復(fù)變函數(shù)及積分變換第八章PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1復(fù)變函數(shù)及積分變換第八章復(fù)變函數(shù)及積分變換第八章8.1 拉普拉斯變換定義定義8.1 設(shè)函數(shù)f(t)當(dāng) 時(shí)有定義，而且積分 在復(fù)數(shù)s的某一個(gè)區(qū)域內(nèi)收斂，則由此積分所確定的函數(shù)記為 F(s)=Lf(s)= .稱為函數(shù)的f(t)的拉普拉斯變換式拉普拉斯變換式，F(xiàn)(s)稱為f(t)的拉拉普拉斯變換普拉斯變換(或稱為象函數(shù)象函數(shù)).0t 0( )edstf tt0( )edstf tt 若F(s)是f(t)的拉普拉斯變換，則稱f(t)為F(s)的拉拉普拉斯逆變換普拉斯逆變換(或稱為原象函數(shù)原象函數(shù))，記作f(t)= L-1 F(t).第1頁(yè)/共44頁(yè)例8.1 求階躍函數(shù)u(t)= 的拉普拉斯變換

2、. 1, 0;0, 0tt解： Lu(s)=00e1( )edststf ttss 例8.2 求函數(shù)f(t)=eat的拉普拉斯變換，其中a是復(fù)常數(shù). 解： 當(dāng)Re(s)Re(a)時(shí)， Lf(s)=()0011e edatsts atesasa即是 Leatu(t)(s)= , Re(s)Re(a) 1sa第2頁(yè)/共44頁(yè)例8.3 求函數(shù)tn的拉普拉斯變換，其中n是正整數(shù).解：Ltn(s)=0ednsttt用分部積分法，得11000ededednnststnstnsttnnttettttsss 所以有 Ltn= Ltn-1. 當(dāng)n=1時(shí) Lt(s)=21s當(dāng)n=2時(shí)，有 Lt2(s)=32sLt

3、n(s)=1!nns第3頁(yè)/共44頁(yè)定理8.1若函數(shù)f(t)滿足下列條件：1) 在t0的任意有限區(qū)間上分段連續(xù)；2) 存在常數(shù)M0與00，使得即是當(dāng)t時(shí)，函數(shù)f(t)的增長(zhǎng)速度不超過某一個(gè)指數(shù)函數(shù)， 0稱為函數(shù)f(t)的增長(zhǎng)指數(shù).則函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換在半平面Re(s) 0上存在，右端的積分在閉區(qū)域Re (s) 0 上絕對(duì)收斂且一致收斂，并且在半平面Re (s) 0 內(nèi)，F(xiàn)(s)為解析函數(shù). 0( )e,0tf tMt0( )( )edstF sf tt第4頁(yè)/共44頁(yè)證明： 設(shè)=Re(s), ，則由條件2)有000()( )e( ) eeestttf tf tMM 所以00( )eed

4、sttMf tMt00( )( )edstF sf tt在Re(s) 上存在.00( ( )e)d( )edststdf tttf ttds 右端積分在Re(s) 上也是絕對(duì)且一致收斂. 00()00( )ededtsttf ttM tt 0edtM tt2M第5頁(yè)/共44頁(yè)積分與微分的次序可以交換，于是有0( )( )stddF sf t e dtdsds0( ( )stdf t edtds0() ( )stt f t e dt由拉普拉斯變換的定義，得( )L() ( )( )F st f ts所以， 在 上可導(dǎo).( )F s0Re( ) s由的任意性，知 在 上存在，且為解析函數(shù). 定理得

5、證. ( )F s0Re( ) s例8.4 求正弦函數(shù)sinkt的拉普拉斯變換，其中k為實(shí)數(shù).第6頁(yè)/共44頁(yè)解：當(dāng) 時(shí)，有 Re( )0s 0sin( )sinstktsktedtL22(sincos)0stesktkktsk 22ksk余弦函數(shù)coskt的拉普拉斯變換22cos( )sktsskLRe( )0s 例8.5 求函數(shù) 的拉普拉斯變換，其中 為實(shí)數(shù).( )f tt1 第7頁(yè)/共44頁(yè)解：當(dāng) 時(shí)，f(t)不滿足定理8.1的條件，因?yàn)楫?dāng)時(shí)t0， ，但函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換在 是存在且解析的. 10 t Re( )0s 101euaudu1(1)當(dāng) 時(shí)，有00eestttdttdt

6、Re( )0s 在 上，函數(shù) 存在. 0( )estF stdtRe( )0s 同理，由故 存在，即是在 內(nèi)，函數(shù)F(s)解析. 1200(2)(e)esttdtdttdtds( )dF sdsRe( )0s 第8頁(yè)/共44頁(yè)當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 滿足定理8.1的條件， ，因此F(t)的拉普拉斯變換在 是存在且解析.1( )f tt00Re( )0s 當(dāng)s為實(shí)數(shù)，且s0時(shí)，有1(1)( )F s由于F(s)和 在半平面 上均為解析函數(shù)，而且在正實(shí)軸上相等，因此，由解析函數(shù)的唯一性定理知道，在區(qū)域 上處處相等，即是1(1)1(1)( )tssLRe( )0s Re( )0s 例8.6 求周期為2a的函數(shù)

7、的拉普拉斯變換. ,0;( )2,2 ,ttaf tatata 第9頁(yè)/共44頁(yè)解：由拉普拉斯變換的定義，有 0( )( )estfsf tdtL2(1)2460242( )e( )e( )e( )ekaaaaststststaakaf tdtf tdtf tdtf tdt2(1)02( )ekastkkaf tdt 令 ，則有2tuka2(1)2(2)20( )e(2)ekaasts ukakaf tdtf ukadu220e( )eakassuf udu第10頁(yè)/共44頁(yè)根據(jù)函數(shù)的定義，有22000( )ee(2)eaaasususuf uduudufaudu221(1 e)ass所以，

8、2200( )( )eakassukfsef uduL2200( )easukaskf udue記 . 當(dāng) 時(shí)，有Re( ) s0221asaee因此有22011kasaskee第11頁(yè)/共44頁(yè)故有2201( )( )( )e1asuasfsf udseL22211(1)1asasees221(1)(1)(1)asasasesee21 11asasese21tanh2ass第12頁(yè)/共44頁(yè)單位脈沖函數(shù)(t)的拉普拉斯變換 0( )( )eststdtL例8.7 求單位脈沖函數(shù)(t)的拉普拉斯變換.解： 0( )( )estfstdtL( )esttdt0e1stt第13頁(yè)/共44頁(yè)8.2

9、拉普拉斯變換的性質(zhì)定理8.2 對(duì)函數(shù)的拉普拉斯變換有下列性質(zhì)成立.1.（線性性質(zhì)）設(shè)，為常數(shù)，記 ， ，則有 或有 2.（延遲性質(zhì)）若 ，則對(duì) ，有 或有 3.（位移性質(zhì)）記 .對(duì)常數(shù)s0，若 ，則有 ( )( )F sfsL ( )( )G sgsL( )( )( )fgsF sG sL1( )( )( )fgtF tG tL ( )( )fsF sL00t 00() ( )( )stf ttseF sL010( )()steFtf ttL ( )( )fsF sL00Re()ss00( )()s tefsF ssL第14頁(yè)/共44頁(yè)證明： 性質(zhì)1說明函數(shù)的線性組合的拉普拉斯變換等于各函數(shù)的

10、拉普拉斯變換的線性組合. 證明性質(zhì)2 當(dāng)t0時(shí)，上式左端第二個(gè)積分的極限為零，即1lim( )02iRstRF s e ds故有11( )Re( )2ikinststs skiF s e dssF s e 第36頁(yè)/共44頁(yè)例8.19 求函數(shù) 的拉普拉斯逆變換.1)(2sssF解：函數(shù)F(s)有兩個(gè)單極點(diǎn) 和 sisi 221Res,121Res,12stitstitsesiessesies 所以，當(dāng)t0時(shí)，有1( )()cos2ititf teet第37頁(yè)/共44頁(yè)例8.21 求函數(shù) 的拉普拉斯逆變換.22( )45sF sss解：由拉普拉斯逆變換公式，有112222( )( )( ).45

11、(2)1ssf tttsssLL由拉普拉斯變換的位移性質(zhì)，有00( )(),s tefsF ssL所以0110() ( )( ) ( ),s tF ssteF stLL因此121222( )( ).(2)11tsstetssLL第38頁(yè)/共44頁(yè)8.4 拉普拉斯變換的應(yīng)用例8.23 求初值問題 在區(qū)間 上的解. ( )( )sinf tf ttdt(0)0,f0,解：記 .在第一式兩邊取拉普拉斯變換，得 ( )( )fsF sL22( )( )sF sF ss解代數(shù)方程，有22221( ),1(1) ()F sssss第39頁(yè)/共44頁(yè)312( ),1F sssisi其中 123222,12(

12、1)2(1)ii 求拉普拉斯逆變換，得2( )(sincos).1tf tett應(yīng)用拉普拉斯變換求常系數(shù)線性微分方程問題的主要步驟有：1.對(duì)方程兩邊取拉普拉斯變換，利用初值條件得到關(guān)于像函數(shù)F(s)的代數(shù)方程；2.求解關(guān)于F(s)的代數(shù)方程，得到F(s)的表達(dá)式；3.對(duì)F(s)的表達(dá)式取拉普拉斯逆變換，求出f(t) ，得微分方程的解.第40頁(yè)/共44頁(yè)例8.24 求方程組滿足初始條件 的解.2,22tyxxyeyxyxt (0)(0)0,(0)(0)0yyxx解：記 .對(duì)方程組兩邊取拉普拉斯變換，并考慮初始條件，則有 ( )( ),( )( )ysY sxsX sLL2222212( )( )( )( ),112( )( )2( )( ).s Y ss X ssX sY ssss Y ss X ssY sX ss 第41頁(yè)/共44頁(yè)將方程組整理化簡(jiǎn)得222(1) ( )( ),(1)12( )(1)( ).(1)ssY ssX ss ssY ssX sss 解代數(shù)方程組，得2221( ),(1)21( ).(1)Y ss ssX sssY(s)的原像函