6年級奧數-不定方程(共8頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上不定方程講義講義編號 LTJYsxsrl005學員編號：LTJY001 年 級：六年級 課時數：學員姓名: 輔導科目：數學 學科教師： 學科組長簽名及日期教務長簽名及日期課 題一次不定方程（組）的整數解問題授課時間：備課時間：教學目標1.理解不定方程（組）的含義2.掌握一次不定方程（組）的定理和相關解題方法重點、難點重點：不定方程定理的理解難點：解不定方程方法與技巧的靈活運用考點及考試要求不定方程（組）是數論中的一個重要課題教學內容【寫在前面】不定方程（組）是數論中的一個重要課題. 對于不定方程（組），我們往往只求整數解，甚至是只求正整數解，加上條件限制后，解就可確定

2、.有時還可以解決計數、求最值等方面的問題.二元一次不定方程是最簡單的不定方程，一些復雜的不定方程（組）常常要轉化為二元一次不定方程問題加以解決.【本講重點】求一次不定方程（組）的整數解【知識梳理】不定方程（組）是指未知數的個數多于方程的個數的方程（組），其特點是往往有無窮多個解，不能唯一確定.重要定理：設a、b、c、d為整數，則不定方程有：定理1 若且d不能整除c，則不定方程沒有整數解；定理2 若是不定方程且的一組整數解（稱為特解），則（t為整數）是方程的全部整數解（稱為通解）. （其中,且d能整除c）.定理3 若是不定方程，的特解，則是方程的一個特解. （其中,且d能整除c）.求整系數不定方

3、程的正整數解，通常有以下步驟：（1） 判斷有無整數解；（2） 求出一個特解；（3） 寫出通解；（4） 有整數t同時要滿足的條件（不等式組），代入命題（2）中的表達式，寫出不定方程的正整數解.解不定方程（組），需要依據方程（組）的特點，并靈活運用以下知識和方法：（1）分離整系數法； （2）窮舉法； （3）因式分解法； （4）配方法； （5）整數的整除性； （6）奇偶分析； （7）不等式分析； （8）乘法公式. 【學法指導】【例1】求下列不定方程的整數解（1） ； （2）.【分析】根據定理1、定理2確定方程的整數解.【解答】（1）原方程變形為：， 觀察得到是的一組整數解（特解），根據定理2 ，是原

4、方程的所有整數解.（2）（5，10）=5，但5不能整除13，根據定理1，原方程的無整數解.【點評】先判斷方程是否有整數解，多于系數不大的題目優(yōu)先選用觀察法尋找特解. 求出的特解不同，同一個不定方程的解的形式可以不同，但它們所包含的全部解是一樣的.【實踐】求下列不定方程的整數解（1） ； （2）.【例2】求方程的所有正整數解.【分析】此方程的系數較大，不易用觀察法得出特解.根據方程用y來表示x ,再將含y的代數式分離出整系數部分，然后對分數系數部分進行討論，賦予y不同的整數，尋找一個使分數系數部分成為正整數的y0，然后再求x0，寫出通解，再解不等式組確定方程的正整數解.【解答】（7，19）=1，

5、根據定理2，原方程有整數解.由原方程可得， 由此可觀察出一組特解為x0=25，y0=2.方程的通解為.其中 代入通解可得原方程的正整數解為【點評】根據定理2解這類方程，若未知數的系數較大不容易觀察出一組整數解時，可用一個未知數去表示另一個未知數，再利用整數的知識，這是解二元一次不定方程基本的方法，稱為分離整系數法. 這樣就容易找出一組整數解來.【實踐】求方程的正整數解. 【例3】大客車能容納54人，小客車能容納36人，現有378人要乘車，問需要大、小客車各幾輛才能使每個人都能上車且各車都正好坐滿.【分析】本題是不定方程的應用，根據題意列出方程并求出非負整數解即可.【解答】設需要大客車x輛，小客

6、車y輛，根據題意可列方程 ，即. 又（3，2）=1，根據定理2，原方程有整數解. 易知是一個特解，通解為由題意可知 解得 相應地答：需要大客1車輛，小客車9輛；或需要大客車3輛，小客車6輛；或需要大客車5輛，小客車3輛；也可以只要大客車7輛，不要小客車.【點評】一般來說實際問題通常取正整數解或者非負整數解.【實踐】某次考試共需做20道小題，對1道得8分，錯一道扣5分，不做不得分.某生共得13分，他沒做的題目有幾道？【例4】某人的生日月份數乘以31，生日的日期數乘以12，相加后得347，求此人的生日.【分析】本題的隱含條件是：月份的取值1，12，日期的取值1，31.【解答】設此人生日的月份數為x

7、 ,日期數y. 根據題意可列方程 31x+12y=347. 方法一 方法二 特解： 答：此人的生日為5月16日. 【點評】求出通解后，要利用隱含條件求出符合題意的解. 其中方法二是利用了同余的知識. 【實踐】已知有一個三位數，如果它本身增加3，那么新的三位數的各位數字和就減少到原來的，求一切這樣三位數的和.【例5】(新加坡數學競賽題)設正整數m,n滿足，則m的最大值為 .【分析】把m用含有n的代數式表示，用分離整系數法，再結合整除的知識，求出m的最大值.【解答】， 由題意可得，n8，m,n為正整數， 當n=9時，m有最大值為75.【點評】此題是求最值的問題，利用分離整系數法是一種典型的常用方法

8、.【實踐】(北京市數學競賽題)有8個連續(xù)的正整數，其和可以表示成7個連續(xù)的正整數的和，但不能3個連續(xù)的正整數的和，那么這8個連續(xù)的正整數中最大數的最小值是 . 【例6】我國古代數學家張建丘所著算經中的“百錢買百雞”問題：雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一，百錢買百雞，問雞翁，雞母，雞雛各幾何？ 【分析】分析：用x,y,z來表示雞翁，雞母，雞雛的只數，則可列方程組：如何解這個不定方程組？消元轉化為不定方程.【解答】解：設雞翁，雞母，雞雛的只數分別為x,y,z. (2)×3(1)得：14x+8y=200，即7x+4y=100.方法一 方法二 方法三 【點評】充分挖掘題目的隱含

9、條件，進而求整數解.【實踐】如果1只兔可換2只雞，2只兔可換3只鴨，5只兔可換7只鵝.某人用20只兔換得雞、鴨、鵝共30只.問：其中的雞、鴨、鵝各多少只？ 答案：（2，21，7）、（4，12，14）、（6，3，21）【例7】求方程的整數解.【分析】對于三元一次不定方程，可以另外引進一個未知數，將其轉化為方程組，然后分別解方程組中的各個方程，從而得到原方程的解.【解答】設，則原方程可看作 對于方程（1）x=-t,y=t是一個特解，從而（1）的整數解是又t=2,z=3是方程（2）的一個特解，于是（2）的整數解是將（6）代入（3）、（4）消去t得到原方程的所有整數解為：【點評】一次不定方程在無約束條

10、件的情況下，通常有無數組整數解，由于求出的特解不同，同一個不定方程的解的形式可以不同，但它們所包含的全部解是一樣的，將解中的參數作適當代換，就可以化為同一形式.【實踐】求方程的整數解. 【例8】(海峽兩岸友誼賽試題)甲組同學每人有28個核桃，乙組同學每人有30個核桃，丙組同學沒人有31個核桃，三組共有核桃總數是365個.問：三個小組共有多少名同學？【分析】設甲組同學a人，乙組同學b人，丙組同學c人，由題意得. 要求，可以運用放縮法從確定的取值范圍入手.【解答】設甲組同學a人，乙組同學b人，丙組同學c人，則.，.是整數，=12或13.但當=13時，得，無正整數解.答：三個小組共有12名同學.【點

11、評】整體考慮和的問題，巧妙運用放縮法.【實踐】Alice wants to buy some radios, pens and bags. If she buys 3 radios,6 pens,2 bags,she will pay ¥302. If she buys 5 radios,11 pens,3 bags,she will pay ¥508. Question: How much will Alice pay for 1 radio,1 pen and 1 bag?【例9】一個布袋里有紅、黃、藍三種顏色大小相同的木球.紅球上標有數字1，黃球上標有數字2，藍球上標

12、有數字3.小明從布袋中摸出10個球，它們上面所標的數字和等于21.（1） 小明摸出的球中，紅球的個數最多不超過幾個？（2） 若摸出的球中三種顏色都有，有多少種不同的摸法？【分析】由于知道三種球的個數和，因此可設二元.第（2）問計數問題的實質是就是求正整數解的組數.【解答】（1）設小明摸的紅球有x個，黃球有y個，藍球有個，則， 整理，得，因為x、y均為正整數，可知x的最大值為4.即紅球最多不超過4個.（2）由（1）知藍球的個數是，又 因此共有4種不同的摸法，如下：（1，7，2），（2，5，3），（3，3，4），（4，1，5）.【點評】此題求的是未知數的范圍及可能取值的個數，因此不需要求出方程的通

13、解，而是根據題意對未知數的限制利用不等式分析出未知數的取值范圍，以及整數解的個數.【實踐】已知有兩堆水泥，若從第一堆中取出100袋放進第二堆，則第二堆比第一堆多一倍；相反，若從第二堆中取出一些放進第一堆，則第一堆比第二堆多5倍.問第一堆中可能的最少水泥袋數是多少？并在這種情況下求出第二堆水泥的袋數.【例10】設非負整數n，滿足方程的非負整數（x,y,z）的組數記為.（1）求的值；（2）求的值.【分析】審清題中的n與方程是同一個非負整數，的含義是方程的非負整數解的（x,y,z）的組數.【解答】（1）當n=3時，原方程為，由于 當z=1時，方程為x+y=1，其解（x,y）=(0,1),(1,0)

14、有2組；當z=0時，方程為x+y=3，其解（x,y）=(0,3),(1,2)，(2,1),(3,0) 有4組.綜上，=6. （2）當n=2001時，原方程為，由于當z=1000時，方程為x+y=1，其解有2組；當z=999時，方程為x+y=3，其解有4組；當z=998時，方程為x+y=5，其解（x,y）=(0,5),(1,4)，(2,3),(3,2)，(4,1),(5,0)有6組；當z=0時，方程為x+y=2001，其解（x,y）=(0,2001),(1,2000)，(2001,0) 有2002組.綜上，=2+4+6+2002=.【點評】此題綜合較強，涉及解不定方程、分類討論、計數等方面的知識

15、，需要靈活運用所學只是解決問題.【實踐】一次不定方程x+y+z=1999的非負整數解有( )個 CA. B. C. D.【總結反思】以上介紹了初中數學競賽中一次不定方程的基本解法、各種解題技巧以及應用. 解不定方程的基本方法是分離整系數法，要熟練掌握. 在具體應用問題上，能將實際問題轉化為不定方程的問題，并根據題意挖掘題目的隱含條件，也就是未知數的取值范圍.【題海拾貝】1.（2000年希望杯競賽題）若a、b均為正整數，且2a>b，2a+b=10，則b的值為（ ） A. 一切偶數 B.2、4、6、8 C.2、4、6 D.2、42. 若正整數x,y滿足2004a=15y，則 x+y的最小值為 .3. 如果三個既約真分數的分子都加