現(xiàn)代控制理論(第3版)劉豹-第一章

1、1.1 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式1.3 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的建立(一)1.2 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖 1.5 狀態(tài)矢量的線性變換(坐標(biāo)變換)1.4 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的建立(二) 1.8 時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式1.6 從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣1.7 離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式1.1 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式1.1.1 狀態(tài)變量 狀態(tài)變量是既足以完全確定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)而個(gè)數(shù)又是最小的一組變量，當(dāng)其在t=t0時(shí)刻的值已知時(shí)，則在給定tt0時(shí)刻的輸入作用下，便能完全確定系統(tǒng)在任何tt0時(shí)刻的行為。 1.1.2 狀態(tài)矢量 如果 個(gè)狀態(tài)變量用 表示，并把這些狀

2、態(tài)變量看作是 矢量 的分量，則 就稱為狀態(tài)矢量，記作：1.1.3 狀態(tài)方程 以狀態(tài)變量 為坐標(biāo)軸所構(gòu)成的 維空間，稱為狀態(tài)空間。1.1.4 狀態(tài)方程由系統(tǒng)的狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。用圖下所示的 網(wǎng)絡(luò)，說(shuō)明如何用狀態(tài)變量描述這一系統(tǒng)。圖一根據(jù)電學(xué)原理，容易寫(xiě)出兩個(gè)含有狀態(tài)變量的一階微分方程組：亦即（1） 式(1)就是圖1.1系統(tǒng)的狀態(tài)方程，式中若將狀態(tài)變量用一般符號(hào) 表示，即令 并寫(xiě)成矢量矩陣形式，則狀態(tài)方程變?yōu)椋夯?.1.5 輸出方程 在指定系統(tǒng)輸出的情況下，該輸出與狀態(tài)變量間的函數(shù)關(guān)系式，稱為系統(tǒng)的輸出方程。如在圖1.1系統(tǒng)中，指定 作為輸出，輸出一般用y表示，則有：

3、式中(2)式（3）就是圖1.1系統(tǒng)的輸出方程，它的矩陣表示式為：或（3）式中或（4）1.1.6 狀態(tài)空間表達(dá)式 在經(jīng)典控制理論中，用指定某個(gè)輸出量的高階微分方程來(lái)描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程。如上圖一所示的系統(tǒng)，在以 作輸出時(shí)，從式(1)消去中間變量i，得到二階微分方程為：其相應(yīng)的傳遞函數(shù)為：（6）（5） 回到式（5）或式（6）的二階系統(tǒng)，若改選 和 作為兩個(gè)狀態(tài)變量，即令 則得一階微分方程組為：（8） 設(shè)單輸入一單輸出定常系統(tǒng)，其狀態(tài)變量為 則狀態(tài)方程的一般形式為：輸出方程式則有如下形式：用矢量矩陣表示時(shí)的狀態(tài)空間表達(dá)式則為： 因而多輸入一多輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的矢量矩陣形式為：式中，x和A為同單輸

4、入系統(tǒng)，分別為n維狀態(tài)矢量和nn系統(tǒng)矩陣；為r維輸入(或控制)矢量；為m維輸出矢量；（9）（10） 為了簡(jiǎn)便，下面除特別申明，在輸出方程中，均不考慮輸入矢量的直接傳遞，即令D D = 0 。1.1.7 狀態(tài)空間表達(dá)式的系統(tǒng)框圖 和經(jīng)典控制理論相類似，可以用框圖表示系統(tǒng)信號(hào)傳遞的關(guān)系。對(duì)于式(9)和式(10)所描述的系統(tǒng)，它們的框圖分別如圖a和b所示。1.2 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖 狀態(tài)空間表達(dá)式的框圖可按如下步驟繪制：積分器的數(shù)目應(yīng)等于狀態(tài)變量數(shù)，將它們畫(huà)在適當(dāng)?shù)奈恢茫總€(gè)積分器的輸出表示相應(yīng)的某個(gè)狀態(tài)變量，然后根據(jù)所給的狀態(tài)方程和輸出方程，畫(huà)出相應(yīng)的加法器和比例器，最后用箭頭將

5、這些元件連接起來(lái)。對(duì)于一階標(biāo)量微分方程：它的模擬結(jié)構(gòu)圖示于下圖再以三階微分方程為例：將最高階導(dǎo)數(shù)留在等式左邊，上式可改寫(xiě)成它的模擬結(jié)構(gòu)圖示于下圖 同樣，已知狀態(tài)空間表達(dá)式，也可畫(huà)出相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖，下圖是下列三階系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖。下圖是下列二輸出的二階系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖。1.3 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的建立(一) 這個(gè)表達(dá)式一般可以從三個(gè)途徑求得：一是由系統(tǒng)框圖來(lái)建立，即根據(jù)系統(tǒng)各個(gè)環(huán)節(jié)的實(shí)際連接，寫(xiě)出相應(yīng)的狀態(tài)空問(wèn)表達(dá)式；二是從系統(tǒng)的物理或化學(xué)的機(jī)理出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)；三是由描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的高階微分方程或傳遞函數(shù)予以演化而得。1.3.1 從系統(tǒng)框圖出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式 該法是首先將系統(tǒng)的各個(gè)環(huán)

6、節(jié)，變換成相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖，并把每個(gè)積分器的輸出選作一個(gè)狀態(tài)變量 其輸入便是相應(yīng)的 然后，由模擬圖直接寫(xiě)出系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。1.3.2 從系統(tǒng)的機(jī)理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式 一般常見(jiàn)的控制系統(tǒng)，按其能量屬性，可分為電氣、機(jī)械、機(jī)電、氣動(dòng)液壓、熱力等系統(tǒng)。根據(jù)其物理規(guī)律，如基爾霍夫定律、牛頓定律、能量守恒定律等，即可建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程。當(dāng)指定系統(tǒng)的輸出時(shí)，很容易寫(xiě)出系統(tǒng)的輸出方程。1.4 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的建立(二) 考慮一個(gè)單變量線性定常系統(tǒng)，它的運(yùn)動(dòng)方程是一個(gè) 階線性常系數(shù)微分方程：相應(yīng)的傳遞函數(shù)為1.4.1 傳遞函數(shù)中沒(méi)有零點(diǎn)時(shí)的實(shí)現(xiàn)在這種情況下，系統(tǒng)的微分方程為： 相應(yīng)的系

7、統(tǒng)傳遞函數(shù)為 上式的實(shí)現(xiàn)，可以有多種結(jié)構(gòu)，常用的簡(jiǎn)便形式可由相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖 (下圖)導(dǎo)出。這種由中間變量到輸入端的負(fù)反饋，是一種常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)形式，也是一種最易求得的結(jié)構(gòu)形式。 將圖中每個(gè)積分器的輸出取作狀態(tài)變量，有時(shí)稱為相變量相變量，它是輸出 的各階導(dǎo)數(shù)。至于每個(gè)積分器的輸入，顯然就是各狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)。從圖（a），容易列出系統(tǒng)的狀態(tài)方程： 輸出方程為： 表示成矩陣形式，則為： 順便指出，當(dāng) 矩陣具有式上矩陣的形式時(shí)，稱為友矩陣友矩陣，友矩陣的特點(diǎn)是主對(duì)角線上方的元素均為1；最后一行的元素可取任意值；而其余元素均為零。 1.4.2 傳遞函數(shù)中有零點(diǎn)時(shí)的實(shí)現(xiàn) 此時(shí)，系統(tǒng)的微分方程為：相應(yīng)地，系統(tǒng)傳

8、遞函數(shù)為：設(shè)待實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：因?yàn)?上式可變換為（26）令則對(duì)上式求拉氏反變換，可得：每個(gè)積分器的輸出為一個(gè)狀態(tài)變量，可得系統(tǒng)的狀態(tài)空問(wèn)表達(dá)式：或表示為：推廣到 階系統(tǒng)，式(26)的實(shí)現(xiàn)可以為：（28）求得其對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為：（29） 為求得 令式（29）與式（26）相等，通過(guò)對(duì) 多項(xiàng)式系數(shù)的比較得：故得：（30）也可將式(30)寫(xiě)成式(31)的形式，以便記憶。（31） 將上圖a的每個(gè)積分器輸出選作狀念變最，如圖所示，得這種結(jié)構(gòu)下的狀態(tài)空間表達(dá)式：即（32）擴(kuò)展到 階系統(tǒng)，其狀態(tài)空間表達(dá)式為：（33）式中（34）或記為：1.4.3 多輸入一多輸出系統(tǒng)微分方程的實(shí)現(xiàn)一雙輸入一雙輸出的三階系

9、統(tǒng)為例，設(shè)系統(tǒng)的微積分方程為：（35） 同單輸入一單輸出系統(tǒng)一樣，式(35)系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)也是非唯一的?，F(xiàn)采用模擬結(jié)構(gòu)圖的方法，按高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)求解：對(duì)每一個(gè)方程積分：故得模擬結(jié)構(gòu)圖，如下圖所示： 取每個(gè)積分器的輸出為一個(gè)狀態(tài)變量，如上圖所示。則式（35）的一種實(shí)現(xiàn)為：或表示為：（36）1.5 狀態(tài)矢量的線性變換(坐標(biāo)變換)1.5.1 系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性 對(duì)于一個(gè)給定的定常系統(tǒng)，可以選取許多種狀態(tài)變量，相應(yīng)地有許多種狀態(tài)空間表達(dá)式描述同一系統(tǒng)，也就是說(shuō)系統(tǒng)可以有多種結(jié)構(gòu)形式。所選取的狀態(tài)矢量之間，實(shí)際上是一種矢量的線性變換線性變換(或稱坐標(biāo)變換)。 設(shè)給定系統(tǒng)為：（37） 我們總可以找到任意

10、一個(gè)非奇異矩陣 將原狀態(tài)矢量 作線性變換，得到另一狀態(tài)矢量 設(shè)變換關(guān)系為：即代入式（37），得到新的狀態(tài)空間表達(dá)式：（38）1.5.2 系統(tǒng)特征值的不變性及系統(tǒng)的不變量 1.系統(tǒng)特征值系統(tǒng)系統(tǒng)特征值就是系統(tǒng)矩陣 的特征值，也即特征方程：（43） 的根。 方陣A且有n個(gè)特征值；實(shí)際物理系統(tǒng)中， 為實(shí)數(shù)方陣，故特征值或?yàn)閷?shí)數(shù)，或?yàn)槌蓪?duì)共軛復(fù)數(shù)；如 為實(shí)對(duì)稱方陣，則其特征值都是實(shí)數(shù)。2系統(tǒng)的不變量與特征值的不變性同一系統(tǒng)，經(jīng)非奇異變換后，得：其特征方程為：（44） 式(43)與式(44)形式雖然不同，但實(shí)際是相等的，即系統(tǒng)的非奇異變換，其特征值是不變的。可以證明如下： 將特征方程寫(xiě)成多項(xiàng)式形式 由于

11、特征值全由特征多項(xiàng)式的系數(shù) 唯一確定，而特征值經(jīng)非奇異變換是不變的，那么這些系統(tǒng) 也是不變的量。所以稱特征多項(xiàng)式的系數(shù)為系統(tǒng)的不變量。3特征矢量一個(gè) 維矢量 ：經(jīng)過(guò)以 作為變換陣的變換，得到一個(gè)新的矢量 即 如果此 即矢量 ，經(jīng) 線性變換后，方向不變，僅長(zhǎng)度變化 倍則稱 為 的對(duì)應(yīng)于 的特征矢量，此時(shí)有1.5.3 狀態(tài)空間表達(dá)式變換為約旦標(biāo)準(zhǔn)型這里的問(wèn)題是將 (45) 變換為：(46) 根據(jù)系統(tǒng)矩陣 求其特征值，可以直接寫(xiě)出系統(tǒng)的約旦標(biāo)準(zhǔn)型矩陣無(wú)重根時(shí)有重根時(shí) 而欲得到變換的控制矩陣 和輸出矩陣CTCT，則必須求出變換矩陣T T。下面根據(jù)A A陣形式及有無(wú)重根的情況，分別介紹幾種求T T的方法

12、。 1.A陣為任意形式(1)A陣的特征值無(wú)重根時(shí) 設(shè) 是A A的 個(gè)互異特征根，求出A A。的特征矢量 則變換矩陣由A A的特征矢量 構(gòu)成，即2A陣為標(biāo)準(zhǔn)型，即 (1)A A的特征值無(wú)重根時(shí)，其變換是一個(gè)范德蒙德范德蒙德(Vandermonde)(Vandermonde)矩陣矩陣，為：(2)A A特征值有重根時(shí)，以有 的三重根為例：(3)有共軛復(fù)根時(shí)，以四階系統(tǒng)其中有一對(duì)共軛復(fù)根為例，即 3系統(tǒng)的并聯(lián)型實(shí)現(xiàn)此時(shí)已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)：（55） 現(xiàn)將式(55)展開(kāi)成部分分式。由于系統(tǒng)的特征根有兩種情況：一是所有根均是互異的，一是有重根。1.6 從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣1.6.1 傳遞函數(shù)(陣)1單

13、輸入一單輸出系統(tǒng)已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式： 式中， 為 維狀態(tài)矢量； 和 為輸出和輸入，它們都是標(biāo)量；A A為 方陣; 為 列陣；c c為 行陣；d為標(biāo)量，一般為零。（62）對(duì)式(62)進(jìn)行拉氏變換，并假定初始條件為零，則有： （63） 故UX間的傳遞函數(shù)為：（64）它是一個(gè) 的列陣函數(shù)。間的傳遞函數(shù)為：它是一個(gè)標(biāo)量。 2 2多輸入一多輸出系統(tǒng)多輸入一多輸出系統(tǒng)已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式：（66）式中， 為r1輸入列矢量； 為m1輸出列矢量；B B為nr控制矩陣；C C為mn輸出矩陣；D D為mr直接傳遞陣；X X，A A為同單變量系統(tǒng)。 同前，對(duì)式(66)作拉氏變換并認(rèn)為初始條件為零，得：（6

14、7）故 間的傳遞函數(shù)為（68）它是一個(gè) nr 矩陣函數(shù)。 故 間的傳遞函數(shù)為：它是一個(gè)mr矩陣函數(shù)，即（69）其中各元素 都是標(biāo)量函數(shù)，它表征第 個(gè)輸入對(duì)第 個(gè)輸出的傳遞關(guān)系。當(dāng) 時(shí) ，意味著不同標(biāo)號(hào)的插入與輸出有相互關(guān)聯(lián)，稱為有耦合關(guān)系，這正是多變量系統(tǒng)的特點(diǎn)。式(69)還可以表示為： 可以看出， 的分母，就是系統(tǒng)矩陣A A的特征多項(xiàng)式， 的分子是一個(gè)多項(xiàng)式矩陣。 應(yīng)當(dāng)指出，同一系統(tǒng)，盡管其狀態(tài)空間表達(dá)式可以作各種非奇異變換而不是唯一的，但它的傳遞函數(shù)陣是不變的c對(duì)于已知系統(tǒng)如式(66)，其傳遞函數(shù)陣為式(69)。當(dāng)做坐標(biāo)變換，即令 時(shí)，則該系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：（71）那么對(duì)應(yīng)上式的傳遞

15、函數(shù)陣 應(yīng)為：即同一系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)陣是唯一的。1.6.2 子系統(tǒng)在各種連接時(shí)的傳遞函數(shù)陣實(shí)際的控制系統(tǒng)，往往由多個(gè)子系統(tǒng)組合而成，或并聯(lián)，或串聯(lián)，或形成反饋連接?，F(xiàn)僅以兩個(gè)子系統(tǒng)作各種連接為例，推導(dǎo)其等效的傳遞函數(shù)陣。設(shè)系統(tǒng)1為：（72）簡(jiǎn)記為：設(shè)系統(tǒng)2為：簡(jiǎn)記為： 1并聯(lián)連接 所謂并聯(lián)連接，是指各子系統(tǒng)在相同輸入下，組合系統(tǒng)的輸出是各子系統(tǒng)輸出的代數(shù)和，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如下圖所示。 由式(72)和式(73)，并考慮 得系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式：從而系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為：故子系統(tǒng)并聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣等于子系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣的代數(shù)和。 2串聯(lián)連接串聯(lián)連接下如圖所示。讀者可自己證明，其串聯(lián)連接傳遞函數(shù)陣為： 即

16、子系統(tǒng)串聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣等于子系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣之積。但應(yīng)注意，傳遞函數(shù)陣相乘，先后次序不能顛倒。3具有輸出反饋的系統(tǒng)如下圖所示，由圖可得：即從而系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為：這里又遇到分塊求逆的問(wèn)題，假定：故有：從而得：由上兩式解得：即于是：所以有：同理也可求得：1.7 離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)空間方法，完全適用于離散時(shí)間系統(tǒng)。類似在連續(xù)系統(tǒng)中，從微分方程或傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式，叫系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)。在離散系統(tǒng)中，從差分方程或脈沖傳遞函數(shù)求取離散狀態(tài)空間表達(dá)式，也是一種實(shí)現(xiàn)。相應(yīng)地，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：(78)設(shè)系統(tǒng)差分方程為：(77)實(shí)現(xiàn)的任務(wù)就是確定一種狀態(tài)空間表達(dá)式：(79)在

17、認(rèn)為兩相鄰采樣時(shí)刻， 不變的條件下，式(79)的狀態(tài)空間表達(dá)式也可以用模擬結(jié)構(gòu)圖(下圖)表示。下圖中T T 代表單位延遲器，類似于連續(xù)系統(tǒng)中的積分器。 實(shí)現(xiàn)是非唯一的，較簡(jiǎn)單的實(shí)現(xiàn)見(jiàn)下圖所示的模擬結(jié)構(gòu)圖。圖中 為已知參數(shù)， 為待定常數(shù)。以每個(gè)延遲器的輸出作為一個(gè)狀態(tài)變量，可得：矢量矩陣形式的離散狀態(tài)空間表達(dá)式為：式中 的求法，類似于1.4節(jié)中式(34)求 的計(jì)算公式，即：多變量離散狀態(tài)空間表達(dá)式為：1.8 時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式1.8.1線性時(shí)變系統(tǒng) 以上討論的只是定常系統(tǒng)，其特征是它的狀態(tài)空間表達(dá)式中的A A、B B、C C、DD等矩陣的元素既不依賴于輸入、輸出，也與時(shí)間無(wú)關(guān)。線性時(shí)變系統(tǒng)有：它們的元素有些或全部是時(shí)間t的函數(shù)。線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：（81） 從高階線性時(shí)變微分方程推演出狀態(tài)空間表達(dá)式的方法，類似于前述線性定常系統(tǒng)。 1.8.2 非線性系統(tǒng)非線性的動(dòng)態(tài)特性是用如下的n個(gè)一階微分方程組描述的：用矢量矩陣表示，則為：（83）式中， 為矢量