【數(shù)學(xué)】.1 定積分在幾何中的應(yīng)用 (人教A版選修)

1、. 第一章第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.7.1 1.7.1 定積分在幾何中的應(yīng)用定積分在幾何中的應(yīng)用 .1、定積分的幾何意義：、定積分的幾何意義：Ox yab y f (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 x a、x b與與 x軸所圍成的曲邊梯形的面積。軸所圍成的曲邊梯形的面積。 當(dāng)當(dāng) f f( (x x) ) 0 0 時，積分時，積分d dx xx xf fb ba a) )( ( 在幾在幾何何上上表示由表示由 y y= =f f ( (x x) )、 x x y yO Oa ab b y y f (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 -S 當(dāng)

2、當(dāng)f(x) 0時，由時，由y f (x)、x a、x b 與與 x 軸軸所圍成的曲邊梯形位于所圍成的曲邊梯形位于 x 軸的下方，軸的下方，一、復(fù)習(xí)引入一、復(fù)習(xí)引入. 如果如果f(x)f(x)是區(qū)間是區(qū)間aa，bb上的連續(xù)函數(shù)，上的連續(xù)函數(shù)，且且F F (x)=f(x)(x)=f(x)，那么，那么: :)()()(aFbFxdxfba-2.2.微積分基本定理：微積分基本定理：.類型類型1 1：求由一條曲線求由一條曲線y=f(x)y=f(x)和直線和直線x=a,x=b(ab)x=a,x=b(ab)及及x x軸所圍成平面圖形的面積軸所圍成平面圖形的面積S S-bccabccadxxfdxxfdxxf

3、dxxfS)()()(|)(| )3(badxxfS)( ) 1 (-badxxfS)( )2(2)xyoabc)(xfy(3)(1)xyo)(xfy ab1.1.幾種典型的平面圖形面積的計算：幾種典型的平面圖形面積的計算：二、新課講解二、新課講解.類型類型2 2：由兩條曲線由兩條曲線y=f(x)y=f(x)和和y=g(x)y=g(x)，直線，直線 x=a,x=b(ab)x=a,x=b(ab)所圍成平面圖形的面積所圍成平面圖形的面積S S-bababadxxgxfdxxgdxxfS)()(|)(|)( )2(-bababadxxgxfdxxgdxxfS)()()()( ) 1 (yxoba)(

4、xfy )(xgy (2)(xfy )(xgy (1).例題講解例題講解分析：首先畫出草圖.從圖中可以看出，所求圖形的面積可以轉(zhuǎn)化為兩個曲邊梯形面積的差，進而可以用定積分求面積s.為了確定出被積函數(shù)和積分的上、下限，我們需要求出兩條曲線的交點的橫坐標(biāo).解解: :作出作出y y2 2=x,y=x=x,y=x2 2的圖象如圖所示的圖象如圖所示: :即兩曲線的交點為即兩曲線的交點為(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)1 12 20 0S S= = ( ( x x- -x x ) )d dx x323102()|33xx-.31 邊邊曲梯形OABC曲梯形OABDS= S-Soxy2yx2yx2

5、xy yxABCDO11200 xdxx dx-11002yxyxxyxy或解方程組.(1)(1)作出示意圖作出示意圖;(;(弄清相對位置關(guān)系弄清相對位置關(guān)系) )(2)(2)求交點坐標(biāo)，確定圖形范圍求交點坐標(biāo)，確定圖形范圍( (積分的上限積分的上限, ,下限下限) )(3)(3)寫出平面圖形的定積分表達式；寫出平面圖形的定積分表達式；2.2.求兩曲線圍成的平面圖形的面積的一般步驟求兩曲線圍成的平面圖形的面積的一般步驟: :(4)(4)運用微積分基本定理計算定積分，求出面積。運用微積分基本定理計算定積分，求出面積。.例例2.2.計算由曲線計算由曲線 直線直線y=x-4y=x-4以及以及x x軸

6、圍成圖形軸圍成圖形 的面積的面積. . xy2解解: : 作出作出y=x-4, y=x-4, 的圖的圖象如圖所示象如圖所示: :2yx解方程組：解方程組：-42xyxy得：直線得：直線y=x-4y=x-4與與 交點為交點為(8(8，4)4)直線直線y=x-4y=x-4與與x x軸的交點為軸的交點為(4(4，0)0)2yx因此，所求圖形的面積為一因此，所求圖形的面積為一個曲邊梯形與一三角形面積個曲邊梯形與一三角形面積之差：之差：340)4(28480-dxxdxxS本題還有其他解法嗎？本題還有其他解法嗎？.另解另解1 1：將所求平面圖形的面將所求平面圖形的面積分割成左右兩個部分。積分割成左右兩個

7、部分。3402)4(40240-dyydyyS還需要把函數(shù)還需要把函數(shù)y=x-4y=x-4變形為變形為x=y+4x=y+4，函數(shù)函數(shù) 變形為變形為2yx22yx 2yx4- - xyS1S2)4(2284844021dxxdxxdxxSSS-340)4(213223224848042323-xxx另解另解2 2：將所求平面圖形的面積將所求平面圖形的面積看成位于看成位于y y軸右邊的一個梯形與軸右邊的一個梯形與一個曲邊梯形的面積之差，因此一個曲邊梯形的面積之差，因此取取y y為積分變量，為積分變量，.3322822024 22 21166426|(4 )|18332333xxxx-28022 2

8、( 24)xdxxxdx-思考：思考：將曲線沿將曲線沿x x軸旋轉(zhuǎn)，軸旋轉(zhuǎn)，與直線相交于一點，求曲與直線相交于一點，求曲線與直線圍成的面積。線與直線圍成的面積。ABS2S1S1解法解法1：281202222( 24)SSSxdxxxdx-.AB解法2：dyyS-4222y)4(1864224324242-yyy思考：思考：將取將取y y為積分變量，為積分變量，把函數(shù)把函數(shù)y=x-4y=x-4變形為變形為x=y+4x=y+4，函數(shù)函數(shù) 變形為變形為2yx22yx.1.思想方法思想方法: 數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化.2.求兩曲線圍成的平面圖形的面積的一般步驟求兩曲線圍成的平面圖形的面積的一般步驟

9、:(1)(1)作出示意圖作出示意圖;(;(弄清相對位置關(guān)系弄清相對位置關(guān)系) )(2)(2)求交點坐標(biāo)，確定圖形范圍求交點坐標(biāo)，確定圖形范圍( (積分的上限積分的上限, ,下限下限) )(3)(3)寫出平面圖形的定積分表達式；寫出平面圖形的定積分表達式；(4)(4)運用微積分基本定理計算定積分，求出面積。運用微積分基本定理計算定積分，求出面積。課堂小結(jié)課堂小結(jié).練習(xí)練習(xí)1.1. 求拋物線求拋物線y=xy=x2 2-1-1，直線，直線x=2x=2，y=0y=0所圍所圍 成的圖形的面積。成的圖形的面積。y解：解：如圖：由如圖：由x x2 2-1=0-1=0得到拋物線得到拋物線與與x x軸的交點坐標(biāo)是軸的交點坐標(biāo)是(-1,0)(-1,0)，(1,0).(1,0).所求面積如圖陰影所示：所求面積如圖陰影所示：所以：所以：-112212) 1() 1(dxxdxxS課堂練習(xí)課堂練習(xí)38)3()3(1