專題12 定弦定角構(gòu)造輔助圓2020-2021學(xué)年九年級數(shù)學(xué)重點題型通關(guān)訓(xùn)練人教版解析版

1、專題12 定弦定角構(gòu)造輔助圓【專題導(dǎo)入】1.（1）如圖1，A,B,C,D,E都是O上的點，已知A=55°，則B=_°，C=_°. 圖1（2）思考：如圖2，已知A=B=C，試問A,B,C三點在什么圖形上？ 【答案】（1）55 55；（2）在以DE為弦，且DE所對的圓心角為2A的圓弧上.【方法點睛】*常用的角度：90°.90°角所對的弦為直徑.【例1】問題提出：（1）如圖1，已知線段AB，試在線段外確定一點P，使得PAPB，畫出滿足條件的點P的位置（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）. 圖1問題探究：（2）如圖2，在矩形ABCD中，AD=12，AB=10，且

2、在矩形內(nèi)部存在一動點P，使得PDPC，連接BP，試求BP的最小值.【解析】（1）如圖所示，O即為所求軌跡.（2）如圖所示，點P在半圓O上運動，連接BO，交O于點P，此時點BP取得最小值.BO=BC2+OC2=13.BP=BO-OP=13-5=8.同步練習(xí)1.如圖，半徑為4的O中，CD為直徑，弦ABCD且過半徑OD的中點，點E為O上一動點，CFAE于點F當(dāng)點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經(jīng)過的路徑長為_.提示：點E是動點，點F也隨著E的移動而移動，不變的是AFC=_°，AFC所對的邊AC的長度也不變，由此得出點F的軌跡是_.【解析】如圖，ACF始終是直角三角形，點F的運動軌跡為

3、以AC為直徑的半圓.當(dāng)E位于點B時，CGAE，此時F與G重合；當(dāng)E位于D時，CAAE，此時F與A重合，當(dāng)點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經(jīng)過的路徑長AG.易得AC=43，ACG=30°，即AG所對的圓心角為60°.AG的長為60×23180=233【例2】如圖，ABC為等邊三角形，AB2若P為ABC內(nèi)一動點，且滿足PABACP，則線段PB長度的最小值為 【解析】ABC是等邊三角形，ABCBAC60°，ACAB2，PABACP，PAC+ACP60°，APC120°，點P的運動軌跡是AC，當(dāng)O、P、B共線時，PB長度最小，設(shè)OB交

4、AC于D，如圖所示：此時PAPC，OBAC，則ADCD=12AC1，PACACP30°，ABD=12ABC30°，PD33，BD=3AD=3，PBBDPD=333=233【專題過關(guān)】1.如圖，點D在半圓O上，半徑OB=61，AD=10，點C在上移動，連接AC，H是AC上一點，DHC=90°，連接BH，點C在移動的過程中，BH的最小值是（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】如圖，取AD的中點M，連接BD，HM，BMDHAC，AHD=90°，點H在以M為圓心，MD為半徑的M上，當(dāng)M，H，B共線時，BH的值最小，AB是直徑，ADB=90°

5、;，BD=（261）2102=12，BM=BD2+DM2=13.BH的最小值為BM-MH=13-5=82.如圖，四邊形ABCD是正方形，連接AC，將ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得AEF，連接CF，O為CF的中點，連接OE，OD當(dāng)=360°時，若AB=42，請直接寫出點O經(jīng)過的路徑長【解析】連接AO，如圖所示：AC=AF，CO=OF，AOCF，AOC=90°，點O在以AC為直徑的圓上運動，=360°，點O經(jīng)過的路徑長等于以AC為直徑的圓的周長，AC=2AB=2×42=8，點O經(jīng)過的路徑長為：d=83.（1）【學(xué)習(xí)心得】于彤同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一

6、些幾何問題如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易例如：如圖1，在ABC中，AB=AC，BAC=90°，D是ABC外一點，且AD=AC，求BDC的度數(shù)若以點A為圓心，AB為半徑作輔助A，則點C、D必在A上，BAC是A的圓心角，而BDC是圓周角，從而可容易得到BDC=_°（2）【問題解決】如圖2，在四邊形ABCD中，BAD=BCD=90°，BDC=25°，求BAC的數(shù)（3）【問題拓展】如圖3，如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE=DF連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是_

7、【解析】（1）如圖1，AB=AC，AD=AC，以點A為圓心，點B、C、D必在A上，BAC是A的圓心角，而BDC是圓周角，BDC=12BAC=45°.故答案是：45.（2）如圖2，取BD的中點O，連接AO、COBAD=BCD=90°，點A、B、C、D共圓.BDC=BAC，BDC=25°，BAC=25°.（3）如圖3，在正方形ABCD中，AB=AD=CD，BAD=CDA，ADG=CDG，在ABE和DCF中，AB=CD，BAD=CDA，AE=DF，ABEDCF（SAS），1=2，在ADG和CDG中，AD=CD，ADG=CDG，DG=DG，ADGCDG（SAS）

8、，2=3，1=3，BAH+3=BAD=90°，1+BAH=90°，AHB=180°-90°=90°，取AB的中點O，連接OH、OD，則OH=AO=12AB=1，在RtAOD中，OD=AO2+AD2=12+22=5.根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OH+DHOD，當(dāng)O、D、H三點共線時，DH的長度最小，最小值=OD-OH=5-1（解法二：可以理解為點H是在RtAHB，AB直徑的半圓AB上運動當(dāng)O、H、D三點共線時，DH長度最小）4.如圖，在RtABC中，BCAC2，點M是AC邊上一動點，連接BM，以CM為直徑的O交BM于N，則線段AN的最小值為 【答案】5

9、-1【解析】如圖1，連接CN，CM是O的直徑，CNM=90°，CNB=90°，點N在以BC為直徑的O上，O的半徑為1，當(dāng)點O、N、A共線時，AN最小，如圖2，在RtAOC中，OC=1，AC=2，OA=O'C2+AC2=5，AN=AO-ON=5-1，即線段AN長度的最小值為5-15. 如圖，等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC、AC上，AE=CD，連接AD，BE交于點P（1）求證：APB=120°；（2）若等邊三角形ABC的邊長為26，CP的最小值是多少？【解析】（1）ABC是等邊三角形，AB=AC，BAC=ACB=60°在ABE和CAD中，A

10、BCA，BAEACDAECD，ABECAD（SAS）ABE=CADCAD+BAD=60°，ABE+BAD=60°BPD=ABE+BAD=60°ABDBCE（SAS）BAD=CBEAPE=ABE+BAD，APE=BPD，ABE+CBE=60°，BPD=APE=ABC=60°APB=120°點P的運動軌跡是點O為圓心，半徑為OA的弧AB，且AOB=120°如圖所示，連接COOA=OB，CA=CB，OC=OC，AOCBOC（SSS）OAC=OBC，ACO=BCO=30°AOB+ACB=180°，OAC+OBC=

11、180°OAC=OBC=90°AB26，OBr22COOB2+BC2=(22)2+(26)2=42OP=22PC的最小值為OC-r=4222=22故答案為：22【專題提升】6. 已知以AB為直徑的圓O，C為AB的中點，P為BC上任意一點，CDCP交AP于D，連結(jié)BD，若AB=6，求BD的最小值.【解析】如圖所示，以AC為斜邊作等腰直角三角形ACQ，則AQC=90°，連接AC，BC，BQO的直徑為AB，C為AB的中點，APC=45°，又CDCP，DCP=90°，PDC=45°，ADC=135°，點D的運動軌跡為以Q為圓心，AQ

12、為半徑的AC，又AB=6，C為AB的中點，ACB是等腰直角三角形，AC=32，ACQ中，AQ=3，BQ=32+62=35，BDBQ-DQ，BD的最小值為35-37.如圖1，在正方形ABCD中，AB=4，點E,F是線段DC,AD上的動點且EC=FD.連接BE,CF交于點G.（1）求BGC的度數(shù)；（2）連接DG，求DG的最小值.（3）如圖2，若點I是BCG的內(nèi)心，求ID的最小值. 圖1 圖2【解析】（1）由BCECDF易得BGC=90°.（2）BGC=90°，所對的邊BC是定長，點G在以BC為直徑的圓弧上運動（具體軌跡為14個圓）.取BC中點O，連接DO，交圓弧于點H.此時HD即為GD的最小值.HD=OD-OH=OC2+DC2-OH=25-2.（3）點I為BGC的內(nèi)心，BGC=90°.連接BI,CI，易得BIC=135°