初二數(shù)學(xué)競賽講座07二次根式的運算解答提示解讀

1、第七講二次根式的運算式子a( a 0)叫二次根式，二次根式的運算是以下列運算法則為基礎(chǔ)(1)acbc(ab)c ( c 0)；(2)abab ( a0, b 0 )；(3)aa( a0,b0 )；bb(4)(a ) 2a 2 ( a0)同類二次根式， 有理化是二次根式中重要概念， 它們貫穿于二次根式運算的始終， 因為二次根式的加減實質(zhì)就是合并同類二次根式，二次根式除法、混合運算常用到有理化概念二次根式的運算是在有理式 ( 整式、分式 )運算的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，常常用到有理式運算的方法與技巧，如換元、字母化、拆項相消、分解相約等例題求解【例 1】 已知 yx 22x 22 2 ，則 x 2y 2

2、 =(重慶市競賽題 )5 x445x思路點撥因一個等式中含兩個未知量，初看似乎條件不足，不妨從二次根式的定義入手注：二次根式有如下重要性質(zhì)：(1)a0 ，說明了a 與 a 、 a 2n 一樣都是非負數(shù)；(2) ( a ) 2 a ( a 0)，解二次根式問題的途徑通過平方，去掉根號有理化；(3) ( a )2 a ，揭示了與絕對值的內(nèi)在一致性著名數(shù)學(xué)教育家玻利亞曾說，“回到定義中去” ，當(dāng)我們面對條件較少的問題時，記住玻利亞的忠告，充分運用概念解題x2205x4x2x2y 2提示：2 0, y 26x22045x【例 2】 化簡111，所得的結(jié)果為（） (武漢市選拔賽試題 )n 2(n1)2A

3、 111B 111C 11111n n 1n n 1D 1n n 1n n 1思路點拔待選項不再含根號，從而可預(yù)見被開方數(shù)通過配方運算后必為完全平方式形式提示：原式= (1 1)221( n 1)221( n 11 )2n 11（C）nn (n 1)2nn (n 1)2nn 1nn 1【例 3】計算：（ 1）64332；（ 2）10141521 ；(63 )(32 )10141521（ 3）1111；353357557494747349（4） 3 151026332 185231思路點撥若一開始就把分母有理化，則使計算復(fù)雜化，觀察每題中分子與分母的數(shù)字特點，通過分拆、分解、一般化、配方等方法尋

4、找它們的聯(lián)系，以此為解題的突破口（1）原式63333213(32 )(63 )( 63)( 32 )( 63)( 32 )( 32 )( 63 )= 62（2） 原式 =101415212(57)3(57)(23)(57)101415212(57)3(57)(23)(57)(23)(32)(526)265（3）考慮一般情形11(2 n1)(2n1)(2n 1) (2n1)2n12n 1( 2n12n1)(2n12n1)(2n12n1)1 (111)2n 1 2n 1(2 n 12n1)22n12n122n2n 1原式1( 11) (11 )( 11 )1(1 1)32133547492 177

5、（4） 315102633218(31510)(18226)(332)52315315(332)23(332)(332)(332)(5231)33252315231【例 4】(1) 化簡42342 3 ；(北京市競賽題 )(2) 計算108322(“希望杯”邀請賽試題)(3)計算a2a1a2a1 (湖北省孝感市“英才杯”競賽題)思路點撥（1）把 4+23 萬與 423 分別化成一個平方數(shù)化簡，原式123(2123(2(12(121331 2 33)3)3)3)此外，由于 4+23與 423是互為有理化因式，因此原式平方后是一個正整數(shù)，我們還可以運用這一特點求解；原式(42342 3)2423

6、242342 342 38242(23) 28216121223(2) 原式1081222(2) 2108 (12) 2108(12)42242 (2)2(42) 242(3)通過配方可以簡化一重根號，本題的關(guān)鍵是就a 的取值情況討論， 解決含根號、 絕對值符號的綜合問題原式122 a 1 ( a 1) 2122 a 1 ( a 1)2(1a 1) 2(1a 1) 21a 11a12當(dāng) a11，即 1a2時2a1當(dāng)a>1，即a時12【例 5】 已知 ab2a14 b23c31 c5 ，求 abc 的值 (山東省競賽題 )2思路點撥已知條件是一個含三個未知量的等式，三個未知量， 一個等式怎

7、樣才能確定未知量的值呢?考慮從配方的角度試一試原式可化為：( a 1)22 a 1 1 ( b 2) 22 2 a 1 22 1 ( c 3) 22 3 c 3 92 2即 ( a 1 1)2( b 22)21 ( c 3 3)20，因此有a 11 0 ， 得 a2 ；2b 2 2 0 ，得 b6 ；c 3 3 0 ，得 c 12 。故 a b c 2 6 12 20 。學(xué)歷訓(xùn)練1如果 y2x332x2，那么 4xy =2已知 xy3 ，那么 xyyx 的值為 (成都市中考題 )xyyxxyxyxy23當(dāng)、均為正提示：原式xyxyxy() xyxyx2y 2xyxy23當(dāng) 、均為負xy3計算

8、(31) 20012(31) 20002(31)19992001 = (天津市選拔賽試題 )原式(31)1999 (31)22(31)132001( 31)1999 (311)23200120014若a1ab 成立的條件是 (淄博市中考題 )ab0，則等式5b3bab1ab ，即abab故b3b3 ，因此b 0，ab 0，a 0b6b3b3b35如果式子(x 1)2x2化簡的結(jié)果為2x3 ，則 x 的取值范圍是 ( B)A x 1B x 2C 1 x 2D x >0(徐州市中考題 )6如果式子 (1a)1根號外的因式移入根號內(nèi)，化簡的結(jié)果為（C）1 aA 1 aB a 1Ca 1D 1

9、a7已知 x2xyy0(x0, y0) ，則3xxyy)5 x3xy的值為 (D4yA 11C 23B D32348已知 a1a 21a22a1的值等于（）2，那么a1a 2a3A (123)B 1C 23D 39計算：(1) 1999 2000 2001 2002 1 ；（2） 32252672 129 2201123013242152 56172 72；（3）115746；7776642（4）199719992001(19971999 )(19972001 )( 19991997 )( 19992001 )( 20011997 ) ( 20011999 )(“希望杯”邀請賽試題)10 (1

10、)已知913與913 的小數(shù)部分分別是 a 和 b，求 ab 3a+4b+8 的值；(2) 設(shè) xn1n ， yn1n ，n為自然數(shù)，如果2x 2197 xy2 y 21993 成立，n1nn1n求 n11如圖，某貨船以20 海里時的速度將一批重要物資由A 處運往正西方向的B 處，經(jīng)16 小時的航行到達，到達后必須立即卸貨此時，接到氣象部門通知，一臺風(fēng)中心正以40海里時的速度由A 向北偏西 60°方向移動，距臺風(fēng)中心200 海里的圓形區(qū)域 ( 包括邊界 )均會受到影響（1）問： B 處是否會受到臺風(fēng)的影響?請說明理由；(2) 為避免受到臺風(fēng)的影響，該船應(yīng)在多少小時內(nèi)卸完貨物?(供選用

11、數(shù)據(jù)：21.4， 31.7 )(貴陽市中考題 )12已知 x32， y32，那么yx= (杯全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題 )323222xy13若有理數(shù) x、 y、 z 滿足xy1z21 ( x y z) ，則 ( xyz)3 =2(北京市競賽題 )14設(shè)27102ab ，其中 a 為正整數(shù)， b 在 0， 1 之間，則 ab =ab15正數(shù) m、 n 滿足 m 4mn 2m4n4n3 ，則m2n8m2 n=2002(北京市競賽題 )16化簡 232217122 等于()A54 2B 42 一 1C 5D 1 (全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題 )17若 1x1x ，則(x1)2 等于()(2004 年武漢市選拔賽試

12、題)A x 1B 1 x C1D 118若 ab, a、 b、 ab 都是有理數(shù)， 那么a 和b()(“希望杯” 邀請賽試題 )A 都是有理數(shù)B一個是有理數(shù)，另一個是無理數(shù)C都是無理數(shù)D有理數(shù)還是無理數(shù)不能確定19下列三個命題：若 ， 是互不相等的無理數(shù)，則 + 是無理數(shù)；若 ， 是互不相等的無理數(shù)，則是無理數(shù)；若 ， 是互不相等的無理數(shù)，則3是無理數(shù)其中正確命題的個數(shù)是()A 0B 1C 2D 3(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)提示： ( 21)(21)(21)(21)1 23是有理數(shù)；答案 A 222321 是有理數(shù)；32326 26 20 是有理數(shù)。2222320計算：（1）253；（2）8 2

13、 15106 ；2306243532（3）111；112322310099992100(4)2(6232515) ；(5)525232 251提示：（ 1）原式26525362225532)2166 ；（2）原式26326(312(52153)2(53)(53) 22(53)(53)( 532)53253253253；（3）先看通項111)nnn1n 1n(n1n)(nn1nn1n11n 1 n ( n 1n )( n 1n)n 1 nnn 1故原式(11)11(11)119(2)99101023100（ 4）原式1243452154352 232 25215(235) 223535 2；（5

14、）原式52522221( 52)( 5 1)( 52)( 5221 )5 15 1(51)(5 1 )(1 )(51)(51)5525352(21)35735(21)51514452515659(21)(51)2(5 3)2(21)8888251)2(35)(21)2(13)(21)1(44421 (1) 求證a 21a 2a1a；b 2(ab1) 2bab1(2) 計算11999 21999 21（“祖沖之杯”邀請賽試題）2000 22000提示：（ 1）因為2a212 1a12a1(a1 )2aab12 a ，所以原式左邊 =abb ababbab1bba21a22 a2 a22 1 a1

15、(a1a)2右邊b2( ab1)2bab1b abbab12(1a2)(a2a2（ 2）設(shè) a1999 ，則原式1a2a11)11)21a 1( aaa 1( a 1) 2a2 ( a 1)2a21(a 1)2a2 ( a 1)211a1a1a1a1( a 1)2a2 ( a22a2)1(a1)2a42a2 (2 a2)1a1a1a1a1( a 1 a2 ) 21a 1 a21a1999a 1a1a1a122 (1)f (x)1，求 f (1)f (3)f (999) 的值；3 x 23 x 23 x 22x 112x 1(2)設(shè) x、 y 都是正整數(shù)，且使x116x 100y ，求 y 的最

16、大值(上海市競賽題 )提示： (1)注意到1(a 2abab，原 f ( x) 可化為：a2ab b2ab b2 )(a b) a3b3f ( x)113 ( x 1)2 3 ( x 1)(x 1) 3 ( x 1)2( 3 x 1)2 3 x 1 3 x 1 ( 3 x 1) 23 x13 x11 ( 3 x 13 x 1)故 f (1) f (3)f (999) =x1(x1)21(3 23 0)( 3 43 2)( 3 10003 998)1 (3 10003 0)1 105222x116m2n2m2( nm)(n m)2108454 ， y mn 108（2）設(shè)100n216x223試將實數(shù)112(15 )(17 ) 改寫成三個正整數(shù)的算術(shù)根之和(2001年第2 屆全澳門校際初中數(shù)學(xué)競賽題)提示：題目的意思是：112(15)(17)(abc) 2 ， 因此配方使112(15)(17) =112(17535)1752725235(175) 2故112(15)(17)(175) 217524求比 (65 ) 6 大的最小整數(shù)(西安交通大學(xué)少年班入學(xué)試題 )提示：設(shè) x65