《雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》

1、2.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo) 知識與技能目標(biāo)知識與技能目標(biāo) 理解雙曲線的概念，掌握雙曲線的定義、會用雙曲線的定義解決實際問題；理解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程及化簡無理方程的常用的方法；了解借助信息技術(shù)探究動點軌跡的幾何畫板的制作或操作方法 問題1：橢圓的定義是什么？平面內(nèi)與兩個定點平面內(nèi)與兩個定點 的距離的的距離的和和等于常數(shù)（等于常數(shù)（大于大于 ）的點的軌跡叫做）的點的軌跡叫做橢圓橢圓。21,FF21FF問題2：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的?) 0( 1) 0( 122222222babxaybabyax或 ， ， 關(guān)系如何？abc222cba問題3：如果把上述定義中“距離的和”改

2、為“距離的差”那么點 的軌跡會發(fā)生怎樣的變化？1.雙曲線的定義：平面內(nèi)平面內(nèi)與兩個定點與兩個定點 的距離的的距離的差的絕對值差的絕對值等于常數(shù)（等于常數(shù)（小于小于 ）的點的軌）的點的軌跡叫做跡叫做雙曲線雙曲線。21,FF21FF這兩個定點叫做雙曲線的這兩個定點叫做雙曲線的焦點焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距焦距。1F2FM常數(shù)21MFMF2.標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 建系建系1F2F使使 軸經(jīng)過兩焦點軸經(jīng)過兩焦點 ， 軸為線段軸為線段 的垂直平分線。的垂直平分線。x21,FF21,FFyxyO 設(shè)點設(shè)點設(shè)設(shè) 是雙曲線上任一點，是雙曲線上任一點，),(yxMM焦距為焦距為

3、，那么，那么 焦點焦點 又設(shè)點又設(shè)點 與與 的差的絕對值等于常數(shù)的差的絕對值等于常數(shù) 。)0(2cc)0,(),0,(21cFcFM21,FFa2 列式列式aMFMF221即即aycxycx2)()(2222化簡化簡兩邊同除以兩邊同除以 得得)(222aca122222acyax)()(22222222acayaxac得得02222acacac)0(222bbac令代入得代入得)0,0(12222babyax這個方程叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。它所表示的是焦點在這個方程叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。它所表示的是焦點在 軸上軸上 x)0,(),0,(21cFcF.222bac焦點在焦點在 軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方

4、程是什么？軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？y1F2FxyO)0,0(12222babxay)0, 0( 12222babxay)0, 0( 12222babyax3.兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較 方程用方程用“”號連接。號連接。 分母是分母是 但但 大小不定。大小不定。0, 0,22bababa, 。 222bac如果如果 的系數(shù)是正的，則焦點在的系數(shù)是正的，則焦點在 軸上；如果軸上；如果 的系數(shù)是正的，則的系數(shù)是正的，則焦點在焦點在 軸上。軸上。2xx2yy判斷下列方程是否表示雙曲線？若是，求出判斷下列方程是否表示雙曲線？若是，求出 及焦點坐標(biāo)。及焦點坐標(biāo)。cba, )0, 0(/p>

5、24122222222nmnymxyxyxyx答案：答案： )0 ,6).(0 ,6(6,2, 21cba )0 , 2).(0 , 2(2,2,22cba )6, 0).(6, 0(6, 2,23cba )0 ,).(0 ,(,4nmnmnmcnbma（1）先把非標(biāo)準(zhǔn)方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，再判斷焦點所在的坐標(biāo)軸。）先把非標(biāo)準(zhǔn)方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，再判斷焦點所在的坐標(biāo)軸。（2） 是否表示雙曲線？是否表示雙曲線？ )0( 122mnnymx表示焦點在表示焦點在 軸上的雙曲線；軸上的雙曲線；x00nm表示焦點在表示焦點在 軸上的雙曲線。軸上的雙曲線。y00nm表示雙曲線，求表示雙曲線，求 的范圍。的范圍。

6、m11222mymx答案：答案： 。21mm或1.已知雙曲線兩個焦點分別為已知雙曲線兩個焦點分別為 ，雙曲線上一點，雙曲線上一點 到到 距離差的絕對值等于距離差的絕對值等于6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。)0,5(),0,5(21FFP21, FF解：因為雙曲線的焦點在軸因為雙曲線的焦點在軸 上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為x)0,0(12222babyax因為因為 ，所以，所以 ，所以，所以102,62ca5,3ca.1635222b因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.116922yx小結(jié)：求標(biāo)準(zhǔn)方程要做到先定型，后定量。求標(biāo)準(zhǔn)方程要做到先定型，后

7、定量。求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 焦點在在軸焦點在在軸 上，上， ； 焦點在在軸焦點在在軸 上，經(jīng)過點上，經(jīng)過點 .xx3,4ba)2,315(),3,2(答案答案: 191622yx)0, 0(12222babyax設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為代入點代入點 得得)2,315(),3,2(12351322222baba令令221,1bnam則則1235132nmnm解得解得311nm故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.1322yx2.2.已知已知A A，B B 兩地相距兩地相距800m800m，在，在A A地聽到炮彈爆炸聲比在

8、地聽到炮彈爆炸聲比在B B地晚地晚2 2秒，且聲速為秒，且聲速為340m/s340m/s，求炮彈爆炸點的軌跡方程。求炮彈爆炸點的軌跡方程。分析： 假設(shè)爆炸點為假設(shè)爆炸點為P P，爆炸點距，爆炸點距A A地比地比B B地遠(yuǎn)地遠(yuǎn)；爆炸點爆炸點P的軌跡是靠近的軌跡是靠近B處處的雙曲線的一支。的雙曲線的一支。3402 PBPAABP解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系建立如圖所示的直角坐標(biāo)系 ，使，使 兩點在兩點在 軸上，并且坐標(biāo)原軸上，并且坐標(biāo)原點點 與線段與線段 的中點重合。的中點重合。xOyBA,xOAB設(shè)爆炸點設(shè)爆炸點 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 ，則，則 ， P),( yx6802340 PBPA即即.340,6802aa又又,800AB所以所以.44400,400,8002222ac