人教版高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)大全

1、.高中數(shù)學(xué)必修 1 知識(shí)點(diǎn)大全第一章集合與函數(shù)概念【】集合的含義與表示（1）集合的概念集合中的元素具有確定性、互異性和無(wú)序性.（ 2）常用數(shù)集及其記法N 表示自然數(shù)集，N或 N表示正整數(shù)集，Z 表示整數(shù)集， Q 表示有理數(shù)集，R 表示實(shí)數(shù)集 .（ 3）集合與元素間的關(guān)系對(duì)象 a 與集合 M 的關(guān)系是 aM ，或者 aM ，兩者必居其一 .（ 4）集合的表示法自然語(yǔ)言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹?lái)描述集合.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合 . 描述法： x | x 具有的性質(zhì) ，其中 x 為集合的代表元素 . 圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來(lái)表示集合 .（ 5）集合的分類(lèi)含有有限個(gè)元素的

2、集合叫做有限集. 含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集. 不含有任何元素的集合叫做空集 ().【】集合間的基本關(guān)系（ 6）子集、真子集、集合相等名稱(chēng)記號(hào)意義性質(zhì)示意圖AB（或子集BA)AB真子集（或BA）A 中的任一元素都屬于 BA B，且 B 中至少有一元素不屬于 A(1)A A(2)AA(B)BA(3)若 AB 且 BC，則AC(4)若 AB 且 BA，則 AB或（1）A （ A 為非空子集）BA(2)若 AB 且 BC，則AC集合A 中的任一元素都屬A B于 B ，B 中的任一元素相等都屬于 A(1)ABA(B)(2)BA（ 7）已知集合 A 有 n(n1) 個(gè)元素，則它有2n 個(gè)子集，它有

3、2n1個(gè)真子集，它有 2n1 個(gè)非空子集，它有 2n2非空真子集 .;.【 1.1.3】集合的基本運(yùn)算（ 8）交集、并集、補(bǔ)集名稱(chēng)記號(hào)意義性質(zhì)示意圖 x | x（1） AAAAA, 且交集B（2） AAB（3） ABAxBABB x | x（1） AAAAA, 或A并集B（2） AAB（3） ABAxBABB1A (e A)2A (eU A) UU x | x U , 且x A UB)( UA)U補(bǔ)集e A痧( A(? B)U痧(AB)(UA)(? B)UU【補(bǔ)充知識(shí)】含絕對(duì)值的不等式與一元二次不等式的解法（ 1）含絕對(duì)值的不等式的解法不等式解集| x |a( a0) x |axa| x |a

4、( a0)x | xa 或 xa把 axb 看 成 一 個(gè) 整 體 ， 化 成 | x | a ，| axb |c,| axb |c(c0)| x |a( a0) 型不等式來(lái)求解（ 2）一元二次不等式的解法判別式b24ac000二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象O一元二次方程b24acb2x1,22ax1 x2baxc0( a0)bx無(wú)實(shí)根（其中 x1x2 )2a的根;.ax2bx c 0( a 0) x | x x1 或 x x2 x | xb R的解集2aax2bx c 0(a 0) x | x1 x x2的解集 1.2 函數(shù)及其表示【 】函數(shù)的概念（ 1）函數(shù)的概念設(shè) A 、 B 是兩

5、個(gè)非空的數(shù)集， 如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f ，對(duì)于集合 A 中任何一個(gè)數(shù)x ，在集合 B中都有唯一確定的數(shù)f ( x) 和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng) （包括集合 A ，B 以及 A 到 B 的對(duì)應(yīng)法則f ）叫做集合 A 到 B 的一個(gè)函數(shù)，記作f : AB 函數(shù)的三要素: 定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則只有定義域相同，且對(duì)應(yīng)法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù)（ 2）區(qū)間的概念及表示法設(shè) a, b 是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且ab ，滿(mǎn)足 ax b 的實(shí)數(shù) x 的集合叫做閉區(qū)間，記做 a, b ；滿(mǎn)足a x b 的實(shí)數(shù) x 的集合叫做開(kāi)區(qū)間，記做(a,b) ；滿(mǎn)足 a xb ，或 a xb 的實(shí)數(shù) x 的集合叫做半開(kāi)半閉區(qū)間，

6、分別記做 a,b) ，(a,b ；滿(mǎn)足 x a, xa, x b, xb 的實(shí)數(shù) x 的集合分別記做 a, ),( a,),(, b,(, b) 注意： 對(duì)于集合 x | axb 與區(qū)間 (a, b) ，前者 a 可以大于或等于 b ，而后者必須a b （ 3）求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則： f ( x) 是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù) f ( x) 是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù) f ( x) 是偶次根式時(shí)，定義域是使被開(kāi)方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1 ytan x 中， xk(kZ ) 2零（負(fù)）指數(shù)

7、冪的底數(shù)不能為零若 f ( x) 是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，則其定義域一般是各基本初等函數(shù);.的定義域的交集對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問(wèn)題，一般步驟是： 若已知 f (x) 的定義域?yàn)?a, b ，其復(fù)合函數(shù)f g( x)的定義域應(yīng)由不等式ag( x)b 解出對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問(wèn)題具體情況需對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論由實(shí)際問(wèn)題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問(wèn)題的實(shí)際意義（ 4）求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最?。ù螅?shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最?。ù螅┲狄虼饲蠛瘮?shù)的最值與值域，其

8、實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問(wèn)的角度不同求函數(shù)值域與最值的常用方法：觀察法：對(duì)于比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，我們可以通過(guò)觀察直接得到值域或最值配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值判別式法：若函數(shù)yf ( x) 可以化成一個(gè)系數(shù)含有y 的關(guān)于 x 的二次方程a( y) x2b( y) xc( y)0 ，則在 a( y)0 時(shí)，由于 x, y 為實(shí)數(shù)，故必須有b2 ( y) 4a( y)c( y)0 ，從而確定函數(shù)的值域或最值不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值換元法：通過(guò)變量代換達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角

9、函數(shù)的最值問(wèn)題反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值函數(shù)的單調(diào)性法【】函數(shù)的表示法（ 5）函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種解析法： 就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系列表法：就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系（ 6）映射的概念設(shè) A 、 B 是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f ，對(duì)于集合 A 中任何一個(gè)元素，在集合B 中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng) （包括集合A ， B 以及 A 到 B 的對(duì)應(yīng)法則f ）叫

10、做集合 A到 B 的映射，記作f : AB 給定一個(gè)集合A 到集合 B 的映射，且 aA, bB 如果元素 a 和元素 b 對(duì)應(yīng)，那么我們把元素b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象;. 1.3 函數(shù)的基本性質(zhì)【 】單調(diào)性與最大（?。┲担?1）函數(shù)的單調(diào)性定義及判定方法函數(shù)的定義圖象性 質(zhì)如果對(duì)于屬于定義域I 內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量yy=f(X)的值 x1、x2 , 當(dāng) x1 < x 2時(shí)，都f(x2 )有 f(x1)<f(x2 ) ， 那 么 就說(shuō)f(x1 )f(x) 在這個(gè)區(qū)間上是 增函數(shù) o1x2xx函數(shù)的單調(diào)性如果對(duì)于屬于定義域I 內(nèi)某yy=f(X)個(gè)

11、區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量f(x 1)的值 x 1、 x2 ，當(dāng) x1 < x 2時(shí)，都f(x2 )有 f(x1)>f(x2 ) ， 那 么 就說(shuō)f(x) 在這個(gè)區(qū)間上是 減函數(shù) ox1x 2x判定方法（ 1）利用定義（ 2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性（ 3）利用函數(shù)圖象（在某個(gè)區(qū)間圖象上升為增）（ 4）利用復(fù)合函數(shù)（ 1）利用定義（ 2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性（ 3）利用函數(shù)圖象（在某個(gè)區(qū)間圖象下降為減）（ 4）利用復(fù)合函數(shù)在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù) 對(duì) 于 復(fù) 合 函 數(shù) yf g( x) ，

12、令 ug( x) ， 若 yf (u) 為 增 ， ug ( x) 為 增 ， 則y f g(x) 為增；若 yf (u) 為減， ug( x) 為減，則 yf g (x) 為增；若 yf (u) 為增 ， ug (x) 為 減，則 yf g( x) 為 減；若 yf (u) 為 減， ug( x) 為增，則 yyf g(x) 為減（ 2）打“”函數(shù) f (x)xa (a0) 的圖象與性質(zhì)xf (x) 分別在 (,a 、 a ,) 上為增函數(shù)，分別在ox a ,0) 、 (0,a 上為減函數(shù)（ 3）最大（?。┲刀x一般地，設(shè)函數(shù)yf (x) 的定義域?yàn)?I ，如果存在實(shí)數(shù)M 滿(mǎn)足：（ 1）對(duì)于

13、任意的 xI，都有 f ( x)M ；（ 2 ）存在 x0I，使得f (x0 )M那么，我們稱(chēng)M 是函數(shù) f (x)的最大值，記作;.fmax ( x)M 一般地，設(shè)函數(shù)yf ( x) 的定義域?yàn)?I ，如果存在實(shí)數(shù)m 滿(mǎn)足：（ 1）對(duì)于任意的xI ，都有f ( x)m ；（2）存在 x0I ，使得 f ( x0 )m 那么，我們稱(chēng)m 是函數(shù) f (x) 的最小值，記作fmax ( x)m 【 】奇偶性（ 4）函數(shù)的奇偶性定義及判定方法函數(shù)的定義圖象判定方法性 質(zhì)如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)（ 1）利用定義（要先任意一個(gè) x，都有 f(x)=判斷定義域是否關(guān)于f(x) ,那么函數(shù) f(x)叫做

14、奇函原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）數(shù)（ 2）利用圖象（圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）函數(shù)的奇偶性如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)（ 1）利用定義（要先任意一個(gè) x，都有 f(x)=f(x) ,判斷定義域是否關(guān)于那么函數(shù) f(x)叫做偶函數(shù) 原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）（ 2）利用圖象（圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)）若函數(shù) f ( x) 為奇函數(shù)，且在 x 0 處有定義，則 f (0)0 奇函數(shù)在 y 軸兩側(cè)相對(duì)稱(chēng)的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y 軸兩側(cè)相對(duì)稱(chēng)的區(qū)間增減性相反在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)補(bǔ)充知識(shí)函數(shù)的圖象（ 1）作

15、圖利用描點(diǎn)法作圖：確定函數(shù)的定義域；化解函數(shù)解析式；討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）；畫(huà)出函數(shù)的圖象利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象平移變換yf ( x)h 0,左移 h個(gè)單位h0,右移 | h|個(gè)單位yf ( x)k 0,上移 k個(gè)單位k0,下移 | k|個(gè)單位伸縮變換y f (x h) y f (x) k;.yf ( x)01,伸1,縮yf ( x)0A 1,縮A 1,伸對(duì)稱(chēng)變換y f ( x) y Af ( x)yf ( x)yf ( x)yf ( x)y f ( x)（ 2）識(shí)圖x軸f (

16、x)yf (x)y軸f (x)yy原點(diǎn)f ( x)yf ( x)直線 y xyf1( x)y去掉 y軸左邊圖象yf (| x |)保留 y軸右邊圖象，并作其關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)圖象保留 x軸上方圖象y| f ( x) |將x軸下方圖象翻折上去對(duì)于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱(chēng)性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系（ 3）用圖函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問(wèn)題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問(wèn)題結(jié)果的重要工具要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法第二章基本初等函數(shù) ( ) 2.1 指數(shù)函數(shù)【 】指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算

17、（ 1）根式的概念如果 xna, aR, xR, n1，且 nN，那么 x 叫做 a 的 n 次方根當(dāng) n 是奇數(shù)時(shí)，a 的 n 次方根用符號(hào)n a 表示；當(dāng) n 是偶數(shù)時(shí)，正數(shù) a 的正的 n 次方根用符號(hào)na 表示，負(fù)的 n 次方根用符號(hào)n a 表示； 0 的 n 次方根是0；負(fù)數(shù) a 沒(méi)有 n 次方根式子 n a 叫做根式，這里n 叫做根指數(shù)， a 叫做被開(kāi)方數(shù)當(dāng)n 為奇數(shù)時(shí)， a 為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)n 為偶數(shù)時(shí)， a0 根 式 的 性 質(zhì) ： ( n a ) na ； 當(dāng) n 為 奇 數(shù) 時(shí) ， n ana ； 當(dāng) n 為 偶 數(shù) 時(shí) ，n ana(a0)| a |a(a0)（ 2）分?jǐn)?shù)指

18、數(shù)冪的概念mn am (a正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：a n0, m, nN, 且 n1) 0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 0mm正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：a n(1 ) nn (1)m (a0, m, nN , 且 n 1) 0aa;.的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義注意口訣： 底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)（ 3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) ar asar s (a0, r , s R) (ar ) sars ( a 0, r , s R) (ab)rar br (a0, b 0, r R)【 2.1.2】指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（ 4）指數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱(chēng)指數(shù)函數(shù)定義函數(shù) ya x (a0 且 a1) 叫做指數(shù)函數(shù)a10 a1

19、yya xy a xy圖象y 1y 1(0,1)(0,1)OxOx定義域R值域(0, )過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1) ，即當(dāng) x0 時(shí)， y1 奇偶性非奇非偶單調(diào)性在 R 上是增函數(shù)在 R 上是減函數(shù)ax1( x 0)a x1(x 0)函數(shù)值的ax1( x 0)a x1(x 0)變化情況ax1( x 0)a x1(x 0)a 變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，a 越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a 越大圖象越低 2.2 對(duì)數(shù)函數(shù)【 】對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算（ 1）對(duì)數(shù)的定義若 axN ( a0, 且a1) ，則 x 叫做以 a 為底 N 的對(duì)數(shù)，記作 xlog a N ，其中 a 叫做底數(shù)，N 叫做真數(shù)負(fù)數(shù)和零

20、沒(méi)有對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：xlog a Na xN (a0, a1, N0) ;.（ 2）幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式log a 1 0 ， log a a 1， log a abb （ 3）常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)常用對(duì)數(shù)： lg N ，即 log10N ；自然對(duì)數(shù)： ln N ，即 log e N （其中 e 2.71828）（ 4）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果 a0, a1,M0, N0 ，那么加法： log a Mlog aNlog a (MN )減法： log a Mloga N log aMN數(shù)乘： n log a Mlog a M n (nR) alog a NN log ab M nn log a

21、 M (b0, nR) 換底公式： log a Nlog b N (b 0, 且 b 1)blog b a【】對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（ 5）對(duì)數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱(chēng)對(duì)數(shù)函數(shù)定義函數(shù) ylog a x(a0 且 a1) 叫做對(duì)數(shù)函數(shù)a 10 a1x1x1yyloga xyy loga x圖象(1,0)O(1,0)xO定義域(0, )值域R過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)(1,0) ，即當(dāng) x1 時(shí)， y 0x奇偶性非奇非偶單調(diào)性在 (0,) 上是增函數(shù)在 (0,) 上是減函數(shù);.log a x0(x1)log ax0(x1)函數(shù)值的log a x0(x1)log ax0( x1)變化情況log a x0(0x 1)log a

22、x0(0x 1)a 變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，a 越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a 越大圖象越靠高(6) 反函數(shù)的概念設(shè)函數(shù) yf ( x) 的定義域?yàn)?A ，值域?yàn)镃 ，從式子 yf (x) 中解出 x ，得式子 x( y) 如果對(duì)于 y 在 C 中的任何一個(gè)值，通過(guò)式子x( y) ， x 在 A 中都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么式子 x( y) 表示 x 是 y 的函數(shù)，函數(shù) x( y) 叫做函數(shù) yf ( x) 的反函數(shù)，記作 xf 1 ( y) ，習(xí)慣上改寫(xiě)成 yf 1( x) （7）反函數(shù)的求法確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；從原函數(shù)式y(tǒng) f (x) 中反解出 xf 1 (

23、y) ；將 xf1( y) 改寫(xiě)成 y f1 ( x) ，并注明反函數(shù)的定義域（8）反函數(shù)的性質(zhì)原函數(shù) yf (x) 與反函數(shù) yf 1 ( x) 的圖象關(guān)于直線yx 對(duì)稱(chēng)函數(shù) yf ( x) 的定義域、值域分別是其反函數(shù)y f1 ( x)的值域、定義域若P(a,b) 在原函數(shù) yf (x) 的圖象上，則 P' (b,a)在反函數(shù) y f1 (x) 的圖象上一般地，函數(shù)yf ( x) 要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù) 2.3 冪函數(shù)（ 1）冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)yx 叫做冪函數(shù)，其中x 為自變量，是常數(shù)（ 2）冪函數(shù)的圖象;.（ 3）冪函數(shù)的性質(zhì)圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限

24、，第四象限無(wú)圖象冪函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、二象限 (圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱(chēng) )；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)) ；是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象限過(guò)定點(diǎn)：所有的冪函數(shù)在(0,) 都有定義，并且圖象都通過(guò)點(diǎn)(1,1)單調(diào)性：如果0 ，則冪函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，并且在0,) 上為增函數(shù)如果0 ，則冪函數(shù)的圖象在 (0,) 上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無(wú)限接近x 軸與 y 軸q奇偶性： 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， 冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)當(dāng)（其中 p, q 互pqq質(zhì)， p 和 qZ ），若 p 為奇數(shù) q 為奇數(shù)時(shí)， 則 yx p 是奇函數(shù)， 若 p 為奇數(shù) q

25、 為偶數(shù)時(shí)， 則 yx pq是偶函數(shù)，若p 為偶數(shù) q 為奇數(shù)時(shí)，則y x p 是非奇非偶函數(shù)圖象特征：冪函數(shù)y x, x (0,) ，當(dāng)1時(shí)，若 0x 1，其圖象在直線y x 下方，若x 1 ，其圖象在直線yx 上方，當(dāng)1時(shí)，若 0 x1，其圖象在直線 yx 上方，若 x1 ，其圖象在直線y x下方補(bǔ)充知識(shí)二次函數(shù)（ 1）二次函數(shù)解析式的三種形式一般式： f ( x) ax 2bxc( a0) 頂點(diǎn)式： f ( x) a(x h)2k(a 0) 兩根式：f ( x) a( x x1 )( xx2 )(a0)（ 2）求二次函數(shù)解析式的方法已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱(chēng)

26、軸有關(guān)或與最大（?。┲涤嘘P(guān)時(shí)，常使用頂點(diǎn)式若已知拋物線與x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫線坐標(biāo)已知時(shí)，選用兩根式求f ( x) 更方便（ 3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì)二次函數(shù) f ( x) ax 2bx c( a 0) 的圖象是一條拋物線，對(duì)稱(chēng)軸方程為xb, 頂點(diǎn)坐標(biāo)是2a;.(b , 4ac b2) 2a4a當(dāng) a0 時(shí)，拋物線開(kāi)口向上， 函數(shù)在 (,b 上遞減，在 b, ) 上遞增， 當(dāng) xb時(shí)，2a2a2afmin ( x)4acb2；當(dāng) a0 時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在(,b 上遞增，在 b ,) 上4a2a2ab時(shí)， fmax4acb2遞減，當(dāng) x( x)2a4a二次函數(shù) f ( x)ax 2bxc

27、( a 0)當(dāng)b24ac0 時(shí)，圖象與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2 | |x1 x2 | a|（ 4）一元二次方程ax2bxc0( a0) 根的分布一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識(shí)在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達(dá)定理）的運(yùn)用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來(lái)分析一元二次方程實(shí)根的分布設(shè)一元二次方程ax2bxc0(a0) 的兩實(shí)根為 x1 , x2 ，且 x1x2 令f (x)ax2bxc ，從以下四個(gè)方面來(lái)分析此類(lèi)問(wèn)題：開(kāi)口方向： a對(duì)稱(chēng)軸位置：xb2a判別式：

28、端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào) k x1 x2yybf (k) 0a0x2aOkOx2k x1x2xx1xbf (k)0a 0x2a x1 x2 kyybf ( k)0a 0x2aOx2Ox 2kxkxxx11ba 0f (k ) 0x2a;.x1 kx2af( k) 0yya0f ( k)0Okxx2xx2xOkx11f (k)0a0 k1 x1 x2 k2ya 0f (k1 )0f (k2 )0x1x2Ok1k2xbx2aybx2ak1k2Ox1x2xf (k1 )00f (k 2 )a 0有且僅有一個(gè)根x1（或 x2 ）滿(mǎn)足 k1 x（1或 x2） k2f( k1) f( k2)0，并同時(shí)考慮f( k1

29、 )=0或 f( k2)=0 這兩種情況是否也符合ya0f (k1 )0x1k 2O k1x2xf (k 2 )0 k1 x1 k2 p1 x2 p2此結(jié)論可直接由推出yf (k1 )0x1k2Ok1x2xa0f ( k2 )0（ 5）二次函數(shù) f ( x)ax2bx c(a 0)在閉區(qū)間 p, q 上的最值設(shè) f ( x) 在區(qū)間 p, q 上的最大值為 M1( p q) ，最小值為 m ，令 x0（）當(dāng) a0 時(shí)（開(kāi)口向上）2若bp ，則 m f ( p) 若 pbq ，則 m f (b ) 若bq ，則2a2a2a2amf (q);.ffff(q)(p)(p)(q)OxOxOff (p)b )bf f (bbbf (2a )2a)若2af (q)x0 ，則 Mf ( p)(q)x0 ，則M2a2a( ) 當(dāng) a0 時(shí)( 開(kāi)口向下 )f(p)bfbb若，則 x(q)若bx0，則若，則pMf ( p)pqMf ()q2a02aO2a x2aOxMf (q)fbff ()f (p)b )(q)2a2ab