直線與方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)直線與方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、直線基本知識(shí)1、直線的傾斜角與斜率（1）直線的傾斜角關(guān)于傾斜角的概念要抓住三點(diǎn)：. 與 x 軸相交 ;.x 軸正向 ;. 直線向上方向.直線與x 軸平行或重合時(shí), 規(guī)定它的傾斜角為00 .傾斜角的范圍001800 .090 , k0 ；90180 ,k0（2）直線的斜率直線的斜率就是直線傾斜角的正切值，而傾斜角為90 0 的直線斜率不存在。經(jīng)過(guò)兩點(diǎn) P1 (x1, y1 ), P2 (x2 , y2 ) （ x1x2 ）的直線的斜率公式是 ky2y1 （ x1x2 ）x2x1每條直線都有傾斜角，但并不是每條直線都有斜率。2、兩條直線平行與垂直的判定（1

2、）兩條直線平行對(duì)于兩條不重合的直線l1 ,l 2 ，其斜率分別為k1 , k2 ，則有 l1 / /l 2k1k2 。特別地，當(dāng)直線 l1 ,l 2 的斜率都不存在時(shí)，l1與 l 2 的關(guān)系為平行。（2）兩條直線垂直如果兩條直線 l1 ,l 2 斜率存在，設(shè)為 k1, k2 ，則 l1l 2k1 k21注：兩條直線 l1 ,l2 垂直的充要條件是斜率之積為-1 ，這句話不正確；由兩直線的斜率之積為 -1 ，可以得出兩直線垂直， 反過(guò)來(lái)，兩直線垂直， 斜率之積不一定為 -1 。如果 l1 , l2 中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0 時(shí)， l1與 l2 互相垂直。二、直線的方程1、直

3、線方程的幾種形式名稱方程的形式已知條件局限性點(diǎn)斜式y(tǒng)1k( x x1)( x1, y1 ) 為直線上一定點(diǎn)，不包括垂直于 x 軸y的直線k 為斜率斜截式kxbk 為斜率， b 是直線在 y不包括垂直于 x 軸y軸上的截距的直線學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)兩點(diǎn)式x x1( x1, y1 ), (x2, y2 ) 是直 線 上不包括垂直于 x 軸y y1和 y 軸的直線y2 y1x2 x1兩定點(diǎn)(其中 x1x2 , y1y2 )截距式xya1b一般式AxBy C 0(其中 A, B不同時(shí)為 0）a 是直線在 x 軸上的非零不包括垂直于 x 軸截距， b 是直線在 y 軸上和 y 軸或過(guò)原點(diǎn)的的非零截距直線A

4、，B，C為系數(shù)無(wú)限制，可表示任何位置的直線注：過(guò)兩點(diǎn) P1 (x1, y1 ), P2 (x2 , y2 ) 的直線是否一定可用兩點(diǎn)式方程表示？（不一定。（1）若 x1x2且 y1y2 ，直線垂直于 x 軸，方程為 x x1 ；（2）若 x1x2且 y1 y2 ，直線垂直于 y 軸，方程為 yy1 ；（3）（ 3）若 x1x2且 y1y2 ，直線方程可用兩點(diǎn)式表示）2、線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式x1x2若兩點(diǎn) 1( 1, 1), 2( 2,2 ) ，且線段x2y12的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x, y)，則P x y P xP , Py1y2y23.過(guò)定點(diǎn)的直線系斜率為 k 且過(guò)定點(diǎn) ( x0 , y0 ) 的

5、直線系方程為 yy0 k(xx0 ) ； 過(guò) 兩 條 直 線 l1 : A1 x B1 y C1 0 ,l2 : A2 xB2 y C20的交點(diǎn)的直線系方程為A1 x B1 y C1( A2 x B2 y C2 ) 0 （為參數(shù)），其中直線 l 2 不在直線系中 .三、直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式1. 兩條直線的交點(diǎn)設(shè)兩條直線的方程是 l1: A1 x B1 y C1 0 , l2 : A2 x B2 y C2 0 兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)A1 xB1 yC10就是方程組B2 yC2的解，A2 x0若方程組有唯一解，則這兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無(wú)解，則兩條直線無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行

6、；反之，亦成立。2. 幾種距離（1）兩點(diǎn)間的距離學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)平面上的兩點(diǎn) P1 ( x1 , y1), P2 ( x2 , y2 ) 間的距離公式 P1 P2( x2x1 )2( y2 y1) 2特別地，原點(diǎn) O (0,0) 與任一點(diǎn) P(x, y) 的距離 OPx2y 2（2）點(diǎn)到直線的距離點(diǎn) P ( x0 , y0 ) 到直線 l : AxByCAx0 By0 C0 的距離 dB2A2（3）兩條平行線間的距離兩條平行線 l1 : Ax ByC10 ,C2C1l 2 : Ax By C 2 0 間的距離 dB2A2（注意：求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，直線方程要化為一般式； 求兩條平行線間的距離

7、時(shí)，必須將兩直線方程化為系數(shù)相同的一般形式后，才能套用公式計(jì)算。）補(bǔ)充：1、直線的傾斜角與斜率（1）直線的傾斜角（2）已知斜率 k 的范圍，求傾斜角的范圍時(shí)，若 k 為正數(shù)，則的范圍為 (0,)2的子集，且 k=tan 為增函數(shù)；若 k 為負(fù)數(shù)，則的范圍為 (, ) 的子集，且 k=tan為增2函數(shù)。若 k 的范圍有正有負(fù)，則可所范圍按大于等于0 或小于 0 分為兩部分，針對(duì)每一部分再根據(jù)斜率的增減性求傾斜角范圍。2 、利用斜率證明三點(diǎn)共線的方法：已知 A(x1, y1 ), B( x2 , y2 ), C (x3, y3 ), 若 x1x2x3或 kABkAC ，則有 A、B、C 三點(diǎn)共線。

8、注：斜率變化分成兩段，90 0 是分界線，遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否需討論。3. 兩條直線位置關(guān)系的判定：已知l1 : AxByC1 0,l2 : AxByC20 ，則：（ 1） l1l 2A1 A2B1 B20（2） l1 / l 2A1B2 - A2 B10, A1C2A2C10;（3） l1與 l 2重合A1B2 - A2B10, A1C2A2C10;（4） l1 與 l2 相交A1B2A2 B10如果 A2 B2 C20 時(shí)，則：學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)(1)l1l2A1A21B1B2(2)l1/ l2A1B1C1 ( A2, B2, C2不為 0）；A2B2C2(3)l1 與 l 2 重合A

9、1B1C1( A2, B2 ,C2不為 ）A2B2C 20(4)l1 與 l 2 相交A1B1不為 ）A2B2( A2, B204. 有關(guān)對(duì)稱問(wèn)題常見的對(duì)稱問(wèn)題：（1）中心對(duì)稱x2ax1若點(diǎn) M ( x1 , y1) 及 N ( x2 , y2 ) 關(guān)于 P( a,b) 對(duì)稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得y2by1直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，其主要方法是：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程，或者求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用 l1 / l 2 ，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程。（2）軸對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱若兩點(diǎn) P ( x , y ) 與 P ( x , y ) 關(guān)于直

10、線 l : AxByC0對(duì)稱，則線段 P P 的中點(diǎn)在對(duì)稱11122212軸 l 上，而且連接 P1P2 的直線垂直于對(duì)稱軸l 上，由方程組A( x12x2 ) B( y12y2 ) C 0x2y2y1( A)1y2x2x1B可得到點(diǎn) P1 關(guān)于 l對(duì)稱的點(diǎn) P2 的坐標(biāo) ( x2 , y2 ) （其中 A 0, x1x2 ）直線關(guān)于直線的對(duì)稱此類問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱來(lái)解決，有兩種情況：一是已知直線與對(duì)稱軸相交；二是已知直線與對(duì)稱軸平行。注：曲線、直線關(guān)于一直線 yxb 對(duì)稱的解法： y 換 x ，x 換 y .例：曲線 f ( x, y) 0關(guān)于直線 y x 2對(duì)稱曲線方程是 f

11、( y2, x 2) 0曲線 C : f ( x, y) 0關(guān)于點(diǎn) (a,b) 的對(duì)稱曲線方程是 f (2a x,2by) 05. 兩條直線的交角直線 l 1 到 l 2 的角（方向角）；直線 l 1 到 l 2 的角，是指直線l 1 繞交點(diǎn)依逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)到與 l 2重合時(shí)所轉(zhuǎn)動(dòng)的角，它的范圍是 (0, ) ，當(dāng)90時(shí) tank2k1 .1 k1 k2兩條相交直線 l 1 與 l 2 的夾角：兩條相交直線l 1 與 l2 的夾角，是指由 l 1 與 l 2相交所成的四個(gè)角中最小的正角，又稱為 l 1 和 l 2 所成的角，它的取值范圍是0,，當(dāng)90 ，則2有 tank 2

12、k 1 .1 k 1k 26. 直線 l 上一動(dòng)點(diǎn) P 到兩個(gè)定點(diǎn) A、 B 的距離“最值問(wèn)題” ：(1) 在直線 l 上求一點(diǎn) P，使 PAPB 取得最小值，若點(diǎn) A、B 位于直線 l 的同側(cè)時(shí)，作點(diǎn)A （或點(diǎn) B ）關(guān)于 l 的對(duì)稱點(diǎn) A/或 B/,連接 A/B或 AB/ 交 l于P，則點(diǎn) P即為所求點(diǎn).()若點(diǎn) A、B 位于直線的異側(cè)時(shí)，連接 AB 交于 l 點(diǎn) P ，則 P 為所求點(diǎn)。可簡(jiǎn)記為“同側(cè)對(duì)稱異側(cè)連” . 即兩點(diǎn)位于直線的同側(cè)時(shí)，作其中一個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)；兩點(diǎn)位于直線的異側(cè)時(shí)，直接連接兩點(diǎn)即可 .（ 2）在直線 l 上求一點(diǎn) P 使 PAPB 取得最大值，方法與（ 1）恰好相反，

13、即“異側(cè)對(duì)稱同側(cè)連”若點(diǎn) A、B 位于直線 l 的同側(cè)時(shí)，連接 AB 交于 l 點(diǎn) P ，則 P 為所求點(diǎn)。若點(diǎn) A、B 位于直線的異側(cè)時(shí)，作點(diǎn)A （或點(diǎn) B ）關(guān)于 l 的對(duì)稱點(diǎn) A/或 B /,連接 A/ B(或 AB/ )交 l于P，則點(diǎn) P即為所求點(diǎn) .2 2(3) PA PB 的最值：函數(shù)思想“轉(zhuǎn)換成一元二次函數(shù)，找對(duì)稱軸” 。7. 直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題： 含有一個(gè)未知參數(shù)，y (a 1)x 2a 1y a( x 2) x 1（1）令 x2 0 x 2 ，將 x2代入 (1)式，得 y3，從而該直線過(guò)定點(diǎn) ( 2,3)含有兩個(gè)未知參數(shù)(3mn) x(m2n) yn0m(3xy)n(x2 y

14、1)0學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)13xy0x7令2 y13xy7從而該直線必過(guò)定點(diǎn)(1 , 3)7 78. 點(diǎn)到幾種特殊直線的距離（1）點(diǎn)00到x軸的距離d0。P(x, y )| y |（2）點(diǎn) P(x0, y0 )到 y 軸的距離 d| x0 | .（3）點(diǎn) P(x0, y0 )到與 x 軸平行的直線 y=a 的距離 d| y0a | 。（4）點(diǎn) P(x0, y0 )到與 y 軸平行的直線 x=b 的距離 d| x0a | .9. 與已知直線平行的直線系有：（ 1）平行于直線 Ax ByC0的直線可表示為AxBy C /0(C /C )（2）平行于直線 ykxb的所有直線為 ykxb / (b/b)10. 易錯(cuò)辨析：（1） 討論斜率的存在性：解題過(guò)程