典型極坐標(biāo)參數(shù)方程練習(xí)題帶答案

1、.極坐標(biāo)參數(shù)方程練習(xí)題1在直角坐標(biāo)系xOy 中，直線 C1： x 2，圓 C2：(x 1)2(y 2)2 1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求 C1， C2 的極坐標(biāo)方程；(2)若直線 C3 的極坐標(biāo)方程為 ( R)，設(shè) C2 與 C3 的交點(diǎn)為 M， N，求 C2MN 的4面積解： (1)因?yàn)?xcos ，ysin ，所以 C1 的極坐標(biāo)方程為 ，cos22C2 的極坐標(biāo)方程為 2cos 4sin 40.(2)將 2212，4 代入 2cos 4sin 40，得 3 240，解得 22.故 2，即 |MN| 2.2121由于 C2 的半徑為 1，所以 C2 MN

2、的面積為2.4(2014 ·遼寧， 23，10分，中 )將圓 x2y21 上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 2 倍，得曲線 C.(1)寫出 C 的參數(shù)方程；(2)設(shè)直線 l： 2xy20 與 C 的交點(diǎn)為 P1，P2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過(guò)線段P1 2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程Pxx ，解： (1)設(shè) (x1， 1為圓上的點(diǎn)，經(jīng)變換為C上點(diǎn) ，依題意，得1y )(x y)y2y ，1222 y 2由 x1y1 1 得 x 21.y2即曲線 C 的方程為 x2 4 1.xcos t，故 C 的參數(shù)方程為(t 為參數(shù) )y2sin ty

3、2x2 4 1，x1， x0，(2)由解得或2x y20y0y2.不妨設(shè) 1， ， 2， ，則線段 1 2 的中點(diǎn)坐標(biāo)為11，1 ，所求直線斜率為k ，P (10)P (02)P P22于是所求直線方程為1 x1 化為極坐標(biāo)方程，并整理得y 1 22 .2cos 4sin 3，即 3.4sin 2cos (2)(2015 吉·林長(zhǎng)春二模， 23，10 分)在直角坐標(biāo)系 xOy 中，以 O 為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系， 曲線 C 的極坐標(biāo)方程為 cos 1，M，N 分別為曲線 C 與 x3軸， y 軸的交點(diǎn)寫出曲線 C 的直角坐標(biāo)方程，并求M，N 的極坐標(biāo)；設(shè) M， N

4、的中點(diǎn)為 P，求直線 OP 的極坐標(biāo)方程【解析】(1)將 2cos2sin 兩邊同乘以 ，得 2(cos )2 sin ，化為直角坐標(biāo)方程為 2x2y，C2： cos 1 化為直角坐標(biāo)方程為x1，x1，聯(lián)立 可解得y2，所以曲線 C1 與 C2 交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 (1，2)(2)cos 3 1，cos ·cos3 sin ·sin3 1.xcos ，13又 xy 1，ysin ，22即曲線 C 的直角坐標(biāo)方程為 x3y20.2 3令 y 0，則 x2；令 x 0，則 y 3 .2 3M(2，0)，N 0， 3 .M 的極坐標(biāo)為 (2，0)， N 的極坐標(biāo)為 23.3，2M

5、，N 連線的中點(diǎn) P 的直角坐標(biāo)為1，3，3P 的極角為 6.直線OP 的極坐標(biāo)方程為 6( R)注：極坐標(biāo)下點(diǎn)的坐標(biāo)表示不唯一【點(diǎn)撥】解答題 (1)的關(guān)鍵是掌握直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)的方法；題(2)先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)問(wèn)題求解，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)(2013 ·課標(biāo) ，23， 10 分 )已知曲線 C1 的參數(shù)方程為x 4 5cos t，y 5 5sin t(t 為參數(shù) )，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2 的極坐標(biāo)方程為 2sin .(1)把 C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；(2)求 C1與 C2 交點(diǎn)的極坐標(biāo) (0，0 2)【解析】 (1)將x45cos t，t，

6、化為普通方程為(x4)2 5)2，消去參數(shù)(y25y55sin t即 C1：x2 y28x 10y16 0.xcos ，將代入 x2y28x10y16 0，得ysin 2 8cos 10sin 160.2所以 C1 的極坐標(biāo)方程為 8cos 10sin 160.(2)C2 的普通方程為 x2 y22y 0.x2y2 8x10y160，聯(lián)立 C1，C2 的方程x2y2 2y0，x1，x0，解得或y1y2.所以 C1 與 C2 交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為2， ， 2， .42【點(diǎn)撥】本題主要考查圓的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和標(biāo)準(zhǔn)方程以及圓與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程求解(

7、2012 ·遼寧， 23，10 分)在直角坐標(biāo)系 xOy 中，圓 C1：x2 y24，圓 C2：(x 2)2y2 4.(1)在以 O 為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別寫出圓C1，C2 的極坐標(biāo)方程，并求出圓 C1，C2 的交點(diǎn)坐標(biāo) (用極坐標(biāo)表示 )；(2)求圓 C1 與 C2 的公共弦的參數(shù)方程xcos ，解：(1)由ysin ， 知圓 C1 的極坐標(biāo)方程為 2，圓 C2 的極坐標(biāo)方程為 4cos .222x y 2，解得 2，± ，4cos 312的交點(diǎn)坐標(biāo)為2， 2，故圓 C與圓 C3.3注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一xcos ，(2)方法一：由得圓 C1

8、 與 C2 交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為 (1，3)，(1， 3)ysin x1，故圓 C1 與 C2 的公共弦的參數(shù)方程為( 3t 3)ytx1，或參數(shù)方程寫成 3y 3yy，xcos ，方法二：將 x1 代入ysin ，得 cos 1，從而 1.cos 于是圓 C1 與 C2 的公共弦的參數(shù)方程為.x 1，y tan 3 3 .5(2015 ·河北邯鄲二模， 23，10 分)已知圓 C 的極坐標(biāo)方程為 2cos ，直線 l 的13x22 t，(t 為參數(shù) )，點(diǎn) A 的極坐標(biāo)為2，設(shè)直線 l 與圓 C 交于點(diǎn) P，參數(shù)方程為112， 4y22tQ.(1)寫出圓 C 的直角坐標(biāo)方程；(2)

9、求|AP| ·|AQ|的值解： (1)因?yàn)閳A C 的極坐標(biāo)方程為2cos ，2所以 2cos ，將其轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為x2 y22x，即(x1)2 y21.21 1(2)由點(diǎn) A 的極坐標(biāo)2 ， 4得直角坐標(biāo)為 A 2，2 .13將直線 l 的參數(shù)方程x22 t，(t 為參數(shù) )代入圓 C 的直角坐標(biāo)方程 (x1)2 y21，1 1 y 22t得 t2 31t1 0.2212231t11 21設(shè) t，t為方程 t 22 0的兩個(gè)根，則 t t 2，1所以 |AP| ·|AQ|t1t2|2.xtcos ，2(2015 ·課標(biāo) ，23， 10 分，中 )在直角坐標(biāo)系

10、xOy 中，曲線 C1： (t 為ytsin ，參數(shù)， t0)，其中 0 .在以 O 為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2： 2sin ，C3： 2 3cos .(1)求 C與 C 交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；23(2)若 C與 C 相交于點(diǎn) A，C與 C 相交于點(diǎn) B，求 |AB|的最大值1213解： (1)曲線 C2 的直角坐標(biāo)方程為 x2y22y0，曲線 C3 的直角坐標(biāo)方程為 x2 y22 3x0.x2 y22y 0，聯(lián)立x2 y22 3x0，3x0，x 2，解得或y03y2.33所以 C2 與 C3 交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0， 0)和 2 ，2 .(2)曲線 C1 的極坐標(biāo)方程為 (

11、R，0)，其中 0<.因此 A 的極坐標(biāo)為 (2sin ，)， B 的極坐標(biāo)為 (23cos ， )所以 |AB|2sin 23cos |4 sin 3 .5當(dāng) 6 時(shí)， |AB|取得最大值，最大值為4.1x32t，3(2015 ·陜西，23，10 分，易)在直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線 l 的參數(shù)方程為3y 2 t(t 為參數(shù) )，以原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，C 的極坐標(biāo)方程為 23sin .(1)寫出 C 的直角坐標(biāo)方程；(2)P 為直線 l 上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) P 到圓心 C 的距離最小時(shí)，求P 的直角坐標(biāo)解： (1)由 23sin ，得2 2 3sin ，

12、.從而有 x2 y223y，所以 x2(y3)2 3.13(2)設(shè) P 3 2t， 2t ，又 C(0，3)，1232t212，則|PC|3 2t2 t3 故當(dāng) t0 時(shí)， |PC|取得最小值，此時(shí)， P 點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 (3，0)5(2014 ·課標(biāo) ，23， 10 分，中 )在直線坐標(biāo)系 xOy 中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸正C 的極坐標(biāo)方程為 2cos半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓 ， 0， 2 .(1)求 C 的參數(shù)方程；(2)設(shè)點(diǎn) D 在 C 上， C 在 D 處的切線與直線 l：y 3x 2 垂直，根據(jù) (1)中你得到的參數(shù)方程，確定 D 的坐標(biāo)解： (1)C 的普通方程為

13、 (x 1)2 21)y1(0yx 1 cos t，可得 C 的參數(shù)方程為(t 為參數(shù)， 0 t)y sin t(2)設(shè) D(1 cos t， sin t)由 (1)知 C 是以 G(1， 0)為圓心， 1 為半徑的上半圓因?yàn)?C在點(diǎn) D 處的切線與 l 垂直，所以直線 GD 與 l 的斜率相同， tan t3，t 3.故 D 的直角坐標(biāo)為 1cos333， sin3，即 ，2.2x2cos t，7(2013 ·課標(biāo) ，23，10 分，中 )已知?jiǎng)狱c(diǎn) P，Q 都在曲線 C：(t 為參數(shù) ) y2sin t上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t與 t 2(0<<2) ，M 為 PQ 的中點(diǎn)(

14、1)求 M 的軌跡的參數(shù)方程；(2)將 M 到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離 d 表示為 的函數(shù)，并判斷 M 的軌跡是否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)解： (1)依題意有 P(2cos ，2sin )， Q(2cos 2，2sin 2)，.因此 M(cos cos 2，sin sin 2)M 的軌跡的參數(shù)方程為x cos cos 2，(為參數(shù)， 0<<2)y sin sin 2(2)M 點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離dx2y22 2cos (0<<2)當(dāng) 時(shí)，d0，故 M 的軌跡過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)22x2t，(2014·課標(biāo)，分已知曲線xy 1.直線 l ：(t為參數(shù)23 10)C： 49y22t)(1)寫出曲線

15、C 的參數(shù)方程，直線 l 的普通方程；(2)過(guò)曲線 C 上任意一點(diǎn) P 作與 l 夾角為 30°的直線，交 l 于點(diǎn) A，求 |PA|的最大值與最小值【思路導(dǎo)引 】(1)由基本關(guān)系式可消參求出普通方程；(2)把 |PA|用參數(shù) 來(lái)表示，從而求其最值x2cos ，【解析】(1)曲線 C 的參數(shù)方程為(為參數(shù) )y3sin 直線 l 的普通方程為2x y60.(2)曲線 C 上任意一點(diǎn) P(2cos ，3sin )到 l 的距離為5d 5 |4cos 3sin6|.則|PA|d2545|5sin()6|，其中 為銳角，且 tan .sin 30°3225當(dāng) sin( ) 1 時(shí)

16、， |PA|取得最大值，最大值為5 .當(dāng) sin( )1 時(shí)， |PA|取得最小值，最小值為 255.(2013 ·遼寧， 23，10 分)在直角坐標(biāo)系 xOy 中，以 O 為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系圓 C1，直線 C2 的極坐標(biāo)方程分別為 4sin ， cos 2 2.4.(1)求 C與 C 交點(diǎn)的極坐標(biāo)；12(2)設(shè) P 為 C1的圓心， Q 為 C1與 C2交點(diǎn)連線的中點(diǎn)，已知直線PQ 的參數(shù)方程為xt3a，b 3(tR 為參數(shù) )，求 a，b 的值y2t1【解析】(1)圓 C1 的直角坐標(biāo)方程為x2(y2)2 ，4直線 C2 的直角坐標(biāo)方程為xy40.x2（ y

17、 2） 24，x1 0， x2 2，解得xy40y 4， y 2.12所以 C1 與 C2 交點(diǎn)的極坐標(biāo)為4， ， 22， .24注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一(2)由(1)可得， P 點(diǎn)與 Q 點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為 (0，2)， (1，3)故直線 PQ 的直角坐標(biāo)方程為 x y 2 0.bbab由參數(shù)方程可得y 2(x a)12x 2 1，b21，所以ab 2 12，解得 a 1，b2.【點(diǎn)撥】解答本題的關(guān)鍵是明確轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，即把極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，把參數(shù)方程化為普通方程求解問(wèn)題x 2cos ，2011·課標(biāo)全國(guó)，23，10 分)在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C1 的參數(shù)方程為y

18、 2 2sin (為參數(shù) )， M 是 C1 上的動(dòng)點(diǎn)， P 點(diǎn)滿足 OP2OM，P 點(diǎn)的軌跡為曲線C2.(1)求 C2 的方程；(2)在以 O 為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中， 射線 3 與 C1 的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為 A，與 C2 的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為 B，求 |AB|.解： (1)設(shè) P(x， y)，x y則由條件知 M 2， 2 .x22cos ，由于 M 點(diǎn)在 C1 上，所以y222sin ，x4cos ，即y44sin .x4cos ，從而 C2 的參數(shù)方程為(為參數(shù) )y44sin 1化為普通方程為221的極坐標(biāo)方程為(2)Cx(y 2)4，故曲線 C 4sin ，同理可得曲線 C2 的極坐標(biāo)方程為8sin .射線 3 與 C1 的交點(diǎn) A 的極徑為1 4sin3 23，射線 3 與 C2 的交點(diǎn) B 的極徑為2 8sin3 43.所以 |AB|21| 2 3.5 (2014 ·遼寧錦州一模， 23， 10 分)已知圓的極坐標(biāo)方程為 0.(1)將極坐標(biāo)方程化為普通方程；(2)若點(diǎn) P(x， y)在該圓上，求 xy 的最大值和最小值2解： (1)原方