理解波前像差與Zernike多項(xiàng)式

1、理解波前像差與Zernike多項(xiàng)式科技的發(fā)展總是給眼視光學(xué)醫(yī)生提供更先進(jìn)的哉器”用來矯正患者的屈光不正。準(zhǔn)分子角膜激光手術(shù)就是近年以來這一領(lǐng)域的重大突破性進(jìn)展。現(xiàn)在，我們又開始進(jìn)入下一個(gè)重大突破發(fā)生的階段：波前像差引導(dǎo) 的角膜屈光手術(shù)。這一技術(shù)引起了人們很大的關(guān)注，因?yàn)樗锌赡茏尰颊攉@得超視力”(Super-normal Vision )。波前像差(Wavefront aberrations，波陣面像差，波面像差)和 Zernike多項(xiàng)式是這一研究領(lǐng)域?qū)＜覍W(xué)者 在文章和會(huì)議上進(jìn)行討論的核心。但這些概念來自于經(jīng)典的物理光學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域，由于知識(shí)背景的原因， 可能大多數(shù)的眼科醫(yī)生對(duì)此難以做清晰、透徹

2、的理解，更難以在臨床工作中向患者進(jìn)行解釋說明，以獲得 他們的理解與配合。本文以此為目的進(jìn)行闡述，供讀者參考。1. 什么是高階像差？對(duì)波前像差的描述中，研究者似乎更關(guān)注高階像差(higher-order aberrations ),那么什么是高階像差？回憶歷史，在波前像差的概念以前，球鏡度、柱鏡度、散光軸向三個(gè)數(shù)據(jù)的組合代表了眼視光學(xué)臨床上對(duì) 患者眼屈光狀態(tài)的全部描述。無論是電腦自動(dòng)驗(yàn)光，還是主覺驗(yàn)光或檢影驗(yàn)光，以及醫(yī)生開具的驗(yàn)配處方，這三者組合是主要并關(guān)鍵的數(shù)據(jù)(圖 1 )。圖1我們忽略了高階像差，而我們這樣做了 100年。但這些是否反映患者全部的屈光誤差呢？答案是否定的它們是人眼屈光誤差的組

3、成部分。2. 高階像差為什么越來越重要？根據(jù)分析，長(zhǎng)期以來人眼屈光的高階像差被眼科或者視光學(xué)醫(yī)師忽略的原因可能在于：（1 ）這些屈光誤差量很少，或者對(duì)視功能僅有輕微的影響。（2 ）臨床上缺乏有效手段對(duì)它們進(jìn)行準(zhǔn)確測(cè)量。（3 ）即使發(fā)現(xiàn)并可以測(cè)量高階像差，但缺乏有效的消除手段。隨著研究和認(rèn)識(shí)的進(jìn)展，人眼的高階像差已經(jīng)難以繼續(xù)被忽略，而將逐漸成為眼視光學(xué)臨床上常規(guī)的檢查和評(píng)價(jià)內(nèi)容。原因在于：（1 ）發(fā)現(xiàn)大量的常規(guī)屈光手術(shù)病例術(shù)后存在不同程度的視力問題，這些問題與術(shù)眼的高階像差相關(guān)。角膜屈光手術(shù)在對(duì)角膜進(jìn)行重新塑性，有效切削矯正球柱鏡的同時(shí)，導(dǎo)致術(shù)眼高階像差的顯著增加。這些手術(shù)病例，沒有明顯的殘留球

4、柱性屈光不正，由于高階像差的影響而導(dǎo)致不同程度的視力問題。（2 ）新的檢查儀器，即像差計(jì)（ aberrometers ）投入臨床應(yīng)用，可測(cè)量人眼高階像差。（3 ）臨床上誕生了可用于矯正高階像差的治療辦法，即波前像差引導(dǎo)的角膜屈光手術(shù)（LASIK和PRK ）-可望很快成為屈光手術(shù)的新標(biāo)準(zhǔn)。同樣的針對(duì)接觸鏡的研究也正在進(jìn)行，目的在于提供可個(gè)性 化設(shè)計(jì)的接觸鏡處方，以矯正高階像差?？傊?，高階像差是球、柱性屈光不正之外的屈光誤差。由于大量常規(guī)屈光手術(shù)病例術(shù)后存在不同程度因術(shù) 眼高階像差而導(dǎo)致的視力問題，使得高階像差如今必須得到重視。同時(shí)在未來，患者也會(huì)更趨向于選擇波 前像差引導(dǎo)的角膜屈光手術(shù)，以獲得最

5、佳視力。3. 超視力如果我們不僅矯正患者的球、柱鏡屈光不正，而且矯正高階像差，就有可能為患者提供幾乎完美的屈光矯正效果，使之獲得 超視力也就是說，患者的眼睛將擁有完美的屈光系統(tǒng)。這個(gè)時(shí)候，視覺將不再受眼球屈光系統(tǒng)的限制，而僅受限于視網(wǎng)膜分辨力。理論上，這樣的屈光系統(tǒng)允許最佳矯正視力為20/8，比20/20整整高出四行的視力！超視力引起人們的無限遐想，并且成為Science News , Physics Today , Scientific American等雜志媒體報(bào)道的主題。4.什么是波前像差探測(cè)器（像差計(jì)）？它的原理是什么?波前像差探測(cè)器或者稱之為像差計(jì)，是一種用來測(cè)量眼球全部屈光誤差包括

6、球鏡、柱鏡和高階像差的裝置。這些測(cè)量?jī)x被臨床使用以前，經(jīng)歷了一些有意思的過程。最初在80年代，美國國防部將這些裝置用于支持里根總統(tǒng)提出的星球大仗”彈道導(dǎo)彈防御計(jì)劃。為了增強(qiáng)太空上軍用衛(wèi)星的攝像照片效果并提高激光武器的打擊精確度，軍方需要一種技術(shù)來測(cè)量并矯正處于經(jīng)常波動(dòng)狀態(tài)的大氣屈光力。這導(dǎo)致一種光學(xué)工程 分支學(xué)科的發(fā)展，就是自適應(yīng)光學(xué)，它涉及到實(shí)時(shí)測(cè)量并矯正比如大氣湍流所導(dǎo)致的屈光誤差。典型的情 況下，這種矯正通過使用一種可迅速彎曲或變形的反射鏡來精確地補(bǔ)償不斷變化的大氣屈光力，整個(gè)過程 在高速計(jì)算機(jī)的控制下，通過一種非?？斓胤绞?，在不同的時(shí)間改變反射鏡不同部位的彎曲度來實(shí)現(xiàn)。天文學(xué)家也對(duì)自適

7、應(yīng)光學(xué)十分感興趣，因?yàn)橥牧鞔髿庠斐傻那庹`差同樣使他們的望遠(yuǎn)鏡成像變得模糊。自適應(yīng)光學(xué)允許他們?cè)诘孛孀鐾瑯拥氖虑?，通過曲折望遠(yuǎn)鏡的光學(xué)部件來消除湍流大氣屈光力的影響。至IJ了 90年代，幾乎世界上最大的望遠(yuǎn)鏡都配備了自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)，它包括了用來測(cè)量大氣像差的波前像差 探測(cè)器和進(jìn)行光學(xué)矯正的可變形反射鏡。Im卻eg AfSjUiFfijrkJU 弘F Fh 訓(xùn) I LjRoEwy 機(jī)時(shí) re Opti H, 15 m 似虹匕咿一個(gè)世紀(jì)以前，Hartmann發(fā)明了一種實(shí)驗(yàn)來評(píng)價(jià)望遠(yuǎn)鏡反射鏡的光學(xué)性能。Hartmann實(shí)驗(yàn)就是現(xiàn)代 Shack-Hartmann波前像差探測(cè)器的鼻祖。80年代，在為空軍

8、的一個(gè)項(xiàng)目工作中，亞利桑那州大學(xué)的Roland Shack教授改良了 Hartmann的技術(shù)并發(fā)明了我們所知道的Shack-Hartmann波前像差探測(cè)器。今天，Shack-Hartmann像差計(jì)已經(jīng)成為測(cè)量人眼像差的主要工具。1990年，海德堡大學(xué)的科學(xué)家們正在開發(fā)一種可提供更好的視網(wǎng)膜圖象，包括視乳頭三維圖像的激光掃描檢眼鏡。這就是現(xiàn)代用于青光眼檢查的HRT ( Heidelberg Retinal Tomograph )的鼻祖。海德堡的科學(xué)家希望可通過矯正眼球的全部屈光誤差，包括高階像差來優(yōu)化眼底圖像的質(zhì)量。一位哲學(xué)博士生，Junzhong Liang，是第一個(gè)使用 Shack-Hart

9、mann波前像差探測(cè)器來測(cè)量人眼像差的人。他的文章發(fā)表于1994年，并且成為視覺像差領(lǐng)域被引用最為頻繁的論文。此后數(shù)年里面，世界上其它的研究實(shí)驗(yàn)室建立了各自的Shack-Hartmann波前像差探測(cè)器。到90年代后期，競(jìng)爭(zhēng)主要發(fā)生在激光屈光手術(shù)設(shè)備廠家之間，他們開發(fā)了商品化的眼科波前像差探測(cè)器用于引導(dǎo)各自激光設(shè)備進(jìn)行更好的LASIK和PRK手術(shù)。WaveFront Sciences公司在2000年早期生產(chǎn)了第一個(gè)基于 Shack-Hartmann原理的商品化眼科波前像差測(cè)量?jī)x：the Complete Ophthalmic Analysis System (COAS)。其它公司，諸如 VISX

10、和ALCON也開發(fā)出了 Shack-Hartmann類型的像差計(jì)。并且，基于其它非Shack-Hartmann原理的商品化像差計(jì)也被開發(fā)出來。許多像差計(jì)看似電腦驗(yàn)光儀。實(shí)際上，你可以把波前像差探測(cè)器或者像差計(jì)看作一種超級(jí)驗(yàn)光儀，它不僅 測(cè)量人眼的球鏡、柱鏡屈光不正，還可測(cè)量高階像差。雖然目前存在多種測(cè)量眼像差的原理方法，但是基于Shack-Hartmann原理的儀器是為普及的。波前像差探測(cè)器的原理對(duì)于眼視光學(xué)醫(yī)生來說，理解波前像差探測(cè)器的工作原理是很有必要的，這有助于增進(jìn)對(duì)像差本身和現(xiàn)代眼科中像差的地位的理解。像差計(jì)的設(shè)計(jì)目的是為了測(cè)量眼球全部的屈光誤差，基于Shack-Hartmann原理的

11、儀器通過測(cè)量人眼發(fā)出的光線通過眼球的屈光系統(tǒng)之后產(chǎn)生的波面(波陣面)畸變而達(dá)到相同的目的。圖8顯示了視網(wǎng)膜上的一 個(gè)點(diǎn)光源發(fā)出的光線分別通過一個(gè)無像差，正視眼和單純近視眼的屈光系統(tǒng)以后形成的光學(xué)波面對(duì)于一個(gè)無任何屈光誤差的眼來說，從眼睛出來的光學(xué)波面是一個(gè)完全的平面。在單純近視的情況下，出 來的光學(xué)波面是一個(gè)球面，球心會(huì)聚于遠(yuǎn)處的一點(diǎn)。其它的屈光誤差，包括高階像差，出來的光學(xué)波面存 在其它方式的變形。為了知道眼球全部的屈光誤差，包括高階像差，其中的一個(gè)方法之一就是通過測(cè)量從 眼球出來的光學(xué)波面的形狀進(jìn)行O所有像差計(jì)的目標(biāo)都是要測(cè)量出經(jīng)過眼球屈光系統(tǒng)折射之后從眼球出來的光學(xué)波面的形狀，也就是它的

12、面 形。Shack-Hartmann像差計(jì)的原理是通過測(cè)量該波面表面的點(diǎn)與位于眼的入瞳處的一個(gè)參考平面上的點(diǎn) 兩者之間的距離，來測(cè)量波面的面形。這種距離，就是波前像差I(lǐng)ensletentrancearraypupilwavefrontwavefronterrorerror在圖9的右半部分，垂直線代表入瞳平面， 弧線代表從眼球出來的波面，其中心點(diǎn)在空間上重疊于入瞳平面的中心點(diǎn)。像差計(jì)在穿越瞳孔的許多定位點(diǎn)上測(cè)量波面到參考平面的距離，即波前像差。因此一套Shack-Hartmann結(jié)果數(shù)據(jù)集，由大量的對(duì)應(yīng)于不同的瞳孔定位點(diǎn)的數(shù)值構(gòu)成一個(gè)陣列（波前像差），整個(gè)數(shù) 據(jù)集有時(shí)候也叫做波前像差函數(shù)。為了測(cè)

13、量波前像差，Shack-Hartmann儀器使用了一種精巧的光學(xué)系統(tǒng)將眼入瞳處的波前像差映射到一套細(xì)微的透鏡陣列。透鏡陣列是Shack-Hartmann像差計(jì)的核心部件。圖 9除了波面以外，還顯示了幾束光線，用于指示波面不同部分的光線傳播方向。圖10顯示了來自視網(wǎng)膜點(diǎn)光源的光線如何經(jīng)過眼球光學(xué)系統(tǒng)并出射，經(jīng)過眼前的兩個(gè)正透鏡，經(jīng)過微透鏡陣列，最后投射于 CCD視頻探測(cè)器。形成視網(wǎng)膜點(diǎn)光源的照明系統(tǒng)這里沒有表示出。圖10每一枚微透鏡的直徑為幾分之幾毫米。微透鏡陣列的作用是把眼球出來的光束分成許多小光束用于測(cè)量。每一枚微透鏡將經(jīng)過的小光束聚焦于CCD視頻探測(cè)器表面的上一個(gè)小點(diǎn)（圖中紅點(diǎn)表示），后者

14、把光點(diǎn)記錄為圖象。通過分析每一個(gè)小光點(diǎn)的位置，我們可以得到波面的形狀。前面說過，對(duì)于一完美屈光系統(tǒng)的眼球，出射的為平行光線。圖 10表示出來自無像差眼的平行光線經(jīng)過Shack-Hartmann系統(tǒng)之后，進(jìn)入微透鏡陣列的情況。每一枚微小的正透鏡將平行光束聚焦成CCD視頻探測(cè)器上的光點(diǎn)。由于進(jìn)入每一枚微透鏡的光束都是平行光線，并且互相平行，他們最后都聚焦于微透鏡光軸上的一點(diǎn)。因此，對(duì)于無像差的眼球，每一點(diǎn)都位于相對(duì)于微透鏡中心的位置。圖12圖11CCD視頻探測(cè)器最后接受到的圖象是一系列點(diǎn)構(gòu)成的陣列（圖 11左邊），每一點(diǎn)對(duì)應(yīng)于一枚微透鏡。并且，這些點(diǎn)并安排在一個(gè)規(guī)則的網(wǎng)格里面，網(wǎng)格匹配于微透鏡陣列

15、的幾何構(gòu)形。如果存在像差，某些點(diǎn)將會(huì)離開原來無像差的位置。通過分析每個(gè)點(diǎn)的位置，就有可能重建離開眼球的光學(xué)波面的面形。這樣，我們就可以測(cè)量波前像差函數(shù)，它包含了關(guān)于眼球屈光誤差的全部信息：包括球鏡、柱鏡，和高階像差。圖12和13表示如何根據(jù)點(diǎn)的位置來計(jì)算眼的波前像差。圖12是圖9中放大了的單一微透鏡視圖，有一部分的波面通過它。如果是無像差波面，它應(yīng)該是平正的，并且光線將直接聚焦于正前方。如果存在光學(xué)誤差（像差），波面將呈現(xiàn)某種程度的傾斜，如同紅色弧線表示的一樣。跟隨蘭色光束的表示，我們可以看到像差波面的光線將會(huì)聚于非中心的一點(diǎn)。會(huì)聚點(diǎn)移位的距離與局部波面的斜率成一定比例。圖13簡(jiǎn)化表示了這一幾

16、何學(xué)原理。這個(gè)例子中，隨波面斜率的變化，點(diǎn)的位置扁移成比例改變。因?yàn)榫嚯xf-微透鏡的焦距已知，并且我們可以計(jì)算出點(diǎn)的偏移量 y ,因此很容易計(jì)算光線的斜率，等于 y/f。幾何學(xué)原理決定，它等同于局部微透鏡上波面的斜率。通過計(jì)算每一點(diǎn)與無像差參考點(diǎn)的偏移量，我們可以計(jì)算每一枚微透鏡局部的波面斜率。這就是Shack-Hartmann所做的！它測(cè)量通過瞳孔區(qū)域不同坐標(biāo)點(diǎn)的光束的波面斜率。對(duì)于每一枚微透鏡，波面的斜率分別在x和y兩個(gè)方向上進(jìn)行測(cè)量，這些數(shù)據(jù)最后被數(shù)學(xué)方法整合計(jì)算出通過瞳孔不同位置的實(shí)際波前像差。計(jì)算結(jié)果為通過瞳孔不同位置的二維的波前像差的量數(shù)據(jù)集。圖14這種二維的數(shù)字陣列相似于靜態(tài)視野

17、檢查數(shù)據(jù)陣列（圖14 ）。例如，來自 Humphrey 30-2 visual field test的檢查結(jié)果包含了一個(gè)76個(gè)數(shù)字的圓形陣列以及使數(shù)字可視化的灰度圖。同樣的，像差計(jì)的檢查結(jié)果也可表示為包含數(shù)百個(gè)數(shù)字的巨大陣列，每個(gè)數(shù)字均表示波前像差差的值。然而為了可視化，最好是把這些數(shù)字陣列轉(zhuǎn)化成一個(gè)灰度或者是地形圖，來表示通過瞳孔不同位置的波前像差的值。（圖14上右）同時(shí)也可以建立一個(gè)表面曲線圖，來提供更好的光學(xué)波面面形的三維透視觀察效果。（圖14下右）由此，我們了解了波面探測(cè)器或者是像差計(jì)相當(dāng)于一種超級(jí)自動(dòng)驗(yàn)光儀，可測(cè)量人眼的各種屈光誤差，包括球鏡、柱鏡，和高階像差。它們通過測(cè)量不同位置的

18、眼球出射光線的波面斜率并數(shù)字化重建波面面形來 實(shí)現(xiàn)。什么是Zernike多項(xiàng)式，為什么可反映屈光誤差？如果我們觀察不同人眼的波面，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它們根據(jù)不同屈光誤差的類型和量，而呈現(xiàn)不同的形狀。由于每個(gè)眼球的波面幾乎都是唯一、不重復(fù)的，原始的波面數(shù)據(jù)很難被用來比較和分類。因?yàn)槊嫘未嬖谔嗟牟?別可能因素。我們通常僅使用三個(gè)數(shù)字描述低階的屈光誤差：球鏡度、柱鏡度和軸向。那么我們?nèi)绾蚊枋銎渌谋热绺唠A像差所包含的屈光誤差呢？Optical Society of America （OSA）建議了一套系統(tǒng)用來描述眼的波前像差，就是我們所知道的Zernike多項(xiàng)式。這一系統(tǒng)已經(jīng)被屈光手術(shù)醫(yī)生和光學(xué)科學(xué)家普遍接

19、受。Zernike多項(xiàng)式允許我們把任何像差分解，并表示為一系列特定的像差類型（被稱之為Zernike模集合），每一種Zernike模表示一種特定類型的像差。例如，存在一些模分別表示球性散焦，散光，球面像差等等。 圖15圖15顯示了幾種模的圖示。每一種代表特定的像差，也就是一種屈光誤差，具有特定的面形和特殊的數(shù) 學(xué)定義。例如，球性屈光誤差看起來象一個(gè)碗，散光看起來象一個(gè)鞍狀物，三葉形的像差有三個(gè)瓣。許多Zernike系統(tǒng)中的像差沒有名字，而是通過兩個(gè)數(shù)字的索引進(jìn)行表示，例如Z 7 -3 ,或者通過單一數(shù)字索引進(jìn)行表示，例如 Z 40 。SphereAsrignaiistnTrefoilComaS

20、pherical AberratioriMode 242Mode 44P.plus others圖16大多數(shù)的眼睛具有復(fù)雜的屈光誤差組合，可能擁有不規(guī)則，不對(duì)稱的波前像差面形，如同圖16上面顯示。這個(gè)例子中，由Shack-Hartmann像差計(jì)測(cè)量出的波前像差通過彩色地形圖進(jìn)行顯示。通過Zernike分解,波面中全部的屈光誤差可以被分解為各種Zernike模來進(jìn)行顯示。這個(gè)波面包含了一定數(shù)量的球面，柱面,Zernike處方還可以包含三葉形，彗差，球差， Z 42 , Z 44 ,以及沒有表示出來的其它類型的像差。數(shù)字（Zernike系數(shù)）來告訴我們每一種像差的量和符號(hào)。Zernike 處方常規(guī)

21、的配鏡處方看起來相對(duì)簡(jiǎn)單，因?yàn)樗鼈儍H通過三個(gè)數(shù)值來描述屈光誤差：球鏡度，柱鏡度，軸向。圖16上面圖形顯示的屈光誤差可以被以下球柱處方很好地矯正：+0.19 -0.67 X 110 o然而這一處方不提供關(guān)于高階像差的任何信息。Zernike多項(xiàng)式卻允許對(duì)任何像差以任何細(xì)節(jié)水平進(jìn)行球鏡、柱鏡和高階像差的規(guī)格說明。如果需要更多的細(xì)節(jié)，只需包含更多的模。下面顯示的Zernike處方包含12種Zernike模。ord&r3n4* orderModeITzT*aCoefficient0 350.17D.41-0.020.04-0.030 040.020.03C.070.00-0.50Natrie時(shí)135 Astigsph90J16O AstlgVertTreicitVert ComaHorltzCOtTlflOblique TretoiSph Aberr請(qǐng)注意Zernike處方的下列特征：?每一種模具有一個(gè)數(shù)字系數(shù)，可以為正號(hào)或負(fù)號(hào)的一種。系數(shù)表明