函數(shù)奇偶性、對稱性、周期性知識點總結(jié).

1、抽象函數(shù)的對稱性、奇偶性與周期性常用結(jié)論一 . 概念 : 抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像 , 只給出一些函數(shù)符號及其滿足的條件的函數(shù) , 如函數(shù)的定義域 , 解析遞推式 , 特定點的函數(shù)值 , 特定的運(yùn)算性質(zhì)等 , 它是高中函數(shù)部分的難點 , 也是大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一個銜接點 , 由于抽象函數(shù)沒有具體的解析表達(dá)式作為載體 , 因此理解研究起來比較困難，所以做抽象函數(shù)的題目需要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力、 豐富的想象力以及函數(shù)知識靈活運(yùn)用的能力1、周期函數(shù)的定義：對于 f ( x) 定義域內(nèi)的每一個 x ，都存在非零常數(shù)T ，使得 f ( x T )f (x) 恒成立，則稱函數(shù) f (

2、 x) 具有周期性， T 叫做 f ( x) 的一個周期，則 kT （ k Z , k0 ）也是 f (x) 的周期，所有周期中的最小正數(shù)叫f (x) 的最小正周期。分段函數(shù)的周期： 設(shè) yf ( x) 是周期函數(shù)，在任意一個周期內(nèi)的圖像為C: y f ( x),x a, b ,T b a 。 把 yf ( x)沿x軸平移 KTK (b a) 個單位即按向量a (kT,0)平移，即得 y f ( x) 在其他周期的圖像：y f ( x kT), x kTa, kTb 。f (x)f ( x)xa,bf ( xkT)xkTa, kTb2、奇偶函數(shù)：設(shè) y f (x), xa,b 或 xb,aa,

3、b若 f (x)f (x), 則稱 yf ( x)為奇函數(shù)；若 f (x)f (x)則稱 yf ( x)為偶函數(shù) 。分段函數(shù)的奇偶性3、函數(shù)的對稱性：（1）中心對稱即點對稱：點 A( x, y)與B( 2ax,2by)關(guān)于點 (a, b)對稱； 點A(ax,by)與B(ax,by)關(guān)于 (a,b)對稱； 函數(shù) yf (x)與2byf (2ax)關(guān)于點 (a, b)成中心對稱； 函數(shù) byf (ax)與by f ( a x)關(guān)于點 (a,b)成中心對稱； 函數(shù) F（ x, y)0與F ( 2ax,2b y) 0關(guān)于點 (a,b)成中心對稱。（2）軸對稱：對稱軸方程為：Ax ByC 0。 點 A(

4、 x, y)與 B( x / , y/ ) B( x2A( AxBy C ), y2B( Ax By C ) ) 關(guān) 于A2B 2A2B2直線 AxByC0成軸對稱；函數(shù) yf (x)與 y2B( AxByC )f ( x2A( AxBy C ) 關(guān)于直線A2B 2A2B 2AxByC0 成軸對稱。 F ( x, y)0與 F ( x2A( AxByC ) , y2B( AxByC) 0 關(guān)于直線A2B 2A2B 2AxByC0 成軸對稱。二、函數(shù)對稱性的幾個重要結(jié)論（一）函數(shù)yf (x)圖象本身的對稱性（自身對稱）若 f ( xa)f ( xb) ，則 f ( x) 具有周期性；若 f (a

5、x)f (bx) ，則 f (x)具有對稱性：“內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對稱性”。1、 f ( a x)f (bx)y f ( x) 圖象關(guān)于直線 x(ax) (b x)a b 對稱22推論 1： f (ax)f (a x)yf (x) 的圖象關(guān)于直線xa 對稱推論 2、 f ( x)f (2ax)yf ( x) 的圖象關(guān)于直線xa 對稱推論 3、 f (x)f (2ax)yf ( x) 的圖象關(guān)于直線xa 對稱2、 f ( a x)f (bx)2cyf ( x) 的圖象關(guān)于點 ( ab , c) 對稱2推論 1、 f (ax)f (ax)2byf ( x) 的圖象關(guān)于點 (a,b) 對稱推論

6、 2、 f (x)f (2ax)2byf (x) 的圖象關(guān)于點 (a,b) 對稱推論 3、 f (x)f (2ax)2byf ( x) 的圖象關(guān)于點 (a,b) 對稱（二）兩個函數(shù)的圖象對稱性（相互對稱）（利用解析幾何中的對稱曲線軌跡方程理解）1、偶函數(shù)yf (x)與yf (x) 圖象關(guān)于Y 軸對稱2、奇函數(shù)yf (x)與yf (x) 圖象關(guān)于原點對稱函數(shù)3、函數(shù)yf (x)與yf ( x)圖象關(guān)于X 軸對稱4、互為反函數(shù)yf ( x) 與函數(shù)yf 1 ( x) 圖象關(guān)于直線yx 對稱5. 函數(shù) y f ( ax) 與 yf (bx) 圖象關(guān)于直線 xba2對稱推論 1: 函數(shù) yf (a x

7、) 與 yf (ax) 圖象關(guān)于直線x0對稱推論 2: 函數(shù) yf (x) 與 yf (2ax) 圖象關(guān)于直線xa 對稱推論 3: 函數(shù) yf ( x) 與 yf (2ax) 圖象關(guān)于直線 xa 對稱（三） 抽象函數(shù)的對稱性與周期性1、抽象函數(shù)的對稱性性質(zhì) 1 若函數(shù) y f(x)關(guān)于直線 x a 軸對稱，則以下三個式子成立且等價：（ 1） f(a x) f(a x)（ 2） f(2a x) f(x)（ 3） f(2a x) f( x)性質(zhì) 2 若函數(shù) y f(x) 關(guān)于點（ a， 0）中心對稱，則以下三個式子成立且等價：（ 1） f(a x) f(a x) （ 2） f(2a x) f(x)

8、（3） f(2a x) f( x)易知， y f(x)為偶（或奇）函數(shù)分別為性質(zhì)1（或 2）當(dāng) a0 時的特例。2、復(fù)合函數(shù)的奇偶性定義 1、 若對于定義域內(nèi)的任一變量x，均有 fg( x) fg(x)，則復(fù)數(shù)函數(shù) y fg(x)為偶函數(shù)。定義 2、 若對于定義域內(nèi)的任一變量x，均有 fg( x) fg(x)，則復(fù)合函數(shù) yfg(x)為奇函數(shù)。說明：（1）復(fù)數(shù)函數(shù) fg(x)為偶函數(shù)，則 fg( x) fg(x)而不是 f g(x) fg(x)，復(fù)合函數(shù) yfg(x)為奇函數(shù)，則 fg( x) fg(x)而不是f g(x) fg(x)。（2）兩個特例： y f(x a) 為偶函數(shù)，則f(x a

9、) f( xa) ； y f(x a) 為奇函數(shù)，則 f( x a) f(a x)（3）yf(x a) 為偶（或奇）函數(shù)，等價于單層函數(shù)yf(x)關(guān)于直線 x a 軸對稱（或關(guān)于點（ a，0）中心對稱）3、復(fù)合函數(shù)的對稱性性質(zhì) 3 復(fù)合函數(shù) yf(a x) 與 y f(b x) 關(guān)于直線 x（ ba）/2 軸對稱性質(zhì) 4、復(fù)合函數(shù) yf(a x) 與 y f(b x) 關(guān)于點（ ba）/2 ，0）中心對稱推論 1、 復(fù)合函數(shù) yf(a x) 與 yf(a x) 關(guān)于 y 軸軸對稱推論 2、 復(fù)合函數(shù) yf(a x) 與 y f(a x) 關(guān)于原點中心對稱4、函數(shù)的周期性若 a 是非零常數(shù)，若對

10、于函數(shù) yf(x) 定義域內(nèi)的任一變量 x 點有下列條件之一成立，則函數(shù) yf(x) 是周期函數(shù)，且 2|a| 是它的一個周期。 f(x a) f(x a) f(x a) f(x) f(x a) 1/f(x) f(x a) 1/f(x) 5、函數(shù)的對稱性與周期性性質(zhì) 5 若函數(shù) yf(x) 同時關(guān)于直線 xa 與 xb 軸對稱，則函數(shù) f(x) 必為周期函數(shù)，且T 2|a b|性質(zhì) 6、若函數(shù) yf(x) 同時關(guān)于點（ a， 0）與點（ b，0）中心對稱，則函數(shù) f(x) 必為周期函數(shù)，且 T2|a b|性質(zhì) 7、若函數(shù) yf(x) 既關(guān)于點（ a，0）中心對稱，又關(guān)于直線 xb 軸對稱，則函

11、數(shù) f(x) 必為周期函數(shù)，且 T 4|a b|6 、函數(shù)對稱性的應(yīng)用（ 1）若 yf ( x)關(guān)于點（ h,k )對稱，則 xx/2h, yy /2k , 即f ( x)f ( x/ )f (x)f (2hx)2kf ( x1 )f (x2 )f ( xn )f (2hxn )f (2hxn 1 )f (2hx1 )2nk（ 2）例題a x關(guān)于點（1 1(1)11、，）對稱： ( );f (x)a xa22fxfxf ( x)4x1關(guān)于（ ，）對稱：f (x)f ( x) 22x12x 101f ( x)1(R, x0)關(guān)于（1111x12，）對稱： f（ x)f ( )2x2、奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點（0，0）對稱： f