原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系

1、課題：探究原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系首師大附中 數(shù)學(xué)組王建華設(shè)計思路這節(jié)課是在學(xué)完導(dǎo)數(shù)和積分之后，學(xué)生從大量的實例中對原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系有了一 定的認(rèn)識的基礎(chǔ)上展開教學(xué)的。由于這部分內(nèi)容課本上沒有，但數(shù)學(xué)內(nèi)部的聯(lián)系規(guī)律和對稱美又會使學(xué)生既覺得有挑戰(zhàn)性又充滿探究的興趣。備這個課的過程中我雖然參考了大量已有的資料，但需要做更深入地思考這些命題間的聯(lián)系，以什么方式展開更利于學(xué)生拾級而上， 最終登上高峰體會一覽眾山小的樂趣和成就感。教師實際上是在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一次理論的探險，大膽地猜，小心地證，謹(jǐn)慎地修改條件，步步逼近真理。最終學(xué)生能否記住這些結(jié)論并 不重要，重要的是研究相互關(guān)聯(lián)的事物的一般思路和方法。對優(yōu)

2、秀生或熱愛數(shù)學(xué)的學(xué)生來說會有更多的收獲。整個教學(xué)流程1. 從經(jīng)驗觀察發(fā)現(xiàn)，猜想得命題p,q.這兩個命題為真命題，證明它們的方法用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，比較容易上手。2. 學(xué)生自然會想到這個命題的逆命題是否成立，嘗試證明。證明的思路也要逆向思考。發(fā)現(xiàn)由于導(dǎo)數(shù)確定后原函數(shù)不能唯一確定，有上下平移的可能， 這樣關(guān)于y軸對稱的性質(zhì)能夠保持，但關(guān)于原點對稱的性質(zhì)就不能保證了。3. 函數(shù)的平移不改變函數(shù)圖象的對稱性，因此將奇函數(shù)的性質(zhì)拓展為關(guān)于中心對稱，將偶 函數(shù)的性質(zhì)拓展為關(guān)于直線 x = a對稱，研究前面的四個命題還是否成立。研究方法可以類 比遷移前面的方法。能成立的嚴(yán)格證明，不能成立的舉出反例，并嘗試通過改

3、變條件使之成 為真命題。4已有成果的應(yīng)用：利用二次函數(shù)的對稱性性質(zhì)研究三次函數(shù)的對稱性。教學(xué)目標(biāo)在這個探究過程中1. 加強學(xué)生對導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)相生相伴的關(guān)系的理解；2. 增強學(xué)生對函數(shù)對稱性的理解和抽象概括表達(dá)能力；3體驗研究事物的角度，一個新定理是怎樣誕生的，怎樣才是全面地認(rèn)識了一個事物。4. 培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力，分析法解決問題的能力，舉反例的能力等等。教學(xué)重點以原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的對稱性的聯(lián)系為載體讓學(xué)生體驗觀察發(fā)現(xiàn)、概括猜想、辨別真?zhèn)蔚倪^程。教學(xué)難點靈活運用所學(xué)知識探索未知領(lǐng)域。新課引入你能根據(jù)原函前面解題時我們常根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號示意圖畫出原函數(shù)的單調(diào)性示意圖, 數(shù)的圖像畫出導(dǎo)函數(shù)的示意圖嗎

4、？探究由原函數(shù)的奇偶性能否推出導(dǎo)函數(shù)的奇偶性。問題1已知函數(shù)y = f (x)的圖像，請嘗試畫出其導(dǎo)函數(shù)的圖像示意圖。32y 二 f' ( x)二 X導(dǎo)函數(shù)的實質(zhì)是原函數(shù)的瞬時變化率，導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)反應(yīng)了原函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)函數(shù)的大小反應(yīng)了原函數(shù)增減的快慢。從圖像的整體性質(zhì)上看，你還有什么發(fā)現(xiàn)？猜想p :可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，猜想q:可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。問題2你能根據(jù)圖象上解釋一下你的猜想嗎？奇函數(shù)關(guān)于原點中心對稱，它的曲線在原點兩側(cè)等距離處升降速度相同，即切線斜率相等；偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱，它的曲線在y軸兩側(cè)等距離處升降速度絕對值相等，即切線斜率互為相反數(shù)。問題3嘗試證明

5、你的猜想P:已知y = f (x)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，求證y = f '(x)時偶函數(shù)分析1 :欲證y = f '(x)時偶函數(shù)，只需證 f '(-x) = f '(x)若將f '( -x)理解將f'(x)中的x替換為-x得到的函數(shù)，可以用導(dǎo)數(shù)定義證明。證明：當(dāng)y = f(x)是奇函數(shù)時，對定義域中的任意x都有f '( x) f(rx) f(X(一)卯 x 叭.f ( X A.x)f (x):：xf (x) .f(X Z.x)f '(x)A所以y = f '(x)時偶函數(shù)分析2用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)證明：當(dāng)y=f(x)是奇函數(shù)時，對定

6、義域中的任意x都有f(_x)=_f(x)兩邊對 x 求導(dǎo)得f (_x) ' = _f (x)'，即 f '(_x) (_1) = - f '(x)得f '( x)二f '(x)，所以y = f '(x)時偶函數(shù)命題q同理可證.思考：看來已知原函數(shù)的奇偶性，我們可以確定導(dǎo)函數(shù)的奇偶性，那么已知導(dǎo)函數(shù)的奇偶性能否推知原函數(shù)的奇偶性呢？命題p和q的逆命題是否成立呢？二.探究由導(dǎo)函數(shù)的奇偶性能否推出原函數(shù)的奇偶性。問題4 p和q的逆命題是否成立？p的逆命題：若y=f'(x)是偶函數(shù)，則y=f(x)奇函數(shù)1此命題不正確，可舉出反例：如y二f

7、 '(x) =x是奇函數(shù)，而原函數(shù) y二f (x) x2 c2當(dāng)c不為0時，原函數(shù)不是偶函數(shù)。這是什么原因造成的呢？因為原函數(shù)定了，導(dǎo)函數(shù)是唯一確定的， 而同一個導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)有無窮多個。一個函數(shù)向上或向下平移后導(dǎo)函數(shù)是不變的，直觀理解是切線的斜率不變。而函數(shù)上下平移就不能保證圖象關(guān)于原點中心對稱了。q的逆命題：若y二f'(x)是奇函數(shù)，則y二f(x)偶函數(shù)證明：y=f'(x)是奇函數(shù)時f(X) _ f (_x)'二 f '(x) _ f '(_x)(_1) = f '(x) - f '(_x) =0能否推出 f (x) - f

8、(-x) =0 ？ 只能推出f (x) - f ( -x) = c，思考c是確定的值嗎？能求嗎？，為使此命題成立，我問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)是 0,原函數(shù)是什么？可以舉出分段的常數(shù)函數(shù)們加強一下條件，將命題改為“對于在R上連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)，若y = f '(x)是奇函數(shù)，則y = f (x)偶函數(shù)”。此時y = f (x)在x =0處有定義，則 f (0) _ f (_0) =c =0，此時可得 f (x) = f (_x)，原 函數(shù)是偶函數(shù)。三探究由原函數(shù)的對稱性能否推出導(dǎo)函數(shù)的對稱性對于連續(xù)的可導(dǎo)函數(shù)，原函數(shù)的奇偶性可以推出導(dǎo)函數(shù)的奇偶性，而逆命題中當(dāng)導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)時，原函數(shù)是偶函數(shù)， 但當(dāng)

9、導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)時，原函數(shù)不一定是奇函數(shù)，那么此時原函數(shù)雖然不是奇函數(shù)了，它是不是也有什么性質(zhì)呢？它的圖像應(yīng)該是中心對稱的。能否將剛才的結(jié)論推廣一下？問題5奇函數(shù)圖象特征是關(guān)于原點中心對稱，偶函數(shù)圖象特征是關(guān)于y軸對稱，能否將上述命題推廣一下？P的推廣命題r :若可導(dǎo)函數(shù)y = f (x)關(guān)于(a, b)對稱，則它的導(dǎo)函數(shù)關(guān)于直線x二a對稱。證明：y = f (x)關(guān)于(a, b)對稱，則 f (x) f (2 a x) = 2b ,f '(x) f '(2a -x)( -1) =0即f '(x)二f '(2 a -x)，所以其導(dǎo)函數(shù)關(guān)于直線x = a對稱。q的推

10、廣命題s :若可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)關(guān)于x=a對稱，則它的導(dǎo)函數(shù)關(guān)于(a,b)對稱證明：y = f (x)關(guān)于 x = a 對稱，則 f (x) = f (2 a - x),f '(x)二 f '(2 a -x)( -1)即 f '(x) = -f '(2a -x)所以其導(dǎo)函數(shù)關(guān)于(a,0)對稱導(dǎo)函數(shù)的對稱中心在x軸上.修改命題s .若可導(dǎo)函數(shù)y二f(x)關(guān)于x二a對稱，則它的導(dǎo)函數(shù)關(guān)于(a,0)對稱令f '(x) - -f '(2a -x)中x =a可得f '(a) =0，能否從圖像中找到解釋？四.探究由導(dǎo)函數(shù)的對稱性能否推出原函數(shù)的對稱

11、性 問題6思考：命題r , s逆命題是否成立?命題r的逆命題：對于在R上可導(dǎo)的函數(shù)y = f (x),若它的導(dǎo)函數(shù)關(guān)于直線 x = a對稱，則原函數(shù)關(guān)于(a,b)對稱證明：y = f '(x)關(guān)于直線x = a對稱，則f '(a x) = f '(a x)而f (a 亠x)亠 f (a x)' = f '(a 亠 x) f '(a x) = 0得 f (a 亠 x) f (a - x) = c當(dāng) x = 0 時可得 c = 2 f (a)，所以 f (a ' x) f (a - x) = 2 f (a)，即函數(shù)y = f (x)關(guān)于(a,

12、 f (a)對稱。對稱中心在函數(shù)圖像上。命題s的逆命題：(課上只寫出命題，判斷驗證留作課后思考題)對于在R上連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)y = f (x)，若它的導(dǎo)函數(shù)關(guān)于(a,b)對稱，則原函數(shù)關(guān)于直線x = a對稱證明：y = f '(x)關(guān)于直線(a, f '(a)對稱，則 f '(a x) f '(a - x) = 2b而f (a 亠 x) _ f (a _ x)' = f '(a 亠 x)亠 f '(a _ x) = 2b得 f (a x) _ f (a _x) = 2bx c當(dāng)b = 0時，此命題不成立。當(dāng) b =0 時，由 x =0 時可

13、得 c = 0，所以 f (a x) f (a - x) =0，即函數(shù)y = f (x)關(guān)于x = a對稱。命題r的逆命題需要 修正，若對于在 R上連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)y = f(x),若它的導(dǎo)函數(shù)關(guān)于(a,0)對稱，則原函數(shù)關(guān)于直線x =a對稱五原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)對稱性聯(lián)系的應(yīng)用1我們知道二次函數(shù)都是有對稱軸的，而二次函數(shù)又是三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，你能由此得出三次函數(shù)具有什么性質(zhì)？分析：由命題s的逆命題知三次函數(shù)必有對稱中心。對稱中心的橫坐標(biāo)與導(dǎo)函數(shù)的對稱軸的橫坐標(biāo)相同。求任意三次多項式函數(shù) y =ax3 bx 2 cx d的對稱中心。3a解：y'二ax3 * bx2 * cx * d = 3ax

14、2 2bx c ,其對稱軸是x二,將此值代入解析式可 得對稱中心縱坐標(biāo)。即函數(shù) y =ax 3亠bx 2亠ex亠d的對稱中心為(- ,f (一上).3a 3aTTTT2.若f (x) = a sin( x ) +b sin( x )(ab式0)是偶函數(shù)，則 a b的關(guān)系是44'解：由其導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，且在0處有定義，可得f '(0) =0，得a b =0，代回檢驗。小結(jié)：整體結(jié)構(gòu)：數(shù) 函 導(dǎo) 數(shù) 函 原數(shù) 函 原 n 數(shù) 函 導(dǎo)奇偶性數(shù)函 數(shù)e 腸 是 胡 數(shù) 竝 函 函 導(dǎo) 導(dǎo) 的 螂 數(shù) M)M) Z/IX Z/IX p q貝 y 側(cè)數(shù)M) ， 函 數(shù) 奇 血 是 尉X)X

15、 - W 數(shù)數(shù) “ 函 函 " 奇 偶 ) 若 ) 一亍 X X f f 逆 一一 逆 一一 p y q y對稱性b)對 a 。 a= a)x =稱 一一滇 X 對 于 X 于 > 關(guān) 關(guān),0 X17 X17 a X 石 X ( z-f z-fk f 壬 f =M 一一 于 y 關(guān) y 關(guān) AV AV 17 r:對woS 對滇， - 寸 > X)則稱 數(shù)廠真 ( ，不 耳 O ( 鳥對：心 y=aD m 于ax 數(shù)x=(a上關(guān) _一 « f R 數(shù) X 的 a 函 導(dǎo)直< 在俏攜 可皿于 RUM R 以關(guān) 對若關(guān) 在W:，數(shù) 盯鈿數(shù)：加 切 函M)逆 _一 則 rr若 原< s y 稱證明上述命題的思路：1. 由原函數(shù)研究導(dǎo)函數(shù)用符合函數(shù)求導(dǎo)；2. 由導(dǎo)函數(shù)研究原函數(shù)從要證的式子出發(fā)尋找原函數(shù)的性質(zhì)。課后思考研究：判斷s逆是否正確，如果正確嘗試證明，若不正確舉出反例。教學(xué)反思：學(xué)生對這樣的課很感興趣， 一方面可以在探索的過程中加深對導(dǎo)數(shù)概念的理解，另一方面可以感受到數(shù)學(xué)內(nèi)部的嚴(yán)謹(jǐn)性和對稱美。命題的產(chǎn)生來自經(jīng)驗， 命題