期望方差完美知識點試題

1、數(shù)學(xué)學(xué)生姓名年級學(xué)管帥上課時間月 日-知識內(nèi)容1.離散型隨機變量及其分布列離散型隨機變量如果在試驗中，試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個變量X來表示，并且 X是隨著試驗的結(jié)果的不同而變化的，我們把這樣的變量 X叫做一個隨機變量.隨機變量常用大寫字母X,Y,川表示.如果隨機變量X的所有可能的取值都能列舉出來，則稱 X為離散型隨機變量.教學(xué)過程2.幾類典型的隨機分布兩點分布如果隨機變量X的分布列為X10Ppq其中0 <p <1 , q =1 p，貝U稱離散型隨機變量 X服從參數(shù)為p的二點分布.點分布舉例：某次抽查活動中，一件產(chǎn)品合格記為1,不合格記為0,已知產(chǎn)品的合格率為80% ,隨機變量X

2、為任意抽取一件產(chǎn)品得至IJ的結(jié)果，則 X的分布列滿足二點分布.X10p0.2兩點分布又稱0-1分布，由于只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗叫做伯努利試驗，所以這種分布又稱為伯 努利分布.超幾何分布一般地，設(shè)有總數(shù)為 N件的兩類物品，其中一類有 M件，從所有物品中任取n件(n < N),這n件 中所含這類物品件數(shù)X是一個離散型隨機變量，它取值為m時的概率為m n _mP(X =m) = M nNA (0 < m< l, l 為 n和 M 中較小的一個).Cn我們稱離散型隨機變量 X的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱 X服從參數(shù)為N , M , n的 超幾何分布.在超幾何分布中，只要

3、知道N , M和n,就可以根據(jù)公式求出 X取不同值時的概率P(X =m)，從而列出X的分布列.二項分布1. 獨立重復(fù)試驗如果每次試驗，只考慮有兩個可能的結(jié)果A及A,并且事件A發(fā)生的概率相同.在相同的條件下，重復(fù)地做n次試驗，各次試驗的結(jié)果相互獨立，那么一般就稱它們?yōu)閚次獨立重復(fù)試驗.n次獨立重復(fù)試驗中，事件 A恰好發(fā)生k次的概率為pn(k)=C： pk(1p)n”(k=0, 1,2, |,n).2. 二項分布若將事件A發(fā)生的次數(shù)設(shè)為X，事件A不發(fā)生的概率為q=1_p,那么在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率是P(X =k)=C： pkqn 其中k =0, 1, 2,川，n .于是得到

4、X的分布列X01knP00 nCn p q11 n Cn p qk k nJCn p qn n 0Cn p qrh益卜人劣7 曰 一 t宙 isziXP*,、n_00 n 11n_1,.k kn_k,1nn 0由于表中的第一行怡好一項展升式(q+p) =Cn p q +Cn p q +|+Cn p q +川Cn p q各對應(yīng)項的值，所以稱這樣的散型隨機變量X服從參數(shù)為n, p的二項分布，記作 X B(n, p) .二項分布的均值與方差：若離散型隨機變量 X服從參數(shù)為n和p的二項分布，則E(X)=np , D(x) =npq (q =1 p).正態(tài)分布1. 概率密度曲線：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖

5、，在樣本容量越來越大時，直方圖上面的折線所接近的曲線.在隨機變量中，如果把樣本中的任一數(shù)據(jù)看作隨機變量X ,則這條曲線稱為X的概率密度曲線.曲線位于橫軸的上方，它與橫軸一起所圍成的面積是 1，而隨機變量X落在指定的兩個數(shù)a , b之間 的概率就是對應(yīng)的曲邊梯形的面積.2. 正態(tài)分布O定義：如果隨機現(xiàn)象是由一些互相獨立的偶然因素所引起的，而且每一個偶然因素在總體的變 化中都只是起著均勻、微小的作用，則表示這樣的隨機現(xiàn)象的隨機變量 的概率分布近似服從正態(tài)分布.服從正態(tài)分布的隨機變量叫做正態(tài)隨機變量，簡稱正態(tài)變量.正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為f(x)=e=奩"，x R,其42k VT

6、中！1 。是參數(shù)，且C >0 ,七C.式中的參數(shù)P和§分別為正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差.期望為卜、標(biāo)準(zhǔn)差為痣的正態(tài)分布通常記作 N (* S2).正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線.(2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：我們把數(shù)學(xué)期望為0,標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.重要結(jié)論：68.3% ,正態(tài)變量在區(qū)間(P-。，卜+。)，(卜2。，卜+2。)，(P-3。，卜+3珪)內(nèi)，取值的概率分別是 95.4% , 99.7% .正態(tài)變量在(q, +8)內(nèi)的取值的概率為1 ,在區(qū)間(P3jP +3b)之外的取值的概率是 0.3%,故正態(tài)變量的取值幾乎都在距x = H三倍標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，這就是正態(tài)分

7、布的3。原則.x若&N(P，汀),f (x)為其概率密度函數(shù)，則稱 F(x)=P(S < x)= f(t)dt為概率分布函數(shù)，特 J_QO十2,1x別的， N(0,1 ),稱©(x) = (e%t為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).P(頂=(x二CT標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的值可以通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得.分布函數(shù)新課標(biāo)不作要求，適當(dāng)了解以加深對密度曲線的理解即可.3. 離散型隨機變量的期望與方差1. 離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望定義：一般地，設(shè)一個離散型隨機變量 X所有可能的取的值是為，*，4,這些值對應(yīng)的概 率是P1 , P2 ,，pn，則E(x) =x1 p1 +x2 p2 +川+xnpn，叫做這

8、個離散型隨機變量 X的均值或數(shù)學(xué) 期望(簡稱期望).離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望刻畫了這個離散型隨機變量的平均取值水平.2. 離散型隨機變量的方差一般地，設(shè)一個離散型隨機變量 X所有可能取的值是X, x2 ,，xn,這些值對應(yīng)的概率是 ， p2，pn ,則 D(X) =(xi E(x)2 p +(x2 E(x)2p2 +111 +(xn E(x)2pn 叫做這個離散型隨機變量 X I離散型隨機變量的方差反映了離散隨機變量的取值相對于期望的平均波動的大小(離散程度).D(X)的算術(shù)平方根 Jd(x)叫做離散型隨機變量 X的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一個衡量離散型隨機變量波動 大小的量.3. X 為隨機變量，a

9、, b 為常數(shù)，則 E(aX +b)=aE(X)+b , D(aX+b) =a2D(X);4. 典型分布的期望與方差：(1匚點分布：在一次二點分布試驗中，離散型隨機變量X的期望取值為p，在n次二點分布試驗中，離散型隨機變量X的期望取值為np .二項分布：若離散型隨機變量X服從參數(shù)為n和p的二項分布，則E(X) = np, D(x) spq (q =1 p).(3超幾何分布：若離散型隨機變量X服從參數(shù)為N , M , n的超幾何分布，則 E(X)=nMND(X)=n(N -n)(N -M)MN2(N -1)4. 事件的獨立性如果事件A是否發(fā)生對事件B發(fā)生的概率沒有影響，即 P(B|A) = P(

10、B), 這時，我們稱兩個事件 A, B相互獨立，并把這兩個事件叫做相互獨立事件.如果事件Ai ,莊，A相互獨立，那么這n個事件都發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即p(anriAn) =p(a)w(a2)乂叩(An)，并且上式中任意多個事件 a換成其對立事件后等式仍成立.5. 條件概率對于任何兩個事件 A和B,在已知事件A發(fā)生的條件下，事件 B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符 號P(B|A)”來表示.把由事件 A與B的交(或積)，記做D=Ap|B (或D =AB ).典例分析【例1】 投擲1枚骰子的點數(shù)為£,則E的數(shù)學(xué)期望為（）A. 3B. 3.5C. 4D. 4.5【例2】 同時

11、拋擲4枚均勻硬幣80次，設(shè)4枚硬幣正好出現(xiàn)2枚正面向上，2枚反面向上的次數(shù)為& ,則巴的數(shù)學(xué)期望是（）A. 20B . 25C. 30D. 40【例3】 從1,2 , 3,4,5, 6這6個數(shù)中任取兩個，則兩數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望為 .【例4】一射手對靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中率為 0.6，現(xiàn)共有4顆子彈，命中后尚余子彈數(shù)目E的期望為（）A. 2.44 B . 3.376 C . 2.376 D . 2.4【例5】【例6一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a,得2分的概率為b ,不得分的概率為c （a、b、c（0 , 1 ）,已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為2 （不計其它得分情況），

12、則ab的最大 值為（A.48甲乙兩人獨立解出某一道數(shù)學(xué)題的概率依次為P1 , P2（P1P2）,已知該題被甲或乙解出的概率為0.8，甲乙兩人同時解出該題的概率為0.3,求: P , F2 ；（2解出該題的人數(shù) X的分布列及EX .【例7】甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合 格就簽約.乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約.設(shè)每人面試合格的概率都是1,且面試是否合格互不影響.求簽約人數(shù)的數(shù)學(xué)期望.2【例8】 某批發(fā)市場對某種商品的周銷售量（單位：噸）進(jìn)行統(tǒng)計，最近100周的統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：周銷售量234頻數(shù)205030根據(jù)上面統(tǒng)計

13、結(jié)果，求周銷售量分別為2噸，3噸和4噸的頻率；已知每噸該商品的銷售利潤為 2千元，E表示該種商品兩周銷售利潤的和（單位：千元）.若以上述頻率作為概率，且各周的銷售量相互獨立，求匕的分布列和數(shù)學(xué)期望.【例9】 某項考試按科目A、科目B依次進(jìn)行，只有當(dāng)科目A成績合格時，才可繼續(xù)參加科目B的 考試.已知每個科目只允許有一次補考機會，兩個科目成績均合格方可獲得證書.現(xiàn)某人參加這項考試，科目A每次考試成績合格的概率均為 -，科目B每次考試成績合格的概率3均為1.假設(shè)各次考試成績合格與否均互不影響.在這項考試過程中，假設(shè)他不放棄所有2的考試機會，記他參加考試的次數(shù)為 ，求蕓的數(shù)學(xué)期望E& .30c

14、m、20cm、【例10】某同學(xué)如圖所示的圓形靶投擲飛鏢，飛鏢落在靶外（環(huán)數(shù)記為0）的概率為0.1,飛鏢落在靶內(nèi)的各個點是橢機的.已知圓形靶中三個圓為同心圓，半徑分別為10cm ,飛鏢落在不同區(qū)域的環(huán)數(shù)如圖中標(biāo)示.設(shè)這位同學(xué)投擲一次一次得到的環(huán)數(shù)這個 隨機變量X ,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【例11】某項選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為-、-、-,且各輪555問題能否正確回答互不影響.求該選手被淘汰的概率；該選手在選拔中回答問題的個數(shù)記為求隨機變量：的分布列與數(shù)學(xué)期望.（注：本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示

15、）【例12】在某次測試中，甲、乙、丙三人能達(dá)標(biāo)的概率分別為0.4 , 0.5 , 0.8,在測試過程中，甲、乙、丙能否達(dá)標(biāo)彼此間不受影響.求甲、乙、丙三人均達(dá)標(biāo)的概率；求甲、乙、丙三人中至少一人達(dá)標(biāo)的概率；設(shè)X表示測試結(jié)束后達(dá)標(biāo)人數(shù)與沒達(dá)標(biāo)人數(shù)之差的絕對值，求 X的概率分布及數(shù)學(xué)期望EX .【例13】在1, 2, 3,，9這9個自然數(shù)中，任取3個數(shù). 求這3個數(shù)中恰有1個是偶數(shù)的概率；設(shè)t為這3個數(shù)中物數(shù)相鄰的組數(shù)（例如：若取出的數(shù)為1, 2, 3,則有物組相鄰的數(shù)1；2和2, 3,此時匚的值是2） .求隨機變量，的分布列及其數(shù)學(xué)期望 E£.【例14】甲、乙、丙三人參加了一家公司的招

16、聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合 格就簽約.乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約.設(shè)甲面試合 格的概率為1 ,乙、丙面試合格的概率都是 1,且面試是否合格互不影響.求：23至少有1人面試合格的概率；簽約人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【例15】某公司 咨詢熱線”電話共有8路外線，經(jīng)長期統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，在 8點到10點這段時間內(nèi)，外 線電話同時打入情況如下表所示：電話同時打入個數(shù) 匕012345678概率P0.130.350.270.140.080.020.0100（1厝這段時間內(nèi)，公司只安排了2位接線員（一個接線員一次只能接一個電話） 求至少一種電話不能一次接通的概率；

17、在一周五個工作日中，如果至少有三個工作日的這段時間（8點至10點）內(nèi)至少一路電話不能一次接通，那么公司的形象將受到損害，現(xiàn)用該事件的概率表示公司形象的損害度”求上述情況下公司形象的 損害度” .求一周五個工作日的這段時間（ 8點至10點）內(nèi)，電話同時打入數(shù) ，的期望.【例16】某先生居住在城鎮(zhèn)的 A處，準(zhǔn)備開車到單位B處上班，若該地各路段發(fā)生堵車事件都是獨立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，發(fā)生堵車事件的概率，如圖. （例如:At C t D算作兩個路段：路段AC發(fā)生堵車事件的概率為 1，路段CD發(fā)生堵車事件的10概率為L ).記路線At C t F t B中遇到堵車次數(shù)為隨機變量X

18、,求X的數(shù)學(xué)期望15E(X) 染的概率都是1 .同樣也假定D受A、B和C感染的概率都是.在這種假定之下， B、320112A 上 C 上 D1015【例17】如圖所示，甲、乙兩只小螞蟻分別位于一個單位正方體的A點和Ci點處，每只小螞蟻都可以從每一個頂點處等可能地沿各條棱向每個方向移動，1A時可沿AB , AD , AA三個萬向移動，概率都是3但不能按原路線返回.如：甲在到達(dá)B點時，可沿BC , BB1兩個方向移動，概率都是 1 .已知小螞蟻每秒鐘移動的距離為2如果甲、乙兩只小螞蟻都移動若乙螞蟻不動，甲螞蟻移動 3秒后，甲、1個單位.1秒，則它們所走的路線是異面直線的概率是多少? 乙兩只小螞蟻間

19、的距離的期望值是多少?【例18】某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型 受A感染的.對于C ,因為難以斷定他是受H1N1流感，其中只有A到過疫區(qū).B肯定是A還是受B感染的，于是假定他受A和受B感C、D中直接受A感染的人數(shù)X就是一個隨機變量.寫出 X的分布列（不要求寫出計算 過程），并求X的均值（即數(shù)學(xué)期望）.【例19】A , B兩個代表隊進(jìn)行乒乓球?qū)官?，每隊三名隊員，A隊隊員是A , A , A , B隊隊員是Bi , B2, B3,按以往多次比賽的統(tǒng)計，對陣隊員之間勝負(fù)概率如下：對陣隊員A隊隊員勝的概率A隊隊員負(fù)的概率A對Bi2323A對B22535A對B32535現(xiàn)按表中對陣方式出場，

20、每場勝隊得1分，負(fù)隊得0分.設(shè)A隊、B隊最后總分分別為 ：，吐.求 日的期望.【例20】連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子，令第i次得到的點數(shù)為a ,若存在正整數(shù)k ,使ai +a2 +11就=6，則稱k為你的幸運數(shù)字.求你的多運數(shù)子為4的概率；（2厝k =1,貝U你的得分為6分；若k=2，貝U你的得分為4分；若k=3，則你的得分為2分;若拋擲三次還沒找到你的幸運數(shù)字則記0分.求得分E的分布列和數(shù)學(xué)期望.【例21】最近，李師傅一家三口就如何將手中的10萬塊錢投資理財，提出了三種方案：第一種方案：將10萬塊錢全部用來買股票.據(jù)分析預(yù)測：投資股市一年可能獲利40% ,也可能虧損20% （只有這兩種可能），且

21、獲利的概率為1 ;2第二種方案：將10萬塊錢全部用來買基金.據(jù)分析預(yù)測：投資基金一年可能獲利20% ,也可? ? ，5 5 54%，存款利息稅率為5% . 并說明理由.能損失10% ,也可能不賠不賺，且三種情況發(fā)生的概率分別為第三種方案：將10萬塊錢全部存入銀行一年，現(xiàn)在存款利率為 針對以上三種投資方案，請你為李師傅家選擇一種合理的理財方法,【例22】某柑桔基地因冰雪災(zāi)害，使得果林嚴(yán)重受損，為此有關(guān)專家提出兩種拯救果林的方案，每種方案都需分兩年實施；若實施方案一，預(yù)計當(dāng)年可以使柑桔產(chǎn)量恢復(fù)到災(zāi)前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.3、0.3、0.4 ;第二年可以使柑桔產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的1.25倍、1.0倍的概率分別是0.5、0.5 .若實施方案二，預(yù)計當(dāng)年可以使柑桔