專題(二)2013九年級復習——妙解二次函數(shù)解析式

1、專題(二）妙求解二次函數(shù)的解析式求二次函數(shù)y=ax2 +bx+c(a0,a、b、c為常數(shù))的解析式，是必須完全掌握的基礎知識和基本方法，也是近年來中考考察的重點內(nèi)容，現(xiàn)歸納如下。方法一 利用圖象上三個點的坐標代入二次函數(shù)的基本形式 y=ax2 +bx+c，組成三元一次方程組進行求解。例1 已知：一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（1，-4）、（-1，0）、（-2，5）三個點，求這個二次函數(shù)的解析式。說明：此法可詳見教材。 方法二 已知二次函數(shù)的圖象的頂點（h，k ）及另一個點的坐標，可用公式：y=a(x-h)2+k求這個二次函數(shù)的解析式。例2 已知二次函數(shù)的圖象的頂點為(2，-1)，拋物線與y 軸相交與一

2、點(0，1)， 求這個二次函數(shù)的解析式。解：設這個二次函數(shù)的解析式為 y=a(x-2)2 -1， 將點(0，1)代入解析式，得a(0-2)2 1=1解得 a= 所以，所求的解析式為 y= (x-2)2 -1=x2-2x+1。說明： 解題時要注意“頂點”的靈活性，題目中不一定直接給出，要根據(jù)已知轉(zhuǎn)化為頂點，方可使用。如：下面幾道題目都是可用這一方法進行求解二次函數(shù)的解析式。 已知一條拋物線，當 x=3時，y有最小值-2，并且經(jīng)過點(5，0)； 若拋物線的對稱軸是x=1，函數(shù)有最大值4 ，并且經(jīng)點(0，3)； 二次函數(shù)的最小值為-10，當x-1時，函數(shù)y 隨著x 的增大而減小；當x-1時，函數(shù)y

3、隨著x 的增大而增大；并且經(jīng)過點 (2，8) ； 拋物線與 x軸有且只有一個公共點(2，0) ，并且交y軸于(0，2) 點。 若拋物線的對稱軸是x=2， 并且經(jīng)過點(3，8)，與x 軸的兩個交點的距離為6。方法三 同學們都知道用求根公式進行二次三項式的因式分解公式：若方程ax2 +bx+c=0(a0),有兩個根x1 、x2 ，則ax2 +bx+c=a(x-x1)(x-x2) ，而x1 、x2 正是拋物線y=ax2 +bx+c(a0)與x 軸的兩個交點的橫坐標，所以，若已知圖象與x 軸的兩個交點的橫坐標及另一個點的坐標，我們可以使用公式y(tǒng)= a(x-x1)(x-x2) 進行求解。例3 已知拋物線

4、y=ax2 +bx+c與 x軸的兩個交點的橫坐標是-1 和1 ，與y軸交點的坐標是(0，1)，求這條拋物線的解析式。解：設這個二次函數(shù)的解析式為y= a(x+1)(x-1) ，將點(0，1) 代入解析式，得a(0+1)(0-1)=1，解得a=-1， 所以，所求的解析式y(tǒng)=-(x+1)(x-1)=-x2+1。說明：有時也以坐標的形式出現(xiàn)。如：已知拋物線與 x 軸交與(-1，0) 和(2，0) 兩點，并且經(jīng)過(1，6)，求這條拋物線的解析式。下面，我們來看一下具有多種解法及其它解法的題目。例4已知二次函數(shù)的圖象的頂點為A(3，-2) ，并且經(jīng)過B(1，0)、C(5，0)，求這條拋物線的解析式。分析

5、：此題有三個已知點的坐標，所以可利用方法一；知道頂點坐標，又可利用方法二；知道與x 軸的兩個交點坐標，所以，又可利用方法三。詳解（略）。例5已知二次函數(shù)有最大值2，與 x軸交與(-1，0)、(5，0)兩點，求這條拋物線的解析式。解法一：可設 y=ax2 +bx+c ，由題意知 =2，a-b+c=0，25a+5b+c=0 詳解（略）。解法二： 因為知道與 軸的兩個交點 x1 、x2 ，由根與系數(shù)的關系式可知x1 +x2 = - ，而對稱軸的方程x= - = = ，所以對稱軸的方程也為x=.-1+5 2解：對稱軸的方程x= =2 ，所以頂點為 (2，2) ，再利用方法二 即可。詳解（略）。解法三:因為頂點求出為(2，2) ，利用方法三即可。詳解（略）。例6已知二次函數(shù)有最小值-8 ，且 a:b:c=1:2:(-3)，求這條拋物線的解析式。解：令每份為 k ，則 a=k，b=2k，c=-3k，又因為 =-8，代入即可，以下解略?！靖酱鸢浮浚?y= x2-3x+ y=-4(x-1)2+4y=2x2+4