量減法運算的坐標(biāo)表b = (x,2),c = (-3, y),且abc,求x, y的值示.實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)表示.向量

47、共線的條件.2.已知點 A(0,1) B(1,0) C(1,2) D(2,1)求證：AB/ CD3 .證明下列各組點共線：A （1,2）,B(-3,4) , C(2,3.5) P (-1,2),Q(0.5,0), R(5,-6)（六）、課后作業(yè):1.已知 a =(2,-1),4. 已知向量 a =(-1,3) b =(x,-1)且 a / b 求 x .課后練習(xí)：1.教材P105練習(xí)1-52.（備選題）：已知 A（-1, -1） B（1,3） C（1,5） D（2,7）行于直線CD嗎？向量AB與CD平行嗎？直線AB與平解:AB =(1-(-1), 3-(-1)=(2, 4)CD =(2-1,7

48、-5)=(1,2)又2X 2-4-1=0： AB / CD又AC =(1-(-1), 5-(-1)=(2,6)AB =(2, 4)AC與AB不平行2 X 4-2 X 6=0 A, B, C不共線五、教后反思： AB與CD不重合 AB/ CD3435第八課時2.5從力做的功到向量的數(shù)量積（一）、教學(xué)目標(biāo):1. 知識與技能：（1）通過物理中“功”等實例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義、幾何意義.（2）體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系 （ 3）掌握平面向量數(shù)量積的運算律和它的一些簡單應(yīng)用（ 4）能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系2. 過程與方法：教材利用同

49、學(xué)們熟悉的物理知識（“做功”）得到向量的數(shù)量積的含義及其物理意義、幾何意義為了幫助學(xué)生理解和鞏固相應(yīng)的知識，教材設(shè)置了 4個例題；通過講解例題，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力3. 情感態(tài)度價值觀：通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們認(rèn)識到向量的數(shù)量積與物理學(xué)的做功有著非 常緊密的聯(lián)系；讓學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想；同時以較熟悉的物理背景去理解向量的數(shù)量 積，有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、積極性和勇于創(chuàng)新的精神二. 教學(xué)重、難點重點：向量數(shù)量積的含義及其物理意義、幾何意義；運算律 .難點：運算律的理解三. 學(xué)法與教法（1）自主性學(xué)習(xí)+探究式學(xué)習(xí)法：（2）反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗知識的應(yīng)用情況，找出未掌握的 內(nèi)容

50、及其存在的差距.四. 教學(xué)過程【探究新知】（學(xué)生閱讀教材P107 108，師生共同討論）般的向量a和b,如何定義這種運算?思考：請同學(xué)們回憶物理學(xué)中做功的含義，問對1. 力做的功：W = |F|?|s|cosv是 F與s的夾角'-2. 定義：平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義，a?b = | a| b|cos乙并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0。3. 向量夾角的概念：范圍0 w大180#C展示投影由于兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別；因此強(qiáng)調(diào)注意的幾個向題:兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cos另勺符號所決定。 兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a?b;今后要學(xué)到兩個向量的外積a

51、x b,而ab是兩個數(shù)量的積，書寫時要嚴(yán)格區(qū)分。 在實數(shù)中，若 a=0,且a?b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a=0，且a?b=0,不能推出b=0。因為其中cos t有可能為0.這就得性質(zhì)2.已知實數(shù)a、如右圖:b、c(b=0)，則 ab=bc = a=c .但是a?b = | a| b|cos 斤=| b|OA|b?c = | b| c|cos :- = | b|OA|=a?b=b?c 但 a 嚴(yán) c在實數(shù)中，有（a?b）c = a（ b?c），但是（a?b）c = a（ b?c）顯然，這是因為左端是與 c共線的向量，而右端是與 a共線的向量，而一般 a與c不共線.展示投影思考與交流:思考與交流1.射影的概念是如何定義的，舉例（或畫圖）說明；并指出應(yīng)注意哪些問題定義:O O注意：射影也是一個數(shù)量，不是向量。當(dāng)二為銳角時射影為正值；當(dāng) 二為鈍角時射影為負(fù)值;當(dāng)二為直角時射影為0；當(dāng)二=0時射影為| b| ;當(dāng)二=180時射影為-|b|.思考與交流 2.如何定義 向量數(shù)量積的幾何意義？由向量數(shù)量積的幾何意義你能得到兩個向量的 數(shù)