2010全國數(shù)學(xué)建模大賽一等獎A1儲油罐的變位識別和罐容表標(biāo)定的方法分析解析

1、1 儲油罐的變位識別和罐容表標(biāo)定的方法分析 摘要 本文研究了儲油罐的變位識別和罐容表標(biāo)定的問題。 儲油罐在使用一段時間后會發(fā) 生變位，研究儲油罐的變位識別和罐容表標(biāo)定是加油站在管理中要進(jìn)行的必要工作。 對于問題一，我們利用積分計算體積的方法，建立了罐內(nèi)油量隨油位高度和縱向傾 斜角度變化的函數(shù)關(guān)系式。在對罐容表進(jìn)行間隔為 1cm的標(biāo)定過程中，由上述關(guān)系式計 算得到的值中有很少的幾個為虛數(shù)， 我們對根式內(nèi)的表達(dá)式加上 10-10，使得所有計算值 均為實數(shù)，并且原來的實數(shù)值在精度為 10 時不產(chǎn)生變化，在這種情況下得到了無變位 和傾斜變位時的理論標(biāo)定值。 接著， 我們在分析理論值與實驗值誤差的基礎(chǔ)上

2、， 對理論 標(biāo)定值進(jìn)行了三次修正，依次為進(jìn)出油量實驗值與理論值誤差的修正，罐內(nèi)油量實驗值 與理論值誤差的修正，以及傾斜無變位標(biāo)定值中異常值的處理。修正后可以得到無變位 和傾斜變位的最終罐容表標(biāo)定值。通過分析儲油罐縱向傾斜變位的示意圖，我們得到了 罐內(nèi)油量一定時，縱向傾斜角對變位時油位高度與無變位時油位高度差值的影響：當(dāng)縱 向傾斜角為順時針旋轉(zhuǎn)時，角度增大，變位時油位高度與無變位時油位高度的差值會增 大，從而相同高度下傾斜變位的罐容表標(biāo)定值會減少?？紤]到罐體變位對罐容表造成的 影響，我們對裝置進(jìn)行了改進(jìn)，將油位探針的位置移至儲油罐中心軸處，消除了罐體變 位對罐容表的影響。 對于問題二，首先我們用

3、積分計算球冠形儲油罐變位的體積，建立了罐內(nèi)油量與油 位高度和變位參數(shù)一般關(guān)系的模型二。再利用題給附表 2中的數(shù)據(jù)來計算變位參數(shù)，計 算每次進(jìn)油后，油位高度變化所對應(yīng)的罐內(nèi)油量的變化，我們利用網(wǎng)格搜索法求解實際 出油量與計算得到的出油量的差值平方和最小時的變位參數(shù)，逐步提高精度，讓變位參 數(shù)值精確到小數(shù)點后兩位，用一次性進(jìn)油前的數(shù)據(jù)來計算變位參數(shù)得到 :=1.96 / =5.08，用一次性進(jìn)油后的數(shù)據(jù)來計算變位參數(shù)得到:=1.96=5.04，對 這兩個變位參數(shù)分別求取平均值得到最終的變位參數(shù)為 - =1.96 =5.06。然后將求 得的變位參數(shù)和油位高度代入模型二，得到高度間隔為 10 cm的罐

4、容表標(biāo)定值。接著我 們在儲油罐無變位的情況下，將題給附表 2中的顯示油高帶入模型二，求解得到的罐內(nèi) 油量與題給的顯示油量完全吻合，由此我們可以驗證模型的正確性。再將 :=1.96 / =5.08代入模型二中，通過題給附表二中一次性進(jìn)油后每次出油顯示油高的 不同得到罐內(nèi)油量的變化，用它與一次性進(jìn)油后的實際出油量做相對誤差， 得到所有相 對誤差的平均值為0.58%， 用同樣的方法， 將:=1.96 / =5.04代入模型二中，得到所 有相對誤差的平均值為 0.52%,它們的值都小于1%,誤差很小，從而可以驗證我們的 方法是可靠的。 最后我們對模型的優(yōu)缺點進(jìn)行了評價，提出了求解棱臺體積來簡化儲油罐體

5、積的積 分運算量和用非線性回歸的方法求解變位參數(shù)的方法，并對模型進(jìn)行了簡單的推廣。 關(guān)鍵詞：罐容表標(biāo)定；誤差修正；變位識別；網(wǎng)格搜索法; 一. 問題的提出與重述 1.1問題的提出 加油站的地下儲油罐有一個與之配套的“油位計量管理系統(tǒng)” ，通過預(yù)先標(biāo)定罐容 表可以得到罐內(nèi)儲油量與油位高度之間的關(guān)系。儲油罐在長時間的使用中，其位置會因 為地基變形等原因發(fā)生改變。如何識別儲油罐的變位情況及對罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定是加 油站關(guān)心的問題。 2 1.2問題的重述 題給兩種儲油罐：第一種為典型油罐，其主體為圓柱體，兩端為球冠體；第二種為 小橢圓形儲油罐，其主體為橢圓柱體，兩端為平頭。在長期的使用過程中，儲油罐可

6、能 發(fā)生橫向偏轉(zhuǎn)傾斜和縱向偏轉(zhuǎn)傾斜。橫向偏轉(zhuǎn)傾斜即油位探針?biāo)谥本€偏離地平線垂直 線一個角度縱向偏轉(zhuǎn)傾斜即油罐底部所在直線偏離水平線一個角度 ：。為了獲得罐 內(nèi)準(zhǔn)確的油位高度和儲油量情況，我們需要定期對罐容表進(jìn)行標(biāo)定，罐容表即為罐內(nèi)油 位高度與儲油量的對應(yīng)關(guān)系。 已知這兩種罐體的尺寸，請解決如下關(guān)于儲油罐的變位識別與罐容表標(biāo)定的問題： (1) 我們對第二種罐體分別對其無變位和縱向變位傾角為 :=4.1的兩種情況做了 實驗，得到了兩種不同位置放置的罐體分別在進(jìn)油和出油兩種情況下的 4組實驗數(shù)據(jù)。 請建立數(shù)學(xué)模型研究這種罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔 為1cm的罐容表標(biāo)定值

7、。 (2) 對于第一種實際油罐， 試建立數(shù)學(xué)模型表示罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù) (縱向傾斜角度：和橫向偏轉(zhuǎn)角度J之間的一般關(guān)系。請利用罐體變位后在進(jìn)/出油過 程中的實際檢測數(shù)據(jù)，根據(jù)你們所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油 位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。 進(jìn)一步利用附件2中的實際檢測數(shù)據(jù)來分析檢驗?zāi)?們模型的正確性與方法的可靠性。 二. 問題分析 對于問題一，我們通過三重積分尋找小橢圓形儲油罐罐內(nèi)油量與測量油位高度和縱 向傾斜角度的理論關(guān)系，代入間隔為1cm的不同的高度，通過此關(guān)系計算出罐容表理論 標(biāo)定值，接著我們通過題給4組進(jìn)出油數(shù)據(jù)對罐容表理論標(biāo)定值進(jìn)行修正，其中對進(jìn)

8、出 油量和罐內(nèi)容量的理論值與實際值的差值進(jìn)行修正，從而可以得到貼近實際情況的無變 位罐容表標(biāo)定值與傾斜變位罐容表標(biāo)定值。通過分析罐內(nèi)油量一定值時，尋找傾斜變位 后測得的油位高度與無變位時測得的油位高度的關(guān)系，從而我們可以分析得到罐體變位 后對罐容表的影響，接著我們根據(jù)罐體變位對罐容表的影響對裝置進(jìn)行了改進(jìn)。 對于問題二，我們尋找球冠形儲油罐罐內(nèi)油量與油位高度和變位參數(shù)的一般關(guān)系， 通過題給附表2中一次性進(jìn)油前的進(jìn)油量和油位高度數(shù)據(jù)計算變位參數(shù)。 然后通過求解 出的變位參數(shù)與一般關(guān)系的表達(dá)式得到油位高度間隔為 10 cm的罐容表標(biāo)定值。接著用 題給附表2中顯示罐內(nèi)油量與油位高度在無變位的情況下對

9、模型進(jìn)行檢驗， 并通過一次 性進(jìn)油后的數(shù)據(jù)對方法的可靠性進(jìn)行檢驗。 三. 模型假設(shè) (1) 每次實驗前，進(jìn)油管與出油管中均無油量殘余； (2) 忽略儲油罐在制造過程中產(chǎn)生的縫隙、突出物等對容積造成的誤差; (3) 忽略注油管、出油管在罐體內(nèi)所占體積； (4) 假設(shè)每次測量在相同環(huán)境下進(jìn)行；3 四. 變量與符號說明 h :表示油浮子測得的油位高度(即油浮子與油罐底部之間的距離) ，單位米； h:表示發(fā)生橫向變位時，液面距油罐底部距離，單位米； g :表示無變位時測得的油位高度，單位米； a :表示小橢圓油罐橫截面的長半軸長，單位米； b :表示小橢圓油罐橫截面的短半軸長，單位米； c :表示油位

10、探針距左端的距離，單位米； d :表示油位探針距右端的距離，單位米； S :表示油罐橫截面的面積，單位平方米； T :表示小橢圓油罐的長度，單位米； M：表示儲油罐中第i部分油量體積，單位立方米； V :表示第一次修正后的標(biāo)定值，單位立方米； V :表示第二次修正后的標(biāo)定值，單位立方米； 二：表示第一次修正值，單位立方米； 1:表示無變位進(jìn)油的第二次修正值，單位立方米； 2 :表示傾斜變位進(jìn)油的第二次修正值，單位立方米； 其余變量均在后文中說明 五. 模型建立與求解 5.1問題一的解答 5.1.1模型一的建立 只需將儲油罐中油量的體積 V 用油位探針測得的油高 h 和油罐縱向傾斜的傾角: 表示

11、出來，即可得到儲油罐發(fā)生縱向變位時罐中油量體積與油位高度間的關(guān)系，從而可 以得到理論的罐容表標(biāo)定值。 我們以油罐左側(cè)面橢圓的圓心為坐標(biāo)原點，平行于油罐底部的軸為 z軸，平行于橢 圓長軸的軸為x軸，平行于橢圓短軸的軸為 y 軸建立坐標(biāo)系。沿z軸將儲油罐分為若干 個體積微元，則每一個微元的體積可看成橢圓面積的一部分與微元長度 dz 的乘積，即: dV=Sdz (1) 對于每一個體積微元，當(dāng)儲油罐發(fā)生傾角為 :的縱向傾斜時，其對應(yīng)橢圓的面積可 表示為 H -b a J1 -7 S 二上 dy 0 b dx (2) 式中，H表示dx 對應(yīng)液面距離油罐底部的高度，可以通過油位探針測得的油位高度 為 h

12、計算得到，具體計算式為： H = h (c - z) tan ： (3) 當(dāng) h (0,d tan)時，儲油罐中油量體積與測得油位高度之間的關(guān)系可用下式表示: h CotOflc h 弋c-z) (anOt-b =2 0 dj 當(dāng) hjd tan,2b-c tan時，儲油罐中油量體積與測得油位高度之間的關(guān)系可用下(4) 4 當(dāng) h d tan :2b_c tan ：時，儲油罐中油量體積與測得油位高度之間的關(guān)系可用下 式表示: 其中 m = c _ (2b _ h) cot ：。 5.1.2計算理論標(biāo)定值 對于小橢圓儲油罐，將 T =2.45，a=0.89，b =0.6，c=0.4，d =2.0

13、5，l =0 代入（4）、 （5）、（ 6）式，我們可以計算油位高度在0.01m與1.2 m之間所對應(yīng)的罐內(nèi)油量體積的 計算值。 我們得到的計算值時，有很少的幾值會產(chǎn)生虛數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)虛數(shù)的虛部系數(shù)是一個 極小的值，分析產(chǎn)生虛數(shù)的原因，是由于 斗丐根式內(nèi)的值在 y 變化時會產(chǎn)生負(fù)數(shù)，我們 對根號內(nèi)的表達(dá)式進(jìn)行修正，修正方法為對 b 加上一個極小的正值，在本問題中修正值 取 10J0，這樣會使得計算得到的理論罐內(nèi)油量為實數(shù)，且使得原來的實數(shù)值在精度為 10* 時不產(chǎn)生變化。由此我們可以得到無變位理論標(biāo)定值（如表1所示）。 對:=4.1 時用同樣的方法得到傾斜變位理論標(biāo)定值（如表2所示）。 當(dāng)罐內(nèi)油

14、量低于1.6744 L 時，隨著油量的增加，油浮子始終未浮起，油位高度為 0m時表明儲油量為1.6744 L 以下，當(dāng)儲油量高于4110.1 L 時，隨著油量的增加，油浮 子不再上浮，油位高度為1.2 m時表明儲油量為4110.1 L 以上，因此，我們不對這兩個 極限位置進(jìn)行標(biāo)定。 表1無變位時理論值標(biāo)定表 油位高度 （厘米） 理論儲油 量（升） 油位高度 （厘米） 理論儲油量 （升） 油位高度 （厘米） 理論儲油量 （升） 1 5.2948 41 1240.5 81 2951.8 2 14.938 42 1282 82 P 2992.5 3 ；27.374 43 1323.7 83 3033

15、 4 42.037 44 1365.7 84 3073.1 5 58.598 45 1407.8 85 3112.9 6 76.831 46 1450.1 86 3152.4 7 P 96.568 47 1492.6 87 3191.5 8 117.68 48 1535.3 88 3230.3 9 :140.05 49 : 1578.1 89 P 3268.6 10 163.59 50 1621 90 3306.6 11 188.24 51 1664.1 91 3344.2 12 213.91 52 1707.2 92 3381.3 13 240.55 53 1750.5 93 3417.9

16、14 268.11 54 1793.8 94 3454.1 15 296.53 55 1837.3 95 3489.8 16 P 325.78 56 1880.8 96 P 3524.9 17 355.82 57 1924.3 97 3559.6 式表示: (5) (6) V T h-(c_z)：tan-._b dx：； 5 18 386.6 58 1967.9 98 3593.6 19 418.1 59 P 2011.5 99 3627 20 450.27 60 2055.1 100 3659.9 21 483.1 61 2098.7 101 3692 22 516.54 62 2142.3

17、 102 3723.5 23 550.58 63 2185.8 103 3754.3 24 585.2 64 2229.4 104 3784.4 25 620.35 65 2272.9 105 3813.6 26 656.03 66 P 2316.3 106 3842 27 692.21 67 2359.6 107 3869.6 28 728.87 68 2402.9 108 3896.2 29 765.98 69 2446.1 109 3921.9 30 803.54 70 2489.1 110 3946.6 31 841.51 71 2532.1 111 3970.1 32 879.89

18、72 2574.9 112 3992.5 33 918.65 73 2617.5 113 4013.6 34 957.77 74 2660 114 4033.3 35 997.25 75 2702.3 115 4051.5 36 1037.1 76 2744.5 116 4068.1 37 1077.2 77 2786.4 117 4082.8 38 1117.6 78 2828.1 118 4095.2 39 1158.3 79 2869.6 119 4104.9 40 1199.3 80 :2910.8 120 4110.1 表2變位時理論值標(biāo)定表 油位高度 （厘米） 理論儲油量 （升）

19、油位高度 （厘米） 理論儲油量 （升） 油位高度 （厘米） 理論儲油量 （升） 1 3.531 41 1005 81 2703.6 2 6.2635 42 1044.6 82 2745.5 3 9.9748 43 1084.5 83 2787.2 4 14.756 44 1124.8 84 2828.7 5 20.691 45 1165.3 85 2870 6 27.854 46 1206.2 86 2911.1 7 36.316 47 1247.2 87 2951.8 8 46.142 48 1288.6 88 2992.3 9 57.394 49 1330.1 89 3032.5 10 7

20、0.127 50 1371.9 90 3072.4 11 84.397 51 1413.9 91 3112 12 100.25 52 1456 92 3151.2 13 117.75 53 1498.4 193 :3190.1 14 136.92 54 1540.9 94 3228.6 15 157.82 55 1583.5 95 3266.7 16 180.26 56 1626.3 96 3304.4 17 204 57 1669.2 97 3341.7 18 228.91 58 1712.2 98 P 3378.5 19 254.88 59 1755.3 99 3414.9 6 20 28

21、1.86 60 1798.5 100 3450.7 21 309.76 : 61 1841.8 : 101 P 3486.1 22 338.54 62 1885.1 102 3520.9 23 368.14 63 1928.5 103 3555.1 24 398.53 64 1971.9 104 3588.8 25 429.66 65 2015.4 105 3621.8 26 461.49 66 2058.8 106 3654.2 27 494 67 2102.3 107 3685.9 28 527.14 68 2145.7 108 P 3716.9 29 560.9 69 2189.1 10

22、9 3747.2 30 595.25 70 2232.5 110 P 3776.6 31 630.15 71 2275.8 111 3805.3 32 665.58 72 2319.1 : 112 3833 33 701.53 73 2362.3 113 3859.8 34 737.96 74 2405.4 114 3885.6 35 774.86 75 2448.4 115 3910.3 36 812.2 76 2491.3 116 3933.9 37 849.97 丁 77 2534 二 117 P 3956.1 38 888.15 78 2576.6 118 3976.7 39 926.

23、72 79 2619.1 : 119 :3995.5 40 965.66 80 2661.4 120 4012.7 5.1.3誤差分析 我們用題給附錄1及表1、表2中的數(shù)據(jù)，得到了無變位及傾斜變位后的實際罐內(nèi) 油量與理論罐內(nèi)油量的曲線，從圖1中可以看出，實際罐內(nèi)油量的曲線總是在理論罐內(nèi) 油量曲線的上方。 進(jìn)油時測量值與理論值的比較 1 I i 測量傾斜變位進(jìn)油 - 理論傾斜變位進(jìn)油 測量無變位進(jìn)油 - 理論無變位進(jìn)油 200 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 罐內(nèi)油量（L） 圖1進(jìn)油時測量值與理論值的比較1200 00 80 60 40 0 -5

24、00 7 從上面四組數(shù)值比較中不難看出，罐容表的標(biāo)定還要受到諸多外部因素如壓力、溫 度、蠕變等的影響。 綜上所述，我們考慮利用實驗得到的數(shù)據(jù)對無變位與傾斜變位兩種情況下的理論罐 容表標(biāo)定值分別作出修正，以消除上述眾多因素帶來的誤差，使得罐容表標(biāo)定的數(shù)據(jù)更 接近罐內(nèi)實際油量。 5.1.4對標(biāo)定值的修正 （一）第一次修正-對進(jìn)出油量實驗值與理論值誤差的修正 對于題給附表1中的四組實驗數(shù)據(jù)，我們可以得到各組實驗的每次實際進(jìn)出油量。 通過油位高度變化，可以得到理論的進(jìn)出油量，從而可以得到實驗值與理論值的誤差， 我們修正此種誤差，就是我們要進(jìn)行的第一次修正。 （1）對無變位情況的修正： 我們首先分析無變

25、位進(jìn)出油的兩組數(shù)據(jù)， 整理每次實際進(jìn)出油量為50L的數(shù)據(jù)，同 時通過理論計算得到各數(shù)據(jù)油位高度差所對應(yīng)的理論進(jìn)出油量 V（h）（具體數(shù)值見附表1 和附表2）。 分析數(shù)據(jù)得到每次理論進(jìn)出油量穩(wěn)定在一個值左右，我們計算所有理論進(jìn)油量的均 值分別51.7437 L、理論出油量的均值為51.7442 L。從而可以得到實際進(jìn)出油 50L， 理論進(jìn)出油量比實際進(jìn)出油量要多 1.744 L ,故我們得到了第一次修正的修正值的表達(dá) 式: V 1.744 CF = - 50 式中，二表示第一次修正的修正值。 通過理論罐容表中油位高度所對應(yīng)的油量不同，對罐容表標(biāo)定值進(jìn)行修正 V =V 二 V 即為第一次修正后的標(biāo)

26、定值。 為了表明第一次修正后標(biāo)定值、實驗數(shù)據(jù)、理論標(biāo)定值間的關(guān)系，我們作出了第一 次修正后的比較圖像（如圖2）: 圖2第一次修正的標(biāo)定值與實驗數(shù)據(jù)、理論標(biāo)定值的關(guān)系圖(7) (8) 00 2 第一次修正后的標(biāo)定值 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 罐內(nèi)容量(L) O O X 800 4 00 6 m卩度高位油 O 00O 2 8 （2）對傾斜變位情況的修正： 我們分析傾斜變位進(jìn)出油的兩組數(shù)據(jù)， 整理每次實際進(jìn)出油量為50L的數(shù)據(jù)，同時 通過理論計算得到各數(shù)據(jù)油位高度差所對應(yīng)的理論進(jìn)出油量（見附表 3和附表4）: 分析這些數(shù)據(jù)，它們的值在50L左右波動

27、較大，且理論出油均值為 50.2262 L，理 論進(jìn)油均值為50.1845 L。由于波動較大修正意義不大，且均值與 50 L接近，所以無需 進(jìn)行此種修正。 （二）第二次修正-對罐內(nèi)油量實驗值與理論值誤差的修正 對于題給的兩組進(jìn)油實驗數(shù)據(jù)，我們可以得到每次進(jìn)油后的罐內(nèi)油量。通過油位高 度，可以得到理論的罐內(nèi)油量，從而可以得到實驗值與理論值的誤差，我們修正此種誤 差，就是我們要進(jìn)行的第二次修正。 （1）對無變位情況的修正： 我們通過無變位進(jìn)油的數(shù)據(jù)中的累計進(jìn)油量和罐內(nèi)油量初值得到實際罐內(nèi)油量， 再 將無變位進(jìn)油數(shù)據(jù)中的- -0及油位高度h帶入（4）、（5）、（6）式，得到理論罐內(nèi)油量， 用（8）式

28、對其進(jìn)行第一次修正， 再將其與實際罐內(nèi)油量比較，并做差值得到一組樣本 容量為78的修正值數(shù)據(jù)。 對這組數(shù)據(jù)求均值，得到 ，=-2.6256 m3。對第一次修正后的標(biāo)定值再進(jìn)行平移修 正，修正后的標(biāo)定值為： v”=v“+q （9） 從而，我們可以分別得到無變位（表 3）時儲油罐修正后的標(biāo)定。 表3無變位時儲油罐修正后的標(biāo)定 油位高度 （厘米） 理論儲油量 （升） 油位高度 （厘米） 理論儲油量 （升） 油位高度 （厘米） 理論儲油量 （升） 1 2.4845 41 1194.7 81 2846.3 2 11.791 42 1234.7 82 2885.6 3 23.793 43 1275 83

29、2924.6 4 P 37.945 44 -1315.4 84 2963.3 5 53.928 45 1356.1 85 3001.7 6 71.525 46 1396.9 86 3039.8 7 90.573 47 1437.9 87 3077.6 8 110.94 48 1479.1 88 3115 9 132.53 49 1520.4 89 3152 10 155.26 50 1561.9 90 3188.7 11 179.04 51 1603.4 91 3224.9 12 203.82 52 1645.1 92 3260.7 13 229.53 53 1686.8 93 3296.1

30、14 256.13 54 1728.7 94 3331 15 283.56 55 1770.6 95 3365.5 16 311.79 56 1812.6 96 3399.4 17 340.78 57 1854.6 97 3432.8 18 370.49 58 1896.6 98 3465.7 19 400.88 59 1938.7 99 3497.9 20 431.94 60 1980.8 100 3529.6 21 463.62 61 2022.9 101 3560.7 22 495.9 62 2065 102 3591.1 23 528.75 63 2107 103 3620.8 24

31、562.15 64 2149 104 3649.8 9 25 596.09 65 2191 105 3678 26 630.52 66 P 2232.9 106 3705.4 27 665.44 67 2274.7 107 3732 28 700.81 68 P 2316.5 108 3757.7 29 736.64 69 2358.2 109 3782.5 30 772.88 70 2399.7 110 3806.3 31 809.53 71 2441.2 111 3829 32 846.57 72 2482.5 112 3850.6 33 883.97 73 2523.6 113 3871

32、 34 921.73 74 2564.6 114 3890 35 959.83 75 2605.5 115 3907.6 36 998.27 76 2646.1 116 3923.6 37 1037 77 2686.6 117 3937.8 38 1076 78 2726.9 118 3949.8 39 1115.3 79 2766.9 119 3959.1 40 1154.9 80 2806.7 120 3964.2 為了更直觀地表現(xiàn)修正后的效果，我們做出了對無變位的罐體最終的標(biāo)定值與實驗 數(shù)據(jù)、理論標(biāo)定值的關(guān)系圖，如圖 3： 量終啟容表標(biāo)定值 圖3旋轉(zhuǎn)修正的標(biāo)定值與實驗數(shù)據(jù)、理論標(biāo)定值的關(guān)

33、系圖 （2）對傾斜變位情況的修正： 我們通過傾斜變位進(jìn)油數(shù)據(jù)中的累計進(jìn)油量和罐內(nèi)油量初值得到實際罐內(nèi)油量， 再 將傾斜變位進(jìn)油數(shù)據(jù)中的。=4.1 X油位高度 h 帶入（4）、（5）、（6）式，得到理論罐內(nèi) 油量，將其與實際罐內(nèi)油量比較，并做差值得到一組樣本容量為 53的修正值數(shù)據(jù)。 對這組數(shù)據(jù)求均值，得到平移修正值 2=0-0766 m3，修正后標(biāo)定值為： vm2 （ 10）1200 ioo SC GC 400 200 - 壬變位進(jìn)油實緲據(jù) -啓鱷容表標(biāo)定值 1000 1500 200D 2500 3000 3 50 0 4 M0 罐內(nèi)油量山 10 （三）第三次修正-傾斜無變位標(biāo)定值中異常值的

34、處理 由于傾斜變位進(jìn)油實驗給出的數(shù)據(jù)較少， 傾斜變位理論標(biāo)定值經(jīng)過第二次修正后得 到的曲線在油量適中時能較好地接近我們實驗得到的曲線。然而，在油位高度較小時， 會標(biāo)定出負(fù)數(shù)值的油量，在油位高度較大時，會與實際情況不符。 我們將油位高度為0.01 m和1.19m時的傾斜變位理論值作為最終標(biāo)定值，然后將 第二次修正得到的0.0766 m3的修正值均勻的加到0.01 m到0.35 m和0.96 m到1.19m 所對應(yīng)的標(biāo)定值。 從而我們可以得到傾斜變位時的最終標(biāo)定值（見表4） 表4傾斜變位時罐容表的標(biāo)定值 油位高度 （厘米） 理論儲油量 （升） 油位高度 （厘米） 理論儲油量 （升） 油位高度 （厘

35、米） 理論儲 油量 （升） 1 3.531 41 1005 81 P 2703.6 2 6.2635 42 1044.6 82 2745.5 3 9.9748 43 1084.5 83 :2787.2 4 14.756 44 1124.8 84 P 2828.7 5 20.691 45 1165.3 85 2870 6 27.854 46 1206.2 86 P 2911.1 7 36.316 47 1247.2 87 2951.8 8 46.142 48 1288.6 88 2992.3 9 57.394 49 1330.1 89 3032.5 10 70.127 50 1371.9 90

36、3072.4 11 84.397 51 1413.9 91 3112 12 100.25 52 1456 92 3151.2 13 117.75 53 1498.4 93 3190.1 14 136.92 54 1540.9 94 3228.6 15 157.82 55 1583.5 95 P 3266.7 16 180.26 56 1626.3 96 3304.4 17 204 57 1669.2 97 P 3341.7 18 228.91 58 1712.2 98 3378.5 19 254.88 59 1755.3 99 P 3414.9 20 281.86 60 1798.5 100

37、3450.7 21 309.76 61 1841.8 101 3486.1 22 338.54 62 1885.1 102 P 3520.9 23 368.14 63 1928.5 103 3555.1 24 398.53 64 1971.9 104 P 3588.8 25 429.66 65 2015.4 105 3621.8 26 461.49 66 2058.8 106 P 3654.2 27 494 67 2102.3 107 3685.9 28 527.14 68 2145.7 108 3716.9 29 560.9 69 2189.1 109 3747.2 30 595.25 70

38、 2232.5 110 3776.6 31 630.15 71 2275.8 111 P 3805.3 32 665.58 72 2319.1 112 3833 33 701.53 73 2362.3 113 P 3859.8 34 737.96 74 2405.4 114 3885.6 11 35 774.86 75 2448.4 115 3910.3 36 812.2 76 2491.3 116 P 3933.9 37 849.97 77 2534 117 3956.1 38 888.15 78 2576.6 118 P 3976.7 39 926.72 79 2619.1 119 399

39、5.5 40 965.66 80 2661.4 120 4012.7 為了更直觀地表現(xiàn)修正后的效果，我們做出了對傾斜變位罐體最終標(biāo)定值與實驗數(shù) 據(jù)、理論標(biāo)定值的關(guān)系圖，如圖4： 傾斜變位罐容表標(biāo)定值 1200 - 理論標(biāo)定值 - 傾斜變位出油實驗值 - 最終罐容表標(biāo)定值 0 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 罐內(nèi)容量（L） 圖4傾斜變位最終標(biāo)定值與實驗數(shù)據(jù)、理論標(biāo)定值的關(guān)系圖 5.1.5變位對罐容表的影響 當(dāng)罐內(nèi)油量為定值，油罐只發(fā)生傾斜角為 :的縱向傾斜時（為順時針傾斜），油位 探針測得的高度與無變位時通過油位探針測得的高度有如下關(guān)系： h =

40、 g +1 七 n。 （ 11） 其中 I 為油位探針到中心軸的垂直距離，h。表示無變位時測得的油位高度，h 表示傾斜 變位時測得的油位高度。 隨著縱向傾斜角:的增大，油位探針測得的油位高度與無變位時測得的油位高度間 的差值會增大。因此變位的角度增大，相同高度下的傾斜變位的罐容表標(biāo)定值會減少。 以:=4.1 為例，得到的無變位罐容表標(biāo)定值與傾斜變位標(biāo)定值見表 3與表4,可以清楚 的看到相同高度下罐容表標(biāo)定值會減少。 5.1.6裝置的改進(jìn) 分析小橢圓油罐正面示意圖， 以及根據(jù) （11） 式， 當(dāng)油位探針位于油罐中心軸時（即 I =0時），1000 ） 800 600 400 200 12 無論油

41、罐的縱向傾斜角為多少，通過油浮子測得的油位高度可等同于油罐未 發(fā)生傾斜時測得的實際油位高度。 由以上的分析，如果我們將油位探針移動到油罐中心軸時，發(fā)生縱向傾斜時就不需 要重新進(jìn)行罐容表標(biāo)定，以先前的罐容表得到的得到罐內(nèi)容量是準(zhǔn)確的。 5.2問題二的求解 5.2.1模型的建立 我們將油罐內(nèi)儲油量的體積分為圓柱體內(nèi)油量和兩個球罐體內(nèi)油量三部分來求取。 在求取圓柱體油量體積的過程中，我們以儲油罐右端為坐標(biāo)原點，過圓柱體圓心平 行于儲油罐罐底的直線為z軸，平行于圓柱體與冠體交線的直線為 y 軸，垂直于的直線 為 zOy 平面的直線為x軸建立坐標(biāo)系。由于罐內(nèi)油液面始終與水平線相平，貝 U 當(dāng)儲油罐 發(fā)生

42、傾斜角為:的縱向傾斜時，罐內(nèi)不同位置的液面距底部距離可用測量液面高度來表 示： 出=h-d tanx c tan： (12) 其中 h 二 hcos(：) (1) 當(dāng) h (0, d tan:)時， 儲油罐內(nèi)油量體積由左端冠體與中間圓柱體內(nèi)油量的體積組成， 左端冠體內(nèi)油量的計算 公式為： 葉1)=2 漢( 一 dyj； JR2x2 y2(R 1)dx (13) 中部圓柱體內(nèi)油量的體積為： (2) Z H JJ r2 _y2 v,2) =2 dz dy dx (14) 1 d -hcot 上 0 式中，H 二 h-d tan 二川 z tan ：。 則儲油罐內(nèi)油量的總體積為 M =乂 V (15

43、) (2) 當(dāng) h (d tan : ,(2 r -d) tan ：)時： 圓柱體內(nèi)油量與測量液面高度間的函數(shù)關(guān)系為： (1) 8 已 Jb2_y2 詔腫dy 0 dx (16) 右端冠體內(nèi)油量體積： H _r 1 r2 y2 ( 2)=2匚 dy (JR2 _x2_y2 _(R_1)dx (17) 其中(R 3)2 (3)2二 R2 ， H2二h-d tan ( R為圓球冠體的所在球的半徑 ) 2 左端冠體內(nèi)油量體積： H r r2 y2 _ V2=2匚 dyf (JR2-X2-y2 -(R-1)dx (18) 其中，H3 =h c tan： 則儲油罐內(nèi)油量的總體積為： V2 =V2 +V2

44、 +V2 (19) 當(dāng)油罐中油量極少或超過一定高度時，我們需要重新考慮油位高度與儲油體積間的 對應(yīng)關(guān)系。 (3) 當(dāng) h (2r -d tan : ,2r)時： 儲油罐內(nèi)油量體積由左端冠體體積以及中間圓柱體、右端冠體內(nèi)體積組成，左端冠體內(nèi) 油量的計算公式為: 13 V3=2匚 dyQ (JR2x2 y2(R 1)dx (20) 中部圓柱體內(nèi)油量的體積為： (2) 6 (2b _h)cot -. h 丄6 _z) tan -. r22 2 V3() =2。 dz dy 0 dx： Mr 2 -(2b -h)cot 一訂 (21) 右端冠體內(nèi)油量的體積為： (3) h qtan _r 2 2 V3

45、=2 dyf； JR2_X2y2 (R1)dx ( 22) 則罐內(nèi)油量總體積為： V3 =V3 +V3 +V3 (23) 5.2.2數(shù)據(jù)的擬合 為了得到實驗所用儲油罐的縱向偏轉(zhuǎn)角:與橫向偏轉(zhuǎn)角一：，我們用最小二乘法對題 中一次性進(jìn)油之前的數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合。 將題給附表2中每一個高度值h代入(8)式，可以得到理論儲油量Vi。則每次輸出 油量的理論值為： V =Vi V“，i=1,2,.,301 (24) 由題給附表2中數(shù)據(jù)，我們可以直接得到每次加入油量的實際值：Vid， i =1,2,302。 我們將偏轉(zhuǎn)角:與1的求解轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問題，即建立實際油量和理論油量差值的 平方組成的目標(biāo)函數(shù)，通過極小化

46、該目標(biāo)函數(shù)得到 。與B的解，如式(24)。 301 f(：)八( Vi 1 - ：Vi 1)2 min (25) =1 在用網(wǎng)格搜索法尋找最優(yōu):、參數(shù)的過程中，為了兼顧搜索速度和搜索精度，我 們采用逐步細(xì)化的方法，保持搜索步長不變，減少每次搜索范圍的長度，在搜索到較優(yōu) :、1的周圍設(shè)置更為密集的窮舉點，進(jìn)行第二次甚至更多次搜索，直到達(dá)到所要求的 精度位置。首先，我們對：取 0.10為間隔，對取 10為間隔進(jìn)行粗略搜索，得到了 f() 的最小值大致在(1.90,2.10)與 (40,60)之間，將搜索步長縮小10倍，得到了一 組較優(yōu)的、1組合。為了使精度更加準(zhǔn)確，再次縮小搜索步長，可以得到 fC

47、)最小 時對應(yīng)的：-及其周圍的點，如表5所示： 表5三次搜索后最小 fG , )值及鄰近點值 ot/P 5.05 5.06 5.07 5.08 5.1 1.95 246.63 246.57 246.52 246.48 246.44 1.96 :246.21 246.2 1 246.19 246.19 P 246.2 1.97 1 246.35 246.38 1 246.42 246.46 246.51 1.98 247.03 247.11 247.19 247.28 247.37 從表 5 中可以看出，fG)min =246.19，=1.96匸=5.08。 接著，我們用一次性進(jìn)油后的數(shù)據(jù)，用同

48、樣的方法進(jìn)行了三次搜索，得到了最小的 fC ,:)值及對應(yīng)的參數(shù)值，最后搜索結(jié)果如表 6所示：(26) 14 表6三次搜索后最小 fC , ）值及鄰近點值 a/P 5.02 5.03 5.04 5.05 5.06 1.95 : 293.62 :293.57 293.53 293.49 P 293.46 1.96 293.31 293.3 293.3 293.3 293.31 1.97 1 293.55 293.58 293.62 293.67 P 293.72 1.98 294.34 294.42 294.5 294.59 294.68 由表6可以得到變位參數(shù)：一 1.96,亠5.04。 對前

49、面得到的得到的變位參數(shù)求均值，得到最終的變位參數(shù)： -1.96,1； -5.06 5.2.3罐容表的標(biāo)定 對于實際儲油罐，d=6,c = 2, r=3,Z=8。代入題給數(shù)據(jù)，我們可以計算出油位高 2 度在0.1米與3.0米之間以0.1米為間隔的罐容表標(biāo)定理論值，如表 5所示： 表5實際儲油罐的罐容表 油位高度 （厘米） 理論儲油量 （升） 油位高度 （厘米） 理論儲油量 （升） 油位高度 （厘米） 理論儲油量 （升） 10 0.0365 110 16.7 210 44.253 20 P 0.33051 120 19.311 J 220 P 46.898 30 1.0369 130 21.996

50、 230 P 49.458 40 2.2071 140 24.74 240 51.915 50 3.6918 150 27.525 250 54.25 60 5.4277 160 30.337 H 260 56.442 70 7.3732 170 33.16 270 58.466 80 9.4973 180 35.979 280 60.295 90 r 11.774 190 38.778 H 290 P 61.89 100 14.182 200 41.541 300 63.198 5.2.4模型與方法的檢驗 （1） 模型正確性的檢驗： 由于題給附表2中的油量容積是在通過無變位時得到的罐容表標(biāo)定

51、的， 故我們將顯 示的油高帶入（19）式中，得到理論的油量容積，與題給數(shù)據(jù)中的顯示油量容積完全吻 合，從而可以得知我們建立的模型二是正確的。 （2） 方法的可靠性的檢驗： 我們通過附表2中未進(jìn)油前的所有出油數(shù)據(jù)和顯示高度（前302個數(shù)據(jù)）進(jìn)行了數(shù)據(jù)擬合 得到了變位參數(shù)，我們通過進(jìn)一次油后的其它出油數(shù)據(jù)和顯示高度對方法的可靠性進(jìn)行 研究。我們將顯示高度與得到的變位參數(shù)帶入（19）式中求得理論罐內(nèi)油量值，再計算 差值就得到了每次出油量R，將它與實際出油數(shù)據(jù)P2進(jìn)行比較可以計算一次實驗的誤 差： P-P2I 我們用一次性進(jìn)油前的數(shù)據(jù)計算變位參數(shù)，用一次性進(jìn)油后的數(shù)據(jù)對得到的變位參 數(shù)進(jìn)行檢驗，得到所

52、有誤差的平均值： q =0.58% 1% 同樣的，我們用一次性進(jìn)油后的數(shù)據(jù)計算變位參數(shù)，用一次性進(jìn)油前的數(shù)據(jù)對得到 的變位參數(shù)進(jìn)行檢驗，得到所有誤差的平均值 62 =0.52% 1% 從而可以檢驗我們得到的變位參數(shù)是很準(zhǔn)確的，用網(wǎng)格搜索法求解最小出油差值平 方和的方15 法是可靠的。 六. 模型的評價與改進(jìn) 6.1模型的評價 6.1.1優(yōu)點 (1) 我們對裝置進(jìn)行了改進(jìn)，在只有縱向傾斜角度的情況下，如果將油位探針移至儲 油罐中心軸位置，可以消除縱向變位對罐容表的影響。 (2) 通過精確的公式得到理論的罐容表標(biāo)定值，并通過題給數(shù)據(jù)進(jìn)行了三次修正，得 到了較為準(zhǔn)確，貼近實際的標(biāo)定值。 (3) 用兩

53、組數(shù)據(jù)求解了兩次變位參數(shù)，并且對 的值的準(zhǔn)確性進(jìn)行了檢驗； 6.1.2缺點： 由于在計算二的時候我們只取了精度為0.01,由于計算方法的特殊性沒有進(jìn)行進(jìn) 一步的取值。 6.2模型的改進(jìn)： (1) 我們可以尋找更好的積分方法得到儲油罐的體積與油位高度的關(guān)系，從而簡 化計算量； (2) 計算變位參數(shù)時，取更高精度求解，并分析精度的提高對誤差的影響； (3) 用求解棱臺體積來簡化儲油罐體積的積分運算量； (4) 用非線性回歸的方法求解變位參數(shù)的方法。 七. 模型的應(yīng)用與推廣 我們的模型不僅適用于儲油罐的變位識別和罐容表標(biāo)定， 還適用于模具制造及各種 設(shè)計計算容量的場合。 參考文獻(xiàn)： 1 廉育嬰，梁昭

54、燕.立式罐底邊界條件對靜壓力效應(yīng)修正值的影響J.現(xiàn)代計量測試， 1996 年第 4 期：27-29 2 程繼元.淺談影響油罐標(biāo)定與計量的因素及其修正方法 J.石油商技，第22卷第2 期：33-3516 附錄 附錄1：理論標(biāo)定值計算的 matlab程序： (1) %縱向傾斜4.1度時的理論標(biāo)定值 syms y z h a=0.89 b=0.6 j=1； for h=0.01:0.01:0.14 f1=a*sqrt(1-yA2/bA2); f2=i nt(f1,y,-b,h+(0.4-z)*ta nd(4.1)-b); f3=i nt(f2,z,0,(h*cotd(4.1)+0.4); f4(j)

55、=2*double(f3); j=j+1; end j=15; for h=0.15:0.01:1.17 f1=a*sqrt(1-yA2/bA2); f2=i nt(f1,y,-b,h+(0.4-z)*ta nd(4.1)-b); f3=i nt(f2,z,0,2.45); f4(j)=2*double(f3) j=j+1; end j=118; for h=1.18:0.01:1.2 f1=a*sqrt(1-yA2/bA2); f2=i nt(f1,y,-b,h+(0.4-z)*ta nd(4.1)-b); f3=i nt(f2,z,0.4-(2*b-h)*cotd(4.1),2.45);

56、f4(j)=2*double(f3)+pi*a*b*(0.4-(2*b-h)*cotd(4.1); j=j+1; end (2) %無變位時的理論標(biāo)定值 syms y z a=0.89 b=0.6 j=1; f1=a*sqrt(1-yA2/bA2); for h=0.01:0.01:1.2 f2=i nt(f1,y,-b,h-b); f3=2*2.45*f2; f4(j)=double(f3); j=j+1; end 附錄2.修正值計算的matlab程序： (1)%無變位修正及作圖 無變位進(jìn)油.txt); xO=tO(:,1); 17 yo=to(：,2)； syms y z a=0.89 b

57、=0.6 g1=a*sqrt(1-yA2/bA2); for h=1:le ngth(yO) g2=i nt(g1,y,-b,y0(h)/1000-b); g3=2*2.45*g2; g4(h)=double(g3); end for i=1:le ngth(y0) g5(i)=1000*(g4(i)-g4(i)*1.744/50); wucha(i)=g5(i)-(x0(i)+262); en d%+算平移修正值 無變位標(biāo)準(zhǔn)值.mat); k=li nspace(10,1200,120) for i=1:120 f5(i)=f4(i)-f4(i)*1.744/50 end%旋轉(zhuǎn)修正 hold

58、 on %plot(1000*f5,k,r-) hold on 無變位進(jìn)油.txt); x0=t0(:,1); y0=t0(:,2); plot(x0+262,y0) 無變位旋轉(zhuǎn)修正值.txt); k=li nspace(10,1200,120) xzz=xua nzhua n+sum(wucha)/78;% 平移修正 plot(xz z,k,g-) axis(0 4000 0 1200) hold on plot(1000*f4,k,k-)% 畫修正圖(2) %頃斜變位修正值計算 syms y z a=0.89 b=0.6 chuyoulia ng=0.215; f1=a*sqrt(1-yA

59、2/bA2); 傾斜變位進(jìn)油.txt) x0=t0(:,1)/1000; y0=t0(:,2)/1000; for h=1:53 18 f2=i nt(f1,y,-b,y0(h)+(0.4-z)*ta nd(4.1)-b); f3=i nt(f2,z,0,2.45); f4(h)=2*double(f3); end xiuzhe ngzhi=f4-x0-chuyoulia ng; jun zhi=sum(xiuzhe ngzhi)/le ngth(xiuzhe ngzhi); 附錄3.理論值修正后的校驗圖像 matlab程序: (1) 傾斜變位標(biāo)準(zhǔn)值.mat); 變位進(jìn)油高度理論值.mat);

60、 plot(1000*(f4-0.0766),1000*k,r-); 傾斜變位進(jìn)油.txt) x0=t0(:,1); y0=t0(:,2); hold on plot(x0+215,y0,b-); (2) 無變位標(biāo)準(zhǔn)制.mat); 變位進(jìn)油高度理論值.mat); plot(1000*(f4-0.0755),1000*k,g-); 傾斜變位進(jìn)油.txt) x0=t0(:,1); y0=t0(:,2); hold on plot(x0+262,y0,k-); 附錄4.對參數(shù)進(jìn)行求解的程序 clear syms x y z h r=1.5; f1=sqrt(rA2-yA2); g1=sqrt(13/