人教版高中數學知識點大全

1、.高中數學必修 1 知識點大全第一章集合與函數概念【】集合的含義與表示（1）集合的概念集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.（ 2）常用數集及其記法N 表示自然數集，N或 N表示正整數集，Z 表示整數集， Q 表示有理數集，R 表示實數集 .（ 3）集合與元素間的關系對象 a 與集合 M 的關系是 aM ，或者 aM ，兩者必居其一 .（ 4）集合的表示法自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合 . 描述法： x | x 具有的性質 ，其中 x 為集合的代表元素 . 圖示法：用數軸或韋恩圖來表示集合 .（ 5）集合的分類含有有限個元素的

2、集合叫做有限集. 含有無限個元素的集合叫做無限集. 不含有任何元素的集合叫做空集 ().【】集合間的基本關系（ 6）子集、真子集、集合相等名稱記號意義性質示意圖AB（或子集BA)AB真子集（或BA）A 中的任一元素都屬于 BA B，且 B 中至少有一元素不屬于 A(1)A A(2)AA(B)BA(3)若 AB 且 BC，則AC(4)若 AB 且 BA，則 AB或（1）A （ A 為非空子集）BA(2)若 AB 且 BC，則AC集合A 中的任一元素都屬A B于 B ，B 中的任一元素相等都屬于 A(1)ABA(B)(2)BA（ 7）已知集合 A 有 n(n1) 個元素，則它有2n 個子集，它有

3、2n1個真子集，它有 2n1 個非空子集，它有 2n2非空真子集 .;.【 1.1.3】集合的基本運算（ 8）交集、并集、補集名稱記號意義性質示意圖 x | x（1） AAAAA, 且交集B（2） AAB（3） ABAxBABB x | x（1） AAAAA, 或A并集B（2） AAB（3） ABAxBABB1A (e A)2A (eU A) UU x | x U , 且x A UB)( UA)U補集e A痧( A(? B)U痧(AB)(UA)(? B)UU【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法（ 1）含絕對值的不等式的解法不等式解集| x |a( a0) x |axa| x |a

4、( a0)x | xa 或 xa把 axb 看 成 一 個 整 體 ， 化 成 | x | a ，| axb |c,| axb |c(c0)| x |a( a0) 型不等式來求解（ 2）一元二次不等式的解法判別式b24ac000二次函數yax2bxc(a0)的圖象O一元二次方程b24acb2x1,22ax1 x2baxc0( a0)bx無實根（其中 x1x2 )2a的根;.ax2bx c 0( a 0) x | x x1 或 x x2 x | xb R的解集2aax2bx c 0(a 0) x | x1 x x2的解集 1.2 函數及其表示【 】函數的概念（ 1）函數的概念設 A 、 B 是兩

5、個非空的數集， 如果按照某種對應法則f ，對于集合 A 中任何一個數x ，在集合 B中都有唯一確定的數f ( x) 和它對應，那么這樣的對應 （包括集合 A ，B 以及 A 到 B 的對應法則f ）叫做集合 A 到 B 的一個函數，記作f : AB 函數的三要素: 定義域、值域和對應法則只有定義域相同，且對應法則也相同的兩個函數才是同一函數（ 2）區(qū)間的概念及表示法設 a, b 是兩個實數，且ab ，滿足 ax b 的實數 x 的集合叫做閉區(qū)間，記做 a, b ；滿足a x b 的實數 x 的集合叫做開區(qū)間，記做(a,b) ；滿足 a xb ，或 a xb 的實數 x 的集合叫做半開半閉區(qū)間，

6、分別記做 a,b) ，(a,b ；滿足 x a, xa, x b, xb 的實數 x 的集合分別記做 a, ),( a,),(, b,(, b) 注意： 對于集合 x | axb 與區(qū)間 (a, b) ，前者 a 可以大于或等于 b ，而后者必須a b （ 3）求函數的定義域時，一般遵循以下原則： f ( x) 是整式時，定義域是全體實數 f ( x) 是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數 f ( x) 是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1 ytan x 中， xk(kZ ) 2零（負）指數

7、冪的底數不能為零若 f ( x) 是由有限個基本初等函數的四則運算而合成的函數時，則其定義域一般是各基本初等函數;.的定義域的交集對于求復合函數定義域問題，一般步驟是： 若已知 f (x) 的定義域為 a, b ，其復合函數f g( x)的定義域應由不等式ag( x)b 解出對于含字母參數的函數，求其定義域，根據問題具體情況需對字母參數進行分類討論由實際問題確定的函數，其定義域除使函數有意義外，還要符合問題的實際意義（ 4）求函數的值域或最值求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值因此求函數的最值與值域，其

8、實質是相同的，只是提問的角度不同求函數值域與最值的常用方法：觀察法：對于比較簡單的函數，我們可以通過觀察直接得到值域或最值配方法：將函數解析式化成含有自變量的平方式與常數的和，然后根據變量的取值范圍確定函數的值域或最值判別式法：若函數yf ( x) 可以化成一個系數含有y 的關于 x 的二次方程a( y) x2b( y) xc( y)0 ，則在 a( y)0 時，由于 x, y 為實數，故必須有b2 ( y) 4a( y)c( y)0 ，從而確定函數的值域或最值不等式法：利用基本不等式確定函數的值域或最值換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數函數的最值問題轉化為三角

9、函數的最值問題反函數法：利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系確定函數的值域或最值數形結合法：利用函數圖象或幾何方法確定函數的值域或最值函數的單調性法【】函數的表示法（ 5）函數的表示方法表示函數的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種解析法： 就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系（ 6）映射的概念設 A 、 B 是兩個集合，如果按照某種對應法則f ，對于集合 A 中任何一個元素，在集合B 中都有唯一的元素和它對應，那么這樣的對應 （包括集合A ， B 以及 A 到 B 的對應法則f ）叫

10、做集合 A到 B 的映射，記作f : AB 給定一個集合A 到集合 B 的映射，且 aA, bB 如果元素 a 和元素 b 對應，那么我們把元素b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象;. 1.3 函數的基本性質【 】單調性與最大（小）值（ 1）函數的單調性定義及判定方法函數的定義圖象性 質如果對于屬于定義域I 內某個區(qū)間上的任意兩個自變量yy=f(X)的值 x1、x2 , 當 x1 < x 2時，都f(x2 )有 f(x1)<f(x2 ) ， 那 么 就說f(x1 )f(x) 在這個區(qū)間上是 增函數 o1x2xx函數的單調性如果對于屬于定義域I 內某yy=f(X)個

11、區(qū)間上的任意兩個自變量f(x 1)的值 x 1、 x2 ，當 x1 < x 2時，都f(x2 )有 f(x1)>f(x2 ) ， 那 么 就說f(x) 在這個區(qū)間上是 減函數 ox1x 2x判定方法（ 1）利用定義（ 2）利用已知函數的單調性（ 3）利用函數圖象（在某個區(qū)間圖象上升為增）（ 4）利用復合函數（ 1）利用定義（ 2）利用已知函數的單調性（ 3）利用函數圖象（在某個區(qū)間圖象下降為減）（ 4）利用復合函數在公共定義域內，兩個增函數的和是增函數，兩個減函數的和是減函數，增函數減去一個減函數為增函數，減函數減去一個增函數為減函數 對 于 復 合 函 數 yf g( x) ，

12、令 ug( x) ， 若 yf (u) 為 增 ， ug ( x) 為 增 ， 則y f g(x) 為增；若 yf (u) 為減， ug( x) 為減，則 yf g (x) 為增；若 yf (u) 為增 ， ug (x) 為 減，則 yf g( x) 為 減；若 yf (u) 為 減， ug( x) 為增，則 yyf g(x) 為減（ 2）打“”函數 f (x)xa (a0) 的圖象與性質xf (x) 分別在 (,a 、 a ,) 上為增函數，分別在ox a ,0) 、 (0,a 上為減函數（ 3）最大（小）值定義一般地，設函數yf (x) 的定義域為 I ，如果存在實數M 滿足：（ 1）對于

13、任意的 xI，都有 f ( x)M ；（ 2 ）存在 x0I，使得f (x0 )M那么，我們稱M 是函數 f (x)的最大值，記作;.fmax ( x)M 一般地，設函數yf ( x) 的定義域為 I ，如果存在實數m 滿足：（ 1）對于任意的xI ，都有f ( x)m ；（2）存在 x0I ，使得 f ( x0 )m 那么，我們稱m 是函數 f (x) 的最小值，記作fmax ( x)m 【 】奇偶性（ 4）函數的奇偶性定義及判定方法函數的定義圖象判定方法性 質如果對于函數f(x)定義域內（ 1）利用定義（要先任意一個 x，都有 f(x)=判斷定義域是否關于f(x) ,那么函數 f(x)叫做

14、奇函原點對稱）數（ 2）利用圖象（圖象關于原點對稱）函數的奇偶性如果對于函數f(x)定義域內（ 1）利用定義（要先任意一個 x，都有 f(x)=f(x) ,判斷定義域是否關于那么函數 f(x)叫做偶函數 原點對稱）（ 2）利用圖象（圖象關于 y 軸對稱）若函數 f ( x) 為奇函數，且在 x 0 處有定義，則 f (0)0 奇函數在 y 軸兩側相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數在y 軸兩側相對稱的區(qū)間增減性相反在公共定義域內，兩個偶函數（或奇函數）的和（或差）仍是偶函數（或奇函數），兩個偶函數（或奇函數）的積（或商）是偶函數，一個偶函數與一個奇函數的積（或商）是奇函數補充知識函數的圖象（ 1）作

15、圖利用描點法作圖：確定函數的定義域；化解函數解析式；討論函數的性質（奇偶性、單調性）；畫出函數的圖象利用基本函數圖象的變換作圖：要準確記憶一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、冪函數、三角函數等各種基本初等函數的圖象平移變換yf ( x)h 0,左移 h個單位h0,右移 | h|個單位yf ( x)k 0,上移 k個單位k0,下移 | k|個單位伸縮變換y f (x h) y f (x) k;.yf ( x)01,伸1,縮yf ( x)0A 1,縮A 1,伸對稱變換y f ( x) y Af ( x)yf ( x)yf ( x)yf ( x)y f ( x)（ 2）識圖x軸f (

16、x)yf (x)y軸f (x)yy原點f ( x)yf ( x)直線 y xyf1( x)y去掉 y軸左邊圖象yf (| x |)保留 y軸右邊圖象，并作其關于y軸對稱圖象保留 x軸上方圖象y| f ( x) |將x軸下方圖象翻折上去對于給定函數的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數的定義域、值域、單調性、奇偶性，注意圖象與函數解析式中參數的關系（ 3）用圖函數圖象形象地顯示了函數的性質，為研究數量關系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結果的重要工具要重視數形結合解題的思想方法第二章基本初等函數 ( ) 2.1 指數函數【 】指數與指數冪的運算

17、（ 1）根式的概念如果 xna, aR, xR, n1，且 nN，那么 x 叫做 a 的 n 次方根當 n 是奇數時，a 的 n 次方根用符號n a 表示；當 n 是偶數時，正數 a 的正的 n 次方根用符號na 表示，負的 n 次方根用符號n a 表示； 0 的 n 次方根是0；負數 a 沒有 n 次方根式子 n a 叫做根式，這里n 叫做根指數， a 叫做被開方數當n 為奇數時， a 為任意實數；當n 為偶數時， a0 根 式 的 性 質 ： ( n a ) na ； 當 n 為 奇 數 時 ， n ana ； 當 n 為 偶 數 時 ，n ana(a0)| a |a(a0)（ 2）分數指

18、數冪的概念mn am (a正數的正分數指數冪的意義是：a n0, m, nN, 且 n1) 0 的正分數指數冪等于 0mm正數的負分數指數冪的意義是：a n(1 ) nn (1)m (a0, m, nN , 且 n 1) 0aa;.的負分數指數冪沒有意義注意口訣： 底數取倒數，指數取相反數（ 3）分數指數冪的運算性質 ar asar s (a0, r , s R) (ar ) sars ( a 0, r , s R) (ab)rar br (a0, b 0, r R)【 2.1.2】指數函數及其性質（ 4）指數函數函數名稱指數函數定義函數 ya x (a0 且 a1) 叫做指數函數a10 a1

19、yya xy a xy圖象y 1y 1(0,1)(0,1)OxOx定義域R值域(0, )過定點圖象過定點(0,1) ，即當 x0 時， y1 奇偶性非奇非偶單調性在 R 上是增函數在 R 上是減函數ax1( x 0)a x1(x 0)函數值的ax1( x 0)a x1(x 0)變化情況ax1( x 0)a x1(x 0)a 變化對圖象的影響在第一象限內，a 越大圖象越高；在第二象限內，a 越大圖象越低 2.2 對數函數【 】對數與對數運算（ 1）對數的定義若 axN ( a0, 且a1) ，則 x 叫做以 a 為底 N 的對數，記作 xlog a N ，其中 a 叫做底數，N 叫做真數負數和零

20、沒有對數對數式與指數式的互化：xlog a Na xN (a0, a1, N0) ;.（ 2）幾個重要的對數恒等式log a 1 0 ， log a a 1， log a abb （ 3）常用對數與自然對數常用對數： lg N ，即 log10N ；自然對數： ln N ，即 log e N （其中 e 2.71828）（ 4）對數的運算性質如果 a0, a1,M0, N0 ，那么加法： log a Mlog aNlog a (MN )減法： log a Mloga N log aMN數乘： n log a Mlog a M n (nR) alog a NN log ab M nn log a

21、 M (b0, nR) 換底公式： log a Nlog b N (b 0, 且 b 1)blog b a【】對數函數及其性質（ 5）對數函數函數名稱對數函數定義函數 ylog a x(a0 且 a1) 叫做對數函數a 10 a1x1x1yyloga xyy loga x圖象(1,0)O(1,0)xO定義域(0, )值域R過定點圖象過定點(1,0) ，即當 x1 時， y 0x奇偶性非奇非偶單調性在 (0,) 上是增函數在 (0,) 上是減函數;.log a x0(x1)log ax0(x1)函數值的log a x0(x1)log ax0( x1)變化情況log a x0(0x 1)log a

22、x0(0x 1)a 變化對圖象的影響在第一象限內，a 越大圖象越靠低；在第四象限內，a 越大圖象越靠高(6) 反函數的概念設函數 yf ( x) 的定義域為 A ，值域為C ，從式子 yf (x) 中解出 x ，得式子 x( y) 如果對于 y 在 C 中的任何一個值，通過式子x( y) ， x 在 A 中都有唯一確定的值和它對應，那么式子 x( y) 表示 x 是 y 的函數，函數 x( y) 叫做函數 yf ( x) 的反函數，記作 xf 1 ( y) ，習慣上改寫成 yf 1( x) （7）反函數的求法確定反函數的定義域，即原函數的值域；從原函數式y(tǒng) f (x) 中反解出 xf 1 (

23、y) ；將 xf1( y) 改寫成 y f1 ( x) ，并注明反函數的定義域（8）反函數的性質原函數 yf (x) 與反函數 yf 1 ( x) 的圖象關于直線yx 對稱函數 yf ( x) 的定義域、值域分別是其反函數y f1 ( x)的值域、定義域若P(a,b) 在原函數 yf (x) 的圖象上，則 P' (b,a)在反函數 y f1 (x) 的圖象上一般地，函數yf ( x) 要有反函數則它必須為單調函數 2.3 冪函數（ 1）冪函數的定義一般地，函數yx 叫做冪函數，其中x 為自變量，是常數（ 2）冪函數的圖象;.（ 3）冪函數的性質圖象分布：冪函數圖象分布在第一、二、三象限

24、，第四象限無圖象冪函數是偶函數時，圖象分布在第一、二象限 (圖象關于y 軸對稱 )；是奇函數時，圖象分布在第一、三象限(圖象關于原點對稱) ；是非奇非偶函數時，圖象只分布在第一象限過定點：所有的冪函數在(0,) 都有定義，并且圖象都通過點(1,1)單調性：如果0 ，則冪函數的圖象過原點，并且在0,) 上為增函數如果0 ，則冪函數的圖象在 (0,) 上為減函數，在第一象限內，圖象無限接近x 軸與 y 軸q奇偶性： 當為奇數時， 冪函數為奇函數，當為偶數時，冪函數為偶函數當（其中 p, q 互pqq質， p 和 qZ ），若 p 為奇數 q 為奇數時， 則 yx p 是奇函數， 若 p 為奇數 q

25、 為偶數時， 則 yx pq是偶函數，若p 為偶數 q 為奇數時，則y x p 是非奇非偶函數圖象特征：冪函數y x, x (0,) ，當1時，若 0x 1，其圖象在直線y x 下方，若x 1 ，其圖象在直線yx 上方，當1時，若 0 x1，其圖象在直線 yx 上方，若 x1 ，其圖象在直線y x下方補充知識二次函數（ 1）二次函數解析式的三種形式一般式： f ( x) ax 2bxc( a0) 頂點式： f ( x) a(x h)2k(a 0) 兩根式：f ( x) a( x x1 )( xx2 )(a0)（ 2）求二次函數解析式的方法已知三個點坐標時，宜用一般式已知拋物線的頂點坐標或與對稱

26、軸有關或與最大（?。┲涤嘘P時，常使用頂點式若已知拋物線與x 軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求f ( x) 更方便（ 3）二次函數圖象的性質二次函數 f ( x) ax 2bx c( a 0) 的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為xb, 頂點坐標是2a;.(b , 4ac b2) 2a4a當 a0 時，拋物線開口向上， 函數在 (,b 上遞減，在 b, ) 上遞增， 當 xb時，2a2a2afmin ( x)4acb2；當 a0 時，拋物線開口向下，函數在(,b 上遞增，在 b ,) 上4a2a2ab時， fmax4acb2遞減，當 x( x)2a4a二次函數 f ( x)ax 2bxc

27、( a 0)當b24ac0 時，圖象與 x 軸有兩個交點M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2 | |x1 x2 | a|（ 4）一元二次方程ax2bxc0( a0) 根的分布一元二次方程根的分布是二次函數中的重要內容，這部分知識在初中代數中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數關系定理（韋達定理）的運用，下面結合二次函數圖象的性質，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的分布設一元二次方程ax2bxc0(a0) 的兩實根為 x1 , x2 ，且 x1x2 令f (x)ax2bxc ，從以下四個方面來分析此類問題：開口方向： a對稱軸位置：xb2a判別式：

28、端點函數值符號 k x1 x2yybf (k) 0a0x2aOkOx2k x1x2xx1xbf (k)0a 0x2a x1 x2 kyybf ( k)0a 0x2aOx2Ox 2kxkxxx11ba 0f (k ) 0x2a;.x1 kx2af( k) 0yya0f ( k)0Okxx2xx2xOkx11f (k)0a0 k1 x1 x2 k2ya 0f (k1 )0f (k2 )0x1x2Ok1k2xbx2aybx2ak1k2Ox1x2xf (k1 )00f (k 2 )a 0有且僅有一個根x1（或 x2 ）滿足 k1 x（1或 x2） k2f( k1) f( k2)0，并同時考慮f( k1

29、 )=0或 f( k2)=0 這兩種情況是否也符合ya0f (k1 )0x1k 2O k1x2xf (k 2 )0 k1 x1 k2 p1 x2 p2此結論可直接由推出yf (k1 )0x1k2Ok1x2xa0f ( k2 )0（ 5）二次函數 f ( x)ax2bx c(a 0)在閉區(qū)間 p, q 上的最值設 f ( x) 在區(qū)間 p, q 上的最大值為 M1( p q) ，最小值為 m ，令 x0（）當 a0 時（開口向上）2若bp ，則 m f ( p) 若 pbq ，則 m f (b ) 若bq ，則2a2a2a2amf (q);.ffff(q)(p)(p)(q)OxOxOff (p)b )bf f (bbbf (2a )2a)若2af (q)x0 ，則 Mf ( p)(q)x0 ，則M2a2a( ) 當 a0 時( 開口向下 )f(p)bfbb若，則 x(q)若bx0，則若，則pMf ( p)pqMf ()q2a02aO2a x2aOxMf (q)fbff ()f (p)b )(q)2a2ab