初中幾何輔助線做法大全

1、線、角、相交線、平行線規(guī)律 1.如果平面上有 n(n2)個(gè)點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不在同一直線上，那么每?jī)牲c(diǎn)畫(huà)一條直線，一共可以畫(huà)出1n(n1)條 .2規(guī)律 2.平面上的 n 條直線最多可把平面分成1n(n+1)+1個(gè)部分 .21規(guī)律 3.如果一條直線上有 n 個(gè)點(diǎn)，那么在這個(gè)圖形中共有線段的條數(shù)為n(n 1)條 .2規(guī)律 4.線段（或延長(zhǎng)線）上任一點(diǎn)分線段為兩段，這兩條線段的中點(diǎn)的距離等于線段長(zhǎng)的一半.例：如圖， B 在線段 AC 上， M 是 AB 的中點(diǎn)， N 是 BC 的中點(diǎn) .1求證： MN =AC2證明： M 是 AB 的中點(diǎn)， N 是 BC 的中點(diǎn)AMBNC1AB,BN=CN=1AM=

2、BM=BC22 MN = MB+BN =111AB +BC =(AB + BC)222MN= 1AC2練習(xí)： 1.如圖，點(diǎn)C 是線段 AB 上的一點(diǎn)， M 是線段 BC 的中點(diǎn) .1求證： AM =(AB + BC)2ACMB2.如圖，點(diǎn)B 在線段 AC 上， M 是 AB 的中點(diǎn)， N 是 AC 的中點(diǎn) .求證：MN=1BC2AMNBC3.如圖，點(diǎn) B 在線段 AC 上， N 是 AC 的中點(diǎn)， M 是 BC 的中點(diǎn) .求證： MN =1AB2ANBMC規(guī)律 5.有公共端點(diǎn)的n 條射線所構(gòu)成的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)一共有1n(n1) 個(gè).2規(guī)律 6.如果平面內(nèi)有n 條直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，則可構(gòu)成小于平角的

3、角共有2n（n 1）個(gè) .規(guī)律 7. 如果平面內(nèi)有n 條直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，則可構(gòu)成n（ n 1）對(duì)對(duì)頂角 .規(guī)律 8.平面上若有 n（ n3）個(gè)點(diǎn)，任意三個(gè)點(diǎn)不在同一直線上，過(guò)任意三點(diǎn)作三角形一共可作出1n(n1)(n 2）6個(gè).規(guī)律 9.互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角平分線所成的角的度數(shù)為90o.規(guī)律10.平面上有 n 條直線相交，最多交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1n(n1) 個(gè).2規(guī)律 11.互為補(bǔ)角中較小角的余角等于這兩個(gè)互為補(bǔ)角的角的差的一半.規(guī)律12.當(dāng)兩直線平行時(shí)，同位角的角平分線互相平行，內(nèi)錯(cuò)角的角平分線互相平行，同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直.例：如圖，以下三種情況請(qǐng)同學(xué)們自己證明 .FAEBAEBAEBHF

4、HHFCDC規(guī)律CGGD13.已 知AB DE, 如 圖GD ,規(guī)律如下：AB1CABC+ BCD+CDE=360EDAB2CECDAB3BCD=ABC+CDEBCD=CDE -ABCAEBD4E DCABBCD=ABC-CDE5CDE= BCD+ ABCEDC CAB6ABC=BCD+ CDE規(guī)律ED14.成 “8”字形的兩個(gè)三角形的一對(duì)內(nèi)角平分線相交所成的角等于另兩個(gè)內(nèi)角和的一半 .例：已知， BE、 DE 分別平分 ABC 和 ADC ，若 A = 45 o,C = 55 o ,求 E 的度數(shù) .解： A ABE = E ADEC CDE = E CBEA得A ABE C CDE = E

5、 ADE E CBEMBE 平分 ABC 、DE 平分 ADC ，E ABE = CBE， CDE = ADEN 2E =A CBD1C E =(A C)2 A =45 o, C =55o,o三角形部分規(guī)律 15在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如果直接證不出來(lái)，可連結(jié)兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)造三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再利用三邊關(guān)系定理及不等式性質(zhì)證題.例：如圖，已知 D 、 E 為 ABC 內(nèi)兩點(diǎn)，求證： AB AC BD DECE.證法（一）：將 DE 向兩邊延長(zhǎng)，分別交AB、AC 于 M、N在 AMN 中， AM AN MDDENEA在 BDM 中， MBMDBD在

6、 CEN 中， CN NECEMGF得DAM AN MB MD CN NE MD DE NEBD CE AB AC BD DE CE證法（二）延長(zhǎng) BD 交 AC 于 F，延長(zhǎng) CE 交 BF 于 G, 在 ABF 和 GFC 和 GDE 中有， AB AF BD DGGF GFFC GECE DG GEDE有ENBCAB AF GF FCDG GE BD DG GF GECE DE AB AC BD DECE注意：利用三角形三邊關(guān)系定理及推論證題時(shí)，常通過(guò)引輔助線，把求證的量（或與求證有關(guān)的量）移到同一個(gè)或幾個(gè)三角形中去然后再證題 .練習(xí)：已知：如圖 P 為 ABC 內(nèi)任一點(diǎn)，1求證：(AB

7、 BC AC) PAPB PCAB BC AC2規(guī)律 16三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線與一個(gè)外角平分線相交所成的銳角，等于第三個(gè)內(nèi)角的一半.例：如圖，已知BD 為 ABC 的角平分線， CD 為 ABC 的外角 ACE 的平分線，它與BD 的延長(zhǎng)線交于D.求證： A = 2D證明： BD 、CD 分別是 ABC 、 ACE 的平分線 ACE =2 1, ABC =2 2 A = ACE ABC A = 2122又 D = 1 2ADA=2DB2規(guī)律 17. 三角形的兩個(gè)內(nèi)角平分線相交所成的鈍角等于90o 加上第三例：如圖， BD 、CD 分別平分 ABC 、 ACB ，求證： BDC = 90 o

8、1 A1CE個(gè)內(nèi)角的一半 .證明： BD 、CD 分別平分 ABC 、 ACB A 212 2 = 180o 2(1 2)= 180o A BDC = 180o(1 2) (1 2) = 180 o BDC 把式代入式得2(180o BDC)= 180 o A即： 360o 2 BDC =180 o A 2BDC = 180 o A BDC = 90 o 1 A2規(guī)律 18. 三角形的兩個(gè)外角平分線相交所成的銳角等于2B90o 減去第三個(gè)內(nèi)角的一半AD12C.例：如圖， BD 、CD 分別平分 EBC、 FCB ， 求證： BDC = 90 o 1 A證明： BD 、 CD 分別平分 EBC

9、、 FCB2 EBC = 2 1、 FCB = 2 221 = A ACB22 = A ABC得2（ 1 2） = A ABC ACB A2（ 1 2） = 180o A（ 1 2）= 90 o1A2A BDC = 180 o (1 2) BDC = 180 o (90o 1 A)BC212EF BDC = 90 o 1 AD2規(guī)律 19. 從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作高線和角平分線，它們所夾的角等于三角形另外兩個(gè)角差（的絕對(duì)值）的一半.例：已知，如圖，在 ABC 中， C B ， AD BC 于 D ， AE 平分 BAC.1求證： EAD =( C B)2證明： AE 平分 BAC BAE = C

10、AE = 1 BACA2 BAC =180o ( B C)BCED EAC =1 180o( B C)2 ADBC DAC = 90 o C EAD = EAC DAC EAD =1 180o ( B C) (90o C)2= 90o 1 ( B C) 90o C21= ( C B)2AAFBDCBCEDEF如果把 AD 平移可以得到如下兩圖，F(xiàn)D BC 其它條件不變，結(jié)論為 EFD = 1( C B).2注意：同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)幾何時(shí)，可以把自己證完的題進(jìn)行適當(dāng)變換，從而使自己通過(guò)解一道題掌握一類題，提高自己舉一反三、靈活應(yīng)變的能力 .規(guī)律20.在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角證明角的不

11、等關(guān)系時(shí)，如果直接證不出來(lái)，可連結(jié)兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形外角的位置上，小角處在內(nèi)角的位置上，再利用外角定理證題 .例：已知 D 為 ABC 內(nèi)任一點(diǎn)，求證： BDC BAC 證法（一）：延長(zhǎng) BD 交 AC 于 E， BDC 是 EDC 的外角， BDC DEC同理： DEC BAC BDC BAC證法（二）：連結(jié) AD ，并延長(zhǎng)交BC 于 FB BDF 是 ABD 的外角， BDF BAD同理 CDF CAD BDF CDF BAD CAD 即： BDC BAC規(guī)律 21.有角平分線時(shí)常在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形例：已知，如圖， AD 為 ABC 的

12、中線且 1 = 2， 3 = 求證： BE CF EFAAEDDBCF. 4，C證明：在 DA 上截取 DN = DB ，連結(jié) NE、 NF ，則 DN = DC 在 BDE 和 NDE 中，DN=DB1=2ED=ED BDE NDEBE = NE同理可證： CF = NF在 EFN 中， ENFN EFBE CF EF規(guī)律 22. 有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常加倍延長(zhǎng)此線段構(gòu)造全等三角形例：已知，如圖，AD 為 ABC 的中線，且 1 = 2， 3 = 4，求證：證明：延長(zhǎng)ED 到 M，使 DM = DE ，連結(jié) CM 、FM BDE 和 CDM 中，BD=CD 1=5ED=MD BDE

13、CDM CM=BE又 1= 2，3= 4 1 2 3 4 = 180o 3 2 = 90o即 EDF = 90 oNE23B14D.BE CFEFAFC FDM = EDF = 90 oA EDF 和 MDF 中ED=MDEF FDM = EDF23DF=DFB14D5C EDF MDFEF = MFM在 CMF 中， CF CMMFBE CF EFFD ，證法同上）（此題也可加倍規(guī)律 23. 在三角形中有中線時(shí)，常加倍延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形.例：已知，如圖，AD 為 ABC 的中線，求證：AB AC 2AD證明：延長(zhǎng)AD 至 E，使 DE = AD ，連結(jié) BE AD 為 ABC 的中線 B

14、D = CD在 ACD 和 EBD 中BD=CD 1=2 AD=EDAB12CD ACD EBD ABE 中有 AB BE AEE AB AC 2AD規(guī)律 24.截長(zhǎng)補(bǔ)短作輔助線的方法截長(zhǎng)法：在較長(zhǎng)的線段上截取一條線段等于較短線段；補(bǔ)短法：延長(zhǎng)較短線段和較長(zhǎng)線段相等.這兩種方法統(tǒng)稱截長(zhǎng)補(bǔ)短法.當(dāng)已知或求證中涉及到線段a、 b、c、 d 有下列情況之一時(shí)用此種方法： a ba±b = ca±b = c±d例：已知，如圖，在 ABC 中， AB AC， 1 = 2， P 為 AD 上任一點(diǎn)，求證： AB AC PB PC證明： 截長(zhǎng)法： 在 AB 上截取 AN = A

15、C ，連結(jié) PN在 APN 和 APC 中，AN=AC1=2AP=APA APN APC12PC = PNNP BPN 中有 PBPCBNBDCPBPCAB AC補(bǔ)短法： 延長(zhǎng) AC 至 M，使 AM= AB ，連結(jié) PM在 ABP 和 AMP 中AB=AM1=2AAP=AP12 ABP AMPPPB = PMBC又在 PCM 中有 CM PM PCDAB AC PB PCM練習(xí)：1.已知，在 ABC 中，B = 60 o,AD 、CE 是 ABC的角平分線 ,并且它們交于點(diǎn) O求證： AC = AE CD2.已知，如圖， AB CD 1 = 2 , 3 = 4.求證： BC = AB CDDEA規(guī)律 25.證明兩條線段相等的步驟：觀察要證線段在哪兩個(gè)可能