2010-2019高考數(shù)學真題分類匯編第13講平面向量的概念與運算

1、專題五平面向量第十三講 平面向量的概念與運算2019年A. -3C. 2 2. （ 2019 全國川理 13）已知 a , b 為單位向量，且 a b=0 ,cos：a c =2010-2018年、選擇題13AB AC442.（2018 北京）設(shè)a,b均為單位向量，則 “a 3b=|3a+b”是a丄b”的3. （2018 全國卷n）已知向量a,b滿足| a | =1,a b二-1，則a （2a-b）二A. 4B . 3C . 2D . 04.（ 2017 北京）設(shè)m,n為非零向量，貝 y 存在負數(shù)，使得mV.n是mn0的A.充分而不必要條件B .必要而不充分條件C.充分必要條件D .既不充分也

2、不必要條件5.（2016 年山東）已知非零向量1m,n滿足4 | m | = 3| n |,cos m, n.若n _ （tm n）,3則實數(shù) t 的值為B . -41. （2019 全國n理 3）已知AB=（2,3） ,AC=（3，t），BC=1，則AB BC=B . -2D . 31. （2018 全國卷I）在厶ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點，則EBA.C.31AB AC44A .充分而不必要條件C.充分必要條件B.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件6.（2016 年天津）已知AABC是邊長為 1 的等邊三角形，點D,E分別是邊AB, BC的中點,連接DE并延長到點F

3、，使得DE =2EF，則AF BC的值為11（2014山東）已知向量“（1雨，b=（3,m）.若向量a,b的夾角為i，則實數(shù)吩B. -37.（2016 年全國II)已知向量a =(1, m) ,b=(3,-2)，且(a b) _b，則B.-6C. 6D. 89.（2016 年全國III ）已知向量uiv 1BA =(2,Bc -F,1),貝ABC=2 2A.30tl45C .60D.120（2015 重慶）若非零向量ab滿足a2.2b，且（a b）丄（3a+ 2b），則a與b角為JIA .-4JIB .-210.（2015 陜西）對任意向量a, b,F列關(guān)系式中不恒成立的是A.|a b|w|a

4、 |b |B.| a-b |W| a |-| b |2 2C .(a - b) =| a b |2 2D.(ab)(a -b) = a - b11.(2015 安徽)AAB是邊長為2的等邊三角形，已知向量a,b滿足AB2a,AC -2a b,則下列結(jié)論正確的是A.b-1D .4a - b _ BC12.（2014 新課標1)設(shè)D,E,F分別為ABC的三邊BC,CA, AB的中點，貝UEB FC =13.A .ADB . AD2C .BC2D .BC（2014 新課標2)設(shè)向量a,b滿足|a+b|=. 10,14.15.(2014 安徽)設(shè)a, b為非零向量,b =2 a，兩組向量X1,X2,X

5、3,X4和y1,y2,y3, y4均由22224 TT TT TT2 個a和 2 個b排列而成，若x1y1x2y2- x3y3- x4y4所有可能取值中的最小值2為4a，貝U a與b的夾角為C. 6(2014 福建)在下列向量組中，可以把向量a二3,2表示出來的是C.G =(3,56,10)D.e = (2,-3),(-2,3)A .若 n 確定，則| a |唯一確定B .若二確定，則|b|唯一確定C.若|a |確定，則二唯一確定D .若|b |確定，則二唯一確定15D .217.(2014 浙江)設(shè)二為兩個非零向量a ,b的夾角，已知對任意實數(shù)t,|b ta |是最小值18.(2014 重慶

6、)已知向量a= (k,3),b= (1,4),c= (2,1),且(2 a- 3b) _ c，則實數(shù)k-19.(2013 福建)在四邊形ABCD中,AC =(1,2),BD =(-4,2)，則該四邊形的面積為20.21.22.A.5C. 5D. 10(2013 浙江)設(shè)ABC,P。是邊AB上一定點，滿足PB1AB，且對于邊AB上任4一點P，恒有PB PCRB PC.則A .ABC =900B .BAC =900C .AB = ACD .AC = BC(2013 遼寧)已知點A(1,3),B(4, -1)，則與向量AB同方向的單位向量為C. -1冷(2013 湖北) 已知點 A( -1,1)、*

7、B(1,2)、C(-2, -1)、D(3, 4)，則向量 AB 在 CD 方向上16.A. G=(0,0心(1,2)B.G =(-1,2) =(5廠2)B.0C.315.(2014 安徽)設(shè)a, b為非零向量,b =2 a，兩組向量X1,X2,X3,X4和y1,y2,y3, y4均由2222的投影為A .豬23. （2013 湖南）已知a,b是單位向量，a b= 0.若向量c滿足c a b=1，貝Uc的最42大值為A.2-1OA的取值范圍是給定向量b，總存在向量c，使a = b c；給定向量b和c,總存在實數(shù)和，使a給定正數(shù)和亠，總存在單位向量b和單位向量c，使a - b -c；上述命題中的向

8、量b,c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個數(shù)是C. 3A .若I a bFI a I -| b |，則a _bB.若a _ b，則|a bHa| -|b|C.若I a b | a I -| b |，則存在實數(shù)，使得b = - aD .若存在實數(shù) 二使得b二a，則| a b | a |-| b |24.（2013 重慶） 在平面上,AB + AB2.若OP28.(2011 廣東)已知向量a= (1,2),b= (1,0),c= (3,4).若為實數(shù)，（a b）/ c,則，=C. 1C.2125. （2013 廣東）設(shè)a是已知的平面向量且a - 0,D.關(guān)于向量a的分解，有如下四個命題:給

9、定單位向量b和正數(shù)，總存在單位向量c和實數(shù)，使a26. (2012 陜西)設(shè)向量a= ( 1,cos)與b=(1,2COSV)垂直，則cos2等于27. (2012 浙江)設(shè)a,b是兩個非零向量A.0,C .俘,29. (2011 遼寧)已知向量 a 二(2,1) , b 二(1,k) ,a (2a b)=0，貝 U k =(m,nR)，貝y m+n =36 . （2017 江蘇）如圖，在同一個平面內(nèi),向量OA,OB,OC的模分別為1, 1,OA與OC的夾角為，且tanOB與OC的夾角為45.若OC=mOA+n OBA.,|a |2| b|2-(a b)2C.1 xla |2| b|2-(a

10、b)2B.J a |2| b |2(a b)2D.1 |a |2|bt (a b)231. （2010 山東）定義平面向量之間的一種運算”如下：對任意的a -（m,n）,b =（p, q）,令a U b二mq - np,下面說法錯誤的是A.若a與b共線，則 aLIb= 0B.aLIb二b_ aC.對任意的R，有（ a）LI b = （a_ b）D .(aL b)2(a *b)2=|a |2| b|2二、填空題32 . (2018 全國卷川)已知向量a二(1,2),b二(2, -2),c二(1/ ).若c/(2a b),則，=_33 . (2017 新課標I)已知向量a,b的夾角為 60 | a

11、 | = 2,| b|=1，則|a+ 2 b |=34 . （2017 浙江）已知向量a,b滿足| a戶1,| b戶2,則| a b|a -b|的最小值是最大值是35 . （2017 山東）已知& ,e2是互相垂直的單位向量，若.3e -e2與 e e2的夾角為 60 ,則實數(shù)的值是_30.A.-12B .-62010 遼寧）平面上O,A,等于C. 6B三點不共線，設(shè)OA= a,D . 12OB二b，則OAB的面積439. （2015 湖北）已知向量 OA_AB ,|OA3，則OA OB =._40. （2015 新課標i）設(shè)向量a, b不平行，向量a b與a2b平行，則實數(shù)=41.（

12、2015 浙江）已知0, e2是空間單位向量，0 e2，若空間向量b滿足b=2,25b e2=-，且對于任意x, yR,b(x0 + ye2) b( e+ ye2)=1( ,yR),則X。二_ ,y二_,b42. (2014 新課標i)已知A,B,1 -C是圓0上的三點，若A2（AB AC），則43.44.AC的夾角為（2014 山東）在VABC中，已知uuuuuu-AB AC（2014 安徽）已知兩個不相等的非零向量a,b，兩組向量 為，X2,X3, X4, X5和% , y2, y3, y4, y5均由 2 個a和 3個b排列而成記S = x,yx2y2x3y3T T T T*x4y4+x

13、5y5,Smin表示S所有可能取值中的最小值.則下列命題正確的是 _（出所有正確命題的編號）S有 5 個不同的值.若a -b則Smin與| a |無關(guān).若a/b則Smin與| b |無關(guān).4若| b| 4| a |，則Smin0.2 2 237. (2016 全國 I)設(shè)向量a = (m,1),b= (1,2)，且|a b | =| a |- | b |，則m=38. (2015 江蘇)已知向量a = (2,1),b = (1,-2)，若manb二(9,-8)(m, nR),則m一n的值為BC（2014 北京）已知向量a、b滿足a =1,b= （2,1）,且丸a + b = 0（九乏R）,貝

14、U 丸=_（2014 陜西）設(shè)0，向量a =sinR,cos,bCOST,1，若a/b，則2tanT =（2014 四川）平面向量a = （1,2）,b = （4,2）,c二ma b（mR），且c與a的夾角等于c與b的夾角，貝 U m = _ .（2013 新課標I）已知兩個單位向量a,b的夾角為60,c = ta （1 -1）b，若b c二0,（2013 浙江）設(shè)e1,e2為單位向量，非零向量b = X0 ye2,x, y R，若e1,e2的夾角為，則兇的最大值等于 _ .6| b |*TT（2013 天津）在平行四邊形 ABCD 中，AD=1,ZBAD =60 ,E 為 CD 的中點.若

15、AC BE =1 ,則 AB 的長為R），則匚=（2013 北京）已知向量a,b夾角為45，且| a | = 1,|2a -b|= 10,則| b|=（2012 湖北）已知向量a= （1, 0）,b= （1, 1）,貝U（I）與2a +b同向的單位向量的坐標表示為 _45.46.47.48.49.50.51.52.53.54.55.則 t =_.（2013 新課標n）已知正方形ABCD的邊長為2,E為CD的中點，則AE BD =AB與AC的夾角120，且忌=3, |忌=2，若AP二兔AB AC，且AP _ BC，則實數(shù)的值為（2013 北京）向量a, b, c 在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若

16、Illi卜+_臨- -0 0IFIF I I一I IIFIF （2013 山東）已知向量（2014 北京）已知向量a、b滿足a =1,b= （2,1）,且丸a + b = 0（九乏R）,貝 U 丸=_（n）向量b -3a與向量a夾角的余弦值為 _。56._（2012安徽）若平面向量a,b滿足：2a-b3；則a b的最小值是 _ .57.（2011 浙江）若平面向量:-,滿足 1=1,1，且以向量：，1 為鄰邊的1平行四邊形的面積為 ，則：與：的夾角 r 的取值范圍是22、58.（ 2011 江蘇）已知&，e2是夾角為 的兩個單位向量，a = & -2e2，b = ke1e2，3

17、若a b = 0,貝U k的值為_.59.（2011 新課標）已知a與b為兩個不共線的單位向量，k為實數(shù)，若向量a+b與向量ka-b垂直，則k=_ .60.（2011 安徽）已知向量a, b滿足（a + 2b），（a b） = -6，且a =1,b =2，則a與b的夾角為_ .61._（2010 陜西）已知向量a= （2, 1）,b= （ 1, m）,c= （ 1,2）,若（a+b）/c, 貝 U m =.三、解答題62.（2017 江蘇）已知向量a = （cosx,sin x）,b = （3,-、3）,x 0,二.（1）若a/b,求x的值；（2） 記f（x）二a b,求f （x）的最大值和最

18、小值以及對應(yīng)的x的值.專題五平面向量第十三講 平面向量的概念與運算答案部分20192019 年AB BCBC二AC AB =(1,t -3),貝U 1 (t 3)= (2,3) (1,0) =2.故選 C.=1,得t = 3,即BC =(1,0),所以1.解析:2.解析a c = a (2a -：5b) = 2a2- 5a b = 2, 因為c2=(2a - 5b)2=4a2-4、5a b 5b2=9,、小、小/ v a c 2所以|c|=3,所以cosa,c=麗藥1 1 11 1 -EB=ED DBAD 2CB9 2(ABAC)ABAC)=3AB -丄AC.故選 A .4431AB AC.故

19、選 A .44C【解析】3b = 3a+b ,(a3b)2=(3a+b)2, a26a b + 9b2=9a26a b b2，又| a |=|b|=1a b= 0,a _ b；反之也成立，故選 C.B【解析】a (2a -b) =2a2-a b = 2 -(-1)=3，故選 B .A【解析】因為m, n為非零向量，所以m n =| m |n|cos：m, n宀：0的充要條件是cos：m, n：0.因為 ：0，則由m =n可知m, n的方向相反，m, n = 180，所以cos：m, n 0，所以存在負數(shù) ，使得m -，n”可推出m n 0”；而m n：0可推出cos：m, n 0，但不一定推出

20、m, n的方向相反，從而不一定推得“存 在負數(shù)，使得m二 n”，所以存在負數(shù)，使得m二 n”是m n 0”的充 分而不必要條件.25. B【解析】由n (tm n)可得n (tm n0，即tm n n =0,1.A【解析】通解 如圖所示,2010-2010-20182018 年-AD1 - 2-E-A-B-Ac-22.3.4.C2n| m | | n | cos =_3凹=_34= _4.故選B.| m | 353七5 3 1-AF BC a b b，故選 B.448 4 8D【解析】由向量的坐標運算得 a、b= 4, m 2 ,/(a b) _b,(a b)b=12 2(m 2) =0,解得

21、m=8，故選 D.所以.ABC = 30：，故選 A .2 29. A 【解析】由題意(a- b) (3a 2b 3a -ab-2b =0,10. B【解析】對于 A 選項，設(shè)向量a、b的夾角為 r ,| a b |a | b |cos RB PC恒成立，相當于(| PB | -(a 1)| PB | -a恒成立,整理得| PB|2-(a 1)|PB| a 0恒成立，只需厶=(a - 1)2- 4a = (a-1)20(y b)2= 1 x?0.由 |OP|v，得(x a)? + (y b)2v241即 0W1x2+1亍亍v 4所以-vx2+ y2a，所以是假命題.綜上，本題選 B.平面向量的

22、基本定理考前還強調(diào)過，不懂學生做得如何26. C【解析】*a _ b,. a b = 0, - 1 2cos - 0, cos2)- 2cos2)-1=0.正確的是C.2 2 2 2,AB2所在直線27. C【解析】| a b|=| a | -| b戶|a | 2ab | b|=|a | -2 | a | b| -| b |，則ab - -1 a |b| = 0，所以a,b不垂直，A 不正確，同理 B 也不正確;ab= -| a |b|，則cos a, b = -1，所以a,b共線，故存在實數(shù),使得b=a, C 正確；若b二a，則=1，此時|a b戶2|a|= 0=|a|-|b|,所以 D 不

23、正確.28. B【解析】a b = (1 - ,2)，由(ab)Hc，得6-4(1 )=0，解得=-229.D【解析】/2a-b= (5,2 -k)，由a (2a -b) =0，得(2,1) (5,2 - k) =0, 10 2 _k =0，解得k =12.130.C【解析】三角形的面積 S=|a|b|sin a,b，而1a|2|b|2(ab)2= *a |2|b|2_(ab)2cos2ca,b；1-1|a|b| . 1 cos2: a, b |a | b|sin：a,b -.31. B【解析】若a與b共線，則有aLI b=mq - np=0，故 A 正確;因為bU a = pn -qm,而a

24、LI b=mq-np，所以有aL b =叩a，故選項 B 錯誤，故選 B .32.1【解析】2a - b= (4,2)，因為c = (1/)，且c/(2a b),2所以1 2=4，,即，=1.233.2.3【解析】T|a 2b|2=|a |24| b |24ab二4 4 1 4 2 1 cos 60 =12,- |a 2b| = 2、334. 4,2. 5【解析】設(shè)向量a,b的夾角為二，由余弦定理有：；_補=J12+22_2疋1H2HcosT = J5_4cos日,a= J12+22_2H2Hcos(兀) = J5+4COS0,則:令丫 仝5 4cos x 5 - 4cos x，貝U y2=10 2 25-16cos216,20 1,a + lbb = 5 4cos4 4a+b +a ba +b + a b )min據(jù)此可得:【仝：20 =2.抵，max即a +b ra b