人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專(zhuān)題復(fù)習(xí)數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題講義含部分答案

1、學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考數(shù)軸上的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題在講這個(gè)問(wèn)題之前，我們先來(lái)看一道行程問(wèn)題。【題 1】甲乙兩地相距 200 米，小明從甲地步行到乙地，用時(shí) 3 分鐘，小明的平均速度為多少米每秒？【分析】 這個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)，就是把實(shí)際生活中的問(wèn)題剝離出來(lái)，抽象成了簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，很多學(xué)生都會(huì)解；初學(xué)時(shí)，老師會(huì)畫(huà)線(xiàn)段圖，用線(xiàn)段的長(zhǎng)度來(lái)將兩點(diǎn)間的距離具象化，如下：小明甲地乙地【解法一】 直接利用：速度 = 路程÷時(shí)間解決。200 18010（米/秒）910【解法二】 用方程解。設(shè)速度為x米 / 秒 ，根據(jù)路程 = 時(shí)間×速度，得： 200180x ，解得 x。9如果在線(xiàn)段圖上，用一個(gè)具體

2、的數(shù)來(lái)表示甲地和乙地，從甲往乙的方向規(guī)定為正方向建立數(shù)軸，這個(gè)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題了。【題 2】如圖，數(shù)軸上有兩點(diǎn)A 、 B，點(diǎn) A 表示的數(shù)為0 ，點(diǎn) B 表示的數(shù)為200 ，一只電子螞蟻P從A出發(fā)，以 1個(gè)單位每秒的速度由A 往 B 運(yùn)動(dòng)，到 B 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)停止。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t。（1）用含t 的代數(shù)式表示電子螞蟻P 運(yùn)動(dòng)的距離；（2）用含t 的代數(shù)式表示電子螞蟻P 表示的數(shù)；（3）用含t 的代數(shù)式表示電子螞蟻P 到數(shù) B 的距離。（4）當(dāng)電子螞蟻運(yùn)動(dòng)多少時(shí)間后，點(diǎn)P 為線(xiàn)段 AB 的三等分點(diǎn)？【分析】 引入數(shù)軸后，其本質(zhì)是把線(xiàn)段圖換成了帶方向帶單位長(zhǎng)度的直線(xiàn)，將有限的實(shí)際距離推廣到了無(wú)

3、限的距離問(wèn)題。所以，對(duì)于運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，處理的核心思想依然是路程 = 速度×時(shí)間。其余的點(diǎn)的距離，利用數(shù) 軸上兩點(diǎn)間距離公式解決。（1）根據(jù)路程 = 速度×時(shí)間，有：APt ；（2） APt ，故點(diǎn) P 表示的數(shù)為 t ；（3）點(diǎn) B 表示的數(shù)為200，點(diǎn) P 表示的數(shù)為 t ，且 P 在 B 左邊，故PB200t 。（4）若 P 為 AB 的三等分點(diǎn)，有兩種情況： AP=2PB ，即： 2AP=PB ，即：t2 200 t ，解得 t400 秒；32t200 t ，解得 t200 秒；3現(xiàn)在，我們將【題 2】一般化，線(xiàn)段AB 一般化為在數(shù)軸上的一條定長(zhǎng)線(xiàn)段，便得到如下的題：【題

4、 3】如圖，數(shù)軸上有兩點(diǎn)A 、B，點(diǎn) A 表示的數(shù)為a ，點(diǎn) B 表示的數(shù)為 b ，且數(shù) A 和數(shù) B 的距離為 200個(gè)單位長(zhǎng)度，一只電子螞蟻P 從 A 出發(fā)，以 1個(gè)單位每秒的速度由A 往 B 運(yùn)動(dòng)，到 B 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)停止。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t。（1）用含a 的代數(shù)式表示數(shù)B；（2）用含a 和 t 的代數(shù)式表示電子螞蟻P 表示的數(shù)；學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考（3）用含t 的代數(shù)式表示電子螞蟻P 到數(shù)B 的距離?！痉治觥?一般化后，增加了字母參數(shù)，更加抽象化，難度也上升了，但若嚴(yán)格按照邏輯推理進(jìn)行解題，難度也會(huì)有所下降。（1）由數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離公式可得：ba200，整理得：b200a ；（

5、2）由路程 =速度×時(shí)間得，APt ，即 A 、 P 兩點(diǎn)間的距離為t ；同（ 1）可得，點(diǎn)P 表示的數(shù)為at 。（3）由于數(shù) B數(shù) P，故根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離公式有：BPbata200at200t 。我們發(fā)現(xiàn)，只要線(xiàn)段AB 的長(zhǎng)度固定，點(diǎn)P 到 B 的距離跟 A 、B 表示的數(shù)無(wú)關(guān)。接下來(lái)，我們將問(wèn)題復(fù)雜化，變?yōu)殡p動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，請(qǐng)看【題 4】?！绢} 4】如圖，數(shù)軸上有兩點(diǎn)A 、 B，點(diǎn) A 表示的數(shù)為0 ，點(diǎn) B 表示的數(shù)為 200 ，一只電子螞蟻P 從 A 出發(fā)，以 1個(gè)單位每秒的速度由A 往 B 運(yùn)動(dòng)，到B 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)停止；另一電子螞蟻Q 在同一時(shí)間從B 出發(fā)，以 2個(gè)單位每秒的速度由

6、B 往 A 運(yùn)動(dòng)，到 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)停止。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t。（1）當(dāng)電子螞蟻P、 Q 相距40 個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；（2）用含t 的代數(shù)式表示兩只電子螞蟻的距離?！痉治觥?本題的實(shí)質(zhì)，就是行程問(wèn)題中的相向運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，若用數(shù)軸不好理解，可以借助熟悉的行程問(wèn)題來(lái)輔助理解。（1）在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)P 和點(diǎn) Q 的位置有三種情況：P 在 Q 的右邊， P 和 Q 重合， P 在 Q 的左邊，故運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式時(shí)，需要加個(gè)絕對(duì)值號(hào)，可以有效避免漏掉情況。另外，Q到A后，Q停止，但 P繼續(xù)往 B 運(yùn)動(dòng)，故也得考慮這種情況。 P、 Q 都在運(yùn)動(dòng)時(shí)，0秒t100秒 時(shí)，點(diǎn) P 表示的數(shù)為 t ，點(diǎn) Q 表示

7、的數(shù)為2002t ，故 P、 Q 兩點(diǎn)間的距離為2002tt 。根據(jù)題意有：2002tt40 。很自然地需要分類(lèi)討論，考慮了兩種情況。 Q 停止運(yùn)動(dòng)， P 繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，此時(shí)PQ 距離 100，故不符合題意。（2） P 與 Q 相遇之前，即P 在 Q 的左邊，此時(shí)有數(shù)Q數(shù) P， 0秒t 200 秒，此時(shí)：3PQ2002tt2003t P 與 Q 相遇后， Q 停止運(yùn)動(dòng)前，即Q 在 P 的左邊，此時(shí)有數(shù)P數(shù) Q， 200 秒t100秒 ，此時(shí)：3PQt2002t3t200 Q 停止運(yùn)動(dòng)， P 繼續(xù)向 B 運(yùn)動(dòng)直至停止，數(shù)Q 為 0，數(shù) P數(shù) Q ， 100秒 t200秒 ，此時(shí)：PQt0t學(xué)習(xí)資料學(xué)

8、習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考【提煉】 第（1）問(wèn)題，利用數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式，能有效解決漏掉情況的問(wèn)題。下面，我們把線(xiàn)段等分點(diǎn)加進(jìn)來(lái)，提升難度，請(qǐng)看【題 5】和【題 6】。其處理的核心，依然是表示出相關(guān)的數(shù) 。【題 5】如圖，數(shù)軸上有兩點(diǎn)A 、 B，點(diǎn) A 表示的數(shù)為0 ，點(diǎn) B 表示的數(shù)為 200 ，一只電子螞蟻P 從 A 出發(fā)，以 1個(gè)單位每秒的速度由A 往 B 運(yùn)動(dòng)，到B 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)停止；另一電子螞蟻Q 在同一時(shí)間從B 出發(fā)，以 2個(gè)單位每秒的速度由B 往 A 運(yùn)動(dòng)，到 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)停止。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t。（1）當(dāng)P 為 AQ 中點(diǎn)時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；（2）當(dāng)Q 為 BP 中點(diǎn)時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t?！?/p>

9、分析】 搭上了線(xiàn)段中點(diǎn)，處理方式依然不變，用含t 的代數(shù)式表示出數(shù)Q、數(shù) P，利用兩點(diǎn)間距離公式解題。（1）點(diǎn) P 表示的數(shù)為 t ，點(diǎn) Q 表示的數(shù)為 2002t ，若 P 為 AQ 中點(diǎn)，有 AP=PQ ，即： t2002tt ，解得： t50秒；（2）點(diǎn) P 表示的數(shù)為 t ，點(diǎn) Q 表示的數(shù)為2002t ，若 Q 為 BP 中點(diǎn)，有 PQ=BQ ，即： 2002tt2t ，解得： t40秒 ?！绢} 6】已知數(shù)軸上A 、 B 兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是-2 和 4， P 為原點(diǎn)。若A 、B 、 P 三點(diǎn)分別以1 個(gè)單位每秒、4 個(gè)單位每秒、2 個(gè)單位每秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A、 B、P 三點(diǎn)有其中

10、一點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的中點(diǎn)時(shí)，求運(yùn)動(dòng)的時(shí)間?！痉治觥?按理說(shuō)有三種情況，A 為 P、 B 中點(diǎn)， B 為 A、 P 中點(diǎn)， P 為 A、 B 中點(diǎn)，但結(jié)合條件，發(fā)現(xiàn)A 不可能為 P、B 中點(diǎn)，故此種情況可以舍去。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)A 表示的數(shù)為t-2，點(diǎn) P 表示的數(shù)為4t，點(diǎn) B 表示的數(shù)為4+2t 。 B 為 A 、 P 中點(diǎn)，有AB=BP ，即： 4+2t-t+2=4t-4-2t ，解得： t=10 秒； P 為 A、 B 中點(diǎn)，有AP=PB ，即： 4t-t+2=4+2t-4t ，解得： t=0.4 秒；學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考【思考】 線(xiàn)段（直線(xiàn)、射線(xiàn)）上的運(yùn)動(dòng)問(wèn)

11、題，可以轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題來(lái)處理嗎？最后，放幾個(gè)題結(jié)束本文?！绢} 1】如圖，數(shù)軸上A 、 B 兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)分別為-8 和 12，點(diǎn) P 從原點(diǎn) O 出發(fā)，以每秒1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q 從原點(diǎn) O 出發(fā)，以每秒2 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒。（1）求經(jīng)過(guò)兩秒后，數(shù)軸點(diǎn)P、 Q 分別表示的數(shù)；（2）當(dāng) t3 時(shí)，求PQ 的值；（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在時(shí)間t，使得AP=BQ ，若存在，求出t 值；若不存在，說(shuō)明理由。【題 2】如圖，點(diǎn) A 、B 和線(xiàn)段 CD 都在數(shù)軸上，點(diǎn) A 、 C、 D、 B 起始位置所表示的數(shù)分別為 -2,0,3,

12、12；線(xiàn)段 CD 沿?cái)?shù)軸的正方向以每秒 1 個(gè)單位的速度移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為 t 秒。（1）當(dāng) t0 秒時(shí)， AC 的長(zhǎng)度為；當(dāng) t2秒時(shí)， AC 的長(zhǎng)度為；（2）用含有 t 的代數(shù)式表示AC 的長(zhǎng)為（3）當(dāng) t秒時(shí)， AC BD=5 ，當(dāng) t秒時(shí) AC+BD=15 （4）若點(diǎn) A 與線(xiàn)段 CD 同時(shí)出發(fā)沿?cái)?shù)軸的正方向移動(dòng)，點(diǎn)A 的速度為每秒2 個(gè)單位，在移動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻使得AC=2BD ，若存在，請(qǐng)求出t 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考【題3】如圖， E 為線(xiàn)段AC 上靠近點(diǎn)A 的三等分點(diǎn)， B 、D 為線(xiàn)段EC 上的兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足CD=2BD 。（ 1） 若 DE=6cm ，求線(xiàn)段 AB 的長(zhǎng)；（3）若 AC=15cm ， EB=4cm ，動(dòng)點(diǎn) P 從 A 點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn) Q 從 D 點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，分別以3cm/s、1cm/s 的速度沿直線(xiàn) AC 向右運(yùn)動(dòng)，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得BP+CQ=AB成立？若存在，求此時(shí)PQ 的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由?！绢} 4】如