武漢科技大學春華餐廳窗口服務(wù)改善

1、 目錄武漢科技大學春華餐廳窗口服務(wù)改善分析2摘 要2針對武漢科技大學春華餐廳排隊就餐人數(shù)較多，導(dǎo)致服務(wù)效率偏低的問題，在此運用排隊理論方法，為武漢科技大學學校食堂窗口服務(wù)工作構(gòu)建相應(yīng)的定量模型，節(jié)約排隊就餐時間，提高食堂服務(wù)質(zhì)量、改善服務(wù)效率，以及平衡學生排隊時間與食堂收益之間的關(guān)系，優(yōu)化食堂服務(wù)資源配置提供一種較為有效的管理決策手段，提供給學生最佳的排隊就餐時間段。2關(guān)鍵詞：排隊論，M/M/s模型，靈敏度，最佳就餐時間段21 排隊論原理32 基本原理72.1 多服務(wù)臺排隊系統(tǒng)的數(shù)學模型-模型72.2 M/M/s等待制多服務(wù)臺模型83 實例分析93.1 模型假設(shè)93.1.1103.1.2103

2、.1.3133.2 模型建立及求解133.3 模型分析154窗口優(yōu)化設(shè)計175結(jié)果分析176結(jié)束語18武漢科技大學春華餐廳窗口服務(wù)改善分析 袁絳宏（機械自動化學院 工業(yè)工程1201 201203166010） 摘 要針對武漢科技大學春華餐廳排隊就餐人數(shù)較多，導(dǎo)致服務(wù)效率偏低的問題，在此運用排隊理論方法，為武漢科技大學學校食堂窗口服務(wù)工作構(gòu)建相應(yīng)的定量模型，節(jié)約排隊就餐時間，提高食堂服務(wù)質(zhì)量、改善服務(wù)效率，以及平衡學生排隊時間與食堂收益之間的關(guān)系，優(yōu)化食堂服務(wù)資源配置提供一種較為有效的管理決策手段，提供給學生最佳的排隊就餐時間段。關(guān)鍵詞：排隊論，M/M/s模型，靈敏度，最佳就餐時間段緒論 在武漢

3、科技大學青山校區(qū)，經(jīng)常有如下的情景：下課鈴聲響起后，許多同學爭相跑向食堂去買飯，小小的賣飯窗口前沒過幾分鐘便排成了長長的隊伍，本來空蕩蕩的食堂也立即變得擁擠不堪。饑腸轆轆的同學們見到這種長蛇八卦，沒有不怨聲載道的。增加服務(wù)窗口數(shù)量，減少排隊等待時間，是學生們十分關(guān)心的問題。然而就食堂的角度來說，雖說增加服務(wù)窗口數(shù)量可以減少排隊等待時間，提高學生對該食堂的滿意度，從而贏得更多的學生到該食堂就餐，但是同時也會增加食堂的運營成本，因此如何在這兩者之間進行權(quán)衡，找到最佳的窗口數(shù)量，對學生和食堂雙方來說都是很重要的。具體分析到武漢科技大學春華餐廳容納量為600人左右，早餐就餐人數(shù)偏少，時間段分布分散，因

4、此本文不探討早餐排隊問題。在這里著重分析中午和下午時段的排隊就餐人數(shù)，通過實地考查具體數(shù)據(jù)運用排隊論來優(yōu)化該系統(tǒng)。 排隊論是通過研究各種服務(wù)系統(tǒng)的排隊現(xiàn)象，解決服務(wù)系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計和優(yōu)化控制的一門科學。本論文將根據(jù)食堂排隊狀況建立數(shù)學模型，運用排隊論的觀點進行分析，通過比較各方面因素的關(guān)系，為其擁擠狀況找到一個較合理的解決方案。 日常生活中存在大量有形和無形的排隊或擁擠現(xiàn)象，如旅客購票排隊，市內(nèi)電話占線等現(xiàn)象。排隊論的基本思想是1910年丹麥電話工程師A.K.埃爾朗在解決自動電話設(shè)計問題時開始形成的，當時稱為話務(wù)理論。他在熱力學統(tǒng)計平衡理論的啟發(fā)下，成功地建立了電話統(tǒng)計平衡模型，并由此得到一組遞推

5、狀態(tài)方程，從而導(dǎo)出著名的埃爾朗電話損失率公式。1 排隊論原理自20世紀初以來，電話系統(tǒng)的設(shè)計一直在應(yīng)用這個公式。30年代蘇聯(lián)數(shù)學家.欣欽把處于統(tǒng)計平衡的電話呼叫流稱為最簡單流。瑞典數(shù)學家巴爾姆又引入有限后效流等概念和定義。他們用數(shù)學方法深入地分析了電話呼叫的本征特性，促進了排隊論的研究。50年代初，美國數(shù)學家關(guān)于生滅過程的研究、英國數(shù)學家D.G.肯德爾提出嵌入馬爾可夫鏈理論，以及對排隊隊型的分類方法，為排隊論奠定了理論基礎(chǔ)。在這以后，L.塔卡奇等人又將組合方法引進排隊論，使它更能適應(yīng)各種類型的排隊問題。70年代以來，人們開始研究排隊網(wǎng)絡(luò)和復(fù)雜排隊問題的漸近解等，成為研究現(xiàn)代排隊論的新趨勢。折疊

6、排隊模型的表示X/Y/Z/A/B/CX-顧客相繼到達的間隔時間的分布;Y-服務(wù)時間的分布;M-負指數(shù)分布、D-確定型、Ek -k階愛爾蘭分布;Z-服務(wù)臺個數(shù);A-系統(tǒng)容量限制(默認為);B-顧客源數(shù)目(默認為);C-服務(wù)規(guī)則 (默認為先到先服務(wù)FCFS)。折疊排隊系統(tǒng)的衡量指標隊長Ls-系統(tǒng)中的顧客總數(shù);排隊長Lq-隊列中的顧客數(shù);逗留時間Ws-顧客在系統(tǒng)中的停留時間;等待時間Wq-顧客在隊列中的等待時間;忙期-服務(wù)機構(gòu)兩次空閑的時間間隔;服務(wù)強度;穩(wěn)態(tài)-系統(tǒng)運行充分長時間后，初始狀態(tài)的影響基本消失，系統(tǒng)狀態(tài)不再隨時間變化。折疊到達間隔時間與服務(wù)時間的分布泊松分布;負指數(shù)分布;愛爾蘭分布;統(tǒng)計

7、數(shù)據(jù)的分布判斷。排隊系統(tǒng)的構(gòu)成及應(yīng)用前景排隊系統(tǒng)由輸入過程與到達規(guī)則、排隊規(guī)則、服務(wù)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)、服務(wù)時間與服務(wù)規(guī)劃組成。一般還假設(shè)到達間隔時間序列與服務(wù)時間均為獨立同分布隨機變量序列，且這兩個序列也相互獨立。評價一個排隊系統(tǒng)的好壞要以顧客與服務(wù)機構(gòu)兩方面的利益為標準。就顧客來說總希望等待時間或逗留時間越短越好，從而希望服務(wù)臺個數(shù)盡可能多些但是，就服務(wù)機構(gòu)來說，增加服務(wù)臺數(shù)，就意味著增加投資，增加多了會造成浪費，增加少了要引起顧客的抱怨甚至失去顧客，增加多少比較好呢?顧客與服務(wù)機構(gòu)為了照顧自己的利益對排隊系統(tǒng)中的3個指標:隊長、等待時間、服務(wù)臺的忙期(簡稱忙期)都很關(guān)心。因此這3個指標也就成了排

8、隊論的主要研究內(nèi)容。排隊論的應(yīng)用非常廣泛。它適用于一切服務(wù)系統(tǒng)。尤其在通信系統(tǒng)、交通系統(tǒng)、計算機、存貯系統(tǒng)、生產(chǎn)管理系統(tǒng)等方面應(yīng)用得最多。排隊論的產(chǎn)生與發(fā)展來自實際的需要，實際的需要也必將影響它今后的發(fā)展方向。排隊系統(tǒng)又稱服務(wù)系統(tǒng)。服務(wù)系統(tǒng)由服務(wù)機構(gòu)和服務(wù)對象(顧客)構(gòu)成。服務(wù)對象到來的時刻和對他服務(wù)的時間(即占用服務(wù)系統(tǒng)的時間)都是隨機的。圖1為一最簡單的排隊系統(tǒng)模型。排隊系統(tǒng)包括三個組成部分:輸入過程、排隊規(guī)則和服務(wù)機構(gòu)。折疊輸入過程輸入過程考察的是顧客到達服務(wù)系統(tǒng)的規(guī)律。它可以用一定時間內(nèi)顧客到達數(shù)或前后兩個顧客相繼到達的間隔時間來描述，一般分為確定型和隨機型兩種。例如，在生產(chǎn)線上加工的

9、零件按規(guī)定的間隔時間依次到達加工地點，定期運行的班車、班機等都屬于確定型輸入。隨機型的輸入是指在時間t內(nèi)顧客到達數(shù) n(t)服從一定的隨機分布。如服從泊松分布,則在時間t內(nèi)到達n個顧客的概率為排隊論或相繼到達的顧客的間隔時間T 服從負指數(shù)分布，即排隊論式中為單位時間顧客期望到達數(shù)，稱為平均到達率;1/為平均間隔時間。在排隊論中，討論的輸入過程主要是隨機型的。折疊排隊規(guī)則排隊規(guī)則分為等待制、損失制和混合制三種。當顧客到達時，所有服務(wù)機構(gòu)都被占用，則顧客排隊等候，即為等待制。在等待制中，為顧客進行服務(wù)的次序可以是先到先服務(wù)，或后到先服務(wù)，或是隨機服務(wù)和有優(yōu)先權(quán)服務(wù)(如醫(yī)院接待急救病人)。如果顧客來

10、到后看到服務(wù)機構(gòu)沒有空閑立即離去，則為損失制。有些系統(tǒng)因留給顧客排隊等待的空間有限，因此超過所能容納人數(shù)的顧客必須離開系統(tǒng)，這種排隊規(guī)則就是混合制。折疊服務(wù)機構(gòu)可以是一個或多個服務(wù)臺。多個服務(wù)臺可以是平行排列的，也可以是串連排列的。服務(wù)時間一般也分成確定型和隨機型兩種。例如，自動沖洗汽車的裝置對每輛汽車沖洗(服務(wù))時間是相同的，因而是確定型的。而隨機型服務(wù)時間v 則服從一定的隨機分布。如果服從負指數(shù)分布，則其分布函數(shù)是排隊論式中為平均服務(wù)率，1/為平均服務(wù)時間。如果按照排隊系統(tǒng)三個組成部分的特征的各種可能情形來分類，則排隊系統(tǒng)可分成無窮多種類型。因此只能按主要特征進行分類。一般是以相繼顧客到達

11、系統(tǒng)的間隔時間分布、服務(wù)時間的分布和服務(wù)臺數(shù)目為分類標志?，F(xiàn)代常用的分類方法是英國數(shù)學家D.G.肯德爾提出的分類方法，即用肯德爾記號 X/Y/Z進行分類。X處填寫相繼到達間隔時間的分布;Y處填寫服務(wù)時間分布;Z處填寫并列的服務(wù)臺數(shù)目。各種分布符號有:M-負指數(shù)分布;D-確定型; Ek-k階埃爾朗分布;GI-一般相互獨立分布;G-一般隨機分布等。這里k階埃爾朗分布是排隊論為相互獨立且服從相同指數(shù)分布的隨機變量時服從自由度為 2k的2分布。例如,M/M/1表示顧客相繼到達的間隔時間為負指數(shù)分布、服務(wù)時間為負指數(shù)分布和單個服務(wù)臺的模型。D/M/C表示顧客按確定的間隔時間到達、服務(wù)時間為負指數(shù)分布和C

12、個服務(wù)臺的模型。至于其他一些特征,如顧客為無限源或有限源等，可在基本分類的基礎(chǔ)上另加說明。研究排隊系統(tǒng)問題的主要目的是研究其運行效率,考核服務(wù)質(zhì)量,以便據(jù)此提出改進措施。通常評價排隊系統(tǒng)優(yōu)劣有 6項數(shù)量指標。系統(tǒng)負荷水平 :它是衡量服務(wù)臺在承擔服務(wù)和滿足需要方面能力的尺度;系統(tǒng)空閑概率P0:系統(tǒng)處于沒有顧客來到要求服務(wù)的概率;隊長:系統(tǒng)中排隊等待服務(wù)和正在服務(wù)的顧客總數(shù)，其平均值記為LS;隊列長:系統(tǒng)中排隊等待服務(wù)的顧客數(shù)，其平均值記為Lg;逗留時間:一個顧客在系統(tǒng)中停留時間，包括等待時間和服務(wù)時間，其平均值記為WS;等待時間:一個顧客在系統(tǒng)中排隊等待時間,其平均值記為Wg。M/M/1排隊系統(tǒng)

13、是一種最簡單的排隊系統(tǒng)。系統(tǒng)的各項指標可由圖2中狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖推算出來(表1)。其他類型的排隊系統(tǒng)的各種指標計算公式則復(fù)雜得多，可專門列出計算公式圖表備查?，F(xiàn)已開始應(yīng)用計算機仿真來求解排隊系統(tǒng)問題。2 基本原理 武漢科技大學學生在春華餐廳高峰期這段時間達到的人數(shù)是無限的，并且依次以參數(shù)為的泊松過程達到，達到的時間間隔是隨機的，服從負指數(shù)分布。 餐廳每個服務(wù)窗口以并聯(lián)的方式連接，且每個窗口對學生來說都是一樣的，服務(wù)時間服從參數(shù)為的負指數(shù)分布。由概率論的知識可知，若分布滿足，泊松分布的概率分布函數(shù)為： P(X=k)=frace-lambdalambdakk! 泊松分布的參數(shù)是單位時間(或單位面積)

14、內(nèi)隨機事件的平均發(fā)生率。 泊松分布適合于描述單位時間內(nèi)隨機事件發(fā)生的次數(shù)。如某一服務(wù)設(shè)施在一定時間內(nèi)到達的人數(shù)，電話交換機接到呼叫的次數(shù)，汽車站臺的候客人數(shù)，機器出現(xiàn)的故障數(shù)，自然災(zāi)害發(fā)生的次數(shù)等等。泊松分布的期望和方差均為 泊松分布的參數(shù)是單位時間(或單位面積)內(nèi)隨機事件的平均發(fā)生率。21 多服務(wù)臺排隊系統(tǒng)的數(shù)學模型-模型排隊論是研究排隊系統(tǒng)（又稱為隨機服務(wù)系統(tǒng)）的數(shù)學理論和方法，是運籌學的一個重要分支。在日常生活中人們會遇到各種各樣的排隊問題。排隊問題的表現(xiàn)形式往往是擁擠現(xiàn)象。排隊系統(tǒng)的符號一般形式為：X/Y/Z/A/B/C。 其中：X表示顧客相繼到達時問間隔的分布；Y表示服務(wù)時間的分布；

15、Z表示服務(wù)臺的個數(shù)；A表示系統(tǒng)的容量，即可容納的最多顧客數(shù)；B表示顧客源的數(shù)目；C表示服務(wù)規(guī)則。 排隊論的基本問題是研究一些數(shù)量指標在瞬時或平穩(wěn)狀態(tài)下的概率分布及其數(shù)字特征，了解系統(tǒng)運行的基本特征；系統(tǒng)數(shù)量指標的統(tǒng)計推斷和系統(tǒng)的優(yōu)化問題等。 當系統(tǒng)運行一定時間達到平穩(wěn)狀態(tài)后，對任一個狀態(tài) n來說，單位時內(nèi)進入該狀態(tài)的平均次數(shù)和單位時間內(nèi)離開該狀態(tài)的平均次數(shù)應(yīng)相等，即系統(tǒng)在統(tǒng)計平衡下“流入=流出”?！?】據(jù)此可得任一狀態(tài)下的平衡方程如下： 0： 1： 2：n:由上述平衡方程，可求得： 平衡狀態(tài)的分布為： (1)其中： (2)由概率分布的要求： ，有： , （3）注意：（3）式只有當級數(shù) 收斂時才

16、有意義，即當時，才能由上述 公式得到平穩(wěn)狀態(tài)的概率分布。 2.2 M/M/s等待制多服務(wù)臺模型設(shè)顧客單個到達，相繼到達的時間間隔服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，系統(tǒng)中共有 S個服務(wù)員，每個服務(wù)臺的服務(wù)時間相互獨立，且服從參數(shù)為 的指數(shù)分布。當顧客到達時，若有空閑的服務(wù)臺則可以馬上接受服務(wù)，否則便排成一個隊列等待，等到有空間服務(wù)臺時再接收服務(wù)?！?】 下面討論這個排隊系統(tǒng)的平穩(wěn)分布。記： ()為系統(tǒng)達到平穩(wěn)狀態(tài)后隊長 N的概率分布， 注意到對個數(shù)為 S的多服務(wù)臺系統(tǒng)，有： n-0,1,2.和 , 記，則當時，由（1）式、（2）式、（3）式，有 (4), 其中： (5) 公式（4）和公式（5）給出了在平衡

17、條件下系統(tǒng)中顧客數(shù)為的概率，當 時，即系統(tǒng)中顧客數(shù)大于或等于服務(wù)臺個數(shù)，這時再來的顧客必須等待，因此記： (6)式（6）稱為Erlang 等待公式，它給出了顧客到達系統(tǒng)時需要等待的概率。對多服務(wù)臺等待制排隊系統(tǒng)，由已得到的平穩(wěn)分布可得平均排隊長 為：記系統(tǒng)中正在接受服務(wù)的顧客的平均數(shù)為，顯然也是正在忙的服務(wù)臺的平均數(shù)，故： （7）式（7）說明，平均在忙的服務(wù)臺個數(shù)不依賴于服務(wù)臺個數(shù)，由（7）式，可得到平均隊長L 為：L = 平均排隊長+正在接受服務(wù)的顧客的平均數(shù)= L ，對多服務(wù)臺系統(tǒng)，Little 公式依然成立，即有平均逗留時間 ；平均等待時間?！?】3 實例分析3.1 模型假設(shè)3.1.1

18、假定武漢科技大學學生在春華餐廳高峰期這段時間達到的人數(shù)是無限的，并且依次以參數(shù)為的泊松過程達到，達到的時間間隔是隨機的，服從負指數(shù)分布。3.1.2 餐廳每個服務(wù)窗口以并聯(lián)的方式連接，且每個窗口對學生來說都是一樣的，服務(wù)時間服從參數(shù)為的負指數(shù)分布。 調(diào)查數(shù)據(jù) 1. 本作者實地統(tǒng)計了12.21-12.25期間的春華餐廳排隊就餐學生人數(shù)，時間是上午11.40-12.00，12.00-12.20和12.20-12.40之間的具體情況，以及下午5.20-5.40和5.40-6.00.，6.00-6.20之間的具體情況。 春華餐廳就餐人數(shù)分布12.21當天上午時間11.40-12.0012.00-12.2

19、012.20-12.40人數(shù)284450180其中具體到每十分鐘的人數(shù)如下:時間11.5012.0012.1012.2012.3012.40人數(shù)12615832013010080 春華餐廳就餐人數(shù)分布12.21當天下午時間5.20-5.405.40-6.006.00-6.20人數(shù)263502156其中具體到每十分鐘的人數(shù)如下:時間5.305.405.506.006.106.20人數(shù)1001633201829858 春華餐廳就餐人數(shù)分布12.22當天上午時間11.40-12.0012.00-12.2012.20-12.40人數(shù)296489206其中具體到每十分鐘的人數(shù)如下:時間11.5012.0

20、012.1012.2012.3012.40人數(shù)134162258231104102 春華餐廳就餐人數(shù)分布12.22當天下午時間5.20-5.405.40-6.006.00-6.20人數(shù)253522178其中具體到每十分鐘的人數(shù)如下:時間5.305.405.506.006.106.20人數(shù)12013330521710672 春華餐廳就餐人數(shù)分布12.23當天上午時間11.40-12.0012.00-12.2012.20-12.40人數(shù)300508289其中具體到每十分鐘的人數(shù)如下:時間11.5012.0012.1012.2012.3012.40人數(shù)145155258250152187 春華餐廳就

21、餐人數(shù)分布12.23當天下午時間5.20-5.405.40-6.006.00-6.20人數(shù)258552186其中具體到每十分鐘的人數(shù)如下:時間5.305.405.506.006.106.20人數(shù)12513331024210680 春華餐廳就餐人數(shù)分布12.24當天上午時間11.40-12.0012.00-12.2012.20-12.40人數(shù)285489302其中具體到每十分鐘的人數(shù)如下:時間11.5012.0012.1012.2012.3012.40人數(shù)144141280209140162 春華餐廳就餐人數(shù)分布12.24當天下午時間5.20-5.405.40-6.006.00-6.20人數(shù)24

22、5526183其中具體到每十分鐘的人數(shù)如下:時間5.305.405.506.006.106.20人數(shù)12512032020610677 春華餐廳就餐人數(shù)分布12.25當天上午時間11.40-12.0012.00-12.2012.20-12.40人數(shù)265456297其中具體到每十分鐘的人數(shù)如下:時間11.5012.0012.1012.2012.3012.40人數(shù)150115302154152145 春華餐廳就餐人數(shù)分布12.25當天下午時間5.20-5.405.40-6.006.00-6.20人數(shù)156354105其中具體到每十分鐘的人數(shù)如下:時間5.305.405.506.006.106.2

23、0人數(shù)8967 2051496540 仔細分析數(shù)據(jù)可以得出，周一到周五之間學生排隊就餐人數(shù)具有一定的穩(wěn)定性和易測性。因此可以把以上數(shù)據(jù)當做真實可靠的數(shù)據(jù)來統(tǒng)計和計算。在這里說明周五特殊情況，由于周五下午放學后就是休息期，因此當天下午在餐廳就餐排隊人數(shù)銳減。以下是這五天具體數(shù)據(jù)的分析圖: 3.1.3 武漢科技大學青山校區(qū)春華餐廳實行先來先服務(wù)原則，且學生可自由在隊列間進行轉(zhuǎn)移，并總向較短的隊進行轉(zhuǎn)移，沒有學生會因為隊列過長而離去，故可認為排隊方式是單一隊列等待制。由于周六周日學校大多數(shù)學生沒課，故學生 去食堂的時間較為分散，很少發(fā)生排長隊的現(xiàn)象，因此在此就不做分析了。本文僅就周一至周五的食堂擁擠

24、情況進行分析。經(jīng)考察發(fā)現(xiàn)，一般打到飯的同學都能找到座位吃飯，故本文可認為，食堂的容納學生數(shù)是足夠的，因此解決食堂擁擠狀況，主要是解決排長隊與服務(wù)窗口的問題。本文統(tǒng)計了第17周周一到周五11:40至12：40 高峰期食堂的學生流分布情況：共統(tǒng)計了1129人次的數(shù)據(jù)（以10 秒為一個時間單位），見下表：（部分數(shù)據(jù)）表一每10秒到達人數(shù)123456頻數(shù)9218929728617689由概率論的知識可知，若分布滿足，【3】則該分布為泊松分布（其中為泊松分布的密度，為泊松分布的參數(shù)）。由上表可得 =3.43。經(jīng)檢驗，該分布近似于泊松分布。雖然本文僅僅調(diào)查了一周的數(shù)據(jù)，但考慮到學生到食堂就餐具有較大的穩(wěn)定

25、性，所以認為調(diào)查的數(shù)據(jù)還是較為可靠的。另外在非高峰時段很少發(fā)生排隊現(xiàn)象，故在此我們也不做分析。3.2 模型建立及求解基于以上的假設(shè)，我們的模型符合排隊論中的多服務(wù)臺等待模型（M/M/s）。該模型的特點是：服務(wù)系統(tǒng)中有s 個窗口（即s個服務(wù)員），學生按泊松流來到服務(wù)系統(tǒng)，到達強度為 ；服務(wù)員的能力都是，服務(wù)時間服從指數(shù)分 布，每個顧客的平均服務(wù)時間t 。當顧客到達時，如果所有服務(wù)員都忙著，顧客便參加排隊，等待服務(wù)，一直等到有服務(wù)員為他服務(wù)為止。由我們調(diào)查的數(shù)據(jù)可知 = 3.43, =1.5, = 6 （食堂現(xiàn)有窗口6 個）代入以上各式可得：服務(wù)員能力：67關(guān)優(yōu)化中具有實際用途，的計算過程，證明排

26、隊論在超市用于超市.01=-tm系統(tǒng)服務(wù)強度： ，因為平均每一個窗口的服務(wù)強度 ，所以極限存在?？臻e概率： ，其中為一窗口的總顧客數(shù)，為正在接受服務(wù)的顧客數(shù)，則系統(tǒng)中排隊顧客的平均數(shù)： ，顧客平均排隊時間： ，顧客平均逗留時間： ，系統(tǒng)中顧客的平均數(shù)： ，由此可見，當學生中午在11:40至12：40這個時間段去食堂吃飯時，一進門就會發(fā)現(xiàn)里面已經(jīng)人滿為患，幾乎不可能找到空閑的窗口。而且，已經(jīng)有37個同學正在排隊買飯，32 個人正在排隊等待，平均一個窗口6人。當就餐學生開始排隊時，要過93秒鐘才輪到，要過108秒鐘才能吃上可口的飯菜，來填飽饑餓的肚子。為了檢驗本文計算的數(shù)據(jù)與事實相符，特地親身體驗

27、了一番，下表是本次的統(tǒng)計數(shù)據(jù)（僅對一個窗口而言）：表二 時間周一11：50周二12:05周三11：50周四12：05 排隊等待人數(shù)4546排隊等待時間808510295忽略那些隨機因素，這次得到的那些結(jié)論和實際數(shù)據(jù)還是較為符合的，可見基于本次的排隊模型較為可靠。3.3 模型分析對于學生來說，中午的時間是很有限的，能盡快吃上飯對同學們來說是很重要的。同時，學生在食堂排隊的平均逗留時間很大程度上可以決定學生對食堂的選擇，所以食堂工作人員也希望能盡可能的滿足學生的需求。研究學生平均逗留時間，將是解決本模型的關(guān)鍵所在。平均逗留時間 是由平均排隊時間和平均服務(wù)時間 組成。本文認為15 秒的平均服務(wù)時間t

28、對于服務(wù)員來說已經(jīng)是極限了，如果再加快速度反而可能手忙腳亂，增大出錯的可能性，到時反而會降低效率，故認為平均服務(wù)時間t 不可改變，是個常數(shù)。至于平均排隊時間W，我們由公式可知它是由顧客到達強度，每個顧客的平均服務(wù)時間 和窗口數(shù)來決定的，由于學生對于食堂的選擇都有一定的偏好，即一般都會去同一個食堂吃飯，所以我們可以認為學生流是穩(wěn)定的，即為常數(shù)，由上面的分析又可知t 也是常數(shù)，因此能對平均排隊時間構(gòu)成影響的就只有窗口數(shù)了，下面我們就的取值對的影響進行分析：由matlab 可以得到它們兩者之間的散點圖： 散點圖擬合圖注：在上圖中把W 的單位改成了秒。從圖中可看出各點之間的變化規(guī)律較為平穩(wěn)，所以本文有

29、可能用多次多項式將其擬合，所以又用matlab 對其進行了三次多項式的擬合，從而得到了它們的擬合圖。它們之間的二次多項式關(guān)系式是： ，4窗口優(yōu)化設(shè)計由于對于學生方面來說，當然是排隊等待時間越短越好；而對于食堂方面來說，窗口數(shù)的增加一方面會導(dǎo)致成本的增加，帶來大的成本壓力；另一方面會縮短排隊時間，即意味著它能為更多學生服務(wù)，所以它是否會增加窗口數(shù)就取決于成本和收益的大小關(guān)系。因此，需要對系統(tǒng)進行優(yōu)化，在成本和利益之間尋求可能有的平衡點。我們可以把該系統(tǒng)優(yōu)化表述為：尋求最佳的服務(wù)窗口數(shù)量，使系統(tǒng)總費用最小。那么：，其中：為并聯(lián)的窗口臺數(shù)量，是關(guān)于窗口臺數(shù)量的費用，是單位時間里平均每個窗口的費用，為

30、平均每個學生在系統(tǒng)中等待（或逗留）單位時間的等待損失，L是平均隊長。在理論上，上述目標函數(shù)存在著優(yōu)化解。一般來說，每增加一個窗口，需要多配備一名服務(wù)人員以及一些配套的設(shè)施。所以增加窗口數(shù)所帶來的成本等于新增服務(wù)人員的工資加上配套設(shè)施的維修與清洗費。新增窗口得到的收益是很難估量的。在此我們引入等待損失的概念，即由于排隊等待食堂所減少的收益，得到等待損失等于食堂單位時間收益乘以平均等待時間乘以顧客數(shù)。粗略調(diào)查得知服務(wù)人員的每月平均工資為1200元，即每周平均280元。至于配套設(shè)施的維修與清洗，我們可大致認為其每周不超過300元。由此可知每增加一個窗口，食堂的成本每周就得增加280元。至于食堂從每個學生身上可獲得多少利潤，因為學生要的菜不同，而且菜的利潤也不同，所以是很難確定的，故我們由一般規(guī)律假定其每十秒鐘可得0.5元利潤。所以，學生因等待而使食堂發(fā)生的損失C=0.5×1129W，當窗口數(shù)從6 變?yōu)? 時，食堂可少損失C=0.5×1129×W=0.5