多元函數(shù)微分學(xué)復(fù)習(xí)題及答案

1、第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用復(fù)習(xí)題及解答、選擇題21. 極限 lim 4x y 2 =(提示：令 y = k2x2)( B)xQ xyy ：0(A)等于0(B) 不存在 (C)等于丄(D)存在且不等于0或-22'.1 . 12、設(shè)函數(shù) f(x,y) = xSin； ySinxxy = 0則極限 lim f (x, y)=(C )0xy = 0y(提示：有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小)(A) 不存在(B) 等于1(C) 等于0(D) 等于2xy3、設(shè)函數(shù) f (x, y) = $ Jx2 +y20y2_0，則 f(x,y)x2y2=0(提示：在x2 y2 = 0，f (x, y)處處

2、連續(xù)；在 x ； 0, y 0，令 y 二 kx，lim_kx2x2 - k2x2二 limx ：0kx =0 =1 k2f(0,0)，故在x20，函數(shù)亦連續(xù).所以,處處有極限，但不連續(xù) 除(0,0 )點(diǎn)外處處連續(xù)(B)(D)(A)必要而非充分條件(B)充分而非必要條件(C)充分必要條件yx(D)既非充分又非必要條件5、設(shè) u = arctan ，貝卩= ex(A)x十y(B)yx2 y2(C)yx2 y26、設(shè) f (x,y) = arcs inx，則 fx(21)二1(A)_ 丄47、設(shè) z = arctan -，x y1(B)-4(C)1(D)-=u v，y=uv，貝U Z '

3、Z/ =f (x, y)在整個定義域內(nèi)處處連續(xù)(A)處處連續(xù)(C)僅在(0,0)點(diǎn)連續(xù)4、函數(shù)z = f(x,y)在點(diǎn)(X0,y°)處具有偏導(dǎo)數(shù)是它在該點(diǎn)存在全微分的u V(A)uu2 _V2(B) uu2 _V2u V(C)u Vu2 v2(D)u2V28、若 f (x,2x)二 x23x, fx(x,2x) = 6x 1，則 fy(x,2x)=(C)2x 1(D)-2x 19、設(shè)z = yX，則(蘭三)excy(2,1)(A) 2(B) 1+l n2 (C) 0(D) 110、設(shè) z = xyey，則 zx-x) 口2 x22(A) -2x(1 x )e (B) 2x(1 -x

4、)ex22 x2(C) -x(1-x)e (D)2-x(1 x )ex2IT11、曲線x =2sint,y =4cost,z =t在點(diǎn)(2,0/ )處的法平面方程是2(A) 2x - z = 4(B) 2x - z 4 (C) 4y 一 z = -2 22 (D)4y12、曲線4x二y5,y = z,在點(diǎn)(8,2,4)處的切線方程是(A )x 8z -'4(A)y-2 二204x - 8z - 4(C)y - 2 二5(B)x 1220(D靑-1413、曲面 xcosz ycosx -一z2飛在點(diǎn)0二,°丿處的切平面方程為(D )n(B) x - y =二 -1( C) x

5、- y( D)214、曲面 x2yz-xy2z3=6在點(diǎn)(3,2,1)處的法線方程為(A )(A)8x 5 y _5z -19-3-183-18(C) 8x -3y -18z =0(D) 8x 3y -18z 二 1215、設(shè)函數(shù)z=1- .x2 y2，則點(diǎn)(0,0)是函數(shù) z的(A)極大值點(diǎn)但非最大值點(diǎn)(B) 極大值點(diǎn)且是最大值點(diǎn)(C) 極小值點(diǎn)但非最小值點(diǎn)(D) 極小值點(diǎn)且是最小值點(diǎn)16、設(shè)函數(shù)z = f(x, y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在P0(x0,y0)處，有fx(P。)=0,fy(P°) =0,fxx(P°) = fyy(P0) =0, fxy(F0)= fyx(R

6、) =2，則(C )(A)點(diǎn)P0是函數(shù)z的極大值點(diǎn)(B)點(diǎn)PQ是函數(shù)z的極小值點(diǎn)(C)點(diǎn)P0非函數(shù)z的極值點(diǎn)(D)條件不夠，無法判定17、函數(shù) f (x,y,z) =z 一2 在4x2 2y2 z2"條件下的極大值是(A) 1(B)(C)-1(D)、填空題1、極限 lxmos =y >7：.答:2、x2極限滬=.答：In23、函數(shù)z = In(x y)的定義域?yàn)?答：x 八14、arcs in x “的定乂域?yàn)?答: -1 _ x _ 1，y = 05、設(shè)函數(shù)f (x, y)2 2=X y xyln，則 f (kx, ky)=.答：k2 f (x,y)6、設(shè)函數(shù)f (x,y)二

7、 xy ，則 f (x y,x - y)= x y2 2.答: 42x(x y)(x - y)7、設(shè) f(x,y)= ln(_x2 y2)IA.答：-ln22 2:占1/2，要使f (x, y)處處連續(xù)，則x2 y -1/2A=8、tan( x2 +y2)設(shè) f (x,y) = x2 y2'a y(x，y)珂0，°)，要使 f(x,y) 在( 0, 0)處連續(xù),(x,y) =(0,0)9、則A=答：1函數(shù)Z二仝 L的間斷點(diǎn)是2xx -1-答：直線X-1=0上的所有點(diǎn)10、函數(shù) f (x, y)=2 2x _ycos-的間斷點(diǎn)為x.答：直線y 及X = 011、設(shè) z=si n

8、(3x y) + y，則竺exx -2y丄.答:3cos544.答:12、設(shè) f(x,y)x2 y2，則 fy(0,1)=4413、設(shè) u(x, y,z)二z，則 dU (1,2,3).答: 3831dx dy ln 2dz16814、設(shè) ux，則在極坐標(biāo)系下， x2 y2汀.答：o15、設(shè) uy=xyx16、設(shè) u=xln xy ,則豆£x£y17、函數(shù)y = y（x）由1 x2y二ey所確定，則dl =d x.答:2xyey _x218、設(shè)函數(shù)z = z（x, y）由方程xy2z=x y z所確定，則 .答:2xyz - 11 - xy219、由方程 xyz x2 y2

9、 z,：2 所確定的函數(shù) z = z（x,y）在點(diǎn)（1，0,- 1）44處的全微分d z =.答: dx2dy4420、曲線x =t2,y =2t,zt3在點(diǎn)（1,2,丄）處的切線方程是331=z 一一3答.x -1 = y _2° ' 2 221、曲線 x =2te2t,y= 3e2t,z二t2e2t在對應(yīng)于t=T點(diǎn)處的法平面方程是答：x-3y 11e° =022、曲面 xeyy2e2z z3e3x2二T在點(diǎn)（2,-1,0）處的法線方程為e答：x-2 二 y 12 -2e23、曲面 ar eta 1 +xz_ z2e在點(diǎn)（-2,1,0）處的切平面方程是.答：4y

10、2z = 1124、 設(shè)函數(shù) z = z(x, y)由方程x2 - 3xy - y2 - 5x 5y ez 2 = 4 確定，則函數(shù) z2的駐點(diǎn)是.答：(一1, 2)27、函數(shù) z = 2x2 -3y2 -4x-6y-1 的駐點(diǎn)是.答：(1, 1)25、若函數(shù)f (x, y)二x2 - 2xy 3y2 ax by 6在點(diǎn) (1,-1)處取得極值，則常數(shù)a=， b=.答: a=0，b=426、 函數(shù)f (x,y,z) = -2x2在x2y22z2=2條件下的極大值是 : -4三、計算題1、求下列二元函數(shù)的定義域，并繪出定義域的圖形(1) z = 1 -x2 -y2(2)z = ln(x y) z

11、 1z = ln(xy1)ln( x + y)解: (1)要使函數(shù)z»：1-x2-y2有意義，必須有1_x2y2_0，即有x2 yS： 1.故所求函數(shù)的定義域?yàn)镈 =( x, y) | x2 y2 _1,圖形為圖3.1 要使函數(shù)z = ln(x y)有意義，必須有x y 0.故所有函數(shù)的定義域?yàn)镈 =(x,y)|x y d，圖形為圖 3.2(3)要使函數(shù)z有意義，必須有l(wèi)n(x yp- 0，即x y 0且ln (x + y)x y = 1.故該函數(shù)的定義域?yàn)镈 = Xx, y) | x y 0, x V，圖形為圖3.3 要使函數(shù)z = l n(xy-1)有意義，必須有xy-1 0 .

12、故該函數(shù)的定義域?yàn)镈 =(x, y)|xy 1，圖形為圖 3.4圖3.1圖3.2x+y=Oxx+y=1y1/ y=1/x1x *圖3.3圖3.42、求極限丁0：；孑#1y si n2x 解：i叫y0 Vysin 2x (Jxy+ 1 +1)-lim= 4 1 _1 xxy1 Jx2 V + 13、求極限 limo一 sin(xy).y jo2-x yi 2解：原式=mo 3 2(_/2sin(xyxmov ex y (1,x y "ye-121、Xsin (xy)xy124、求極限叫y)oxxyexxye解：螞4*刊0.xye =limj0o(4+J16 + xy) = -8-xy5

13、、設(shè) u =xsiny ycosx，求Ux,Uy .解：ux = sin y - ysin xuy=x cosy cosx6、設(shè) z=xey ye，求zx,zy.解: zx = ey _ ye *zy =xey7、設(shè)函數(shù) z 二 z(x, y)由 yz zx xy=3所確定，試求(其中 x 0 ).解一：原式兩邊對x求導(dǎo)得-：z:zzy x z y =0，則 二:X:Xx豈同理可得：寸=解二:土 上.xFy:z Fy z x :y Fx y x8、求函數(shù)z =2x2-3xy 2y2 4x3y 1的極值.解:知3嚴(yán)宀嚴(yán)伽= (-3sint 4t)e3x 2y10、設(shè) z = yX In(xy)，

14、求 z , dx.:z-:y解:zxyx In y In xy 1 yxzyxyX1x In( xy)-y11、x yza=a- In x (a 0)解:-=ux yz1二 a In a - ax ， .x.u二 ax yz zln ayax yz In ad u = (ax yz In aax)dx ax yz Ina(zdy ydz)12、求函數(shù) In(x2 y2 exy)的全微分.解:xy.z2x yexyz 2y xe.x22 xy >x y e:y x2 y2exy4x - 3y 4=0-3x 4y - 3 = 0，zxxzxy4-3zyxzyy-34D -=70Zxx =4

15、.0,函數(shù)z在點(diǎn)(-1,0)處取極小值z(-1,0) = -1.dt9、設(shè) z=e3xy，而 x=cost,y=t四、應(yīng)用題1、要造一容積為128立方米的長方體敞口水池，已知水池側(cè)壁的單位造價是底 部的2倍，問水池的尺寸應(yīng)如何選擇，方能使其造價最低？解：設(shè)水池的長、寬、高分別為x,y,z米.，求咚則水池造價S二xy 4xz - 4yz a且 xyz=128令 L = xy 4xz 4yz xyz-128'Lx = y +4z + 入 yz = 0丄L y = x + 4z + Kxz = 0由 yLz = 4x 4y ： ； xy 二 0L , = xyz -128= 0得 x=y=8

16、 z=2由于實(shí)際問題必定存在最小值，因此當(dāng)水池的長、寬、高分別為8米、8米、2米時，其造價最低.2、某工廠生產(chǎn)兩種商品的日產(chǎn)量分別為 x和y (件)，總成本函數(shù)2 2C(x, y) =8x -xy 12y(元).商品的限額為x y =42，求最小成本.解：約束條件為、(x,y) =x y-42 =0，構(gòu)造拉格朗日函數(shù) F(x, y, ) = 8x2 - xy 12y2 (x y - 42)，F(xiàn)x"=16x_y + 扎=0解方程組= -x+24y + k = 0,得唯一駐點(diǎn)(x,y) =(25,17)，F(xiàn) ； = x + y -42 = 0由實(shí)際情況知，(x, y)二(25,17)就是

17、使總成本最小的點(diǎn)，最小成本為C(25,17) =8043 (元).3、 某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品甲和乙，出售單價分別為10元與9元，生產(chǎn)x單位的產(chǎn)品甲與生產(chǎn)y單位的產(chǎn)品乙的總費(fèi)用是400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2)元，求取得最大利潤時，兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為多少？解：L(x, y)表示獲得的總利潤，貝U總利潤等于總收益與總費(fèi)用之差，即有利潤目標(biāo)函數(shù) L(x,y) =(10x 9y) -400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2)=8x 6y-0.01(3x2 xy 3y2)-400,(x0, y 0)，I： =80.01(6x + y) =0令X丿，解得唯一駐點(diǎn)(120, 80

18、).Ly =60.01(x+6y) =0又因 A = L： = -0.06 ： 0, B = Lxy = -0.01,C = Lyy = -0.06，得23AC - B =3.5 10 0.得極大值L(120,80) =320.根據(jù)實(shí)際情況，此極大值就是最大值.故生產(chǎn)120單位產(chǎn)品甲與80單位產(chǎn)品乙時所得利潤最大320元.五、證明題1、設(shè)z二衛(wèi).求證x2立y2立=2z .dxby證明： 因?yàn)橘诙'x y)42 二二e%燈芻.所以&x2 cyy2x2二寸 Z=e “ e “ =2z&cy2、證明函數(shù)y二e2tsinnx滿足關(guān)系式 旦二k尋 ctex2證明：因?yàn)?總士如© sinnx (-kn2) = -kn2e曲t sin