導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用函數(shù)極值與最值PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用函數(shù)極值與最值導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用函數(shù)極值與最值定義,0的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)若在若在x),()(0 xfxf 或或的一個的一個為函數(shù)為函數(shù)則稱則稱)()(0 xfxf)()(0 xfxf 極大值 (或極小值), 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.極值點.恒有恒有一、函數(shù)的極值及其求法1. 函數(shù)極值的定義使函數(shù)取得極值的點x0稱為第1頁/共27頁1x2x3x4x5x6x 函數(shù)的極大值、極小值 是局部性的. 在一個區(qū)間內(nèi),函數(shù)可能存在許多個極值,最大值與最小值,有的極小值可能大于某個極大值.只是一點附近的 xyOab)(xfy 觀察 極值點的切線有什么特征？平行于x軸切線平行于x軸是否必為極

2、值點？第2頁/共27頁定理1(必要條件)注如,3xy , 00 xy.0不是極值點不是極值點但但 x(1)處處取取得得在在點點如如果果函函數(shù)數(shù)0)(xxf,0處處可可導(dǎo)導(dǎo)且且在在x可導(dǎo)函數(shù)的極值點駐點卻不一定是極值點.但函數(shù)的2. 極值的必要條件必是駐點,. 0)(0 xf則必有則必有極值,3xy xyO 第3頁/共27頁xyO32xy 極值點也可能是導(dǎo)數(shù)不存在的點.如,32xy 32xy 但 怎樣從駐點中與導(dǎo)數(shù)不存在的點判斷一點(2)不可導(dǎo).0 x是極小值點.是不是極值點 0 x在在即：極值點可能在兩類點中取到：一階導(dǎo)數(shù)零點；一階導(dǎo)數(shù)不存在的點.拐點可能在兩類點中取到：二階導(dǎo)數(shù)零點；二階導(dǎo)數(shù)

3、不存在的點.第4頁/共27頁定理2(第一充分條件)且在且在點連續(xù)點連續(xù)在在設(shè)設(shè),)(0 xxf,),()1(00時時若當(dāng)若當(dāng)xxx 0)( xf);0( ,),(00時時當(dāng)當(dāng) xxx0)( xf),0( 則)(0 xf為極大值,)()2(0附近不變號附近不變號在在若若xxf )(0 xf則不是極值.(極小值);3. 極值的充分條件xyO0 x xyO0 x .),(0o0內(nèi)可導(dǎo)的某去心鄰域xUx第5頁/共27頁0 x0 x 一般求極值的步驟求導(dǎo)數(shù); 求駐點與不可導(dǎo)點;求相應(yīng)點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號,判別增減性;求極值.(1)(2)(3)(4)不是極值點 xyOxyO第6頁/共27頁例解.)1()1()

4、(323的極值及單調(diào)區(qū)間的極值及單調(diào)區(qū)間求求 xxxf322)1()1(3)( xxxf313)1()1(32 xx312)1(3)711()1( xxx(1)(2)駐點:, 1 x導(dǎo)數(shù)不存在的點:.117 x. 1 x(3)列表.求相應(yīng)區(qū)間的導(dǎo)數(shù)符號,判別增減性,確定極值點和極值.第7頁/共27頁x)(xf )(xf), 1( 1 )117, 1( 117)1 ,117(1)1,( 0非極值極小值0)1( f極極小小值值2 . 2)117( f極大值極大值 0 不存在極大值駐點:, 1 x導(dǎo)數(shù)不存在的點:,117 x. 1 x.)1()1()(323的極值及單調(diào)區(qū)間的極值及單調(diào)區(qū)間求求 xx

5、xf )(xf312)1(3)711()1( xxx單調(diào)增加區(qū)間:)., 1 ,117, 1 ,1,( 單調(diào)減少區(qū)間:).1 ,117(第8頁/共27頁定理3(第二充分條件)證, 0)(0 xf如果如果極大值 (極小值).為為則則)(0 xf0)(0 xf),0( 極值的二階充分條件 )(0 xf, 0 00)()(lim0 xxxfxfxx 0)(lim0 xxxfxx 因此,當(dāng)|0 xx 充分小時,由極限的保號性. 0)(0 xxxf可見,)(xf 與0 xx 異號.,0 xx 當(dāng)當(dāng); 0)( xf,0 xx 當(dāng)當(dāng). 0)( xf所以,.)(0處取極大值處取極大值在點在點xxf第一充分條件

6、 對于駐點,有時還可以利用函數(shù)在該點處的二階導(dǎo)數(shù)的正負號來判斷極值點.第9頁/共27頁注,0)(0時時 xf(1)定理3(第二充分條件)不能應(yīng)用.事實上, 0)(0 xf當(dāng)當(dāng),0)(0時時 xf可能有極大值, 也可能有極小值,也可能沒有極值.如,)(41xxf ,)(42xxf 33)(xxf 處處在在0 x分別屬于上述三種情況.(2) 已經(jīng)知道駐點未必是極值點，第二充分條件實際上指出了，二階導(dǎo)不為零的駐點一定是極值點.第10頁/共27頁例解.20243)(23的極值的極值求求 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf得得駐駐點點)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f1

7、8 )4( f故極大值故極大值,60 )2(f18)2(f故極小值故極小值.48 . 2, 421 xx因為, 0 , 0 第11頁/共27頁例解.)2(1)(32的極值的極值求求 xxf)2()2(32)(31 xxxf,2時時當(dāng)當(dāng) x時，時，當(dāng)當(dāng)2 x; 0)( xf時，時，當(dāng)當(dāng)2 x. 0)( xf1)2( f.)(在該點連續(xù)在該點連續(xù)但函數(shù)但函數(shù)xf.)(不存在不存在xf 32)2(1)( xxf所以,.)(的的極極大大值值為為xf第一充分條件xyO12第12頁/共27頁極值判別法的兩個充分條件第一充分條件對函數(shù)在點處是否可導(dǎo)沒有要求，只要求在點的鄰域內(nèi)可導(dǎo).第二充分條件則要求在該點處

8、二階可導(dǎo).第13頁/共27頁baabab二、最大值最小值問題1.最值的求法xyOxyOxyO已經(jīng)知道，a, b上的連續(xù)函數(shù)必定存在最值.最值可能在以下點處取到：駐點端點不可導(dǎo)點第14頁/共27頁(1)其中最大(小)者 求連續(xù)函數(shù) f (x)在閉區(qū)間a, b上的最大(小)值的方法:將閉區(qū)間a, b內(nèi)所有駐點和導(dǎo)數(shù)不存在的區(qū)間端點的就是 f (x)點(即為極值嫌疑點)處的函數(shù)值和函數(shù)值 f (a), f (b)比較,在閉區(qū)間a, b上的最大(小)值.第15頁/共27頁上的上的在在求函數(shù)求函數(shù)4 , 3|23|)(2 xxxf解 )2 , 1(234 , 21 , 323)(22xxxxxxxf,)

9、4 , 3(內(nèi)內(nèi)在在 駐點:,23 x最大值與最小值. )2 , 1(32)4 , 2()1 , 3(32)(xxxxxf例在分段點x=1，x=2是否可導(dǎo)？第16頁/共27頁 )2 , 1(234 , 21 , 323)(22xxxxxxxf在x=1處1)1()(lim1 xfxfx10)23(lim21 xxxx1 1)1()(lim1 xfxfx10)23(lim21 xxxx1 所以x=1是不可導(dǎo)點.x=2是否可導(dǎo)？第17頁/共27頁同理，x=2也是不可導(dǎo)點,)4 , 3(內(nèi)內(nèi)在在 駐點:,23 x2 , 1 x,20)3( f, 0)2( f, 0)1( f,41)23( f最大值最小

10、值, 6)4( f不可導(dǎo)點：第18頁/共27頁(2) 對實際問題常?？墒孪葦喽ㄗ畲?小)值必在區(qū)間內(nèi)部取得, 如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)又僅有一個極值嫌疑點, 那末這點處的函數(shù)值就是最大(小)值.第19頁/共27頁Ozyx例解hrV22 目標函數(shù),222Rhr 由由得,)(222hhRV Rh 0)3(222hRVh h2hrR2. 應(yīng)用舉例(1)(2) 求最大值點半徑為R.求內(nèi)接于球的圓柱體的最大體積,設(shè)球的設(shè)圓柱體的高為2h,底半徑為r, 體積為V,第20頁/共27頁 圓柱體的最大體積一定存在, 故唯一駐點3Rh 就是最大值點, 最大體積為3)3(222RRRV 3334R 令, 0 hV得3R

11、h (舍去負值)唯一駐點)3(222hRVh 第21頁/共27頁(1) 從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，寫出其目標函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.具有實際問題背景的最值問題一般思路：注(2) 從數(shù)學(xué)的角度分析最值可能的點，并結(jié)合實際背景，判斷是否是最值點.第22頁/共27頁例 某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租,當(dāng)租金定為每月720元時,公寓會全部租出去.當(dāng)租金每月增加40元時,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花費80元的整修維護費.試問房租定為多少可獲得最大收入?解 設(shè)房租為每月x 元，租出去的房子有 每月總收入為)(xL)80( x 4072050 x720 x套明顯，x應(yīng)該大于720.40 50第23頁/共27頁)(xL 2070 x 0)( xL1400 x（唯一駐點） 40140068)801400()(xL)(43560 元元 )(xL)80( x 4072050 x故每月每套租金為1400元時收入最高.最大收入為課下閱