全等三角形經(jīng)典50題.

1、1.如圖，已知等邊ABC，P在AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以PA為邊作等邊APE,EC延長(zhǎng)線交BP于M，連接AM,求證：（1）BP=CE； （2）試證明：EM-PM=AM. 2.已知，如圖所示，在和中，且點(diǎn)在一條直線上，連接分別為的中點(diǎn)（1）求證：；CENDABM圖CAEMBDN圖（2）在圖的基礎(chǔ)上，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，得到圖所示的圖形請(qǐng)直接寫出（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立. ABCEDOPQ3.如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ以下五個(gè)結(jié)論： AD=BE

2、； PQAE； AP=BQ； DE=DP； AOB=60° CP=CQ CPQ為等邊三角形共有2對(duì)全等三角形 CO平分AOP CO平分BCD恒成立的結(jié)論有_（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上并證明） 4.已知：如圖，是等邊三角形，過邊上的點(diǎn)作，交于點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使，連接（1）求證：；（2）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，請(qǐng)你連接，并判斷是怎樣的三角形，試證明你的結(jié)論AGFCBDE（圖）5、如圖，以的邊、為邊分別向外作正方形和正方形，連結(jié)，試判斷與面積之間的關(guān)系，并說明理由6.如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC

3、交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ以下五個(gè)結(jié)論：ABCEDOPQ AD=BE； PQAE； AP=BQ； DE=DP； AOB=60° 恒成立的結(jié)論有_（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上并證明） 7.如圖所示，已知ABC和BDE都是等邊三角形，且A、B、D三點(diǎn)共線下列結(jié)論：AE=CD；BF=BG；HB平分AHD；AHC=60°，BFG是等邊三角形；FGAD其中正確的有（）A3個(gè) B4個(gè) C5個(gè) D6個(gè)8、在中，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得交于點(diǎn)，分別交于兩點(diǎn)如圖1，觀察并猜想，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；ADBECFADBECFABCDEF9. 如圖所示，AB

4、C是等腰直角三角形，ACB90°，AD是BC邊上的中線，過C作AD的垂線，交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，求證：ADCBDE10.如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)。直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)D，且直角頂點(diǎn)E在AB邊上滑動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合），另一條直角邊與CBM的平分線BF相交于點(diǎn)F. 如圖141，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊的中點(diǎn)位置時(shí)： 通過測(cè)量DE，EF的長(zhǎng)度，猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是 ； 連接點(diǎn)E與AD邊的中點(diǎn)N，猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系是 ； 請(qǐng)證明你的上述兩猜想. 如圖142，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上的任意位置時(shí)，請(qǐng)你在AD邊上找到一點(diǎn)N, 使得NE=BF，進(jìn)而

5、猜想此時(shí)DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系并證明11.已知中，為邊的中點(diǎn)，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、（或它們的延長(zhǎng)線）于、當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到于時(shí)（如圖1），易證AECFBD圖1圖3ADFECBADBCE圖2F當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到不垂直時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，、又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明12.已知AC/BD,CAB和DBA的平分線EA、EB與CD相交于點(diǎn)E.求證:AB=AC+BD.13.等邊ABC，D為ABC外一點(diǎn)，BDC=120°，BD=DCMDN=60°射線DM與直線AB相交于點(diǎn)M，射線DN與直線AC相交于點(diǎn)N，當(dāng)點(diǎn)M、N

6、在邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，直接寫出BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且DMDN時(shí)，猜想中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)畫出圖形，并寫出BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系14.如圖1，BD是等腰的角平分線，.（1）求證BC=AB+AD；（2）如圖2，于F，交延長(zhǎng)線于E，求證：BD=2CE；ABCDFE圖215、已知，如圖1，在四邊形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC。求證：BAD+BCD=180°。16、如圖，四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，AD+AB=2AE，則B與ADC互補(bǔ).為什么？D

7、BEAC17、如圖4，在ABC中，BD=CD，ABD=ACD,求證AD平分BAC. ABCD18.如圖，在ABC中ABC,ACB的外角平分線交P.求證:AP是BAC的角平分線19、如圖在四邊形ABCD中，AC平分BAD，ADCABC180度，CEAD于E，猜想AD、AE、AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想，EBAC圖2D20、如圖，已知在ABC中，B=60°，ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O，求證：OE=OD21如圖所示，已知在AEC中，E=90°，AD平分EAC，DFAC，垂足為F，DB=DC，求證：BE=CF22、如圖，OP是MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)

8、P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖，在ABC中，ACB是直角，B=60°，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；OPAMNEBCDFACEFBD圖圖圖（2）如圖，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請(qǐng)問，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由。23已知：如圖，BFAC于點(diǎn)F，CEAB于點(diǎn)E，且BD=CD，求證：（1）BDECDF （2） 點(diǎn)D在A的平分線上24、如圖在ABC中，ABAC，12，P為AD上任意一點(diǎn)，求

9、證;AB-ACPB-PC25、（2007年成都）已知：如圖，ABC中，ABC=45°，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，與CD相交于點(diǎn)F，H是BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)DH與BE相交于點(diǎn)G。 (!)求證：BF=AC； (2)求證：CE=BF； (3)CE與BC的大小關(guān)系如何？試證明你的結(jié)論。26、（2009年赤峰市）如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，BF是ABC的平分線，AFDC，連接AC、CF，求證：CA是DCF的平分線。27、數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EF經(jīng)過思考，小明

10、展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，則AM=EC，易證，所以在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：（1）小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上（除B，C外）的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由； （2）小華提出：如圖3，點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍然成立你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由ADFCGEB圖1ADFCGEB圖2ADFCGEB圖328.ABC中，BAC=60

11、6;，C=40°，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。29.問題背景，如下命題： 如圖1,在正三角形ABC中,N為BC邊上任一點(diǎn),CM為正三角形外角ACK的平分線,若ANM=60°,則AN=NM 如圖2,在正方形ABCD中,N為BC邊上任一點(diǎn)，CM為正方形外角DCK的平分線，若ANM=90°，則AN=NM 如圖3,在正五邊形ABCDE中,N為BC邊上任一點(diǎn),CM為正五邊形外角DCK的平分線,若ANM=108°,則AN=NM任務(wù)要求： 請(qǐng)你證明以上三個(gè)命題； 請(qǐng)你繼續(xù)完成下面的探索： 如圖4,在正（3）邊形AB

12、CDEF中,N為BC邊上任一點(diǎn),CM為正邊形外角DCK的平分線,問當(dāng)ANM等于多少度時(shí),結(jié)論AN=NM成立（不要求證明）. 如圖5,在梯形ABCD中,ADBC,AB=BC=CD,N為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),CM為DCN的平分線,若ANM=ABC,請(qǐng)問AN=NM是否還成立？若成立,請(qǐng)給予證明；若不成立,請(qǐng)說明理由.30.（1）如圖，已知在正方形ABCD中，M是AB的中點(diǎn)，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，MNDM且交CBE的平分線于N試判定線段MD與MN的大小關(guān)系；（2）若將上述條件中的“M是AB的中點(diǎn)”改為“M是AB上或AB延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)”，其余條件不變?cè)噯枺?）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立

13、，請(qǐng)說明理由31.如圖，在ABC中，A=90°，D是AC上的一點(diǎn)，BD=DC，P是BC上的任一點(diǎn)，PEBD，PFAC，E、F為垂足求證：PE+PF=AB32.如圖，已知ABC中，AB=AC=6cm，B=C，BC=4cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以1cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，BPD與CQP是否全等，請(qǐng)說明理由；若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使BPD與CQP全等？（2）若點(diǎn)Q以中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都

14、逆時(shí)針沿ABC三邊運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過 后，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在ABC的 邊上相遇？（在橫線上直接寫出答案，不必書寫解題過程）33.已知：在ABC中，ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的左側(cè)作等腰直角ADE，解答下列各題：如果AB=AC，BAC=90°（i）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖甲，線段BD，CE之間的位置關(guān)系為（ii）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖乙，i）中的結(jié)論是否還成立？為什么？34.（2012內(nèi)江）已知ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），以AD為邊作菱形ADEF（A、D、E、F按逆時(shí)針排列），使D

15、AF=60°，連接CF（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：BD=CF；AC=CF+CD；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，結(jié)論AC=CF+CD是否成立？若不成立，請(qǐng)寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，補(bǔ)全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系35.在ABC中，ADBC, BEAC, D、E為垂足，AD與BE交與點(diǎn)H，BD=ADDCBAEH求證：（1）BH=AC （2）BEAD 36.（08河北中考第24題）如圖14-1，在ABC中，BC邊在直線l上，ACBC，且AC = BC

16、EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP（1）在圖14-1中，請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）將EFP沿直線l向左平移到圖14-2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q，連結(jié)AP，BQ猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜想；（3）將EFP沿直線l向左平移到圖14-3的位置時(shí)，EP的延長(zhǎng)線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連結(jié)AP，BQ你認(rèn)為（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由37.（2006年遼寧沈陽25題）.如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為邊BC、CD的中點(diǎn)，AF

17、、DE相交于點(diǎn)G，則可得結(jié)論：AF=DE；AFDE.(不需要證明)(1)如圖2，若點(diǎn)E、F不是正方形ABCD的邊BC、CD的中點(diǎn)，但滿足CE=DF.則上面的結(jié)論、是否仍然成立？(請(qǐng)直接回答“成立”或“不成立”)(2)如圖3，若點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊CB的延長(zhǎng)線和DC的延長(zhǎng)線上，且CE=DF，此時(shí)上面的結(jié)論、是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由.38.如圖1，A、E、F、C在同一條直線上，AE=CF，過E、F分別作DEAC，BFAC，若AB=CD，試說明BD平分EF；若將DEC的邊EC沿AC方向移動(dòng)變?yōu)閳D2時(shí)，其余條件不變，BD是否還平分EF，請(qǐng)說明理由。39.如

18、圖，ABC中，ACB90°，ACBC，AE是BC邊上的中線，過C作CFAE，垂足為F，過B作BDBC交CF的延長(zhǎng)線于D求證：（1）AECD； （2）若AC12 cm，求BD的長(zhǎng) 40如圖，兩個(gè)全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC放置在一起，DEA=ACB=90°，DAE=ABC=30°，E、A、C三點(diǎn)在一條直線上，連接BD，取BD中點(diǎn)M，連接ME、MC，試判斷EMC的形狀，并說明理由41.已知BE，CF是ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，試確定AP與AQ的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系42. 在RtABC中，ACBC，ACB90

19、6;，D是AC的中點(diǎn)，DGAC交AB于點(diǎn)G.（1）如圖1，E為線段DC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F在線段DG上，且DE=DF，連結(jié)EF與 CF，過點(diǎn)F作FHFC，交直線AB于點(diǎn)H求證：DG=DC判斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證明（2）若E為線段DC的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F在射線DG上，(1)中的其他條件不變，借助圖2畫出圖形。在你所畫圖形中找出一對(duì)全等三角形，并判斷你在(1)中得出的結(jié)論是否發(fā)生改變（本小題直接寫出結(jié)論，不必證明）43、如圖，AD/BC，AD=BC，AEAD，AFAB，且AE=AD，AF=AB，求證：AC=EF44.直線CD經(jīng)過的頂點(diǎn)C，CA=CBE、F分別是直線CD上兩點(diǎn)，且（1）若直線CD經(jīng)過的內(nèi)部，且E、F在射線CD上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問題：如圖