多元函數的極值2PPT學習教案

1、會計學1多元函數的極值多元函數的極值2 函函數數222),(yxayxf 在在 點點)0 , 0(處處有有極極大大值值af )0 , 0(。 xoyzxoyz二二元元函函數數極極值值的的概概念念可可推推廣廣到到元元函函數數 n。 。例如例如:函數函數22),(yxyxf 在在)0 , 0(處有極小值處有極小值0)0 , 0( f 點點第1頁/共30頁2定理定理 1（極值存在的必要條件）（極值存在的必要條件） 設函數設函數),(yxfz 在點在點),(yx具有偏導數，且在點具有偏導數，且在點 ),(yx處有極值，則必有處有極值，則必有 0),( yxfx，0),( yxfy。 定定理理 1 可可

2、推推廣廣到到元元函函數數 n。 同同時時滿滿足足0),( yxfx，0),( yxfy的的點點),(yx 稱稱為為函函數數),(yxfz 的的駐駐點點。 注注意意： 可可導導函函數數的的極極值值點點 駐駐點點 但不是極值點。但不是極值點。的駐點的駐點 第2頁/共30頁3 3定定理理 2 2（極極值值存存在在的的充充分分條條件件） 設設函數函數),(yxfz 在點在點),(yxM的某鄰域內具有一階的某鄰域內具有一階 及二階連續(xù)偏導數，又及二階連續(xù)偏導數，又0),( yxfx，0),( yxfy， 記記Ayxfxx ),(，Byxfxy ),(，Cyxfyy ),(，則，則 ),(yxf在點在點)

3、,(yxM處是否取得極值的條件如下：處是否取得極值的條件如下： （1）當）當02 BAC時有極值，時有極值， 且且時有極大值時有極大值 0 A，當，當時有極小值時有極小值 0 A； （2）當）當02 BAC時沒有極值；時沒有極值； （3）當）當02 BAC時可能有極值，也可能沒有極值。時可能有極值，也可能沒有極值。 第3頁/共30頁4.4.求函數求函數),(yxfz 的的極值的步驟極值的步驟 （1 1）求求偏偏導導數數xf，yf，xxf，xyf，yyf； （2 2）解解方方程程組組 0),(0),(yxfyxfyx，求求出出一一切切駐駐點點； （3 3）對對于于每每一一駐駐點點),(yx，求求

4、出出),(yxfAxx ， ),(yxfBxy ， ),(yxfCyy 的的值值； （4）定定出出2BAC 的的符符號號，按按定定理理 2 的的結結論論判判定定 出出),(yxf是是否否是是極極值值、是是極極大大值值還還是是極極小小值值。 第4頁/共30頁例例 1求函數求函數xyyxyxf3) ,(33 的極值。的極值。 解：解： 11 00033) ,(033) ,(22yxyxxyyxfyxyxfyx和和， 駐駐點點為為（0，0） ， （1，1） 。 6) ,( 3,) ,( ,6) ,( yyxfyxfxyxfyyyxxx 。 （1）在駐點（）在駐點（0，0）處，）處， 00) , 0(

5、 3,0) , 0( 0,0) , 0( yyyxxxfCfBfA， 092 BAC, 函函數數) ,(yxf在在點點（0，0）無無極極值值。 第5頁/共30頁（2）在在駐駐點點（1，1）處處， 61) , 1( 3,1) , 1( 6,1) , 1( yyyxxxfCfBfA， 0273692 BAC, 且且0 A， 函數函數) ,(yxf在點（在點（1，1）有極小值）有極小值1)1 , 1( f。 第6頁/共30頁 有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域D上連續(xù)的函數必有最大值和最小值。上連續(xù)的函數必有最大值和最小值。二二、最最大大值值及及最最小小值值 在實際問題中，如果根據問題的性質，知道函數在在實際問題

6、中，如果根據問題的性質，知道函數在 區(qū)域區(qū)域 D 內一定有最大（小）值，而函數在內一定有最大（?。┲?，而函數在 D 內只有一內只有一 個駐點，那么可以斷定該駐點處的函數值就是函數在個駐點，那么可以斷定該駐點處的函數值就是函數在 D 上的最大（?。┲?。上的最大（?。┲?。 第7頁/共30頁解解: :先求函數先求函數22yxz 在圓域在圓域 D 內的駐點。內的駐點。 由由 0202yyzxxz，)0 , 0(得得駐駐點點， 顯然顯然0)0 , 0( z是最小值，是最小值， 最最大大值值必必在在圓圓域域D的的邊邊界界，即即圓圓周周上上9)2()2(22 yx 上上達達到到。 再求函數再求函數22yxz

7、 在圓周上的最大值。在圓周上的最大值。 例例 2 2求函數求函數22yxz 在圓域在圓域 9)2()2( ),(22 yxyxD上的最大值和最小值。上的最大值和最小值。 第8頁/共30頁圓周的參數方程為圓周的參數方程為 20 ,sin32cos32ttytx， 代入代入22yxz ，得，得 )cos(sin2613)sin32()cos32(22ttttz 25)4sin(1213 t， 函數函數22yxz 在圓周上的最大值為在圓周上的最大值為 2525。 故故在在圓圓域域 D 上上25max z，0min z。 第9頁/共30頁例例 3 3某廠要用鐵板做成一個體積為某廠要用鐵板做成一個體積為

8、32m的有蓋長方體水的有蓋長方體水 箱，箱， 問長、寬、高各取怎樣的尺寸時，才能使用料最??？問長、寬、高各取怎樣的尺寸時，才能使用料最??？ 即即)0, 0( )22(2 yxyxxyA。 令令 0)2(20)2(222yxAxyAyx 解：設水箱的長為解：設水箱的長為xm，寬為，寬為ym，則高，則高mxyh2 。 此水箱用料的面積此水箱用料的面積)22(2xyxxyyxyA ， xyz第10頁/共30頁解之，得解之，得32 yx， 函數函數A在定義域在定義域 0, 0),( yxyxD內只有唯一的內只有唯一的 駐點駐點)2,2(33，又由問題的實際意義可知，又由問題的實際意義可知, ,函數函數

9、 A 在定在定 義域義域 D 內一定有最小值，內一定有最小值， 當水箱的長和寬均為當水箱的長和寬均為m32，高為，高為m3332222 時，時， 水箱所用的材料最省。水箱所用的材料最省。 第11頁/共30頁解：設這球的球面方程為解：設這球的球面方程為2222azyx ，內接長，內接長 方體的一個頂點的坐標為方體的一個頂點的坐標為) , ,(zyx)0 , 0 , 0( zyx， 則這長方體的體積為則這長方體的體積為 例例 4 4求求內內接接于于半半徑徑為為 a 的的球球且且有有最最大大體體積積的的長長方方體體。 22288yxaxyxyzV ， 定義域定義域0, 0,0),(222 yxayx

10、yxD， , 088, 08822222222222222yxaxyyxaxyVyxayxyxayxV令令第12頁/共30頁 , 0)2(8, 0)2(8222222222222yxayxaxyxayxay .2,2222222ayxayx 解解之之得得3ayx ，3az 。 因因為為 V 在在 D 內內只只有有唯唯一一駐駐點點)3,3(aa，且且內內接接正正方方 體體存存在在最最大大體體積積，故故當當長長、寬寬、高高均均為為3a時時，內內接接 正正方方體體有有最最大大體體積積9383a。 第13頁/共30頁1條件極值條件極值 在在條條件件0),( zyx的的限限制制下下，求求函函數數),(z

11、yxfu 的的極極 值值，叫叫做做條條件件極極值值問問題題，方方程程0),( zyx叫叫做做約約束束方方程程。 2 2拉格朗日乘數法拉格朗日乘數法 設設),(zyxf和和),(zyx 在所考慮的區(qū)域內具有連續(xù)在所考慮的區(qū)域內具有連續(xù) 的一階偏導數，且的一階偏導數，且0 z。由方程由方程0),( zyx所確定所確定 的隱函數為的隱函數為),(yxzz ，則，則 zxxz ，zyyz ， 三、條件極值三、條件極值第14頁/共30頁xzzxzxffxzffxu ， yzzyzyffyzffyu ， 由由極極值值存存在在的的必必要要條條件件得得 0),(00 00zyxffffyuxuyzzyxzzx

12、即即 解解此此方方程程組組，得得可可能能極極值值點點),(zyx。 將將),(yxzz 代入代入),(zyxfu 得得),(,(yxzyxfu 第15頁/共30頁方程組表示了函數方程組表示了函數 ),(),(),(zyxzyxfzyxF 的四個一階偏導數等于的四個一階偏導數等于 0： 令令 zzf，方程組可改寫為，方程組可改寫為 0),(000zyxfffzzxyxx 從從方方程程組組中中解解出出 , , ,zyx，其其中中(zyx,) 即即為為可可能能極極值值點點。這這種種方方法法叫叫做做拉拉格格朗朗日日乘乘數數法法。 第16頁/共30頁 0),(000yxFfFfFfFzzzyyyxxx

13、函數函數),(),(),(zyxzyxfzyxF 稱為稱為拉格朗日函數拉格朗日函數， 數數稱為稱為拉格朗日乘數拉格朗日乘數。 第17頁/共30頁3用用拉拉格格朗朗日日乘乘數數法法求求條條件件極極值值的的步步驟驟（1） 構造構造Lagrange函數：函數： ),(),(),(zyxzyxfzyxF ， （2 2）解方程組）解方程組 0),(000zyxFFFzyx， 即即 0),(000zyxfffzzxyxx， 得可能極值點得可能極值點),(zyx。 第18頁/共30頁注注： （1）若若由由問問題題的的實實際際意意義義知知必必存存在在條條件件極極值值，且且只只有有 唯唯一一的的駐駐點點，則則該

14、該駐駐點點即即為為所所求求的的極極值值點點。 （2）拉拉格格朗朗日日乘乘數數法法可可推推廣廣到到自自變變量量多多于于三三個個而而約約束束 條條件件多多于于一一個個的的情情形形。 ),(),(),(),(2121tzyxtzyxtzyxftzyxF 第19頁/共30頁例例 5求求表表面面積積為為2a而而體體積積為為最最大大的的長長方方體體的的體體積積。 構構造造Lagrange函函數數)222(),(2axzyzxyxyzzyxF ， 令令 (4) 0222(3) 0)(2(2) 0)(2(1) 0)(22axzyzxyFyxxyFzxxzFzyyzFzyx 解解：設設長長方方體體的的三三棱棱長

15、長為為zyx , ,，則則得得條條件件極極值值問問題題： 2222 0)0,0,( maxaxzyzxyzyxxyz V第20頁/共30頁由由（1 1） 、 （2 2） 、 （3 3）得得zyx ，將將此此代代入入（4 4）得得 6azyx 。 函函數數在在 V駐駐點點處處取取得得最最大大值值，即即當當長長、寬寬、高高均均6a為為時時， 長長方方體體有有最最大大體體積積：3max366aV 。 在定義域在定義域0, 0, 0),( zyxzyxD內函數只有唯一內函數只有唯一 的的駐駐點點( (6a, ,6a, ,6a) )，而而函函數數DV 在在內內必必有有最最大大值值， 第21頁/共30頁例

16、例 6 6在在旋旋轉轉橢橢球球面面12222 zyx上上，求求距距離離平平面面 62 zyx的的最最近近點點和和最最遠遠點點。 解：設解：設),(zyx 為旋轉橢球面為旋轉橢球面12222 zyx上上 的任意一點，則該點到平面的任意一點，則該點到平面62 zyx的距離的距離 662 zyxd。 原問題等價于求函數原問題等價于求函數22)62(6),( zyxdzyxf 在條件在條件12222 zyx下的極值。下的極值。 第22頁/共30頁設設)12()62(),(2222 zyxzyxzyxF， 令令 (4) 0 1z2(3) 02)62(2(2) 0 2)62(2(1) 0 4)62(422

17、2yxFzzyxFyzyxFxzyxFzyx 由由（1 1） 、 （2 2） 、 （3 3）得得zyx ，將將此此代代入入（4 4）得得 142 x，故故21 zyx。 第23頁/共30頁 由由于于駐駐點點只只有有兩兩個個，且且最最近近點點與與最最遠遠點點存存在在，故故得得 最最近近點點為為)21 ,21 ,21( ，最最近近距距離離為為632；最最遠遠點點為為 )21 ,21 ,21( ，最最遠遠距距離離為為634。 求求得得駐駐點點)21,21,21( ，此此時時相相應應的的距距離離為為 6326)21(21212611 d； 634621)21()21(2612 d。 第24頁/共30頁

18、例例 7在在橢橢球球面面44222 zyx的的位位于于第第一一卦卦限限部部分分上上 求求一一點點，使使得得在在此此點點的的切切平平面面與與三三個個坐坐標標面面所所圍圍成成的的 三三棱棱錐錐的的體體積積最最小小。 xFx8 ，yFy2 ，zFz2 ， 在在第第一一卦卦限限的的橢橢球球面面上上任任取取一一點點)0, 0, 0)(,( zyxzyxM， 則過點則過點 M 的切平面方程為的切平面方程為 0)(2)(2)(8 zZzyYyxXx， 第25頁/共30頁 點點),(zyxM在橢球面上，滿足在橢球面上，滿足44222 zyx， 故切平面與三坐標面所圍成的四面體的體積為故切平面與三坐標面所圍成的四面體的體積為 其截距式方程為其截距式方程為1441 zZyYxX， .3844161xyzzyxV 切切平平面面方方程程為為44 zZyYxX， 第26頁/共30頁下面來求下面來求xyzV38 在條件在條件44222 zyx下的最小值，下的最小值， 令令 ),(zyx)44(38222 zyxxyz， 08382 xyzxx， 02382 yzxyy， 02382 zxyzz， 044222 zyx， 第27頁/共30頁解解得得：31 x，32 y，32 z。 函數函數 V 在第一卦限內求得的駐點是唯一的，在第一卦限內求得