第七章(微分方程-3)

1、第七章常微分方程的數(shù)值解法§ 1引言1、 一階常微分方程初值問題(微分方程加初值條件)y f(x,y),a x by(x。)yo特征：f(x, y)為的二元函數(shù)，只有一個變元x，一階導(dǎo)數(shù)y' dy，要求滿足微分方dx程且過點(diǎn)(xoy。)的曲線，一個未知函數(shù)y y(x)(微分方程的解函數(shù))。2、解的存在性假設(shè)f (x, y)連續(xù)且對y滿足Lipschitz條件，即存在常數(shù) L 0，使對 力皿 R，有 f (x, y1) f (x, y2) L y1 y2，那么初值問題 的解存在唯一，本章均假設(shè) f (x, y)對y滿足 Lipschitz 條件。3、數(shù)值解法問題：求y y(x)

2、精確解(解析表達(dá)式)極其困難，實(shí)際應(yīng)用中只要求數(shù)值解。數(shù)值解：在a,b取X。 X1 X2Xn Xn 1 系列等距離散節(jié)點(diǎn)，步長h Xn 1 Xn , n 0,1,，求 y(Xn)的近似值 yn。XoXixohx2 xo 2hXn Xo nhXn 1Xo (n 1)hy(xo)ygyX)y(xn)y(xn 1)=yoy2ynyn 1方法：建立yn yn 1的遞推公式，y(xo) yo，從而yoy1yn y 1按節(jié)點(diǎn)排列順序(步進(jìn)式)。§ 2 Euler 方法1、顯示、隱式Euler法與梯形法Xn i對(1)的方程兩端由Xn到Xn i定積分得：y(xn J y(xn)f (x, y(x)

3、dxxn從而有：y(Xn 1)y(Xn)hf ( ,y( ),XnXn 1 ( *)Xn 1(積分中值定理 x f (x,y(x)dx (Xn 1 Xn)f( ,y( ) h f( , y( ),XnXn 1 )x()假設(shè)取 Xn，得 f(x,y)dx h f (xn,y(xn)(左矩形公式)xn由(* )得:y(Xn 1) y(Xn)h f(Xn, y(Xn)Yny(Xn),yn1y(Xn1),那么有：yn1 ynhf (Xn,yn), n0,1,稱式為解初值問題的Euler法(顯格式)YoY1ynyn 1幾何意義：初值問題的解曲線y y(x)過點(diǎn)Po(xo,Yo)，從Xo出發(fā)，以f(Xo,

4、y。)為斜率作一 段直線，與直線 X X1交點(diǎn)于R(X1,Y1)，顯然有Y1Yo hf (Xo, Yo)，再從R出發(fā)，以f(X1,yJ為斜率作直線推進(jìn)到X X2上一點(diǎn)P2，其余類推，這樣得到解曲線的一條近似曲線，它就是折線P0RP2(某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值的幾何意義為該點(diǎn)切線的斜率)。(2)假設(shè)取Xn 1，得 n 1 f (X, y)dx h f(Xn 1, y(Xn 1)(右矩形公式)Cn類似可得：Yn 1 Yn hf(Xn1,Yn1), n 0,1,稱式為隱式Euler法(向后Euler法，隱格式)Xn 1h(3)取 f (X, y)dx - f (Xn, Y(Xn)f (Xn 1, y(Xn 1 )

5、(梯形公式)Cn2那么得:Yn 1hYn f(Xn, Yn)f ( Xn 1, Yn 1 ), n 0,1,2稱式為 梯形法 .(隱格式)0.1 ，例1用Euler法、隱式Euler法、梯形法及改進(jìn)Euler法求解y' y x 1,y(0)1，取h計(jì)算到 x 0.5，并與精確解比較 .解：由于 f (x,y) y x 1,h 0.1 x00,y01Euler 法：yn 1yn h( ynXn 1)(1 h)yn hXn h 0.9yn O.IXn 0.1隱式 Euler 法: yn 1Ynh(Yn 1Xn 11)1解出Yn 1(Yn1 hXn1h)(Yn1.10.1xn 0.11)1當(dāng)

6、n 0時(shí)，Y1'(Y00.1X00.11)1.00901n 0時(shí)，y10.9y0 O.1xO 0.1 1.00000.1.1h梯形法：yn 1yn -f(Xn,yn) f (Xn 1, yn 1)2hYn 1 Yn ( Yn Xn 1)(% 1 Xn 11)21 1解出yn1(2h)ynh(XnXnh)2h(1.9yn0.2Xn0.21)2 h2.11當(dāng) n 0時(shí)，y1(1.9 0.21) 1.0047622.1改進(jìn)Euler法：yn 1yn f (Xn,yn) f X 1nhf X，n )h即 yn 1yn( yn Xn 1)n h(n X. 1) X. 1 121h(2h(1 h)

7、2Xn2(Xn2h(2 h)20.905 yn 0.095xn 0.1當(dāng)n 0時(shí),y10.905 y00.095x00.11.005000精確解：yX x e X,梯形法效果最好,!)X0Euler 法 yn隱式 Euler法yn梯形法Yn改進(jìn)Euler法yn精確解yXn0.1 11.000 0001.009 0911.004 7621.005 0001.004 837:0.21.010 0001.026 4461.018 5941.019 0251.019 7310.31.029 0001.051 3151.040 6331.041 2181.040 8180.41.056 1001.083

8、 0141.070 0971.070 8021.070 3200.51.090 4901.120 9221.106 2781.107 0761.106 531改進(jìn)Euler較好：具有相同的誤差數(shù)量級,其它不好2、隱式法yn 1的計(jì)算Euler法及梯形法方法1:顯示化f對y線性時(shí)，以yn 1為未知量的一元線性方程，見上例 方法2:迭代法f對y非線性時(shí)，可看作一個關(guān)于 yn 1方程，利用迭代法求解Yn 1)Euler 法：yn 1 yn hf (Xn 1,yn 1),n0,1,(*1)以yn 1為未知量的一兀非線性方程(k 1)y f (Xn(0) yn 1 yn1, y(k),k0,1,h(*3

9、 )(*4 )梯形法：yn1 yn 畀X5 fXni，yni，n 0,1,ynvyn £f(Xn,yn)彳風(fēng)小補(bǔ)叫)k 01 yi yn hf(xn,yn)計(jì)算步驟：(1) 初值 y10)yo hf(Xo, yo)；迭代yi(0)yiyi(k)y?1yi(當(dāng) |y1k1)yj)(2) y20)y1 hf(X1，y1)；迭代 y2°) yjy)k)y；k ° 紙只要步長h足夠小，就可保證迭代收斂1a當(dāng)h *2收斂L證明：b迭代序列ynk1收斂收斂性:Jk 1)-hyn 1yn 12f (Xn 1,ynk)1)f (XnO2(b)當(dāng) h -L,有Yn)-L21, yn

10、(*4)收斂.(k)1yn 1yn(k)1 1yn 10 ;由*3 、*4式知:滿足李氏條件、，k、，(hL)k、，° 、，y n 1yn 1y n 1yn 12yn0)1yn 10，從而收斂得證。(即1hL 1時(shí)有3、 改進(jìn)Euler法梯形法隱式迭代式僅限迭代一次，為防止迭代，可先用 Euler法計(jì)算出yn1的近似yn 1yn 1yn hf Xn, ynh顯式預(yù)報(bào)，隱式校正yn 1ynfXn,yn f Xn 1,yn 12h或yn 1 y fXn,yn f Xn 1, yn hf Xn , yn 62稱以上兩式為改進(jìn)Euler.法校正就是迭代一次 右端已不含yn 1 ,顯式方法。例

11、2:用梯形法的迭代格式求y' y ，y0 1的數(shù)值解，h 0.1，計(jì)算到x3 0.3解：梯形公式y(tǒng)n 1hyn -(yn2Xn)y(yn 12xn 1n 1)0.05yn1 0.1Xn 1Xn1.05yn 0.12ynyn 1yn 1yn(k 1) yn 10.05ynk1 0.1X n 1(k)1.05yXnn0.1Y11.095656迭代式y(tǒng)n 1y n，解為：Y21.183594(0) yn 1ynhf(Xn,yn)1.1ynXn0.2ynY31.4150593、 Euler法的局部截?cái)嗾`差定義1在yn y(Xn)的前提下，稱y(Xn 1)y“i為在Xn 1的局部截?cái)嗾`差定義2假

12、設(shè)一種數(shù)值方法的局部截?cái)嗾`差：y(Xn i) yn 1 o(hp1)，那么稱這種方法是精 度為p階的。(含hp 1的項(xiàng)稱為局部截?cái)嗾`差主項(xiàng).)注：按某種方法由yn算出yn 1這一步的誤差。(1)Euler 法y(Xn1) y(Xn h)ynynf(x, y(x)1ynh f(Xn, yn)y(xn), y (x)由(*)(* )式有:y(Xn 1)' h2y(Xn) h y (Xn) y (Xn)(*)21y (Xn ) f (Xn, y(Xn)h f(Xn, y(Xn)y(Xn) h y'(Xn) ( * )h2“y (Xn)2y(Xn)yn 1O(h2)根據(jù)定義2, Eul

13、er法中的p 1故此方法為一階方法隱式Euler法(分析時(shí)隱式公式右邊的yn 1 y(xn 1)y(Xn), y'(x)f(X, y(x)y'(Xn)f(Xn,y(Xn)yn h f(Xn 1, yn 1)yX) h f(X.y(Xn) h.y'(Xn h)'2y(Xn) h y (Xn) hynyny(Xn) hy"(Xn)由(*)及(*)式:y(Xn 1)y'(Xn) hy"(* ) h2 2yyn故局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)為與 y'd),21,(3)梯形法y(Xn 1)y(Xnh)y(Xn) hy (Xn)yn 1 ynh一f(

14、Xn, yn)2f (Xn1, y(xn類似有y(x1) yn 1h3，“12 y(Xn)(4)改進(jìn)Euler法y'(x)那么 y"(Xn)fx(Xn，yn)f(Xn 1,ynf(X, y)hf (Xn，yn)(x)fx (x, y)fy(Xn, Yn) Yf(Xn h,yn1,y(xn(Xn)(Xn)1) y(Xn) h y (Xn 1)也是一階方法.O(h2)u2. 3h- h'"y (Xn) y (Xn)23!1)O(h3)，方法是二階的.fy(X, y) y (X)(Xn)hy'(Xn)f(Xn°n) fx(Xn,yn) h fy(

15、Xn，Yn) 1'區(qū)皿) y'(Xn) hy''(Xn)y (Xn) h y(Xn)hyn 1 yn f(Xn,yn)2h '= y(Xn) -y (Xn)2f (Xn 1, yn hf (Xn, yn)y(Xn)h y (Xn)h2''Ty(Xn)y(Xn 1) y(Xnh)y(Xn) h y (Xn)h2Ty(Xn)£3!y (Xn)y(Xn 1) yn 1O(h3),方法是二階的.§ 3 Runge-Kutta 方法顯式Runge-Kutta法的一般形式y(tǒng) iyn h(Gki C2k2ki f (Xn,yn)般形

16、式:k2f(Xna2h, ynb2iki)krf(Xn arh,yn hbnk1hbr ,r 1kr 1)2級顯式R-K方法(r=2)Yn 1 yn h(Gk1 qk2)設(shè)想構(gòu)造R K公式：k1f (Xn, yn)(*)k2f (Xn a2h, yn b2*2)試確定G,C2,a2,b21，使上式為二階格式，即y(Xn 1) yn 1 O(h3):假設(shè)y(Xn)yn，對(7.3.6)式在(Xn, yn)處按Taylor公式展開，由于y'(Xn)y (Xn)f(Xn，y(Xn)df(x,y(x)f (XnWn)；11f (7"(7 WfW/X, W f(7WdXx Xn収八n，

17、八八n1 y 1，y & 丨 '八n，y '八nfx(Xnn)fy(Xn,yn)f (Xn,yn)'h2"h '"y(Xn 1)y(xn h)y(Xn) hy (Xn)y (xn) =y ()23!h；211h3，ynhf (Xn,yn)-2-fx(Xn,yn) fy(Xn,yn)f (Xn, yn) y ()k2f(Xnh,ynkJf (Xn,yn)a2hfx(Xn,yn)b21k1fy(Xn,yn)O(a；h2b：k2)O(h3)將上述結(jié)果代入(*)得：y(Xn 1)yn1(1cC2)hf(Xn,yn)(-。2玄2)fxX,n)(

18、-妙21)f y(Xn, y.)f X,n)2 2要使公式為二階，必須：c1c211ga21(三個方程四個求知數(shù)，無窮多解)21C2b212yn 1 yn(K k2)1 2(1)取 C1 -,a2 b21 1，有k1 f(Xn,yn)(改進(jìn)歐拉法)2k2 f (Xn 1,yn hK)1(2)取 c10, a2b21，有2k2kif(Xn,yn)(中點(diǎn)法)f (Xn - , yn22取其他數(shù)時(shí)，也可得到其他公式，但系數(shù)較復(fù)雜，一般不再給出 四階R-K方法及步長的自動選擇類似可得到，經(jīng)典的四階 R-K方法是：、yn 1yn(k162k2 2k3 k4)k1f (Xn, yn)hhhhk2f (Xn

19、2,yn2k1)k3f (xn, ynk2)2 2k4f (Xnh,ynhk3)它的局部截?cái)嗾`差0(h5)，故p=4,這是最常用的四階R-K方法，數(shù)學(xué)庫中都有用此方法 求解初值問題的軟件.這種方法的優(yōu)點(diǎn)是精度較高，缺點(diǎn)是每步要算4個右端函數(shù)值，計(jì)算量較大例7.3 用經(jīng)典四階R-K方法解例7.1的初值問題y'y x 1, y(0) 1，取h 0.1 ,并與改進(jìn)Euler法、梯形法在處比較其誤差大小，于是解 用四階 R-K 方法公式 (7.3.12)，此處 當(dāng) n=0 時(shí)于是，按公式 (7.3.12)可算出此方法誤差：改進(jìn) Euler法誤差:梯形法誤差： 可見四階R-K方法的精度比二階方法

20、高得多.y(Xn) yn的估計(jì)式 h?通常是通過不同步用四階R-K方法求解初值問題(1)精度較高，但要從理論上給出誤差 那么比較困難.那么應(yīng)如何判斷計(jì)算結(jié)果的精度以及如何選擇適宜的步長長在計(jì)算機(jī)上的 計(jì)算結(jié)果近似估計(jì).設(shè) 在處的值當(dāng) 時(shí)， 的近似為y(xn Jynh)iCnh5假設(shè)以h為步長'計(jì)算兩步到Xn 1，那么有(h)y(Xn 1) yn21于是得:即或y(Xn i)ynh)iy(Xn l)y(Xn l)(h)yn 1h(2)yn 1珈216ynh)1)y(Xn i)yn1(h) yn 1(7313)1 一 它給出了誤差的近似估計(jì).如果-yn2115hh果y：2；滿足精度要求，假

21、設(shè) 丄y；2； ynh115曲站給定精度，那么認(rèn)為以號為步長的計(jì)算結(jié)，那么還可放大步長因此提供了自動選擇步長的方法.，于是由四階R-K方法有§ 4線性多步法線性多步法的一般公式前面給出了求解初值問題(1)的單步法，其特點(diǎn)是計(jì)算yn1時(shí)只用到y(tǒng)n的值(要計(jì)算多點(diǎn) 處的函數(shù)值，計(jì)算量較大)，此時(shí)y。，, , yn 1, yn的值均已算出.如果在計(jì)算y* 1時(shí)除用yn的值 ,yn r 1的值，這就是多步法.假設(shè)記Xk Xo kh , h為步長， 01,n)，那么線性多步法可表示為(a r yn r 1 h( 1:r 10，稱(7.5.1)為線性r步法.計(jì)算時(shí)用到前面已算出的r個0時(shí)，為顯式

22、方法，當(dāng)10那么稱為隱式多步法.隱式方法與梯形外,yk其中值.y還用到y(tǒng)n 1 , yn 2, y(Xk), fkf (Xk,yk)(ky n 1 a0 yn a1 yn 1i, i為常數(shù)，假設(shè)2 r n, yn 1, yn r 1 當(dāng) 1Xo般形式)：r f n r 1 )方法一樣，計(jì)算時(shí)要用迭代法求yn1多步法(7.5.1)的局部截?cái)嗾`差定義也與單步法類似. 線性多步法在xn 1處的局部截?cái)嗾`差定義為：假定 yi y(x),i n,n 1, ,n r 1時(shí) 假設(shè)y(Xn 1) yn 1 O(hp 1)，稱其為是p階的。二、Adams顯式與隱式方法y n 1 y n h( 1 f n 10

23、f n 1 f n 1r f n r 1 )(即 11， i 0, i 2, ,n r 1)的r步法稱為Adams方法，當(dāng) 1 0時(shí)為Adams顯式方法，當(dāng)1 0時(shí)，稱為Adams隱式方法.對初值問題(1)的方程兩端從xn到xn 1積分得Xn 1y(Xn 1) y(Xn) x f(x,y(x)dxxn選取不同的節(jié)點(diǎn)，對上式中被積函數(shù)進(jìn)行不同的多項(xiàng)式插值，從而得到不同的的線性多步法。1、Adams四步顯式公式(外插公式)選(xn, f(xn,y(xn)，( Xn1, f (Xn1, y(Xn1)，( Xn2, f (Xn 2, y(Xn 2 )，(Xn 3, f (Xn 3, y(Xn 3)四節(jié)

24、點(diǎn)作三次多項(xiàng)式插值：f (X, y(x)卩3&) R3 (x)從而 y(Xn 1) y(Xn)冷 1 R(x) R3(X)dXXn取Xn 3,Xn 2,Xn 1與Xn為插值節(jié)點(diǎn)做f(X, y(X)的插值多項(xiàng)式：P3(X)(X Xn 1)(x Xn 2)(X Xn 3)(Xn XnJ(XnXn 2)( XnXn 3)f (Xn, y(Xn)(X Xn)(X Xn2)(X Xn 3)(Xn 1Xn)(Xn 1Xn 2)(Xn 1Xn 3)f (Xn 1, y(Xn 1)(X Xn)(XXn 1)(XXn 3 )(Xn 2Xn)(Xn 2 XnJ(Xn2 Xn 3)f (Xn 2, y(Xn

25、 2)(X Xn)(X XnJ(X Xn 2)(Xn 3Xn)(Xn 3Xn 1)(Xn 3Xn 2)f (Xn 3, y(Xn 3)用 P3(x)代替 f (x, y(x)y(Xni) y(Xn)Xn 1XnP3 (x)dx,Xn th，并有 Xn Xn 1Xn 1 Xn 2Xn 2 Xn 3h11y(Xnl) y(Xn)6【f(Xn，y(Xn) 0(t 1)(t2)(t 3)dt f 區(qū) 1, 丫區(qū) J) °t(t 2)(t1 1f(Xn 2,y(Xn 2) 0t(t 1)(t 3)dt f (Xn 3(Xn 3) °t(t 1)(t2)dt3)dty(Xn 1)y(X

26、n)刃55f(Xn,y(Xn) 59f(Xn1，y(Xn1)37 f (Xn 2, y(Xn 2)9f (Xn 3, y(Xn 3)令yi代替y(Xi),i n 1,n,n 1,n 2,n 3，從而得到四步Admas (外插)公式那么有:hyn 1 yn 一 55f(Xn,yn) 59彳區(qū)1皿1)37彳區(qū)2皿2)9心33)24yn55fn59 fn137 fn 29 fn3(注：記fif(Xj,yJ,i n, n 1, n 2,n3)24r步的Adams方法計(jì)算時(shí)必須先用其他方法求出前面r個初值y. 1, yn 2, , yn r 1才能按 給定公式算出后面各點(diǎn)的值，它每步只需計(jì)算一個新的f值

27、，計(jì)算量少，但改變步長時(shí)前面的yn 1, yn 2, yn r 1也要跟著重算，不如單步法簡便局部截?cái)嗾`差：當(dāng) y(Xi) y,iYn 1 Ynn,n 1,n2,n 3時(shí)，由上知:Xn 1F3 (x)dxXny(Xn 1)從而：y(xnR3(X)Xn 1x P3(x) R3(x)dxxnXn 11)yn 1R3(X)dXn(4)1 d()f(x, y(x)y(Xn)4! dx41 d(4)(y'(x)(X Xn)(X XnJ(X Xn2)(XXn 3)Xn 1X (X4!dx44/)()(x 皿Xn)(XXm)(XXn2)(XXnXn 1)(X Xn 2)(X Xn 3)3)R3 (x

28、)dxXnXXn,Xn令 X Xn th，Xn 11(5)xy ( )(X Xn)(X Xn J(X Xn 2)(XXn 4!,(X Xn)(X Xn 1)(X Xn2)(X Xn 3)0 保號Xn 2 Xn 2 Xn 3，從而1并有Xny(Xn 1) yn 1XnXn因此是四階方法R3(x)dxXn 1 Xnh5(5)(4!Xn 3)dX119MW 2)(t 3)dt 莎h5y(5)()5O(h )2、Adams三步隱式公式(內(nèi)插公式)選(Xn1, f (Xn 1, y(Xn1),(Xn, f (Xn, y(Xn),(Xn1, f (Xn 1, y(Xn 1),hyn 1 yn 55f(Xn

29、,yn)24局部截?cái)嗾`差：y(Xn 1) yn 159f (Xn 1, yn 1)37f (Xn 2 , Yn 2)9f (Xn 3, yn 3)Xn 1xR3(x)dxx n251頹h5y () O(h5)，三步四階隱式方法(xn 2, f (xn 2, y(Xn 2),四節(jié)點(diǎn)作三次多項(xiàng)式插值：f(X,y(X) P3(X)只3( X) 類似可得：y(Xn 1 )h必)2455f(Xn,y(Xn) 59f(Xn 小區(qū) J) 37心小風(fēng) J) 9f(Xn 3,y(xn 3)用yn代替y(Xn 1)那么有:、Adams預(yù)測-校正方法Adams顯式方法計(jì)算簡單，但精度比隱式方法差，而隱式方法由于每步

30、要做迭代，計(jì)算不方便為了防止迭代，通?？蓪⑼A的顯式Adams方法與隱式Adams方法結(jié)合，組成預(yù)測-校正方法.以四階方法為例，可用顯式方法()計(jì)算初始近似yn°)i，這個步驟稱為預(yù)測 (Predictor)，以P表示，接著計(jì)算f值(Evaluatio n),曾f(Xni,yno)i)，這個步驟用E表示，然后用隱式公式(7.5.10)計(jì)算yn 1，稱為校正(Corrector)，以C表示，最后再計(jì)算，為下一步計(jì)算做準(zhǔn)備.整個算法如下:h預(yù)測:yn 1 yn (55fn 59 fn 1 37 fn 2 9 fn 2)24_求值:fn 1 f ( Xn 1, yn 1)校正:yn1yn

31、(9fn119 fn5fn_1fn2)24 求值:yn 1 f(Xn, yn 1)上式稱為四階Adams預(yù)測-校正方法(PECE).例7.6用四階顯式Adams方法及四階隱式Adams方法解初值問題，步長h=0.1計(jì)算得到.用到的初始值由精確解解 此題直接由公式 (7.5.8)及 (7.5.10)計(jì)算得到 .對于顯式方法，將直接代入式 (7.5.8)得到其中對于隱式方法，由式 (7.5.10)可得到直接求出，而不用迭代，得到計(jì)算結(jié)果如表所示§ 5 單步法的收斂性與絕對穩(wěn)定性是單單步法的收斂性定義4.1設(shè)y(x)是初值問題 的精確解,步 法 (7.3.2) 在處 產(chǎn) 生 的 近 似 解

32、 , 假設(shè)收斂于那么 稱 方 法 (7.3.2)產(chǎn) 生 的 數(shù) 值 解實(shí)際上，定義中是一固定點(diǎn)，當(dāng) hO時(shí)nfg, n不是固定的.因顯然方法收斂那么在固定點(diǎn)處的整體誤差當(dāng)p>1時(shí)面定理給出方法 收斂的條件 .定理4.1 設(shè)初值問題的單步法732是p階方法p > 1,且函數(shù)對y滿足Lipschitz條件，即存在常數(shù)L > 0,使對，均有定理證明略 .可見 3那么方法 (7.3.2)收斂，且二、 絕對穩(wěn)定性，由于原始數(shù)據(jù)及計(jì)用單步法 (7.3.2)求數(shù)值解算過程舍入誤差影響,實(shí)際得到的不是而是，其中誤差，再計(jì)算下一步得到以 Euler 法為例，假設(shè)令,那么(7.4.1)如果那么從

33、冷口誤，用 Euler 法求計(jì)算到差不增長，它是穩(wěn)定的 .但如果條件不滿足就不穩(wěn)定例 7.4 y' =00y,y(0)=1,精確解為 解得假設(shè) 取 h=0.025 ， 那么，而 ，顯 然計(jì)算是不穩(wěn)定的 .如果用后退Euler法(725)解此例，仍取h=0.025，那么顯然當(dāng)，計(jì)算是穩(wěn)定的有關(guān)，在此由此看到穩(wěn)定性與方法有關(guān)，也與例中.在研究方法的穩(wěn)定性時(shí)，通常不必對一般的f(x,y) 進(jìn)行討論，而只針對模型方程這里(7.4.2)可能為復(fù)數(shù).規(guī)是因?yàn)?時(shí) 微分方程 (7.4.2)本身是不穩(wěn)定的，而討論數(shù)值方法 (7.3.2)的穩(wěn)定性，必須在微分方程本身穩(wěn)定 的 前 提 下 進(jìn) 行 . 另 一 方 面 ， 對 初 值 問 題 (1) ， 假設(shè) 將 f(x,y) 在處線性展開，可得于是方程 (1)可近似表示為它說明用模型方程(742)是合理的，至于模型方程(742)中所以用復(fù)數(shù) 入是因?yàn)槌踔祮栴} 如 果 是 方 程 組 ， 即， 那么是(mXm)階矩陣，其特征值可能是復(fù)數(shù).當(dāng)然對單個方程，