乘法公式學習要點

1、乘法公式學習要點江蘇劉頓乘法公式是指：平方差公式；完全平方公式.這兩個公式都是乘法運算中極為重要的公式，也是今后進一步學習的基礎，它的應用十分廣泛，同學們學習時一定要掌握好并能熟練地運用，因此，建議同學們學習時應注意掌握以下幾個要點：一、 能正確理解公式的結構特征平方差公式可以用語言敘述為“兩個數的和與這兩個的差積等于這兩個數的平方差”，即用字母表示為：(a+b)(ab)=a2b2；其結構特征是：公式的左邊是兩個一次二項式的乘積，并且這兩個二項式中有一項是完全相同的，另一項則是互為相反數，右邊是乘式中兩項的平方差.完全平方公式可以用語言敘述為“兩個數和（或差）的平方，等于第一數的平方加上（或減

2、去）第一數與第二數乘積的2倍，加上第二數的平方”，即用字母表示為：(a+b)2=a2+2ab+b2；(ab)2=a22ab+b2；其結構特征是：左邊是“兩個數的和或差”的平方，右邊是三項，首末兩項是平方項，且符號相同，中間項是2ab，且符號由左邊的“和”或“差”來確定.二、正確理解乘法公式的幾何意義結合幾何圖形，利用面積的關系，可以加深對乘法公式實際意義的理解和運用.1，平方差公式如圖1，陰影部分的面積可以看成是大正方形的面積減去小正方形的面積，即a2b2，若把小長方形旋轉到小長方形的位置，則此時的陰影部分的面積又可以看成S+ SS+S(a+b)(ab).從而驗證了平方差公式(a+b)(ab)

3、=a2b2. aabbbbab圖1圖2baba2，完全平方公式如圖2，大正方形的面積可以表示為(a+b)2，也可以表示為SS+ S+ S+S，同時Sa2+ab+ab+b2a2+2ab+b2.從而驗證了完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2；同樣也可以驗證完全平方公式(ab)2=a22ab+b2. 三、注意理解乘法公式中字母的廣泛意義在乘法公式中，字母a、b都具有廣泛意義，它們既可以分別取具體的數，也可以取一個單項式、一個多項式或代數式.如（3n+2m）（2m3n）（2m+3n）（2m3n）4m29n2，這里的2m就相當于平方差公式里的a，3n就相當于平方差公式里的b，又如(3x+y2)2

4、(3x+y)22×(3x+y)×2+229x2+6xy12x+y24y+4，或者(3x+y2)2(3x)2+2×3x (y2)+ (y2)29x2+6xy12x+y24y+4.前者是把3x+y看成是完全平方公式中的a，2看成是b；后者是把3x看成是完全平方公式中的a，y2看成是b.四、注意掌握乘法公式常見的恒等變形乘法公式的幾種常見的恒等變形有：1，a2+b2(a+b)22ab(ab)2+2ab.2，ab(a+b)2（a2+b2）(a+b)2(ab)2.3，(a+b)2+(ab)22a2+2b2.4，(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.利用

5、上述的恒等變形，我們可以迅速地解決有關看似與乘法公式無關的問題，并且還會收到事半功倍的效果.例1已知a+b+c0，a 2+ b 2+ c 24，試求：a 4+ b 4+ c 4的值.分析乍看待求式和已知條件毫無關系，但細細琢磨一下，可將c視為已知數，對a、b利用完全平方公式（2），再結合（1）即可求解.解由已知條件，得a+bc，a 2+b 24c 2.由上面的變形2，得ab（a+b）2（a 2+b 2）（c）2（4c 2）c 22，再由上面的變形1，得a 4+b 4（a 2+b 2）22 a 2b 2（4c 2）22（c 22）28c 4.所以a 4+ b 4+ c 48.通過上面的例題，我們

6、還知道有些題目往往不能直接地運用乘法公式來求解，所以我們還必須熟練掌握下列幾種常見的恒等變換：1， 位置的變換.如(3n+2m)(2m3n)(2m+3n)(2m3n)4m29n2.2， 符號的變換.如(ab)(ab)(a+b)(ab)a2+b2；(ab)2(a+b)2.3， 系數的變換.如(3 m2 n)(9m6 n)3(3 m2 n)227m236 mn+12n2.4，數字的變換.如990×1010(100010)(1000+10)10002102999900；10012(1000+1)210002+2000+11002001.5，整體的變換.如(3x+y2)2(3x+y)22&#

7、215;(3x+y)×2+229x2+6xy12x+y24y+4.五、注意乘法公式的靈活運用乘法公式的學習的關鍵是要能靈活運用其解題，即不但要會正向和逆向運用，而且要會對公式進行變換運用，現舉例說明.例1 計算1.345×0.345×2.691.34531.345×0.3452.分析先逆用分配律，再利用完全平方公式即可.解1.345×0.345×2.691.34531.345×0.34521.345（1.3452+0.34520.345×2.69）1.345（1.34522×1.345×0.34

8、5+0.3452）1.345（1.3450.345）21.345×121.345.說明在有關復雜的數字計算中，如能抓住數字特點，巧用平方差公式或完全平方公式，可簡化運算過程，提高運算效率，培養(yǎng)良好的數學素質.例2已知S1222+3242+9921002+1012，試求S被103除的余數.分析觀察S中的因數特點可逆用平方差公式直接算出其結果看看.解逆用平方差公式，得S1222+3242+9921002+1012（12）（1+2）+（34）（3+4）+（99100）（99+100）+1012（1+2+3+4+99+100）+1012（1+100）×50+（1+100）25151

9、，所以S被103除的余數為1.說明對于兩個因數或因式是平方差的形式都可以考慮逆用平方差公式.例3計算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（22n+1）的值.分析觀察每一個括號內的兩項都可以寫成平方和的形式，于是為了能便于運用平方差公式，待求式中都是和的形式，沒有差的形式，這時可設法構造出差的因數，于是可乘以1，即（21），這樣就可巧妙的運用平方差公式了.解（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（22 n +1）（21）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（22 n +1）（221）（22+1）（24+1）（28+1）（22 n +1）（241）（24+1）（28+1）（22 n +1）（22 n1）（22 n +1）42 n1.說明有些題目中雖然沒有明顯的公式可以套用，但通過適當變形后就會發(fā)現其中的奧妙.例4計算：.分析對分母我們既可以醫(yī)巧妙地運用平方差公式，也可以巧妙地