信號與系統(tǒng)PPTcp7-1-離散時間信號與系統(tǒng)的頻域分析-胡

1、連續(xù)信號與系統(tǒng)的分析：連續(xù)信號與系統(tǒng)的分析： 時域（第時域（第1 1章、章、2 2章）章） 變換域變換域 頻域（第頻域（第3 3章、章、4 4章）章） 復頻域（第復頻域（第5 5章）章）離散時間信號與系統(tǒng)分析：離散時間信號與系統(tǒng)分析： 時域（第時域（第6 6章）章） 頻域（第頻域（第7 7章）章） 變換域變換域 復頻域（第復頻域（第8 8章）章） 本章介紹主要內(nèi)容：本章介紹主要內(nèi)容： 離散時間信號和系統(tǒng)的頻域分析即離散時間信號和系統(tǒng)的頻域分析即離散傅立葉分析離散傅立葉分析 信號的頻域分析包括：信號的頻域分析包括： 周期序列的離散時間傅立葉級數(shù)（周期序列的離散時間傅立葉級數(shù)（DFSDFS） 非周

2、期序列的離散時間傅立葉變換（非周期序列的離散時間傅立葉變換（DTFTDTFT） 離散傅立葉變換和反變換（離散傅立葉變換和反變換（DFTDFT） 快速算法即快速傅立葉變換（快速算法即快速傅立葉變換（FFTFFT） 快速傅立葉反變換（快速傅立葉反變換（IFFTIFFT） 離散系統(tǒng)的頻域分析方法離散系統(tǒng)的頻域分析方法 n mnmmmmy nh m x nmh m zzh m z h n nx nzz為任意復數(shù) mmH zh m z ny nz H z特征函數(shù)或特征信號特征函數(shù)或特征信號 nz系統(tǒng)特征值、系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)特征值、系統(tǒng)函數(shù) H zLSI卷積和卷積和任意的復指數(shù)序列任意的復指數(shù)序列 響應(yīng)響應(yīng))

3、(ny nkkkx na z x n x n nkkkkkky nyna H zz 本章中考慮本章中考慮 的情況的情況njez0jte0002T 002,0, 1, 2,jkT tjktkteek 或002T 連續(xù)時間虛指數(shù)信號連續(xù)時間虛指數(shù)信號基波頻率基波頻率基波周期基波周期信號集信號集 0 x tx tkT連續(xù)時間周期信號連續(xù)時間周期信號為周期為周期 00001220(:11(:2(:(:jtjtjntnktktekteknte 零次諧波或直流）； 1次諧波或基波）； 2次諧波）； ； n次諧波）等。0T虛指數(shù)序列虛指數(shù)序列 02N 2jN ne22jnNjnNNee kNnxnx類似的，

4、周期序列類似的，周期序列（N為基波周期）為基波周期）周期為周期為N的周期序列的周期序列基波頻率為基波頻率為 以以 N 為周期的周期虛指數(shù)序列也可以構(gòu)成一個序列集為周期的周期虛指數(shù)序列也可以構(gòu)成一個序列集 02,0, 1, 2,jknjknNkneek或 kt 中具有無窮多個互不相同中具有無窮多個互不相同(對對k而言而言)的諧波信號，與虛指的諧波信號，與虛指 數(shù)序列集的情況有所不同，數(shù)序列集的情況有所不同，虛指數(shù)序列集是周期相同的。虛指數(shù)序列集是周期相同的。 類似：類似：02N 周期的序列周期的序列 周期周期N 基波頻率基波頻率 序列集中每一個序列的頻率均為基波頻率的整數(shù)倍，因而序列集中每一個序

5、列的頻率均為基波頻率的整數(shù)倍，因而各個序列的頻率之間構(gòu)成各個序列的頻率之間構(gòu)成諧波關(guān)系諧波關(guān)系。說明：說明：DFSDFS為一有限項級數(shù)為一有限項級數(shù), ,即任一周期為即任一周期為 N N 的周期序列的周期序列 ，都可以分解，都可以分解為為 N N 項獨立的虛指數(shù)序列項獨立的虛指數(shù)序列 的線性組合。的線性組合。7.2.1 離散時間傅立葉級數(shù)展開式離散時間傅立葉級數(shù)展開式 離散時間信號的傅立葉級數(shù)分析中，一個周期為離散時間信號的傅立葉級數(shù)分析中，一個周期為N N 的周期序列的周期序列 可以用可以用 中所有獨立的中所有獨立的N N 個虛指數(shù)序列的線性組合表示，即個虛指數(shù)序列的線性組合表示，即 Nxn

6、 kn 2,jkN nNNkNkNkNxnXknXk en Nxn NXk2,jknNekN周期序列周期序列DFSDFS NxnDFSDFS的系數(shù)，也稱為的系數(shù)，也稱為 的頻譜系數(shù)的頻譜系數(shù). . tjnnenXtx00比較，連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)展開比較，連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)展開7.2.2 傅立葉級數(shù)的系數(shù)傅立葉級數(shù)的系數(shù)10, 11,11NnNnNqqqqq （7.14）2jkNqe0, 2,kNN21jkNe2122022 0, 2,110,11NjknjkNNj kNnjkjkNNNkNNeeekee 其余 值，注意到在2, 0, 2,0 jknNnNNkNNek，其余 值一個重

7、要式一個重要式子的證明子的證明周期序列求和周期序列求和與起點無關(guān)與起點無關(guān)幾何級數(shù)幾何級數(shù)離散序列的直流離散序列的直流 基波基波 二次諧波二次諧波N-1N-1高次諧波高次諧波 在區(qū)間在區(qū)間 上構(gòu)成一個正交序列集，正交性可以表示為：上構(gòu)成一個正交序列集，正交性可以表示為：在幾何級數(shù)求和公式：令，注意到在時， （7.15） knnN 2,0,1,2,0 ,0,1,2,lj k lnNknNnNN klmN mnneklmN m可知：可知：20jnNe2jnNe22jnNe21j NnNe，正交正交同乘以同乘以 在一個周期內(nèi)對在一個周期內(nèi)對n 求和求和2jmnNe 2222 = jmnjmnjknN

8、NNNNnNnNkNj k mnNNkNnNxn eeXk eXke交換求和次序（7.18）mkmk 21jkN nNNnNXkxn eN分析公式分析公式 2,jkN nNNkNkNkNxnXknXk en 內(nèi)和式為零內(nèi)和式為零內(nèi)和式為內(nèi)和式為N 2,jkN nNNkNkNkNxnXknXk en 周期序列周期序列DFS 21jkN nNNnNXkxn eN分析公式分析公式 DFS 00001tTjnttX nx t edtT比較比較 tjnnenXtx007.2.3 展開式系數(shù)展開式系數(shù) 的性質(zhì)的性質(zhì) NXkDFS DFS 的系數(shù)的系數(shù) 有與連續(xù)傅立葉級數(shù)系數(shù)有與連續(xù)傅立葉級數(shù)系數(shù) 相似的性

9、質(zhì)，兩者之間相似的性質(zhì)，兩者之間的根本區(qū)別在于的根本區(qū)別在于 具有周期性具有周期性。（1 1）若）若 是一個周期為是一個周期為 的周期序列，則的周期序列，則 也是一個周期為也是一個周期為N N的的周期序列周期序列 （2 2）若）若 是實周期序列時，則是實周期序列時，則 具有具有共軛對稱性共軛對稱性 （3 3） 的模和相角分別是的模和相角分別是k k 的的偶函數(shù)和奇函數(shù)，偶函數(shù)和奇函數(shù)， 的實部和的實部和虛部分別是虛部分別是k k 的的偶函數(shù)和奇函數(shù)偶函數(shù)和奇函數(shù)。 NXk NXknX NxnN NXk NNXkNXk Nxn NXk NNXkXk 2211jkN njkN nNNNNnNnNX

10、kxn exn eXkNN NXk NXk例：求序列例：求序列 的頻譜系數(shù)。的頻譜系數(shù)。 （7.77.7）因此， 0sinx nn解：解：（1 1）對于正弦序列來說，要成為周期序列對于正弦序列來說，要成為周期序列, ,02應(yīng)為應(yīng)為N N 221122jN njN nx neejj 11 2 ,11 2 ,0,1 NNNXj Xj Xkk 2,jkN nNNkNkNkNxnXknXk en 對比對比K=1K=-111 2 ,11 2 , NNXNj XNj0,1NXNkk （7.7）因此，周期性正弦序列周期性正弦序列 在長度為在長度為N N 的任一周期內(nèi)的任一周期內(nèi)僅有僅有兩個非零兩個非零的系數(shù)

11、。的系數(shù)。 0sinx nn （7.7）因此，02 P N (2) ，且，且P、N 無公約數(shù)，無公約數(shù)， 是周期序列是周期序列 x n 221122jPN njPN nx neejj 1 2 ,1 2 ,0, NNNXPj XPj XkkP 2,jkN nNNkNkNkNxnXknXk en （7.7）因此， （7.7）因此， （7.7）因此， 11112211 NNjknjknNNNNnNnNX kx n eeNN11212122122121sin21,0,2,1 sin21,0,2,NNjkjkjkNNNjkjkjkNNNNkNeeekNNNkNNeeeNkNNN，1122121= 1jk

12、NjkNNNjkNeeNe1221121,111,1nnnnn naaaaanna利用 （7.7）因此，110sin21/ 2211sin/ 2NNNN101001sin210212221NkNNkNkNN 第一個零點位置第一個零點位置峰值為峰值為2kN （7.7）因此，隨著隨著N 的增大，譜線的幅度和間隔的增大，譜線的幅度和間隔( )都都減小減小脈沖寬度脈沖寬度N1 越大，則頻譜包絡(luò)的主瓣寬度越大，則頻譜包絡(luò)的主瓣寬度( ) 越窄越窄 N21221N與連續(xù)周期矩形脈沖的結(jié)論類似與連續(xù)周期矩形脈沖的結(jié)論類似2-T-T1 1T T1 1E E0 02 txt連續(xù)、周期連續(xù)、周期非周期、離散非周期

13、、離散離散、周期離散、周期周期、離散周期、離散7.2.4 7.2.4 離散時間傅立葉級數(shù)的收斂性離散時間傅立葉級數(shù)的收斂性若用有限項級數(shù)來近似表示原信號序列，若用有限項級數(shù)來近似表示原信號序列，DFS DFS 不存在不存在收斂收斂問題，也問題，也不存在不存在吉布斯吉布斯現(xiàn)象，這也是它和連續(xù)時間傅立葉級數(shù)之間的一個差別現(xiàn)象，這也是它和連續(xù)時間傅立葉級數(shù)之間的一個差別 NxnN N 為周期的離散時間序列為周期的離散時間序列N N 個序列值是獨立的個序列值是獨立的信號的一個周期信號的一個周期DFS DFS 的系數(shù)的系數(shù) 也是以也是以N N 為周期的，它有為周期的，它有N N 個獨立的值個獨立的值 N

14、Xk NXk序列在時域中序列在時域中N N 個獨立的值個獨立的值頻域中頻域中N N 個獨立的值個獨立的值對應(yīng)變換對應(yīng)變換原離散時間信號可以用復指數(shù)序列線性原離散時間信號可以用復指數(shù)序列線性組合表示，而系數(shù)就是這組合表示，而系數(shù)就是這N N 個獨立值個獨立值周期性矩形脈沖序列的周期周期性矩形脈沖序列的周期N N 頻譜譜線的間隔頻譜譜線的間隔 時域中時域中 周期序列周期序列 非周期序列非周期序列 頻域中頻域中 離散頻譜離散頻譜 連續(xù)頻譜，連續(xù)頻譜， 譜線的幅度也將趨于無窮小量譜線的幅度也將趨于無窮小量DFS DFS 不適宜表述離散非周期信號，這種情況與連續(xù)時間信號的完全相似。不適宜表述離散非周期信

15、號，這種情況與連續(xù)時間信號的完全相似。采用與連續(xù)時間情況下對周期信號的傅立葉級數(shù)令周期趨于無窮大，從而引采用與連續(xù)時間情況下對周期信號的傅立葉級數(shù)令周期趨于無窮大，從而引出非周期信號的傅立葉變換完全相同的方法。出非周期信號的傅立葉變換完全相同的方法。由周期序列的由周期序列的DFSDFS來建立非周期離散時間信號的傅立葉變換表示式，稱之為來建立非周期離散時間信號的傅立葉變換表示式，稱之為離散時間傅立葉變換（離散時間傅立葉變換（DTFTDTFT）。2NN 7.3.1 7.3.1 非周期序列的離散時間傅里葉變換非周期序列的離散時間傅里葉變換周期延拓周期延拓 x n Nxn 11,0 ,NxnnNx n

16、nN隨著周期隨著周期N N 的增大，的增大， 就會在一個更長的時間段內(nèi)與就會在一個更長的時間段內(nèi)與 一致一致當當 時，在整個時間范圍內(nèi)或者說對于任意時，在整個時間范圍內(nèi)或者說對于任意 n n 值，值， Nrxnx nrN Nxn x nN Nxnx n 周期序列周期序列 N N 在區(qū)間在區(qū)間 所在的這個周期內(nèi)，有所在的這個周期內(nèi)，有 , ,將求和區(qū)間將求和區(qū)間 就選在該周期內(nèi)就選在該周期內(nèi)周期序列周期序列 的離散傅里葉級數(shù)為的離散傅里葉級數(shù)為 Nxn 2jkN nNNkNxnXk e 21jkN nNNnNXkxn eN2nN Nxnx nN 112211NjkN njkN nNNnNnXkx

17、n ex n eNN 2jkN nNnNXkx n eN 02Nd 0NXk NNXk jX eNkk/20非周期序列的離散時間傅立葉變換非周期序列的離散時間傅立葉變換DTFTDTFT jj nnX ex n e頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù) 把區(qū)間把區(qū)間 稱為稱為 的的主值區(qū)間主值區(qū)間 ：弧度為單位的：弧度為單位的數(shù)字頻率數(shù)字頻率 ：周期：周期 以以 為變量的連續(xù)函數(shù)為變量的連續(xù)函數(shù) jX e2, 周期序列離散傅立葉級數(shù)的系數(shù)周期序列離散傅立葉級數(shù)的系數(shù) 就是與其相對應(yīng)的非周期序列即有就是與其相對應(yīng)的非周期序列即有限長序列的限長序列的DTFT DTFT 在點在點 的抽樣值乘以的抽樣值乘以1/N1/

18、N，非周期序列的，非周期序列的DTFT DTFT 則是與其相對應(yīng)的周期序列的傅立葉級數(shù)系數(shù)的包絡(luò)則是與其相對應(yīng)的周期序列的傅立葉級數(shù)系數(shù)的包絡(luò) 。 jj nnX ex n e 021jNkkNXkX eN NXkjX e0kjX e NNXk jjjjjRIX eX eeXejXe 21jkN nNNnNXkxn eN jj nnX ex n e7.3.2 非周期序列的離散時間傅里葉反變換非周期序列的離散時間傅里葉反變換變?yōu)橐粋€非周期信號的離散時間傅立葉變?yōu)橐粋€非周期信號的離散時間傅立葉反變換反變換 021jNkkNXkX eN 00012jkjknNkNxnX ee02N N 212jj n

19、x nX eedIDTFTIDTFTDTFTDTFTnNjkNkNNekXnx)/2()()(時域中的非周期序列時域中的非周期序列 可以分解為無窮多個頻率從可以分解為無窮多個頻率從 連續(xù)分布連續(xù)分布的的虛指數(shù)序列的線性組合虛指數(shù)序列的線性組合，每個虛指數(shù)分量的幅度，每個虛指數(shù)分量的幅度 積分區(qū)間可以是任何一個長度為積分區(qū)間可以是任何一個長度為 的區(qū)間，對應(yīng)于的區(qū)間，對應(yīng)于DFSDFS中中k k 的取值周期的取值周期N N。 212jj nx nX eedjX ej nejjnX ee x n0 212jX ed表明：表明：2周期周期連續(xù)周期函數(shù)連續(xù)周期函數(shù)2周期周期連續(xù)周期函數(shù)連續(xù)周期函數(shù)2

20、jj nnX ex n e 212jj nx nX eedIDTFTIDTFTDTFTDTFT7.3.3 7.3.3 非周期序列的離散時間傅里葉變換的收斂性非周期序列的離散時間傅里葉變換的收斂性對于無限長的非周期序列，并不一定能保證其對于無限長的非周期序列，并不一定能保證其DTFTDTFT都存在都存在如果序列如果序列 滿足絕對可和條件，即滿足絕對可和條件，即 或者若或者若 的能量有限，即的能量有限，即應(yīng)該注意，由于有應(yīng)該注意，由于有所以這里的絕對可和與平方可和的條件并不是等價的所以這里的絕對可和與平方可和的條件并不是等價的序列的絕對可和與平方可和只是離散時間傅立葉變換收斂的序列的絕對可和與平方

21、可和只是離散時間傅立葉變換收斂的充分條件充分條件，離散時間傅立葉變換存在的離散時間傅立葉變換存在的充分必要條件充分必要條件至今尚未找到。至今尚未找到。 x n x n nx n 2nx n 22nnx nx n jj nnX ex n e收斂收斂周期、離散周期、離散 周期周期N N非周期、連續(xù)非周期、連續(xù) ：幅頻、相頻特性：幅頻、相頻特性 非周期、離散非周期、離散 ：頻譜線：頻譜線連續(xù)時間周期信號、連續(xù)時間非周期信號、離散周期信號、離散非周期時間連續(xù)時間周期信號、連續(xù)時間非周期信號、離散周期信號、離散非周期時間信號的傅立葉分析表示式，這些表示式在時域和頻域上，均具有離散性和周信號的傅立葉分析表

22、示式，這些表示式在時域和頻域上，均具有離散性和周期性、連續(xù)性和非周期性之間的一一對應(yīng)關(guān)系。期性、連續(xù)性和非周期性之間的一一對應(yīng)關(guān)系。周期、連續(xù)周期、連續(xù) 周期周期 txjXnXkTtx連續(xù)非周期函數(shù)連續(xù)非周期函數(shù)連續(xù)周期函數(shù)連續(xù)周期函數(shù)連續(xù)與離散傅氏分析比較連續(xù)與離散傅氏分析比較FSFSFTFTjeXDTFDTFT T nxN kXN nx時域的非周期時域的非周期頻域的連續(xù)頻域的連續(xù)頻域的周期頻域的周期頻域的非周期頻域的非周期頻域的離散頻域的離散時域的離散時域的離散時域的連續(xù)時域的連續(xù)時域的周期時域的周期離散周期序列離散周期序列離散非周期序列離散非周期序列DFSDFS2規(guī)律：規(guī)律：幅度譜、相位

23、譜都是以幅度譜、相位譜都是以22為周期的周期函數(shù)。因而一般只要畫出為周期的周期函數(shù)。因而一般只要畫出 或或 譜線圖即可。譜線圖即可。1 1、單邊指數(shù)序列、單邊指數(shù)序列 nx nan1a 1a 011( )()11cossinjnjnjnjnnX ean eaeaeaja 2112 cosjX eaasinarctan1cosaa 頻譜函數(shù)頻譜函數(shù)幅頻特性和相頻特性幅頻特性和相頻特性0 2圖（圖（a a），由于序列值變化較慢，所以幅度譜集中在），由于序列值變化較慢，所以幅度譜集中在 附近，附近，即頻譜能量主要集中在即頻譜能量主要集中在低頻低頻附近，具有附近，具有低通特性低通特性；圖（圖（b b）

24、中，由于序列值正負交替，變化較快，故其幅度譜集中在）中，由于序列值正負交替，變化較快，故其幅度譜集中在 附近，即頻譜能量主要集中在附近，即頻譜能量主要集中在高頻高頻附近，具有附近，具有高通特性高通特性。 越接近于越接近于1 1，其幅頻特性曲線越尖。，其幅頻特性曲線越尖。0, 2 , 4 , , 3 , a 為一實偶序列，其頻譜也是一個實偶函數(shù)，其相位譜為零。為一實偶序列，其頻譜也是一個實偶函數(shù)，其相位譜為零。 時，雙邊指數(shù)序列的頻譜圖如圖所示。時，雙邊指數(shù)序列的頻譜圖如圖所示。2 2、雙邊指數(shù)序列、雙邊指數(shù)序列1a nx na10100022 11 =11111 1 2 cosnjj nnj

25、nnj nnnnnnjjnnnnjjjjnnX ea ea ea eaeaemnaeaeaeaeaaa 上等式第一個和式中作代換： x n01a3 3、矩形脈沖序列、矩形脈沖序列有限長序列有限長序列 11x nnNnN111111212122211222sin212 = 1sin2NNjjjjNNj Njj njjjjnNeeeNeeX eeeeee 的頻譜為的頻譜為1 1，這表明單位脈沖信號包含了所有的頻率分量，而且，這表明單位脈沖信號包含了所有的頻率分量，而且這些頻率分量的幅度和相位都相同。這些頻率分量的幅度和相位都相同。 的波形及頻譜示于圖中。的波形及頻譜示于圖中。4 4、單位樣值序列、

26、單位樣值序列 x nn 1jjnnX en e n n5 5、常數(shù)序列、常數(shù)序列 不滿足絕對可和條件，不能直接應(yīng)用公式不滿足絕對可和條件，不能直接應(yīng)用公式 離散直流信號（常數(shù)）離散直流信號（常數(shù)）1 1 頻域中強度頻域中強度 2kkk22， 1x n 21 122jlX elkkk22周期為周期為若若2區(qū)間上只一個區(qū)間上只一個 21112222j nj nlleded 2 1x n 1 1kkk2222jlX elkkk22周期周期6 6、符號函數(shù)序列、符號函數(shù)序列該序列可以看成是雙邊指數(shù)序列該序列可以看成是雙邊指數(shù)序列 2， 100010nx nsgn nnn nnanan 1lim,01n

27、naSgn nanana211112sinsinlimlim111 2 cos1 cosjjjaajajX eaeaeaa 11njDTFT anae 0011nnnjnjjnnDTFT ana eaeae 實奇函數(shù)實奇函數(shù)虛奇函數(shù)虛奇函數(shù)7 7、單位階躍序列、單位階躍序列應(yīng)用上面所求出的三個序列即應(yīng)用上面所求出的三個序列即1 1、 和和 的離散時間傅立葉變換的離散時間傅立葉變換2 x nn 112nsgn nn sgn n n1sin112221 cos2 1 cos1 2111 21jjkkjjjkjkjeX ekkekeeke 離散時間傅里葉變換有著與連續(xù)時間傅里葉變換相類似的特點，離散

28、時間傅里葉變換有著與連續(xù)時間傅里葉變換相類似的特點，推導得到的頻譜也有著對應(yīng)關(guān)系。推導得到的頻譜也有著對應(yīng)關(guān)系。但他們又有著根本的區(qū)別，離散時間信號的頻譜是以但他們又有著根本的區(qū)別，離散時間信號的頻譜是以22為周為周期的周期函數(shù)，這一點應(yīng)期的周期函數(shù)，這一點應(yīng)特別注意特別注意。2注意：注意：連續(xù)時間信號的傅立葉分析連續(xù)時間信號的傅立葉分析周期信號和非周期信號均可用其傅立葉變換來表示周期信號和非周期信號均可用其傅立葉變換來表示 周期信號的傅立葉變換表示式是利用在周期信號的傅立葉級數(shù)周期信號的傅立葉變換表示式是利用在周期信號的傅立葉級數(shù)展開式兩邊取傅立葉變換的方法導出的。展開式兩邊取傅立葉變換的方

29、法導出的。類似地，類似地，周期序列的周期序列的DTFTDTFT利用在周期序列的傅立葉級數(shù)展開式兩邊取離利用在周期序列的傅立葉級數(shù)展開式兩邊取離散時間傅立葉變換得出周期序列的離散時間傅立葉變換，從而散時間傅立葉變換得出周期序列的離散時間傅立葉變換，從而也使周期序列與非周期序列都可以統(tǒng)一地用其離散時間傅立葉也使周期序列與非周期序列都可以統(tǒng)一地用其離散時間傅立葉變換來表示。變換來表示。1 1、 周期性虛指數(shù)序列的離散時間傅立葉變換周期性虛指數(shù)序列的離散時間傅立葉變換連續(xù)時間連續(xù)時間 離散域中離散域中021222j nlled kkk2200jte02 由于在任意一個長度為由于在任意一個長度為 的積分

30、區(qū)間內(nèi)只含有一個單位樣值信號，積分的積分區(qū)間內(nèi)只含有一個單位樣值信號，積分區(qū)間選擇包含區(qū)間選擇包含 處的單位樣值信號處的單位樣值信號02 r r 為任意整數(shù)對偶對偶kkk2202的頻譜的頻譜0jnejX e0022040nje0kkk2200000022212222 j nj nljr nj nrjnl edr ede e ekkk220002jnlDTFTl e27.5 周期序列的離散時間傅立葉變換周期序列的離散時間傅立葉變換 tjnnnTeXtx112nXnntje11122kknjkeDTFT2200 001001000 22 22 0-1 2 2 jknjNkNNkNlNNlkNNlk

31、X eXkDTFT eXkklXkklkNXkklNN 的取值范圍選為 是周期函數(shù)是周期函數(shù) NXk ,0, 1, 2,NNXkXklNl 2. 2. 一般周期序列的離散時間傅立葉變換一般周期序列的離散時間傅立葉變換周期序列周期序列DFSDFS兩邊同時取兩邊同時取DTFTDTFT 2jkN nNNkNxnXk e 1001100000 0:1: = NNkNNNNkkNlXkklXkkNXkNkNXkkk 211100003102:222 = 2 NkNNNNNkkNNkNkNlXkkNXkNkNXkkkkN 2 110000110 : = NNNNkkmNNkNlmXkkmNXkmNkmNX

32、kkkkmN m 周期函數(shù)周期函數(shù) 111000022 =2mNNjNNkkmNNkX eXkkXkkXkk + 0=2jNkX eXkk 1 1）周期序列）周期序列 的的DTFTDTFT由一系列沖激序列組成；由一系列沖激序列組成；2 2）各個沖激序列僅出現(xiàn)在）各個沖激序列僅出現(xiàn)在 的各次諧波頻率點上即基波頻率的各次諧波頻率點上即基波頻率 的整數(shù)倍頻率上，位于頻率的整數(shù)倍頻率上，位于頻率 處沖激序列強度為處沖激序列強度為 ；3 3）傅立葉級數(shù)的系數(shù)）傅立葉級數(shù)的系數(shù) 是以是以 為周期的（相當于為周期的（相當于 以以 為周期），為周期）， 是一個周期等于是一個周期等于 的周期函數(shù)。的周期函數(shù)。3

33、 3）與連續(xù)時間周期信號的傅立葉變換表示式完全對應(yīng)，其含義也相同。）與連續(xù)時間周期信號的傅立葉變換表示式完全對應(yīng)，其含義也相同。 類似于連續(xù)時間周期信號，對于類似于連續(xù)時間周期信號，對于 即可以利用其定義式求取，也可以即可以利用其定義式求取，也可以利用單個周期內(nèi)信號的離散時間傅立葉變換求得，即利用單個周期內(nèi)信號的離散時間傅立葉變換求得，即 Nxn02N 2kk N 2NXk NXkN2jX eN NXk 011jNkXkXeN tjnnnTeXtx112nXnn 0=2jNkX eXkk 7.5 周期序列的離散時間傅立葉變換周期序列的離散時間傅立葉變換 nNjkNkNNekXnx/2連續(xù)周期連

34、續(xù)周期FSFS離散周期離散周期DFSDFS離散周期離散周期DTFTDTFT連續(xù)周期連續(xù)周期FTFTdtetxTXTTtjnn221111)(1dtetxXTTtj22011)()(1)(101nnXTX 011jNkXkXeN 21jkN nNNnNXkxn eNNnnjNjenxeX)()(1 011jNkXkXeN 12nXXnn 是周期序列是周期序列 在第一個周期內(nèi)的信號的在第一個周期內(nèi)的信號的DTFTDTFT1jXe Nxn00100102= =jkjkjkkX eXekNXek 周期序列（或信號）的周期序列（或信號）的DTFT(DTFT(或或FT)FT)與它的單個周期與它的單個周期內(nèi)

35、序列（或信號）的內(nèi)序列（或信號）的DTFT(DTFT(或或FTFT）之間的關(guān)系）之間的關(guān)系 0=2jNkX eXkk 1)(101nnXTX 110111012nnXnnXTXnn對比對比小小 結(jié)結(jié) 2jkN nNNkNxnXk e 21jkN nNNnNXkxn eNDFSDFS周期序列周期序列 jj nnX ex n e 212jj nx nX eedDTFTDTFT非周期序列、周期序列非周期序列、周期序列 0=2jNkX eXkk 011jNkXkXeN NnnjNjenxeX)()(1 21jkN nNNnNXkxn eN周期序列周期序列DTFTDTFT離散時間信號離散時間信號 的離散

36、時間傅立葉變換的離散時間傅立葉變換 對于對于 以以 為周期為周期 x njX e22jjX eX e1.1.周期性周期性 2.2.線性線性 11( )jDTFT x nXe22( )jDTFT x nXe1 1221122( )( )()()jjDTFT a x na x na X ea Xe3.3.位移（時移）性位移（時移）性 00()()j njDTFT x nneX e 表明表明：序列位移（時移）后其幅頻特性保持不變，相頻：序列位移（時移）后其幅頻特性保持不變，相頻特性附加一個線性相移，即時域位移對應(yīng)頻域相移。特性附加一個線性相移，即時域位移對應(yīng)頻域相移。4.4.頻移性頻移性 00( )

37、jjnDTFT ex nX e 表明：表明：時域調(diào)制對應(yīng)于頻域頻移時域調(diào)制對應(yīng)于頻域頻移 122lDTFTl002jnlDTFTl e2000sin22lDTFTnllj 000cos22lDTFTnll 正弦和余弦序列的波形及其頻譜圖正弦和余弦序列的波形及其頻譜圖 oxn1 1）共軛對稱序列與共軛反對稱序列）共軛對稱序列與共軛反對稱序列 時域時域復序列復序列任一復序列任一復序列 可以分解為一個共軛對稱序列分量與一個共可以分解為一個共軛對稱序列分量與一個共軛反對稱序列分量和軛反對稱序列分量和5. 5. 對稱性對稱性 nxe *ooxnxn nxnxee*共軛對稱序列共軛對稱序列共軛反對稱序列共

38、軛反對稱序列 *eeooxnxnxnxnxn eox nxnxn *1-2oxnx nxn nxnxnxe-21* nx 分解分解 jX ejjjeoX eXeXe jjeeXeXejjooXeXe 共軛對稱分量共軛對稱分量共軛反對稱分量共軛反對稱分量12 jjjeXeX eXe12 jjjoXeX eXeDTFTDTFT頻域頻域復函數(shù)復函數(shù) nx 2 2 復序列離散時間傅立葉變換的對稱性復序列離散時間傅立葉變換的對稱性（1 1）若）若（2 2）復序列分解為實部分量和虛部分量）復序列分解為實部分量和虛部分量 rix nxnjx n 時域序列的實部分量和虛部分量與該序列時域序列的實部分量和虛部分

39、量與該序列頻域函數(shù)的共軛對稱分量和共軛反對稱分量相對應(yīng)頻域函數(shù)的共軛對稱分量和共軛反對稱分量相對應(yīng) )(jeXnxDTFT )(*jnnjnnjeXenxenxnxDTFT )(*jnnjnnjeXenxenxnxDTFT )()()(2121*jejjreXeXeXnxnxDTFTnxDTFT )()()(2121*jojjieXeXeXnxnxDTFTnjxDTFT（3 3）()()()jjjRIX eXejXe eox nxnxn 時域序列的共軛對稱分量和共軛反對稱分量與時域序列的共軛對稱分量和共軛反對稱分量與 該序列頻域函數(shù)的實部和虛部相對應(yīng)該序列頻域函數(shù)的實部和虛部相對應(yīng) )()()

40、(2121*jRjjeeXeXeXnxnxDTFTnxDTFT )()()(2121*jIjjoejXeXeXnxnxDTFTnxDTFT（4 4）實序列）實序列DTFTDTFT的對稱性的對稱性1 1）實序列）實序列 的的DTFTDTFT具有共軛對稱性具有共軛對稱性 x nx nxn= = 8.59 jjX eXex nxn在式中應(yīng)用條件：()()()jjjRIX eXejXe()()jjRRXeXe ()()jjIIXeXe arg()()()jjX ejjX eX ee|()| |()|jjX eX e argargjjX eX e 實部實部 是是 的偶函數(shù)的偶函數(shù)虛部虛部 是是 的奇函數(shù)

41、的奇函數(shù)()jRXe()jIXe 幅頻特性是幅頻特性是 的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， 相頻特性是相頻特性是 的奇函數(shù)的奇函數(shù)2 2）任一實序列總能分解為一個偶對稱序列分量和一個奇對稱序列）任一實序列總能分解為一個偶對稱序列分量和一個奇對稱序列分量之和，即分量之和，即 ( )( )( )eox nx nx n( )()eex nxnoo( )() x nxn奇對稱序列奇對稱序列偶對稱序列偶對稱序列 12exnx nxn 12oxnx nxn( )jeRDTFT x nXe( )joIDTFT x njXe實序列偶分量的實序列偶分量的DTFTDTFT為原序列傅立葉變換的實部分量為原序列傅立葉變換的實部分量

42、 奇分量的奇分量的DTFTDTFT為原序列傅立葉變換的虛部分量為原序列傅立葉變換的虛部分量 jRXejIjXe實實實實時域時域頻域頻域共軛對稱共軛對稱共軛反對稱共軛反對稱共軛對稱共軛對稱共軛反對稱共軛反對稱虛虛虛虛6.6.時域卷積特性時域卷積特性 y nx nh n jDTFT y nY e ,jDTFT h nH e()()()jjjY eX eH e 它不僅將時域的卷積運算簡化為頻域的乘法運算，提供了一種由頻它不僅將時域的卷積運算簡化為頻域的乘法運算，提供了一種由頻域計算零狀態(tài)響應(yīng)的簡易方法，而且說明系統(tǒng)響應(yīng)域計算零狀態(tài)響應(yīng)的簡易方法，而且說明系統(tǒng)響應(yīng) 是離散系統(tǒng)頻率是離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)響應(yīng)

43、 對激勵信號頻譜對激勵信號頻譜 進行加權(quán)的結(jié)果。產(chǎn)生這種時域卷積進行加權(quán)的結(jié)果。產(chǎn)生這種時域卷積特性的根本原因是由于虛指數(shù)序列特性的根本原因是由于虛指數(shù)序列 是線性移不變系統(tǒng)的特征函數(shù)。是線性移不變系統(tǒng)的特征函數(shù)。注意：該特性不能直接應(yīng)用于兩個序列都是周期序列的情況，因為其卷積注意：該特性不能直接應(yīng)用于兩個序列都是周期序列的情況，因為其卷積和不收斂和不收斂()jY e()jH e()jX e x n7. 7. 頻域卷積特性（調(diào)制特性）頻域卷積特性（調(diào)制特性） y nx n z n jDTFTy nY e jDTFT x nX e ,jDTFT z nZ e()11()()* ()() ()22

44、jjjjjY eX eZ eX eZ ed頻域卷積性質(zhì)有兩個重要應(yīng)用頻域卷積性質(zhì)有兩個重要應(yīng)用: :其一是調(diào)制，即利用和正弦指數(shù)信號相乘對信號的頻譜進行搬移，如其一是調(diào)制，即利用和正弦指數(shù)信號相乘對信號的頻譜進行搬移，如頻移性質(zhì)；頻移性質(zhì)；其二是加窗，即利用和有限長的窗口函數(shù)相乘對時域信號進行截斷，其二是加窗，即利用和有限長的窗口函數(shù)相乘對時域信號進行截斷，如數(shù)字濾波器的設(shè)計。加窗的方法在信號分析、系統(tǒng)設(shè)計、離散傅里如數(shù)字濾波器的設(shè)計。加窗的方法在信號分析、系統(tǒng)設(shè)計、離散傅里葉變換等許多方面都有著重要應(yīng)用，其主要原因在于不可能對一個無葉變換等許多方面都有著重要應(yīng)用，其主要原因在于不可能對一個無限長的信號進行處理，故而