直線參數(shù)方程的幾何意義

1、精品資料歡迎下載一、參數(shù)方程及參數(shù)等的幾何意義若傾斜角為的直線過點M (x0， y0 ) ， t 為參數(shù)，則該直線的參數(shù)方程可寫為xx0t cos ，t為參數(shù)yy0t sin若直線過點 M ，直線與圓錐曲線交于兩點P、Q ，則|MP| 、 |MQ| 的幾何意義就是：|MP |t1 |，|MQ | | t2 |；|MP|+|MQ| 的幾何意義就是：|MP |MQ | t1 | t2 |；|MP| · |MQ| 的幾何意義就是：|MP |MQ | t1t2 |；|PQ|的幾何意義就是： | PQ | |t1 t2 |，即 | PQ |t1t 2 | (t1 t2 )24t1 t2 .例

2、1：已知直線l ： x y 10 與拋物線 yx2交于 A，B 兩點，求線段AB 的長和點M ( 1,2) 到 A, B 兩點的距離之積。（1）如何寫出直線l 的參數(shù)方程解：因為直線l 過定點 M ，且 l 的傾斜角為 3，所以它的參數(shù)方程是4x1t cos 3x12 t4，（ t 為參數(shù)），即2，（ t 為參數(shù)）32 ty2y2t sin42（2）如何求出交點A ， B 所對應(yīng)的參數(shù) t1， t2 ？把代入拋物線的方程，得t 22t20 ，t1t22， t1t22（ 3） | AB |、|MA | | MB |與 t1， t2 有什么關(guān)系？由參數(shù)方程的幾何意義可得：| AB | | t1 t

3、2 | (t1 t2 ) 24t1t210| MA | | MB | =| t1 t 2 | |2 |2精品資料歡迎下載二、求弦的中點坐標(biāo)若過點 M (x0， y0 ) 、傾斜角為 的直線 l 與圓錐曲線交于A、 B 兩點，則弦的中點坐x'x12x2( x0t1 cos)( x0t2 cos)標(biāo)公式為：2y1y2( y0t1 sin)( y0t2 sin)y'22x'x1x2( x0p1t1) (x0p1t2 )x0p1 (t1t2 )或222， p1， p2 為常數(shù)，均不為零y1y2( y0p2t1 ) ( y0p2t 2 )p2 (t1y'y0t2 )222

4、(其中 中點 M 的相應(yīng)參數(shù)為t，而 tt1t 2，所以中點坐標(biāo)也為：xx0p1t2yy0)p2 t若過點 M (x0， y0 ) 、傾斜角為 的直線 l 與圓錐曲線交于A、 B 兩點，且 M 恰為弦AB 中點，則中點M 的相應(yīng)參數(shù)： tt1t2=02（因為x0x0p1t，而 p1， p2 均不為0，所以 t=0）y0y0p2 tx13 t例 2：直線 l5 ，(t為參數(shù) ) 與雙曲線 ( y2) 2x21相交于 A 、B 兩點，求弦 ABy24 t5中點 M 的坐標(biāo)。x13t解：把5 ，(t為參數(shù) )直接代入 ( y2)2x 21中，可得：y24t5(4t )2( 13t) 21，即 7t

5、230t500 ，則 t1t230，5531309167所以 M 的橫坐標(biāo)為： -1(1,52)777點 M 的縱坐標(biāo)為： 241(30)212252777（注：這部分內(nèi)容在演草紙上顯示即可）所以中點 M 的坐標(biāo)為 (162， )77精品資料歡迎下載三應(yīng)用部分例 3：經(jīng)過點M(2,1) 作直線 l，交橢圓 x2y21于 A， B 兩點，如果點 M 恰好為線段 AB164的中點，求直l 的方程。解：設(shè)經(jīng)過點M(2,1) 的直線 l 的參數(shù)方程為：x2t cos，y1t sin(t為參數(shù) )代入橢圓方程，整理得：,(3sin 21)t 24(cos2sin)t80由 t 的幾何意義可知 |MA|t

6、1| |B |t2|，因為點 M 在橢圓內(nèi)， 這個方程必有兩個實根，M所以 t1t24(cos2sin)3sin 21.t1t2因為點 M 為線段 AB 的中點，所以0，即 cos2sin02于是直線 l 的斜率為 k tan1，1 (x2因此，直線 l 的方程是 y2)1，即 x 2 y40 .2例 4：已知經(jīng)過點 P(2， 0)，斜率為4 的直線和拋物線y22x 相交于 A， B 兩點，設(shè)線段3AB 的中點為 M ，求點 M 的坐標(biāo) .解：設(shè)過點 P(2，0) 的直線 AB 的傾斜角為 ，由已知可得：cos34,sin.55x23 t，所以，直線的參數(shù)方程為5(t為參數(shù) )y 4 t，5代

7、 入 拋 物 線 y22x ， 整 理 得 ： 8t 21 5t50 0，中點 M 的相應(yīng)參數(shù)為tt1 t 215，所以點M 的坐標(biāo)是 ( 41, 3)216164精品資料歡迎下載例 5：已知直線l ： x+y-1=0 與拋物線yx2 交于 A ， B 兩點，求線段AB 的長和點M(-1,2)到 A 、B 兩點的距離之積 . 解法一 ：xy10x10 （*）解：由yx2可得： x2由韋達定理可得：x1x21， x1 x2-1| AB | 1 k 2(x1x2 ) 24x1x22 510由 (*) 解得 x115 ， x2- 1-5y135 ， y2352222記直線與拋物線的交點坐標(biāo)為A (1535)， B1535) ，則2,2(2，2|MA| | MB|( 115 ) 2( 2 325 ) 2( 115 ) 2(2 3 5)22223535(35)(35)42解法二 ：解：因為直線l 過定點 M ，且 l3，所以它的參數(shù)方程是的傾斜角為4x1t cos 3x12 t4，（ t 為參數(shù)），即2，（ t 為參數(shù)