連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析

1、 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析研究的主要內(nèi)容是基于信號(hào)時(shí)域分解的思想，利用線性時(shí)不變系統(tǒng)的特性，得到線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)在任意激勵(lì)作用條件下的零狀態(tài)響應(yīng)等于系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和激勵(lì)信號(hào)的卷積積分。第二章第二章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)時(shí)域分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)時(shí)域分析本章重點(diǎn)和難點(diǎn)本章重點(diǎn)和難點(diǎn) 重點(diǎn)：重點(diǎn)：1）熟練掌握典型信號(hào)的定義與性質(zhì)，微分方程的建立與求解；2）深刻理解系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式、特征方程、特征根的意義及求解；3）單位沖激響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)的意義及求解；4）零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)；5）自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)，瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)難點(diǎn)：難點(diǎn)：掌握卷積積分的定義、運(yùn)算規(guī)律及主要性質(zhì)，并會(huì)應(yīng)用卷積積分法求線性時(shí)不變

2、系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。第二章第二章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析本章教學(xué)內(nèi)容本章教學(xué)內(nèi)容 FFFFFFFFFFFFFF常用典型信號(hào)常用典型信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的分解連續(xù)時(shí)間信號(hào)的分解連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域模擬連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域模擬連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的響應(yīng) 單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)卷積卷積一實(shí)指數(shù)信號(hào)一實(shí)指數(shù)信號(hào)函數(shù)表示式為：函數(shù)表示式為：( )tf tAe 圖圖2.12.1實(shí)指數(shù)信號(hào)的波形實(shí)指數(shù)信號(hào)的波形2.1 常用典型信號(hào)常用典型信號(hào)二復(fù)指數(shù)信號(hào)函數(shù)表示式為函數(shù)表示式為: :0()( )jtf tAe由歐拉公式，可得由歐

3、拉公式，可得00( )cos()sin()tf tAetjt 圖圖2.2 2.2 復(fù)指數(shù)信號(hào)實(shí)部和虛部的波形復(fù)指數(shù)信號(hào)實(shí)部和虛部的波形根據(jù)根據(jù)0、的不同取值，復(fù)指數(shù)信號(hào)可表示為下列幾種特殊信號(hào)：的不同取值，復(fù)指數(shù)信號(hào)可表示為下列幾種特殊信號(hào)：00( )ftA1 1當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，為直流信號(hào)；為直流信號(hào)；0()( )jtftA e( )tf te0002 2當(dāng)當(dāng)而而時(shí)，時(shí)，為實(shí)指數(shù)信號(hào)；為實(shí)指數(shù)信號(hào)；000( )jtfte3 3當(dāng)當(dāng)而而時(shí)，時(shí)，稱為正弦指數(shù)信號(hào)，稱為正弦指數(shù)信號(hào)， 02T的周期信號(hào)。的周期信號(hào)。0jte不難證明不難證明是周期為是周期為三抽樣信號(hào)三抽樣信號(hào)( )aS t抽樣信號(hào)抽樣信號(hào)

4、( )aS t定義為定義為sin( )( )tf tStt圖圖2.3 2.3 抽樣信號(hào)抽樣信號(hào)可以看出，（可以看出，（1 1）( )aSt為偶函數(shù)；為偶函數(shù)； t( )aS t（2 2）當(dāng)）當(dāng)時(shí)，時(shí)，的振幅衰減趨近于的振幅衰減趨近于0 0； ()0fk，（，（k k為整數(shù)）；為整數(shù)）； （3 3）( )aSt信號(hào)滿足：信號(hào)滿足：20( )St dt ( )St dt四、單位階躍函數(shù)四、單位階躍函數(shù) )t ()t () t (0100)(t10t2.1常用典型信號(hào)奇異函數(shù)奇異函數(shù)是指函數(shù)本身或其導(dǎo)數(shù)（或積分）具有不連續(xù)是指函數(shù)本身或其導(dǎo)數(shù)（或積分）具有不連續(xù)點(diǎn)的函數(shù)點(diǎn)的函數(shù)。此函數(shù)在此函數(shù)在t=

5、0t=0處不連續(xù)，函數(shù)值未定義。處不連續(xù)，函數(shù)值未定義。1.定義21)0( tSVUs1PPVt)()(a)(b)(t2. 2. 可代替電路中的開關(guān)，故又稱為開關(guān)函數(shù)可代替電路中的開關(guān)，故又稱為開關(guān)函數(shù)3. 給函數(shù)的表示帶來方便)(t01)(0tt 0t右移t01)(0tt 0t左移t tsin)(sin0ttt0000t0t0tttt起始任一函數(shù))t (）圖的不同（）與注意（cb)()(sin00tttt (a)(b) (c)(tP)t()t()t()t(P00100)(tP1面積為10t五、單位脈沖函數(shù)五、單位脈沖函數(shù)1、定義）來表示（可用t)t (P)(tPt)(1t01)(1t100t

6、t1)t()t()t(P1故2. =+)(tSgn0t11六、符號(hào)函數(shù)六、符號(hào)函數(shù)Sgn(t)Sgn(t)1)(2 t11)(tSgn000ttt12)t ()t (Sgn故）來表示（可用t)t (Sgn2.)t()t()t(Sgn01011.定義七、單位斜變函數(shù)七、單位斜變函數(shù)R(t)R(t) 1.定義)t ()t (t)t (R0000)(tR11t）來表示（可用t)t (R.200dd )()t (Rtd )()t (Rttt00ttdt)t (dR)t (八八. ）（單位沖激函數(shù)t處奇異在0t稱為沖激強(qiáng)度K100dt)t ()t ()t (000)(t)(0tt)(tK)(Kttt)

7、1 (0t（1）1、定義unit impulse function或)t (Plimt0）（或10)(tPt1000dt)t ()t (t)t (t）（）（sinlim()( ),kkttSa ktSa tkt或（），其中為整k0t23231k)tt()tt()t()t(00)(t2. 的基本性質(zhì) (1)篩選性:設(shè)f(t)為一連續(xù)函數(shù)，則有)t (fdt)t (f )tt ()(fdt)t ()t (f000)(fdt)t ()(fdt)t (ft0000）（證明：)(t(2) 是偶函數(shù)(證明參看p22)tttd )(td )(0001證明：由dttddtt)()()()(或dt)t (d)t

8、 ()t (lim)t (Plimt00）（反之，)t (d )()t (t的定義式比較，得將這對(duì)式子與)(t(3)沖激函數(shù) 的積分等于階躍函數(shù))()()(taat14、)()()()()()()()(taatadaatdataadaatdatadtat1011011）（故證明：)2()2(1)2()2(1)( ttdtttdt或( ) t沖激偶函數(shù)22dttddttdt)()()( 九九、1、定義0im0im0221)1()1(矩形脈沖的導(dǎo)數(shù)t0)( t0從負(fù)t0從正t)1(t2、的基本性質(zhì))( t奇函數(shù))( )(.00tttt)()( )( )()( )(.tftfttf000dtt)(

9、.)( )( )(.00tfdttttf引入廣義函數(shù)后，瞬息物理現(xiàn)象則可由奇異函數(shù)來描述，例如：_V1)0(tK_cUFCic10000101001000_)()()()()()()(庫侖dttdiqCCUqVUVUcccc 例1.有始周期鋸齒波的分解ATT2T3)(tft00 ttf,)(02.2 連續(xù)時(shí)間信號(hào)分解 分解將時(shí)間函數(shù)用若干個(gè)奇異函數(shù)之和來表示。121)()(.)2()()()()()()()(nnTtAtRTATtATtAtRTAtfTtAtRTAtftf故TT2A)()(21tftf0)(1tf0ATAAT)(TtA)(TtA0ttt)(2tf 例2.任意函數(shù)表示為階躍函數(shù)的

10、積分(例2.4).)()()(.)()()()()()()(tktttkftkfttftftftftf00)0(f)(tf0tt2tk ) 1(tkt0( )tf tt考慮時(shí)間段的函數(shù)將間隔分成寬度為的幾等分。)(tfaFFFF動(dòng)畫演示動(dòng)畫演示tttfttttkftkfttkftkfftktftftftftktknkk)()()()()()()()()()(10dtftftftftkttttftftfttnktkta00100)()()()()()(lim)()()()()( 例3.任意函數(shù)表示為沖激函數(shù)的積分.(例2.3) 0 ( f)(tf0ttk ) 1(tkt)(tfattkt0)(t

11、fanktttttkttPtkftkttPtkftttPtfttPftftf00)()(.)()(.)()()()()()()()()()()()(limttfdtftftftt00FFFF動(dòng)畫演示動(dòng)畫演示 一、線性時(shí)不變系統(tǒng)的分析方法一、線性時(shí)不變系統(tǒng)的分析方法 第一步：建立數(shù)學(xué)模型 第二步：運(yùn)用數(shù)學(xué)工具去處理 第三步：對(duì)所得的數(shù)學(xué)解給出物理解釋，賦予物理意義。 例一：對(duì)圖示電路列寫電流 的微分方程。)t (U)t (i)t (i021和電壓、)( te)(0tUR)(1tiCRLM)(2tiLC2.3 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型)t (e)t (Ridt)t (diMdt)t (diLd )(

12、iCt12111)(te)(0tUR)(1tiCRLM)(2tiLC解：由兩類約束關(guān)系，分別列兩回路方程得： 回路1的KVL方程：電阻R的伏安關(guān)系：整理后得：012122)t (Ridt)t (diMdt)t (diLd )(ict)t (RitU20）（)t (iCdt)t (diCRdt)t (id)CLR(dt)t (idRLdt)t (idML1212122313414221222）（2233441dt)t (edCdt)t (edRdt)t (edL回路2的KVL方程：330202022303404223322222223234242212221222dt)t (edRMUCdtdU

13、CRdtUd)CLR(dtUdRLdtUdMLdt)t (edM)t (iCdt)t (diCRdt)t (id)CLR(dt)t (idRLdt)t (idML）（）（例2. 對(duì)圖示電路，寫出激勵(lì)e(t)和響應(yīng)r(t)間的微分方程。解：由圖列方程 ).().t( iR)t(rdt)t(drC22KCL:).().t ( e) t ( rdt) t (diL1 KVL:)(ti)(te2CLR)(tr)t ( e)t ( rdt)t (drRLdt)t ( rdLC222將（2）式兩邊微分，得 ).(.dt)t (didt)t (drRdt)t ( rdC31222將（3）代入（1）得* *由

14、以上例題可以得出如下結(jié)論：由以上例題可以得出如下結(jié)論：1.求得的微分方程階數(shù)與電路的階數(shù)一致。 例一：含有4個(gè)儲(chǔ)能元件，故為四階電路。 例二：含有2個(gè)儲(chǔ)能元件，故為二階電路。2.無論是電流i(t)或電壓U（t）,他們的齊次方程相同。說明同一系統(tǒng)的特征根相同，即自由頻率是唯一的。 ebdtdeb.dtedbdtedbradtdra.dtrdadtrdmmmmmmnnnnn0111101111二、描述連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)激勵(lì)與響應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。 一般，對(duì)于一個(gè)線性系統(tǒng)，其輸入與輸出之間關(guān)系，總可以用下列形式的微分方程來描述：n階常系數(shù)微分方程三、三、n n階常系數(shù)微分方程的求解法階常系數(shù)微分方程的求解法

15、 the solution method for constant-coefficient difference equation of Nth-order全響應(yīng)全響應(yīng)= =齊次方程通解齊次方程通解 + + 非齊次方程特解非齊次方程特解（自由響應(yīng)） （受迫響應(yīng)）全響應(yīng)全響應(yīng)= =零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng) + + 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)（解齊次方程） （疊加積分法） 時(shí)域分析法時(shí)域分析法（經(jīng)典法）變換域法變換域法（第五章拉普拉斯變換法）微分方程求解微分方程求解2.4 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域模擬連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域模擬系統(tǒng)模型。框圖組合建立之一：即利用基本的方解決上述矛盾的方法得要領(lǐng)。十分繁瑣或不法是不行的，

16、研究過程在實(shí)際中只依賴這種方統(tǒng)分析方法方程或差分方程）的系建立數(shù)學(xué)模型（微分為什么要模擬？?；蚍抡娴姆椒ǚQ為系統(tǒng)模擬圖運(yùn)算單元給出系統(tǒng)方框利用線性微分方程基本一、何謂系統(tǒng)的模擬,)(到系統(tǒng)設(shè)計(jì)（綜合）。有助于從系統(tǒng)分析過渡與互聯(lián)的研究方法也特征的實(shí)質(zhì)，系統(tǒng)分解這種方法容易理解性能簡(jiǎn)化。統(tǒng)時(shí)，分析過程將得以將它們組合構(gòu)成復(fù)雜系果熟知各單元性能，解為若干基本單元，如系統(tǒng)的模擬是將系統(tǒng)分、模擬圖用基本單元法二、線性系統(tǒng)的模擬方1)()(2)(21)(1sXxsXxtt12( )( )( )sYXsXs加法器加法器: :)()(sYyt1( )2( )( )tty txx標(biāo)量乘法器標(biāo)量乘法器: :)(

17、)(sXxta)()(sYyt)()()()(saXsYtaxty乘法器：乘法器：)()(2)(21)(1sXxsXxtt)()(sYyt)()()()(21)(2)(1sXsXYxxtystt延時(shí)器：延時(shí)器：)(tx)(ty)()(txty初始條件為零的積分器初始條件為零的積分器時(shí)域形式tdxty0)()(復(fù)頻域形式)(1)(sXssY )(tx)(tys1)(sX)(sY初始條件不為零的積分器初始條件不為零的積分器)(tx)0(y)(tytdxyty0)()0()(s1sy)0()(sX)(sYssXsysY)()0()(、一階微分方程的模擬2xyay0yaxy0 x0ay y條件，故是零

18、狀態(tài)響應(yīng)以上模擬圖都未計(jì)初始0a)(sXs1)(sY)(ssY、二階系統(tǒng)的模擬3xyayay01 yayaxy01 0a1a)(tx y yyn由一、二階系統(tǒng)的模擬可以推出 階系統(tǒng)的模擬規(guī)則xbxbyayayx01014 導(dǎo)數(shù)的二階系統(tǒng)的模擬、含有qbqbyyxqaqaqqq01012) 1 (1, ）式滿足（則）滿足方程（使引入一輔助函數(shù)方程即可證明代入原、將)2() 1 (稱為直接模擬框圖。系統(tǒng)函數(shù)作出的，一般根據(jù)系統(tǒng)的微分方程或以上討論的框圖是直接X1a 0a1b0byq qq )(.)()()()(.)()()()()()()(tebtebtebtratratratrmmmmnnn11

19、101111)()()()(tebtrajmjjinii001na描述LTI連續(xù)系統(tǒng)激勵(lì)與響應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型是n階線性常系數(shù)微分方程。上式縮寫為：2.5 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的響應(yīng) 值為特征方程的根。系統(tǒng)的特征方程為0)()(210111nnnnpppapapap全響應(yīng)受迫響應(yīng)特解自由響應(yīng)齊次解)()()(trtrtrph)()()(trtrtrph令令值為特征方程的根。系統(tǒng)的特征方程為0)()(210111 nnnnpppapapap)(trn一、齊次解).,(nii21為單實(shí)根設(shè)齊次方程的特征根均值為特征方程的根。系統(tǒng)的特征方程為0)()(210111 nnnnpppapapaptniihiect

20、r1)( ic特征根)(trh齊次解jm一對(duì)共軛復(fù)根重實(shí)根單實(shí)根21)sin()cos(012211tDtCeeCetCetCetCCettttmmtmmt 表表2.1不同特征根所對(duì)應(yīng)的齊次解不同特征根所對(duì)應(yīng)的齊次解式中常數(shù) 由初始條件確定。tniiniectr1)(te)t(rC)(r)(r222200故代入上式得將0t0t。，求系統(tǒng)的響應(yīng)已知出方程為：描述某系統(tǒng)的輸入輸例)(2)0(, 0)()()(2)(1trrtetetrtrtCetrpp2)(2020)(2)(000trtrttt求系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)的狀態(tài)初始條件：系統(tǒng)在時(shí)接入）時(shí)的狀態(tài)（設(shè)激勵(lì)在初始狀態(tài)：系統(tǒng)在te )t()t(rC,C

21、2101222將初始條件代入上式得0t求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。，已知程為：描述某系統(tǒng)的微分方例,)(r)( r).t ( e)t (e)t ( r)t (r)t (r20202442tteCteCtrrrrr202121221)(2, 044,2)0()0(, 2)0()0(零輸入響應(yīng)得特征根為解：由于激勵(lì)為零，故、)(trp二、特解特解是滿足微分方程并和激勵(lì)信號(hào)形式有關(guān)的解。表特解是滿足微分方程并和激勵(lì)信號(hào)形式有關(guān)的解。表2.22.2列出了幾種激勵(lì)及其所對(duì)應(yīng)特解的形式。列出了幾種激勵(lì)及其所對(duì)應(yīng)特解的形式。備注B（常數(shù)）AA（待定常數(shù)） 不等于特征根 等于特征單根 重特征根 所有特征根均不等于零

22、重等于零的特征根激勵(lì)( )e t( )prt特解temtcostsint或等于kteA10ttA teA e1110()kmmmmtA tAtAtA1110ktktttkkA t eAteA teA e1110mmmmA tAtA tA12cossinAtAtk有j所有特征根均不等于例描述某系統(tǒng)的微分方程為例描述某系統(tǒng)的微分方程為1. y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)求（求（1）當(dāng)）當(dāng)f(t) = 2e 2e-t-t，t0；y(0)=2，y(0)= 1時(shí)的全解；時(shí)的全解； （2）當(dāng)）當(dāng)f(t) = e e-2t-2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0時(shí)的全解。時(shí)的全解

23、。解: (1) 特征方程為特征方程為2 + 5+ 6 = 0 ,其特征根1= 2，2= 3。 齊次解為y h(t) = C1e 2t + C2e 3t由表2.22.2可知，當(dāng)f(t) = 2e f(t) = 2e t t時(shí)，其特解可設(shè)為 Y P(t) = Pe t將其代入微分方程得Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t 解得 P=1P=1于是特解為于是特解為yp(t) = e t全解為：全解為： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t其中待定常數(shù)C1,C2由初始條件確定。y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y(0) =

24、 2C1 3C2 1= 1解得C1 = 3 ，C2 = 2最后得全解y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0（2 2）齊次解同上。當(dāng)激勵(lì)齊次解同上。當(dāng)激勵(lì)f(t)=ef(t)=e2t2t時(shí)，其指數(shù)與特征根之一相重。時(shí)，其指數(shù)與特征根之一相重。由表由表2.22.2知：其特解為知：其特解為 yp(t) = (P1t + P0)e2t代入微分方程可得代入微分方程可得 P1e-2t = e2t ,所以所以P P1 1= 1= 1 但但P P0 0不能求得。不能求得。全解為 y(t)= C1e2t + C2e3t + te2t + P0e2t = (C1+P0)e2t +C2e3t +

25、 te2t將初始條件代入，得將初始條件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ， y(0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0解得 C1 + P0 = 2 ,C2= 1 最后得微分方程的全解為 y(t) = 2e2t e3t + te2t , t0上式第一項(xiàng)的系數(shù)C1+P0= 2，不能區(qū)分C1和P0，因而也不能區(qū)分自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)。三零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng))()()()(tebtrajmjjinii001na)()()(trtrtrph).2 , 1(nii為單實(shí)根設(shè)齊次方程的特征根均tniihiectr1)()()(trectrptniii1)(trec

26、ecptniftnixiiii11tniftnixtniiiiiiiececec111自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng))(trzi)(trzs零狀態(tài)響應(yīng)的齊次解自由響應(yīng)式中零輸入響應(yīng)兩種分解方式的區(qū)別：兩種分解方式的區(qū)別：1 1、 自由響應(yīng)與零輸入響應(yīng)的系數(shù)各不相同icixc與不相同icixc由初始狀態(tài)和激勵(lì)共同確定由初始狀態(tài)確定2 2、 自由響應(yīng)包含了零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)中的齊次解t t 對(duì)于系統(tǒng)響應(yīng)還有一種分解方式，即瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。所謂瞬態(tài)響應(yīng)指對(duì)于系統(tǒng)響應(yīng)還有一種分解方式，即瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。所謂瞬態(tài)響應(yīng)指時(shí)，響應(yīng)趨于零的那部分響應(yīng)分量；而穩(wěn)態(tài)響應(yīng)指時(shí)，響應(yīng)趨于零的那部分響

27、應(yīng)分量；而穩(wěn)態(tài)響應(yīng)指時(shí)，響應(yīng)不為零的那部分響應(yīng)分量。時(shí)，響應(yīng)不為零的那部分響應(yīng)分量。t 1.1.定義：定義： 當(dāng)激勵(lì)為單位沖激函數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位沖當(dāng)激勵(lì)為單位沖激函數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng)，用激響應(yīng)，簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng)，用h(t)h(t)表示。表示。( )( )h tLTIg t沖激響應(yīng)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)疊加積分階躍響應(yīng)dtgetrthtetrt)()( )()()()(0)(t0t)(th) 1 (LTI)(th)(t0t零狀態(tài)2.6 單位沖激響應(yīng)一一.沖激響應(yīng)沖激響應(yīng))(t)()()()(tetrtrtr 23)()(thtrZS 000123)()().

28、(.)()()()(hhtththth得21200230021，特征根為上式可化為時(shí)，).(.)()()(,)( tthththtt2. h(t)的求解方法的求解方法例1.描述某系統(tǒng)的微分方程為:試求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。解：由沖激響應(yīng)的定義，當(dāng)e(t)= 時(shí)，0)0()0(,)()()0()0(,)()(,)()()()() 1.(.)()(2)(3)()0()0(1)3.(.)()()(221即為連續(xù)函數(shù)即項(xiàng)含項(xiàng)含和平衡，確定初始條件）等號(hào)兩邊奇異函數(shù)要由方程（故hhtdtththhhtthdtththtthtthththhhteCeCthtt 000000001200300001dt

29、thhhdtthhhhh)()()()()()()( )( )(，其中逐項(xiàng)積分，得到式兩邊從對(duì))()()()( )()()()( )( ,)( )( teethCCCChCChhhhhhtt221212111120003001010100故式得代入，將初始條件即故滿足方程時(shí)，當(dāng)若初始值確定)()()()()(.)()()()()(thttetetratratrnnn01101)(,.,)()(.)()()()()(11121000011njhtthathathjnnn）（)(.)(.)()()(.)()()()()()(31I2011011tebtebtebtratratrLTmmmmnnn驟

30、系統(tǒng)的沖激響應(yīng)求解步)()(,.,)()(211022100001njhnjh初始值為各由系數(shù)平衡法，可推得.)()()(.)()()(),(.)()(）式相同求解過程與（滿足方程選取新變量11110111111thtthathathththannn)( )()()( )(tetetrtrtr2452.為描述某系統(tǒng)的微分方程例)(.)()()()(.)()(thbthbthbthbmmmm10111131系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為微分特性，即可求得式狀態(tài)響應(yīng)的線性性質(zhì)和根據(jù)線性時(shí)不變系統(tǒng)零試求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)試求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)h(t)。解：1111(1)( )( )5( )4 ( )( )h

31、ththth tt選求滿足下式的沖激響應(yīng)代入上式得將故沖擊響應(yīng)，特征根為10004111221121)( ,)()()()(hhteCeCthtt0010045011111)()( )()( )(hhthththt時(shí)化為零輸入響應(yīng)，設(shè)31311400021211211CCCChCCh，)( )()()()( )()()()(teeththththtt411323122再求滿足系統(tǒng)方程的411441411( )( )() ( )331411( )() ( )() ( )333314() ( )33tttttttth th teethteeteeteet 故沖激響應(yīng)為)()(.)()()()(.)

32、(.)(sHLthdttdtdttdgthhth13201的確定難點(diǎn)化為零輸入響應(yīng)的求法二、階躍響應(yīng)二、階躍響應(yīng)1.1.定義定義)(tg)(t1t0LTI)(t)(tg零狀態(tài)t02.g(t)2.g(t)的求解方法的求解方法121000012121000011njggnjgttgatgatgjjjnnn,.,)()()(.,)()()(.)()()()()()()(平衡，得由方程兩邊奇異函數(shù)要101( )() ( )intiig tCeta若該方程的特征根均為單根，則齊次解特解另外：ttdtdhtg)()()()(試求該系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為描述某系統(tǒng)的微分方程例),()()( )(.tetrtrtr

33、863)()()(teCeCtgtt8142422121故，特征根為000086)()( )()()( )()(ggttgtgtgtg滿足方程為解：)3(),2(15. 2)()818141()(81,41042)0( 081)0(042212121作業(yè)：于是得初始值代入上式得由teetgCCCCgCCgtt).(),()(, 1)0( , 2)0()()( 2)(3)( 4)(42trteterrtetetrtrtrt求全響應(yīng)已知：系統(tǒng)的微分方程為例)(3)(2)(3)(2)()( 2)()(2)( ),()()(31)()()() 1 ( :22222232121tettetetetete

34、teteteteecectr，trtrtrttttttttnpn得由特征根解解ttttpppptptptpteecectretrrrrpetrpetrpetrtetrtrtrt2321222223)(3)(1 4)( ,2)( )() 1 ()(3)(3)( 4)( ,0）式，可得代入（，將設(shè)特解系統(tǒng)方程為：時(shí)3)0( ,2)0()0(2)0()0( 4)0( )0( )(3)(2)(3)( 4)(3)(2)(3)( 4)()0( ),0()2(002000000002rrrrrrrdttedttdttrdttrdttrettrtrtrrrtt將方程兩邊積分的確定0343)(4, 336323

35、3)(3)0( , 2)0(232121212321teeetrcccccceecectrrrtttttt故得代入將2.7 卷積系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的求解卷積積分定義卷積積分定義卷積積分性質(zhì)卷積積分性質(zhì)本節(jié)通過信號(hào)分解的思想，把任意信號(hào)為沖激信號(hào)的本節(jié)通過信號(hào)分解的思想，把任意信號(hào)為沖激信號(hào)的疊加，得到線性時(shí)不變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為輸入信號(hào)疊加，得到線性時(shí)不變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為輸入信號(hào)與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積積分。與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積積分。0tt10tPtt0) 1 ()(tt)(lim)(0tPttt定義：定義：( )tPt作用于系統(tǒng)時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)為作用于系統(tǒng)時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)為一、零狀

36、態(tài)響應(yīng)時(shí)域分析法一、零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)域分析法( )tSt0( )lim( )tth tSt )(lim)(0tPttt( )tPt( )tStLTILTI(0)e)(tf0ttk ) 1(tkt( )ae t任意信號(hào)e(t)表示為沖激函數(shù)疊加.0( )( )(0)( )()().()().()()tttntke tetePttettPtte k ttPtk te k ttPtk t FF0( )( )(0)( )()().()().()()tttntke tetePttettPtte k ttPtk te k ttPtk t ( )e t( )zsrtLTI定義：激勵(lì)信號(hào)定義：激勵(lì)信號(hào)e(t)作用

37、下的零狀態(tài)響應(yīng)為作用下的零狀態(tài)響應(yīng)為( )zsrt當(dāng)當(dāng)t0時(shí)，有時(shí)，有00lim( )( )( ) ()( )( )ttete tetde tt 00lim( )( )( ) ()( )( )tzstr trteh tde th t 0( )( )(0)( )()().()().()()zstttntkrtr teSttettStte k ttStk te k ttStk t 則有：則有：當(dāng)當(dāng)t0時(shí)，有時(shí)，有0( )( )( )( ) ()( )( )( )te tr tr teh tdr te th t則當(dāng)輸入為時(shí)，零狀態(tài)響應(yīng)為卷積積分卷積積分常簡(jiǎn)記為( )6 ( )8 ( )( ),rtr

38、 tr te t例 描述某系統(tǒng)的微分方程為試求該系統(tǒng)的階躍響應(yīng))()81()(42422121teCeCtgtt故，特征根為( )( )6 ( )8 ( )( )(0 )0(0 )0g tgtg tg ttgg解法1： 滿足方程為)()818141()(81,41042)0( 081)0(042212121teetgCCCCgCCgtt于是得初始值代入上式得由( )6 ( )8 ( )( )(0 )(0 )0h th th tthh得)(t由沖激響應(yīng)的定義，當(dāng)e(t)= 時(shí)2412( )() ( )1(0 )(0 )( )6 ( )8 ( )( ).(1)( )( )( )( ),( )( )

39、,(0 )(0 )( )( ),(0 )(0 )0tth tC eC ethhh th th tth tth th t dth tthhh th t dthh故由方程（）等號(hào)兩邊奇異函數(shù)要平衡，確定初始條件和含項(xiàng)含項(xiàng) 即為連續(xù)函數(shù) 即解法解法2:12112224(0 )1(0 )1(0 )0(0 )01/2(0 )2411/211( )() ( )22tthhhhCCChCCCh teet 將初始條件，代入得故24242411( )( )* ( )() ( )* ( )221 11 102 0( 2)2 0( 4)111() ( )848ttzsttttrth tteetteeteet 二、卷

40、積積分圖解法1.卷積卷積定義定義：)()()()()()()()(),()(tftftftftfdtfftftftf21212121簡(jiǎn)記為兩者做卷積運(yùn)算定義為和對(duì)于任意兩個(gè)信號(hào)2.卷積的圖解法卷積的圖解法111)(1tf)(2tf5 .000tt121222( )( )( ),( )( )().ftftftftff求的步驟：將函數(shù) 的自變量用 代換，并反轉(zhuǎn)得第一將步011)(1f015 . 0)(2f015.0)(2f22()()ftft：將函數(shù) 沿正 軸平移得第，步時(shí)間二)(2tf)(1f0t1t115 . 0)(10右移t)(2tf0t1t)(0 左移t0.512120,( )()0,(

41、)( )()0tff tf tff td：兩信號(hào)重疊部分相乘，求相乘后圖形的積分兩圖形分離，其乘第三步積等于零重復(fù)第二步12001,( )()1 0.5,( )1 0.50.5ttff tf tdt 重復(fù)第三步)(2tf0t1t)(1f1122t)(1f)(2tf0t1t115 . 0)(21右移 t2112112,( )()1 0.5,( )1 0.50.5(2)ttff tf tdt 122,( )()( )0tff tf t與完全分離，以上計(jì)算結(jié)果歸納為05 . 012t)(tf三、卷積積分性質(zhì)1221( )( )( )( )f tf tf tf t123123( )( )( )( ) ( )( )f tf tf tf tf tf t).()(tftf21例一、計(jì)算02t1)(1tf)()()(121tttf)()(tetft201t)(2tf)(tet(1)交換律：(2)分配律：(3)結(jié)合律：1231213( ) ( )( )( )( )( )( )f tf tf tf tf tf tf t11t02)(1f)(2tfdtetftftftt)()()()()()(02112方法一：)(