12時間序列模型3

1、 案例分析1：中國人口時間序列模型（file:b2c1）（怎樣建立AR模型） 圖2.11 中國人口序列（1949-2000） 圖2.12 中國人口一階差分序列（1950-2000）從人口序列圖可以看出我國人口總水平除在1960和1961兩年出現(xiàn)回落外，其余年份基本上保持線性增長趨勢。51年間平均每年增加人口1451.5萬人，年平均增長率為17.5 。由于總?cè)丝跀?shù)逐年增加，實際上的年人口增長率是逐漸下降的。把51年分為兩個時期，即改革開放以前時期（19491978）和改革開放以后時期（19791996），則前一個時期的人口年平均增長率為20，后一個時期的年平均增長率為13.4。從人口序列的變化特

2、征看，這是一個非平穩(wěn)序列。見人口差分序列圖。建國初期由于進入和平環(huán)境，同時隨著國民經(jīng)濟的迅速恢復(fù)，人口的年凈增數(shù)從1950年的1029萬人，猛增到1957年的1825萬人。由于糧食短缺，三年經(jīng)濟困難時期是建國后我國惟一一次人口凈負增長時期（1960，1961），人口凈增值不但沒有增加，反而減少。隨著經(jīng)濟形勢的好轉(zhuǎn)，從1962年開始人口年增加值迅速恢復(fù)到1500萬的水平，隨后呈連年遞增態(tài)勢。1970年是我國歷史上人口增加最多的一個年份，為2321萬人。隨著70年代初計劃生育政策執(zhí)行力度的加強，從1971年開始。年人口增加值逐年下降，至1980年基本回落到建國初期水平。1981至1991年人口增加

3、值大幅回升，主要原因是受19621966年高出生率的影響（1963年為43.73）。這種回升的下一個周期將在2005年前后出現(xiàn)，但強勢會有所減弱。從數(shù)據(jù)看，1992年以后，人口增加值再一次呈逐年下降趨勢。由于現(xiàn)在的人口基數(shù)大于以往年份，所以盡管年增人口仍在1千萬人以上，但人口增長率卻是建國以來最低的（1996年為10.5）。從yt的變化特征看，1960，1961年數(shù)據(jù)可看作是兩個離群值，其它年份數(shù)據(jù)則表現(xiàn)為平穩(wěn)特征。但也不是白噪聲序列，而是一個含有自相關(guān)和（或）移動平均成分的平穩(wěn)序列。下面通過對人口序列yt和人口差分序列Dyt的相關(guān)圖，偏相關(guān)圖分析判別其平穩(wěn)性以及識別模型形式。圖2.13 yt

4、的相關(guān)圖，偏相關(guān)圖圖2.14 Dyt的相關(guān)圖，偏相關(guān)圖（虛線到中心線的距離是2 (1/) = 0.28）見圖2.13和圖2.14。人口序列yt是非平穩(wěn)序列。人口差分序列Dyt是平穩(wěn)序列。應(yīng)該用Dyt建立模型。因為Dyt均值非零，結(jié)合圖2.14擬建立帶有漂移項的AR(1)模型。估計結(jié)果如下：Dyt = 0.1429 + 0.6171 (Dyt-1 - 0.1429) + vt (8.7) (5.4) R2 = 0.38, Q(10) = 5.2, Qa (k-p-q) = Q0.05 (10-1-0-1) = 15.5模型參數(shù)都通過了顯著性t檢驗。注意：（1）根據(jù)Wold分解定理，EViews的

5、輸出格式表示的是，對序列(Dyt - 0.1429) 建立AR(1)模型，而不是對Dyt建立AR(1)模型。（2）整理輸出結(jié)果：Dyt = 0.1429 (1-0.6171) + 0.6171 Dyt-1 + vt = 0.0547 + 0.6171 Dyt-1 + vt漂移項a = 0.0547，特征根是1 / 0.62 = 1.61。輸出結(jié)果中的0.1429是Dyt的均值，不是模型漂移項。以AR(1)過程xt=a+f1 xt-1 + ut為例，兩側(cè)求期望，得均值m 和漂移項q0的關(guān)系是E(xt) =m ，或 a =m (1-f1) 對整理后的輸出結(jié)果兩側(cè)求期望，就會反求出m = 0.054

6、7/ (1-0.6171) = 0.1429（3）有沒有漂移項對求特征方程和特征根無影響。模型殘差的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖如下，圖2.15 表2.5中模型（1）殘差序列的相關(guān)圖，偏相關(guān)圖因為Q(10) = 5.2 < c20.05( 10-1-0) = 16.9可以認為模型誤差序列為非自相關(guān)序列。EViews操作方法：從EViews主菜單中點擊Quick鍵，選擇Estimate Equation功能。隨即會彈出Equation specification對話框。輸入漂移項非零的AR(1)模型估計命令（C表示漂移項）如下： D(Y) C AR(1)注意：（1）不能把命令中的AR(1)寫成D(Y

7、(-1)（寫成D(Y (-1)意味著做OLS估計）。（2）寫成D(Y)的好處是EViews可以直接對Y、D(Y)進行預(yù)測。（3）模型中若含有移動平均項，EViews命令用MA(q)表示。（4）估計的時間序列模型的R2不可能很高。因為變量差分后損失了很多信息。（5）估計的模型是否成立應(yīng)該從3個方面檢查，模型參數(shù)估計量必須通過t檢驗；全部的特征根的倒數(shù)必須在單位圓以內(nèi)；模型的殘差序列必須通過Q檢驗。（6）在模型估計結(jié)果窗口通過View/ARMA Structure/Correlogram命令可以觀察樣本的相關(guān)圖與理論AR(1)過程相關(guān)圖的對比圖。下面進行預(yù)測：Dy2001 = 0.0547 + 0

8、.6171 Dy2000 + v2001 = 0.0547 + 0.6171´ 0.0957 +0= 0.1138 y2001 = y2000 + Dy2001 = 12.6743 + 0.1138 = 12.7881EViews給出的預(yù)測值是12.78806，結(jié)果相同。預(yù)測的EViews操作方法：把樣本容量調(diào)整到1949-2001。打開估計式窗口，在Equation Specification（方程設(shè)定）選擇框輸入命令，D(Y) C AR(1)，保持Method（方法）選擇框的缺省狀態(tài)（LS方法），在Sample（樣本）選擇框中把樣本范圍調(diào)整至1949-2000。點擊OK鍵，得到估

9、計結(jié)果后，點擊功能條中的預(yù)測（Forecast）鍵。得對話框及各種選擇狀態(tài)見下圖。點擊OK鍵，YF和YFse序列出現(xiàn)在工作文件中。打開YF序列窗口，得2001年預(yù)測值12.78806，見前圖。已知2001年中國人口實際數(shù)是12.7627億人。預(yù)測誤差為 h = 0.002圖2.17 點擊forecast鍵只選取2001年動態(tài)或靜態(tài)的預(yù)測結(jié)果 解法2： 把中國人口序列yt看作是含有確定性趨勢的平穩(wěn)序列。前提是中國人口序列yt必須是退勢平穩(wěn)序列。用yt對時間t回歸,得yt = 5.0152 + 0.1502 t + ut(110) (102) R2 = 0.995, (1949-2001)用ut檢

10、驗單位根如下。dut = -0.0940 ut-1 + 0.6681 dut-1(-2.5) (6.3) R2 = 0.45, (1951-2001), DF0.05 = -1.96圖16 ut序列ut是一個平穩(wěn)序列。所以yt是一個退勢平穩(wěn)序列。有理由建立一個含有固定趨勢項的時間序列模型。圖17 ut的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖通過觀察ut的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖，判定ut是一個二階自回歸過程。f1為正，f2為負。特征根應(yīng)該為復(fù)根。建立含有固定趨勢項的二階自回歸模型 Y C trend(1948) AR(1) AR(2)估計結(jié)果如下：寫表達式如下：yt = 4.9729 + 0.1508 t + ut, (1

11、949，t = 1)(34.9) (35.4) 其中ut = 1.5503 ut-1 - 0.6491 ut-2 + vt , (1949，t = 1) (13.7) (-5.9) 或?qū)憺?yt = 4.9729 + 0.1508 t + 1.5503 ut-1 - 0.6491 ut-2 + vt , (1949，t = 1)(34.9) (35.4) (13.7) (-5.9) R2 = 0.995, (1951-2000) , Q(10) = 4.6, Qa (k-p-q) = Q0.05 (10-2-0-2) = 12.6模型殘差序列的相關(guān)與偏相關(guān)圖如下，根據(jù)上式預(yù)測，2001年中國人

12、口預(yù)測數(shù)是y2001 = 4.9729 +0.15082´53 +1.5503´(-0.15179) - 0.6491´ (-0.09728)=12.7942（億人）, (2001年, t = 53)也可以把輸出結(jié)果寫為，yt = 4.9729+0.1508 t +1.5503 (yt-1-4.9729-0.1508(t-1) - 0.6491(yt-2-4.9729-0.1508(t-2)+vt(34.9) (35.4) (13.7) (-5.9) 整理后得yt = 0.5293+0.0149 t +1.5503 yt-1 - 0.6491yt-2 + vt 注

13、意：EViews的輸出格式表示的是對序列(yt -4.9729-0.1508t)估計AR(2)模型。根據(jù)上式預(yù)測，2001年中國人口預(yù)測數(shù)是y2001 = 0.5293 + 0.0149 ´53 +1.5503´ (12.6743)-0.6491´ (12.5786)=12.8032（億人）, (2001年, t = 53)EViews預(yù)測的結(jié)果是12.8033。已知2001年中國人口實際數(shù)是12.7627億人。預(yù)測誤差為 h = 0.003圖2.18 點擊forecast鍵只選取2001年動態(tài)或靜態(tài)的預(yù)測結(jié)果案例2 日本人口時間序列模型（file:japopu）

14、（怎樣建立缺項的AR模型） 圖1 日本人口序列(yt) 日本人口差分序列(Dyt) 人口數(shù)字之所以起于1872年，是因為1872年日本才有了全國人口統(tǒng)計數(shù)字。在122年間（1872-1994），日本人口從3480.6萬人增至12503.4萬人（3.6倍）。日本人口增加的特點是兩頭慢，中間快。同時在1944-1946年和1972年人口總量出現(xiàn)了激烈波動。1944-1946年的波動是因為戰(zhàn)敗，1972年的波動是由于美國歸還沖繩。由圖1中的相關(guān)圖可以判定日本人口序列yt是一個非平穩(wěn)序列。由圖2可以看出日本人口差分序列Dyt是一個平穩(wěn)序列。圖3是日本人口的二次差分序列DDyt。它也是一個平穩(wěn)序列。差分

15、序列Dyt的極差是0.059，差分序列DDyt的極差是0.087?？梢奃Dyt是一個過度差分序列。應(yīng)該用Dyt建立時間序列模型。日本歷史上有兩次大規(guī)模向國外學(xué)習的過程。一次是大化改新。大化改新（公元645-649）是一場以圣德太子政治理念為基礎(chǔ)的貴族革命。圣德太子（公元574-622）一心加強皇權(quán)，決心向中國學(xué)習，啟蒙日本。他四度向中國派遣使團和留學(xué)生。在它的影響下，其死后23年，即公元645年，中大兄皇子發(fā)動政變，成功地建立了類似唐朝的中央集權(quán)機構(gòu)。一次是明治維新。明治維新始于1868年。從而開始了全面向西方學(xué)習的歷史?？谔柺恰案粐鴱姳保ǜ芍I吉）。主要措施是（1）加強中央集權(quán)，1871年

16、實施“廢藩治縣”，（2）1872年采取美國三權(quán)分立的政治體制，（3）1872年統(tǒng)一貨幣，實行1日元=1美元的兌換率，（3）1872年開始修鐵路、建立現(xiàn)代統(tǒng)計制度，采用陽歷等，（4）1873年遷都東京。 圖2 yt的相關(guān)圖與偏相關(guān)圖, Dyt的相關(guān)圖與偏相關(guān)圖 圖3 日本人口二次差分序列D2yt D2yt相關(guān)圖、偏相關(guān)圖由Dyt的相關(guān)圖、偏相關(guān)圖（見圖2）初步判定應(yīng)建立均值非零的AR(3) 或AR(4) 模型。估計結(jié)果如下： 先估計AR(4) 模型，化簡至AR(3) 模型圖4 EViews估計結(jié)果圖5 模型 (2.79) 殘差的相關(guān)圖與偏相關(guān)圖對應(yīng)的模型表達式是Dyt = 0.0076 + 0.

17、2627 (Dyt-1 - 0.0076) + 0.2767 (Dyt-3 - 0.0076) + vt (7.4) (3. 0) (3.2) R2 = 0.19, Q = 7.0, Qa (k-p-q) = Q0.05 (15-2-0) = 22.4注意：EViews的輸出格式表示的是對序列(Dyt - 0.0076)估計AR(3)模型。整理：Dyt = 0.0076 (1-0.2627-0.2767) + 0.2627 Dyt-1 + 0.2767 Dyt-3 + vtDyt = 0.0035 + 0.2627 D yt-1 + 0.2767 D yt-3 + vt通過t值、DW值、F值和

18、Q值，說明 (2.79) 式是一個滿意的日本人口模型。圖5顯示模型 (2.79) 的殘差中已不含有自回歸和移動平均成分。模型特征方程的3個根是 z1 = 1 / 0.75 = 1.33 z2 = 1 / (-0.24 - 0.56 i ) = 0.9375 - 2.1875i z3 = 1 / (-0.24 + 0.56 i ) = 0.9375 +2.1875i下面利用模型 (2.79) 預(yù)測 y1995，并計算預(yù)測誤差。已知dy1994 = 0.0027，dy1992 = 0.00409，則預(yù)測結(jié)果是， 1995 = 0.0035 + 0.2627 Dy1994 + 0.2767 Dy19

19、92 = 0.0035 + 0.2627´ 0.0027 + 0.2767 ´ 0.0041 = 0.0053 1995 = y1994 +1995 = 1.25034 + 0.0053 = 1.25564已知1995年日本人口實際數(shù)是1.25569億人。預(yù)測誤差為 h = 0.00004案例3 中國糧食產(chǎn)量序列（yt）的MA模型（file: 5arma07）（怎樣建立MA模型） 糧食產(chǎn)量（yt）定義見中國統(tǒng)計年鑒2005。Yt是一個非平穩(wěn)序列。用它的對數(shù)差分序列dLnyt建立時間序列模型。dLnyt的自相關(guān)函數(shù)見下圖。dLnyt是一個ARMA過程或MA過程。ARMA()過

20、程首先估計ARMA(1,1)模型。結(jié)果如下：dLnyt = 0.025 -0.320 (dLnyt-1 - 0.025) + vt +0.784 vt-1 (2.3) (-1.7) (6.1)R2 = 0.19, Q(15) = 11.6, Qa (k-p-q) = Q0.05 (15-1-1) = 22.4 注意：如果估計結(jié)果中有均值項，只在自回歸項中減之，不必在移動平均項中減之。自回歸項沒有顯著性，去掉AR(1)項，進一步建立MA(1)模型。結(jié)果如下：dLnyt = 0.027 + vt +0.5963 vt-1 (2.1) (5.6) R2 = 0.13, Q(20) = 28.2, Q

21、a (k-p-q) = Q0.05 (20-0-1-1) = 28.9上述模型的各種檢驗與診斷都能通過，可以作為備選模型。如果進一步分析，還可以把模型做得更好。觀察殘差序列發(fā)現(xiàn)在7年和10年上仍有較大的自相關(guān)。這預(yù)示著序列中還存在710年的變化周期。下圖給出的是dLnyt 作3年移動平均后退去趨勢的序列，顯然該序列存在著710年的變化周期。把vt-7和vt-10作為變量加入模型。得結(jié)果如下：dLnyt = 0.025 + vt +0.3187 vt-1 -0.1623 vt-7 -0.6895 vt-10 (4.8) (4.2) (-3.0) (-14.1) R2 = 0.37, Q(15)

22、= 17.0, Qa (k-p-q) = Q0.05 (15-0-3-1) = 19.72.7回歸與ARMA組合模型（combined regression-time series model）。 已經(jīng)學(xué)習回歸模型和時間序列模型，如果把這兩種分析方法結(jié)合在一起，有時會得到比其中任何一種方法都好的預(yù)測結(jié)果。 例如有如下回歸模型yt = b0 + b1 xt + ut （15）其中xt是解釋變量，yt是被解釋變量，ut是隨機誤差項。上述模型的估計式是yt =+xt +令= 0，用上式可預(yù)測yt的值。是一個平穩(wěn)的、非自相關(guān)的殘差序列。當存在自相關(guān)時，時間序列分析的一個有效應(yīng)用是對殘差序列建立ARMA

23、模型。然后將上式中的殘差項用ARMA模型替換。在利用上述模型預(yù)測yt時，可以利用ARMA模型先預(yù)測出的值。有時，這會使yt的預(yù)測值更準確。這種回歸與時間序列相結(jié)合的模型形式是yt =+xt + F -1(L) Q (L) vt （16）其中= F -1(L) Q (L) vt，或?qū)懗蒄 (L)= Q (L) vt。vt是服從正態(tài)分布的、非自相關(guān)的誤差項。vt的方差一般與不一樣。這種回歸與時間序列相組合的模型稱作轉(zhuǎn)（變）換函數(shù)模型（transfer function model），多元（變量）自回歸移動平均模型（multivariate autoregressive -moving averag

24、e model），簡稱MARMA模型，或回歸與時間序列組合模型（combined regression-time series model）。 假設(shè)（15）式中的ut是一個ARMA(1, 1)過程，則估計（15）式的EViews估計命令是Y c X AR(1) MA(1) 注意：（1）如果（15）式中的ut是一個AR(1) 過程，則回歸與ARMA組合模型表達的就是誤差項為一階自相關(guān)的經(jīng)典回歸模型。（2）以（16）式為例，按Wold分解定理，也可以對轉(zhuǎn)換函數(shù)模型作如下理解。yt - b0 - b1 xt = ut表示在yt中剔除了確定性影響b0 +b1 xt后所得序列ut是一個不含任何確定性成分

25、的平穩(wěn)的隨機序列。用ut建立時間序列模型?；貧w與ARMA組合模型也可以由被解釋變量及其滯后項、一個或多個解釋變量及其滯后項、和描述隨機誤差序列的時間系列模型3部分組成。 只含有一個解釋變量的轉(zhuǎn)換函數(shù)模型，即一元回歸與ARMA組合模型的一般形式是A(L) yt = B(L) xt +F -1(L) Q (L) vt其中ut =F -1(L) Q (L) vt。A(L)是yt的特征多項式，B(L)是xt的特征多項式。F(L)是ut的特征多項式，Q(L)是vt的特征多項式。在實際應(yīng)用中，轉(zhuǎn)換函數(shù)模型的結(jié)構(gòu)部分可以利用經(jīng)濟理論和計量經(jīng)濟分析方法得到，而轉(zhuǎn)換函數(shù)模型的時間序列部分（ut）可以通過時間序列

26、模型的分析方法得到。案例4 中國宏觀消費案例（file:china）中帶有自相關(guān)的估計結(jié)果如下= 0.1932 + 0.9256 LnGDPt (3.0) (118.8) R2 = 0.9965, DW = 0.77, s.e. = 0.0584, (1952-2002)殘差序列的相關(guān)與偏相關(guān)圖如下。應(yīng)該是一個2階自回歸過程。對LnCPt建立回歸與時間序列組合模型，或?qū)ι鲜綒埐罱r間序列模型，EViews命令是：LnCP C LnGDP AR(1) AR(2)估計結(jié)果如下，LnCPt = 0.1635 + 0.9291 LnGDPt + 0.6166 AR(1) - 0.5318 AR(2)

27、 + (1.6) (57.4) (7.1) (-4.2) R2 = 0.998, DW = 1.84, s.e. = 0.04, (1954-2002) 即，LnCPt = 0.1635 + 0.9291 LnGDPt + 0.6166- 0.5318+ 消費對國內(nèi)生產(chǎn)總值的真實彈性是0.929。案例5：（file: 5line03，5autoco7，autoco7）（廣義2階差分）中國儲蓄存款總額（Y，億元）與GDP（億元）的計量經(jīng)濟模型 用Yt對GDPt回歸（eq03），Yt = -3028.56 -0.6975 GDPt(-4.6) (36.6) R2 = 0.97, DW=0.17, T = 42, (1960-2001) 殘差圖如下，圖1 線性模型的擬合與殘差圖 （2階自相關(guān)的LM檢驗結(jié)果，存在自相關(guān)。）（無交叉項White異方差檢驗結(jié)果，存在異方差。）上面估計模型誤差項中既存在嚴重的自相關(guān)又存在異方差。下面建立對數(shù)線性模型。（eq01）LnYt = -8