專題29第5章相似三角形之三等角的相似備戰(zhàn)2022中考數(shù)學(xué)解題方法系統(tǒng)訓(xùn)練（全國通用）（解析版）

1、29第5章相似三角形之三等角的相似一、單選題1直線l1l2l3，且l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，把一塊含有45°角的直角三角形如圖放置，頂點(diǎn)A，B，C恰好分別落在三條直線上，AC與直線l2交于點(diǎn)D，則線段BD的長度為（ ）ABCD【答案】D【解析】分別過點(diǎn)A、B、D作AFl3，BEl3，DGl3，先根據(jù)全等三角形的判定定理得出BCEACF，故可得出CF及CE的長，在RtACF中根據(jù)勾股定理求出AC的長，再由相似三角形的判定得出CDGCAF，故可得出CD的長，在RtBCD中根據(jù)勾股定理即可求出BD的長【解答】如圖，分別過點(diǎn)A、B、D作AFl3，BEl3，DGl3，ABC是

2、等腰直角三角形，ACBC，EBC+BCE90°，BCE+ACF90°，ACF+CAF90°，EBCACF，BCECAF，在BCE與ACF中，CBEACF（ASA）CFBE，CEAF，l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，CFBE3，CEAF3+14，在RtACF中，AF4，CF3，AC5，AFl3，DGl3，CDGCAF， ，在RtBCD中，BC5，所以故答案為：D【點(diǎn)睛】本題主要考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形是解答此題的關(guān)鍵2如圖，正方形ABCD邊長為4，邊BC上有一點(diǎn)E，以DE為邊作矩形EDFG，使FG過點(diǎn)A，則矩形

3、EDFG的面積是（）A16B8C8D16【答案】D【解析】先利用等角的余角證明ADFEDC，再根據(jù)相似三角形的判定方法證明ADFCDE，然后利用相似比計(jì)算DF與DE的關(guān)系式，最后根據(jù)矩形的面積公式求得矩形的面積便可.【解答】解：四邊形ABCD為正方形，ADCD4，ADCC90°，四邊形EDFG為矩形，EDFF90°，ADF+ADE90°，ADE+EDC90°，ADFEDC，ADFCDE，即 ，DF，矩形EDFG的面積為：DEDFDE16故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)矩形的性質(zhì)求面積是解題重要一步3如圖，已知矩形的頂點(diǎn)分別落在軸軸上，

4、AB=2BC則點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）ABCD【答案】D【解析】過C作CEx軸于E，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CD=AB，ABC=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到BCE=ABO，進(jìn)而得出BCEABO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論【解答】解：過C作CEx軸于E，四邊形ABCD是矩形，CD=AB，ABC=90°，ABO+CBE=CBE+BCE=90°，BCE=ABO，BCEABO，AB=，AB=2BC，BC=AB=4，CE=2，BE=2OE=4+2C（4+2，2），故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵4如圖，矩形紙片AB

5、CD中，AB=6，BC=8，E是邊CD上一點(diǎn)，連接AE折疊該紙片，使點(diǎn)A落在AE上的G點(diǎn)，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BF，點(diǎn)F在AD上若DE=4，則AF的長為（   ） A   B4     C3     D2【答案】C【解析】由矩形的性質(zhì)可得AB=CD=6，AD=BC=8，BAD=D=90°，通過證明ABFDAE，可得，即可求解【解答】解：矩形ABCD， BAD=D=90°，BC=AD=8 BAG+DAE=90°

6、折疊該紙片，使點(diǎn)A落在AE上的G點(diǎn)，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BF， BF垂直平分AG ABF+BAG=90° DAE=ABF， ABFDAE 即 解之：AF=3 故答案為：C【點(diǎn)評】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握翻折變換和矩形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵5如圖，為的邊上一點(diǎn)，則的長為（ ）ABCD【答案】A【解析】根據(jù)已知證明ADBABC,利用代值求解即可【解答】，A=C，DBC=BDC，DBC=2A，BDC=A+ABD=2A，ABD=A=C，ADBABC，AD=BD，設(shè)BD=AD=x，則，即，解得：（不符題意，舍去），故選：A【點(diǎn)睛】本題考

7、查等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵二、填空題6如圖，在矩形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連結(jié)，將沿對折，點(diǎn)落在邊上點(diǎn)處，與對角線交于點(diǎn)，連結(jié)若，則_【答案】【解析】由折疊的性質(zhì)可得BCM=BFM，BC=BF，再由FMCD，可得BFM=ABF，從而得ABFBCA，由相似三角形的性質(zhì)求得AB，進(jìn)而由勾股定理可求解【解答】解：四邊形是矩形，ABC=BAD=90°，ABCD，F(xiàn)MAB，BFM=ABF，由折疊的性質(zhì)可得：BCM=BFM，BC=BF=4，ABF=ACB，ABFBCA，即，；故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、相似三

8、角形的性質(zhì)與判定、勾股定理及折疊的性質(zhì)，關(guān)鍵是證明三角形的相似，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解7如圖，點(diǎn)D是等邊ABC邊AB上的一點(diǎn)，且AD：DB2：3，現(xiàn)將ABC折疊，使點(diǎn)C與D重合，折痕為EF，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AC和BC上，則CE：CF_【答案】【解析】借助翻折變換的性質(zhì)得到DE=CE，設(shè)AD=2k，DB=3k得到AB=5k，根據(jù)AEDBDF即可解決問題【解答】解：設(shè)AD=2k，則DB=3k，AB=5k，ABC為等邊三角形，AB=AC=5k，A=B=C=EDF=60°，EDA+FDB=120°，又EDA+AED=180°-A=180°-60°

9、;=120°，F(xiàn)DB=AED，AEDBDF，由折疊得CE=DE，CF=DFAED的周長為AD+AE+ED=AD+AC=2k+5k=7k，BDF的周長為DB+DF+BF=DB+BC=3k+5k=8k，由相似三角形的周長比等于相似比可知，AED與BDF的相似比為7：8CE：CF=DE：DF=7：8，故答案為：7：8【點(diǎn)睛】主要考查了翻折變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是借助相似三角形的判定與性質(zhì)（用含有k的代數(shù)式表示）；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求8如圖，四邊形ABCD中，ABCD，C90°，AB1，CD2，BC3，點(diǎn)P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，若APDP，則BP的

10、長為_【答案】1或2【解析】設(shè)BP=x，則PC=3-x，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得B=90°，根據(jù)同角的余角相等可得CDP=APB，即可證明CDPBPA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程求出x的值即可得答案【解答】設(shè)BP=x，則PC=3-x，ABCD，C90°，B=180°-C=90°，B=C，APDP，APB+DPC=90°，CDP+DPC=90°，CDP=APB，CDPBPA，AB1，CD2，BC3，解得：x1=1，x2=2，BP的長為1或2，故答案為：1或2【點(diǎn)睛】此題考查的是相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握相似三角形的對應(yīng)邊成比例列方程是解題

11、的關(guān)鍵9如圖，點(diǎn)為外一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線、，點(diǎn)、為切點(diǎn)連接并延長交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)已知，則的長為_【答案】【解析】連接OB，在中應(yīng)用勾股定理求得的半徑為3，再根據(jù)，對應(yīng)線段成比例即可求解【解答】解：連接OB，、為的切線，設(shè)的半徑為r，則，在中，即，解得，即，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查切線長定理、相似三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理的應(yīng)用等內(nèi)容，作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵10在直角坐標(biāo)系中，已知圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為5，點(diǎn)和點(diǎn)是圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)，其中與均不為0過點(diǎn)分別作圓的切線與軸和分別相交于兩點(diǎn)，則_【答案】25【解析】根據(jù)圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為5，可得圓與y軸相切于點(diǎn)O，則有

12、：AO=AB，BP=BD，可得，有，可證，得到，化簡即可得到結(jié)果【解答】解：如圖示，AB、BD與圓相切于點(diǎn)P，D，AB、BD相交于點(diǎn)B，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為5，圓與y軸相切于點(diǎn)O，則有：AO=AB，BP=BD，OD是圓的直徑，又P是切點(diǎn)，即：，故答案為：25【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線和相似三角形的性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵三、解答題11如圖，在中，于，于，試說明：（1）（2）【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）直接根據(jù)相似三角形的判定證明即可；（2）首先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而證明ADEACB，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明【解答】解：（1）CDAB于D，BEAC于E

13、，AEB=ADC=90°，在ABE和ACD中ABEACD；（2）ABEACD，在ADE和ACB中，ADEACBAD·BC=DE·AC【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵12如圖，是的角平分線，延長至點(diǎn)使得求證：【答案】證明見解析【解析】先根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)相似三角形的判定即可得證【解答】是的角平分線又【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵13如圖，在中，是上一點(diǎn)，是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，作，射線交線段于.

14、（1）求證：；（2）當(dāng)是線段中點(diǎn)時(shí)，求線段的長；【答案】（1）見解析；（2）長為2或3【解析】（1）由三角形外角性質(zhì)可得CED=B+BDE，結(jié)合DEF=B可推出BDE=CEF，再加上B=C可證明DBEECF；（2）由DBEECF可得對應(yīng)邊成比例，設(shè)，則，建立方程求解即可.【解答】（1）證明：，；，.（2）（已證）.；為的中點(diǎn)，.設(shè)，則；又，解得或3.故長為2或3.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，此圖形可作為“一線三等角”模型記住證明方法，第（2）題由相似得到對應(yīng)邊成比例，建立方程是解題的關(guān)鍵.14如圖，在中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，（1）求的長（2）求證：【答案】（1）5；（2）證

15、明見解析；【解析】（1）先證明出，得出，假設(shè)BD為x，則DC=15-x，代入分式方程求出BD的長；（2）由（1）可知，推出，得出結(jié)果；【解答】（1），為中點(diǎn)，設(shè)，則，即：，解得：，（2）由（1）可知，在和中，【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活運(yùn)用15如圖，在中，是高，平分，分別與，相交于點(diǎn)，（1）求證：（2）求證：（3）若，求的長【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）【解析】（1）由題意易得，進(jìn)而可知，然后有，進(jìn)而問題得證；（2）由題意易得，進(jìn)而有，進(jìn)而問題得證；（3）如圖，作于，從而易得，進(jìn)而可得，然后由可進(jìn)行求解【解答】證明：

16、（1）為邊上的高，是的平分線，；（2），；（3）如圖，作于，由，由【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵16已知，如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，交AB于F，連結(jié)FC（AB>AE）（1）求證： （2）與是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請說明理由（3）設(shè)，是否存在這樣的值，使得與相似？若存在，證明你的結(jié)論并求出的值；若不存在，說明理由【答案】（1）證明見解析；（2）相似，理由見解析；（3）存在，k=【解析】（1）根據(jù)直角三角形兩銳角互余和等角的余角相等可得DEC=AFE，再根據(jù)A=D=90°可證得結(jié)論；（

17、2）延長FE與CD的延長線交于G，證明RtAEFRtDEG（ASA）由全等三角形的性質(zhì)可得出EF=EG證明RtEFCRtEGC（SAS）得出AFE=EGC=EFC則可證得結(jié)論；（3）分兩種情況討論，當(dāng)AFE=BCF時(shí)根據(jù)一個(gè)三角形最多有一個(gè)直角排除，當(dāng)AFE=BFC，設(shè)BC=a，則AB=ka，由AEFBCF，得出AF=ka，BF=ka，再借助AEFDCE即可證明【解答】解：（1）EFEC，F(xiàn)EC=90°，即AEF+DEC=90°，四邊形ABCD為矩形，A=D=90°，AEF+AFE=90°，DEC=AFE，A=D=90°，AEFDCE；（2）A

18、EFECF證明如下：延長FE與CD的延長線交于G，E為AD的中點(diǎn)，AE=DE，AEF=GED，A=EDG，RtAEFRtDEG（ASA）EF=EGCE=CE，F(xiàn)EC=CEG=90°，RtEFCRtEGC（SAS）AFE=EGC=EFC又A=FEC=90°，AEFECF；（3）存在k值，使得AEF與BFC相似理由如下：假定AEF與BFC相似，則有兩種情況：當(dāng)AFE=BCF，則有AFE與BFC互余，于是EFC=90°，因此此種情況是不成立的；當(dāng)AFE=BFC，使得AEF與BFC相似，設(shè)BC=a，則AB=ka，AEFBCF，AF=ka，BF=ka，AEFDCE，即，解得

19、，k=【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理，能正確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵17已知在中，為邊上的一點(diǎn)過點(diǎn)作射線，分別交邊、于點(diǎn)、（1）當(dāng)為的中點(diǎn)，且、時(shí)，如圖1，_：（2）若為的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，_；（3）若改變點(diǎn)到圖3的位置，且時(shí)，求的值【答案】（1）2；（2）2；（3）【解析】（1）由為的中點(diǎn)，結(jié)合三角形的中位線的性質(zhì)得到 從而可得答案；（2）如圖，過作于 過作于結(jié)合（1）求解再證明利用相似三角形的性質(zhì)可得答案；（3）過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，證明,可得 再證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解 同法求解

20、從而可得答案【解答】解：（1）為的中點(diǎn)， 故答案為： （2）如圖，過作于 過作于 由（1）同理可得 ： 故答案為： （3）過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，同理可得：【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，三角形中位線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵18如圖，在矩形中，、分別為、邊上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，證明：【答案】見解析【解析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)余角的性質(zhì)證明，再證明即可證明結(jié)論成立【解答】證明：如解圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，且四邊形為矩形，又，又，【點(diǎn)睛】本題考查了余角的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵19關(guān)于x的

21、方程和一元二次方程中，k，m均為實(shí)數(shù)，方程的根為非負(fù)數(shù)（1）求k的取值范圍；（2）當(dāng)k為最小整數(shù)時(shí)，方程有兩根分別為和，求m的值；（3）在（2）的條件下，若直線y=kx+1與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C是雙曲線在第一象限圖像上一動(dòng)點(diǎn)，作CDy軸交線段AB于點(diǎn)E，作CFx軸交線段AB于點(diǎn)G，坐標(biāo)原點(diǎn)為O按要求補(bǔ)全圖形并完成：BG·AE_；求EOG的度數(shù)【答案】（1）k-1且k2；（2）m=4；（3）1；EOG=45°【解析】（1）先解方程，根據(jù)方程的根為非負(fù)數(shù)及一元二次方程的定義即可得答案；（2）由（1）可知k-1，根據(jù)k為最小整數(shù)可知k=-1，可得方程為，利用一元二次方

22、程根與系數(shù)的關(guān)系即可得答案；（3）根據(jù)（2）可得直線AB和雙曲線的解析式，根據(jù)題意作出圖形，過點(diǎn)E作EPx軸于P，過G作GQy軸于Q，設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（t，），由直線AB解析式可得A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，可得AOB是等腰直角三角形，進(jìn)而可得BQG和EPA是等腰直角三角形，可得BG=QG，AE=PE，即可得答案；如圖，連接OE、OG，由得BG·AE=1，OA=OB=1，OBA=OAB=45°，可得，即可證明BOGAEO，可得OGB=EOA，根據(jù)外角性質(zhì)及角的和差關(guān)系可得EOG=OAB=45°【解答】（1），x=，方程的根為非負(fù)數(shù)，方程是一元二次方程，0，2-k0，解得：k-1且

23、k2（2）由（1）可知k-1，k為最小整數(shù)，k=-1，方程為，方程有兩根分別為和，+()=，即-m=-4，解得：m=4（3）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形如下，過點(diǎn)E作EPx軸于P，過G作GQy軸于Q，由（2）可知k=-1，m=4，直線AB解析式為y=-x+1，雙曲線的解析式為，直線y=kx+1與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，A（1，0），B（0，1），OA=OB=1，OBA=OAB=45°，AOB是等腰直角三角形，EPx軸，GQy軸，BQG和EPA是等腰直角三角形，BG=GQ，AE=PE，CDy軸，CFx軸，GQ=CD，PE=CF，設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（t，），則CD=t，CF=，BG·AE=t×·=1如圖，連接OE、OG，由得BG·AE=1，OA=OB=1，OBA=OAB=45°，BG=，BOGAEO，OGB=EOA，OGB=GOA+OAB，EOA=EOG+GOA，EOG=OAB=45°【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的定義、根與系數(shù)的關(guān)系；等腰直角三角形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，如果兩個(gè)三角形的兩組對應(yīng)邊成比例，且對應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；如